Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.3. L’”ENSEMBLE” MICROCANONICO 192.3.1 L’equilibrio termicoVediamo ora come si possano ricavare le proprietà termodinamiche del sistemadalla conoscenza di Ω(E, V, N).Consideriamo due sistemi macroscopici qualsiasi, inizialmente isolati, caratterizzatida Ω 1 (E 1 , V 1 , N 1 ) e Ω 2 (E 2 , V 2 , N 2 ). Supponiamo ora di porli a contattotermico tra loro in modo che possano scambiarsi tra loro energia. Supponiamoviceversa che N 1 , N 2 , V 1 e V 2 rimangano costantisistema 1 sistema 2N 1 , V 1 N 2 , V 2Prima del contatto termico il numero di microstati del sistema composto dai duesottosistemi è Ω = Ω 1 (E 1 ) Ω 2 (E 2 ). Al momento del contatto il sistema non èpiù in generale in equilibrio: l’energia totale E = E 1 + E 2 non cambia, ma ilcontenuto energetico di ognuno dei due sottosistemi puo’ cambiare. Il numero dimicrostati disponibili per il sistema complessivo dopo il contatto termico è sicuramentepiù grande del numero di quelli disponibili prima del contatto, in quantonei due sistemi isolati si conservavano separatamente E 1 ed E 2 . Nel sistema complessivoc’è un vincolo in meno (si conserva solo l’energia totale) e quindi diventanoaccessibili nuovi microstati con una diversa distribuzione di energia tra idue sistemi. Dunque dal momento del contatto termico Ω crescerà con il tempofinchè il sistema complessivo avrà raggiunto l’equilibrio. Questo avverrà quandoΩ eguaglierà il numero totale di microstati disponibili all’energia E = E 1 + E 2 .Il numero totale di microstati sarà∫Ω(E) = d E 1 Ω 1 (E 1 ) Ω 2 (E 2 ≡ E − E 1 )dove l’integrale è esteso a tutti i possibili valori dell’energia dei sistemi 1 e 2compatibili con l’energia E del sistema complessivo. Nei sistemi macroscopici lafunzione integranda ha un massimo estremamente pronunciato quando E 1 assumeil valore Ē1 dell’energia media del sistema 1 all’equilibrio. Il picco associato ètanto più pronunciato quanto più il sistema è grande.Nel limite termodinamico il numero totale di microstati Ω del sistema complessivoè allora identificabile con il valore massimo della funzione integranda:Ω(E, Ē1) = Ω 1 (Ē1) Ω 2 (E − Ē1)Essendo un massimo si avrà∂Ω= 0∂Ē1