Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.3. L’”ENSEMBLE” MICROCANONICO 25Esiste un semplice argomento di analisi dimensionale che mostra che in un gasperfetto (classico o quantistico) Ω e’ una funzione di un’opportuna combinazionedelle variabili E e V : Ω è una quantità adimensonale, mentre E e V non lo sono,quindi bisogna combinare queste due grandezze con altre costanti dimensionali ingioco per formare una quantità adimensionale. Le possibili costanti in gioco sonola costante di Planck h, dato che il volume dello spazio delle fasi occupato da ognigrado di libertà è proprio h, e m, la massa delle molecole, unica costante fisicache caratterizza un gas perfetto non relativistico classico o quantistico. È facile oraverificare che l’unica combinazione adimensionale che posso fare con E, V, m, hè m E V 2/3 /h 2 , dunque nei gas perfetti Ω è funzione di due soli argomentiΩ(E, V, N) = f(N, EV 2/3 ) .Relazioni di questo tipo sono note come relazioni di scaling. Da esse si possonoestrarre, come vedremo tra poco in questo caso specifico, importanti informazionisulle proprietà fisiche fondamentali del sistema allo studioUn altro modo per ricavare la stessa relazione di scaling è il seguente. Supponiamoche il recipiente di volume V sia un cubo di lato L (V = L 3 ). I valoripermessi delle componenti dell’impulso delle molecole sono, scegliendo per comoditàcondizioni al contorno periodiche p i = 2πnL i , n i = O, ±1, ±2, . . ., i =1, ...3N. Ω(E, V, N) è dato dal numero di soluzioni della equazione3N∑i=1p 2 i2m =3N∑h22 m L 2i=1n 2 i = E ,ossia3N∑i=1n 2 i = 2 m L2 Eh 2= 2mh 2 V 2 3 E (2.3.5)Il numero di soluzioni, a fissato N, dipende unicamente dal parametro V 2 3E,quindi Ω dipende solo dalla combinazione V 2 3E: Ω(E, V, N) = f(N, V 2 3E)come avevamo visto con il ragionamento di analisi dimensionale. Poichè ovviamenteS = S(N, V 2 3E), nelle trasformazioni adiabatiche (cioè quelle in cui N eS sono costanti) si haV 2 3E =cost