Appunti di Meccanica Statistica - INFN

28 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBS2.3.7 Stabilità dell’equilibrio termicoNello studio dell’equilibrio termico tra due sistemi 1 e 2 a contatto avevamo arguitoche il sistema complessivo è in equilibrio quando Ω = Ω 1 Ω 2 come funzionedell’energia E 1 raggiunge un massimo, ma non abbiamo sfruttato questa proprietàappieno, in quanto abbiamo solo richiesto l’annullarsi della derivata prima (che haportato alla definizione di temperatura). Per avere davvero un massimo occorreanche che la derivata seconda sia ivi negativa:( ) ( )∂ 2 log Ω 1 ∂ 2 log Ω 2∂E 21ossia ( ∂T(E1 )V∂E 1)V+∂E 22( ∂T(E2 )+∂E 2)VV< 0> 0 .Supponiamo ora che il sistema 2 sia un gas perfetto. Dalle equazioni del paragrafoprecedente si ha T = 2 E ∂T, quindi ∝ O(1/N) e dunque si annulla nel limite3 κN ∂Etermodinamico. Se il sistema 2 è molto più grande del sistema 1 la disuguaglianzadiventa ( ∂T(E1 )> 0 ,∂E 1)Vquindi in un sitema in equilibrio (con un gas perfetto) la temperatura è una funzionecrescente dell’energia. Inoltre, poiché il calore specifico è definito da C v =( ( )∂E∂T)V = 1/ ∂T(E), si ottiene un’importante disuguaglianza termodinamica∂EVche vale per tutti i sistemi in equilibrioC V > 0 . (2.3.8)Analogamente, come dimostreremo più in là, la pressione a temperatura costanteè sempre una funzione decrescente del volume cioè( ) ∂P< 0 . (2.3.9)∂VLe due relazioni che abbiamo elencato sono dette disuguaglianze termodinamiche;gli stati in cui queste non sono soddisfatte sono instabili e non possono esisterein natura 3 . Vedremo un’ altra derivazione di queste disuguaglianze nel paragrafo2.5.1.3 In realtà, come vedremo meglio in seguito, queste disuguaglianze valgono in senso strettosolo a T > 0. A T = 0 entrambe le quantità si annullano.T