Appunti di Meccanica Statistica - INFN

20 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSossiaΩ 2 (E − Ē1) ∂Ω 1 ∂Ω 2− Ω 1 = 0∂Ē1 ∂Ē2da cui, lasciando perdere la sopralineatura,1 ∂Ω 1 1 ∂Ω 2=Ω 1 (E 1 ) ∂E 1 Ω 2 (E 2 ) ∂E 2e quindi∂ log Ω 1= ∂ log Ω 2∂E 1 ∂E 2⇒ Se due sistemi qualsiasi sono in equilibrio termico tra loro, vale la precedenteequazione. D’altra partedue sistemi in equilibrio hanno la stessa temperatura assoluta,percio’ è raginevole supporre che ∂ log Ω = f(T).∂E2.3.2 L’entropiaPer vedere che tipo di funzione è f(T) notiamo che log Ω(E) è una funzionecrescente di Ω quindi:• log Ω(E) cresce quando il sistema si evolve verso l’equilibrio• log Ω(E) è una quantità additiva, nel senso che il valore di log Ω per unsistema formato dall’unione di piu’ sottoinsiemi 1, 2, 3 . . . è uguale allasomma ∑ i log Ω i dei contributi di tali sottoinsiemi.Queste due proprietà sono anche le proprietà dell’entropia S di un sistema. Illegame preciso tra S e logΩ è dato dall’equazione (talvolta detta di Planck):S = κ log Ωdove κ è la costante di Boltzmann (κ = 1.38 10 −16 erg/deg) L’equazione precedenteè di fondamentale importanza in fisica: essa costituisce un ponte tra le proprietàtermodinamiche (S) e le caratteristiche microscopiche (Ω) e noi la useremocome postulato fondamentale dell’approccio microcanonico. Poichè in termodinamicala temperatura assoluta T è definita dalla relazione ( )∂S= 1/T , la∂E Vfunzione incognita della temperatura introdotta in precedenza è ora determinata:∂ log Ω∂E = 1/κT ,dove la derivata è fatta come si è detto in precedenza a volume costante.