Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.3. L’”ENSEMBLE” MICROCANONICO 27Il paradosso di GibbsIl calcolo esplicito del numero delle soluzioni dell’ eq.(2.3.5) è abbastanza semplice.Cominciamo con l’osservare che il numero delle soluzioni della disuguaglianza3N∑n 2 i ≤ ρ2 = 2mh V 2 2 3 Ei=1coincide con il volume Vol della sfera di raggio ρ in d = 3N dimensioni, che èVol = π d 2d2 ! ρd .( ) d/2Utilizzando la formula di Stirling d ! ∼ d/22 e si haVol =( 2e3 2mπ E ) 3N/2V NN h . 3NPoichè il numero di soluzioni cresce esponenzialmente con N è facile convincersiche il maggior numero delle soluzioni si trovano sulla superficie della sferain questione e che nel limite termodinamico Ω(E) ≃ Vol. Nasce però un paradosso:in questo limite log Ω, che è una grandezza estensiva, dovrebbe essere proporzionalea N. Questo è vero solo per il primo fattore di Vol, che contribuiscecon 3N log E/N (nel limite termodinamico E è costante). Ciò non succede nel2 Nsecondo fattore, il cui logaritmo N log V ∝ N log N cresce più velocemente di N.Questo paradosso di Gibbs nasce dal fatto che il numero dei microstati non vienecontato con la giusta molteplicità. Occorre tener conto del fatto che le molecolecostituenti sono tra loro identiche e ogni soluzione della (2.3.5) che differisca soloper una permutazione degli indici i da un’altra è a tutti gli effetti indistinguibile.Conviene di conseguenza modificare il legame tra Ω e Vol con la seguente ricettaΩ(E) = Vol/N! (2.3.7)che, come è immediato verificare, elimina il paradosso. Vedremo in seguito,quando studieremo gas ideali quantistici di Bose e di Fermi che questa formulaè un’approssimazione valida nei gas rarefatti. Essa viene spesso indicata comestatistica di Boltzmann.