Appunti di Meccanica Statistica - INFN

2.3. L’”ENSEMBLE” MICROCANONICO 15dato microstato nello spazio delle fasi descrive nel tempo t una traiettoria continuae non autointersecantesi [La traiettoria non si autointerseca perchè fissati i valoridi p(t) e q(t), le equazioni di Hamilton ˙q = ∂H , ṗ = ∂p −∂H individuano univocamentel’evoluzione temporale] che passa nel corso del tempo attraverso vari∂qpossibili microstati del sistema. In accordo con l’ipotesi di quasi-ergodicità, latraiettoria in questione forma in un tempo infinito un insieme denso nell’insiemedei possibili microstati, cioè ogni intorno di ogni microstato è attraversato, nelcorso del tempo, da questa traiettoria. L’ipotesi di quasi-ergodicità implica chela media temporale di una grandezza meccanica (cioè la media fatta su tutti i microstatitoccati dalla traiettoria) coincida con la media delle stesse quantità fattasull’insieme dei microstati associati al macrostato. Questo suggerisce di considerare,ad un dato istante t, non l’effettivo microstato in cui il sistema si trova, maun gran numero di sistemi macroscopici identici e nelle stesse condizioni termodinamichequali copie mentali dell’unico sistema realmente esistente. Queste copiementali si trovano ognuna in uno dei microstati compatibili con le suddette condizioni.È ragionevole aspettarsi che in condizioni di equilibrio il comportamentomedio di questa collezione di sistemi detta ”ensemble” (o insieme) statistico odi Gibbs coincida con il comportamento mediato nel tempo dell’intero sistemain esame. Questo punto di vista è alla base della ”Ensemble theory” cioè la teoriadegli insiemi di Gibbs, che è lo schema moderno in cui si inquadra tutta lameccanica statistica dell’equilibrio.2.3 L’”ensemble” microcanonicoL’ ensemble microcanonico è l’insieme di tutti i microstati con energia E e volumeV fissati. Descrive le proprietà di un sistema isolato in equilibrio. Un ”ensemble”associato a un sistema con 3N gradi di libertà è associato a un set di puntirappresentativi dello spazio delle fasi. Sia ρ(p, q, t) la densità di questo insiemestatistico. La media su tale insieme di una grandezza meccanica f(p, q) è data da〈f〉 =∫f(p, q)ρ(p, q; t)d 3N p d 3N q∫ρ(p, q; t)d3Np d 3N qIn linea di principio f dipende da t. Se vogliamo descrivere un sistema in equilibrio,f è stazionario e ρ(p, q; t) non puo’ dipendere esplicitamente dal tempo: Latraiettoria di ogni punto rappresentativo nello spazio delle fasi non ha un inizio ouna fine: essendo soluzione delle equazioni di moto, descrive o una curva chiusa(moto periodico) o una curva di lunghezza infinita. Quindi l’insieme di queste