Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.3. L’”ENSEMBLE” MICROCANONICO 17In realtà è difficile misurare con precisione l’energia totale E di un sistemamateriale isolato, per cui si considera un sistema con un’ energia compresa in unpiccolo intervallo ∆ tra E − ∆/2 e E + +∆/2 e si sceglie, nella descrizionemicrocanonica, ρ =costante≠ 0 nell’intervallo in questione e ρ = 0 altrove; nellimite ∆ → 0 si ha ρ = costδ(E − E ′ ) (δ = delta di Dirac).La conseguenza principale del teorema di Liouville è che si puo’ calcolare ilnumero dei microstati: se ρ è costante il numero di microstati è proporzionale alvolume dello spazio delle fasi:∫Numero di microstati ≡ Ω(E, V, N) = ρ(p, q) d 3N p d 3N q =H(p,q)=E∫= ρ d 3N p d 3N qH(p,q)=ELa meccanica classica non dice nulla sul valore di ρ. Viceversa la meccanicaquantistica ci dice che l’insieme dei microstati forma un sottoinsieme discreto(cioè numerabile) dello spazio delle fasi e ogni microstato occupa un volumettoω o piccolo ma finito. Per avere un’idea sulle dimensioni di questo volumettonotiamo che il principio di indeterminazione ci dice che l’indeterminazione ∆q inella posizione è legata all’indeterminazione ∆p i del momento coniugato dallarelazione ∆p i ∆q i ≥ perciò ci si aspetta che ω o sia dell’ordine di 3N .Per ottenere il valore preciso di ω o conviene calcolare esplicitamente il numerodei microstati in qualche caso particolarmente semplice.I Esempio: punto materiale libero di massa min una scatola unidimensionale di lunghezza L0 ≤ q ≤ L , E = p22mIl punto materiale rimbalza avanti e indietro tra i due estremi a q = 0 e q = Ldove p cambia segno.Traiettoria nello spazio delle fasi (in questo caso è un piano) Se la parete sucui urta il punto non è rigida la transizione di riflessione da p a −p è meno brusca:✻p ✬✩ΓqL✲✫✪