Appunti di Meccanica Statistica - INFN

26 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSda p = − ( )∂E∂V Ssegue 2 3 V −1 3E − pV 2 3 = 0 , ⇒pV = 2 3 EDall’equazione di stato pV = nRT ⇒E = 3 2 nRT .Le due equazioni incorniciate valgono sia in meccanica classica che quantistica.Combinate assieme esse danno l’equazione dell’adiabatica nel piano p, V :V 5 3 p = cost.Vediamo ora come si modificano queste formule nel caso di un gas di fotoni o,ciò che è lo stesso, nel caso dello studio della radiazione elettromagnetica in unacavità. (studieremo a fondo questo problema più in là). La relazione tra impulsop ed energia ε in un fotone è, come è noto, ε = c p. Gli autovalori dell’impulsoper un volume della stessa forma e con le stesse condizioni al contorno del casoprecedente sono gli stessi e l’equazione (2.3.5) avrà ora la forma∑2 √ 3 n 2 i = 1 hc E V 1 3i=1dove il fattore 2 tiene conto dei due stati di polarizzazione per ogni onda stazionaria.Questa volta il numero dei microstati è funzione della combinazione E V 1 3 ; dunquele adiabatiche soddisfano l’equazione E V 1 3 =costante. Applicando tal quale ilprocedimento seguito nel caso del gas non relativistico, questa volte si ottieneE = 3 pVe quindi le adiabatiche di un gas di fotoni nel piano p, V hanno la formap V 4 3 = cost . (2.3.6)Si noti che nel caso del gas di fotoni ( ossia della radiazione elettromagnetica inequilibrio in una cavità) non compare il numero di fotoni (che non e’ una quantitàconservata in questo sistema), dunque ogni configurazione o microstato e’ caratterizzatosolo dai tre numeri interi n 1 , n 2 , n 3 .Esercizio: Si ricavi l’equazione delle adiabatiche per un gas di fotoni utilizzandoun argomento di analisi dimensionale.