Appunti di Meccanica Statistica - INFN

18 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBSL’area racchiusa dalla traiettoria Γ è 2pL (che si puo’ scrivere ∮ p dq). LaΓmeccanica quantistica ci dice che p è quantizzato: p = 2π n, n = 0, 1, 2, . . .2Lpercio’ il numero di stati contenuti nell’area racchiusa dalla traiettoria è 2pL = nh. Al crescere di E ( e quindi di p) si crea un nuovo stato ogni qual volta l’areaaumenta di h. Ciò mostra che per un insieme di N punti materiali non interagentiil volume dello spazio delle fasi occupato da un microstato è h N . Piu’ in generale,per un macrosistema formato da N componenti microscopici descritti da d gradidi libertà ⇒ω o = h dNII esempio:oscillatore armonicoł’Hamiltoniana di un oscillatore armonico di pulsazione ω èH(p, q) = p22m + m ω2 q 22è descritta da q(t) = A cos(ωt + φ o ) La traiettoria di energia E nello spaziodelle fasi e rappresentata la curva H(p, q) = E, che è un ellisse riferita agli assi.Ricordando che per un ellisse di equazione x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 l’area racchiusavale πab, nel nostro caso si puo’ scriverep 22mE + ω2 m2E q2 = 1 .D’altra parte i livelli energetici dell’oscillatore armonico quantistico sono datida E = ω(n + 1 ) , n = 0, 1, 2, . . . ⇒ πab = 2πE/ω = h(n + 1 ).2 2Dinuovo, come nel I esempio, quando l’area racchiusa nella traiettoria aumentadi h il numero di stati aumenta di un’unità, quindi ω o ha lo stesso valoretrovato in precedenza.I due esempi precedenti suggeriscono una semplice ricetta per valutare il numeroΩ(E, V, N) di microstati di un sistema macroscopico qualsiasi: basta calcolareil volume nello spazio delle fasi a disposizione del sistema e dividerlo perω o :dΩ(E, V, N) = lim∆→0∫E−∆/2≤H(p,q)≤E+∆/2dN p d dN qω odove d è il numero di gradi di libertà delle componenti microscopiche.