Appunti di Meccanica Statistica - INFN

16 CHAPTER 2. GLI “ENSEMBLES” DI GIBBStraiettorie descrive il flusso di un fluido ideale che non ha nè sorgenti nè pozzi:ogni traiettoria che penetra in una (iper)superficie chiusa deve anche uscirne.Possiamo percio’ scrivere un’equazione di continuità:∂ρ∂t + div(ρ⃗v) = 0dove ⃗v è il vettore velocità nello spazio delle fasi, definito del vettore a 6N componenti⃗v = ( dq 1, . . .). Esplicitamente si ha, dq 2dt dtdiv(ρ⃗v) =3N∑i( ∂ρ∂q i˙q i + ∂ρ∂p iṗ i)+3N∑i( ∂qi˙+ ∂p˙)i∂q i ∂p iUtilizzando le equazioni del moto in forma Hamiltoniaina si puo’ facilmente verificareche la seconda parentesi è nulla:q˙i = ∂H , p˙i = − ∂H∂p i ∂q iIn condizioni di equilibrio ∂ρ∂t3N∑( ∂ρ˙q i + ∂ρ )ṗ i ≡∂q i ∂p ii⇒ ∂q˙i= ∂2 H= − ∂p˙i∂q i ∂q i ∂p i ∂p i= 0 ⇒ div(ρ⃗v) = 0, quindidρ(p, q)dt= 0 ,Cioè la densità dei microstati è costante nel tempo. Questa affermazione costituisceil teorema di Liouville della meccanica statistica: Il fluido ideale che descrivel’evoluzione temporale di un ”ensemble” statistico è incompressibile inquanto la densità ρ(p, q) dei microstati acessibili è costante. Dunque ρ(p, q) èuna costante del moto. In meccanica classica ci sono al piu’ 7 costanti del moto:l’energia, le tre componenti dell’impulso ⃗p , e le tre componenti del momentoangolare J ⃗ . L’impulso è conservato ( d⃗p = 0) solo se il sistema è invariante perdttraslazioni, il che non si verifica se il sistema macroscopico èconfinato, come disolito succede, in una scatola. Analogamente il sistema macroscopico non è ingenerale invariante per rotazioni, quindi J ⃗ non è conservato.Viceversa, se il sistema è in equilibrio ed è isolato, le sue proprietà macroscopichesono per definizione invarianti per traslazioni temporali, quindi E è conservata.Percio’ la costante del moto ρ(p, q) non puo’ che essere una funzione diE: ρ(p, q) = f(E). Poichè nel nostro sistema macroscopico isolato N, V ed Esono fissati, la densità ρ dei microstati è costante; questa è la proprietà caratteristicadell’ insieme microcanonico.