Appunti di Meccanica Statistica - INFN

24 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSdove λ è una qualunque costante maggiore di zero. Ponendo λ = 1 + ǫ e sviluppandoal prim’ordine in ǫ si ha S ( )∂E+ V ( )∂E+ N ( )∂E= E cioè∂S V,N ∂V S,N ∂N V,SE = TS − pV + µN , (2.3.3)si ottiene dunque E in forma finita a partire dal suo differenziale. Da questarelazione si ha dE = T dS +S dT −V dp −p dV +µ dN +N dµ, che, combinatacon il I principio dà la relazioneS dT − V dp + N dµ = 0 ,detta equazione di Gibbs-Duhem.Utilizzando la forma finita dell’energia interna (2.3.3) si ottiene immediatamenteuna forma finita per tutte le altre funzioni termodinamiche. In particolarel‘energia libera di Gibbs soddisfa l’importante relazione2.3.6 Un esempio: il gas perfetto classicoG ≡ E − TS + pV = µ N (2.3.4)Un gas ideale (o perfetto) classico è un sistema di N sistemi microscopici puntiformidi massa m non interagenti (è un’approssimazione di un gas reale moltorarefatto e ad alta temperatura come vedremo meglio studiando il caso quantistico[gas di Bose ideale])Ogni microstato è individuato dalle posizioni e dalle velocità delle N molecole:∫Ω(E, V, N) = d 3N p d 3N q/ω o .H(p,q)=EL’integrazione sulle possibili posizioni delle N molecole dàΩ(E, V, N) ∝ V N⇒ S = κN log V + termini che non dipendono da VPoichè p = ( ∂S p, si haT ∂V)T = N . κT V⇒ pV = nRT (R = κN A , N = nN A )dove N A è il numero di Avogadro ed n è il numero di moli. Questa è la notaequazione di stato dei gas perfetti.