Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.7. TRANSIZIONI DI FASE E SINGOLARITÀ 109T >T1 cT > T > T1 2 cT=T cFigure 4.4: arco di condensazione degli zeri di Lee e Yang nel piano complesso diρ = e −2h per due diverse temperature della fase calda e per la temperatura critica.4.7.2 Il punto di diramazione di Lee e YangNel limite termodinamico le linee di condensazione degli zeri non si manifestanocome zeri ma come tagli della funzione di partizione. Una delle ragioni è che lafunzione di partizione è in generale una funzione analitica con al più delle singolaritàisolate, quindi i suoi zeri non possono formare un insieme denso.Le singolaritàche sopravvivono nel limite termodinamico sono i punti terminali dellelinee di condensazione degli zeri, che si manifestano come punti di diramazione(o branch points). D’altra parte è noto che il luogo dei punti in cui l’autovalorepiù grande della transfer matrix coincide con l’autovalore successivo corrispondea singolarità dell’energia libera (è immediato verificarlo scrivendo la funzione dipartizione in funzione di questi autovalori e facendo poi il limite termodinamico).Quindi nel caso si conosca la forma analitica di questi autovalori si possonostudiare le singolarità nel piano complesso dei parametri in gioco.Applichiamo queste considerazioni al modello di Ising unidimensionale incampo magnetico, la cui transfer matrix è stata descritta nel corso di MeccanicaStatistica, i cui autovalori λ i , i = 1, 2 sono√λ i = e β cosh h ± e 2β cosh 2 h − 2 sinh 2β .I due autovalori coincidono quando si annulla il discriminante sotto radice, chefornisce l’equazionesinh 2 h = −e −4β ,da cui si evince che nel piano complesso di h le singolarità giaciono sul’asseimmaginario, come vuole la teoria di Lee e Yang. Per h in modulo molto piccolosi hah c ≃ ±ie −2β ,quindi il pinching tra le due singolarità avviene solo per T = 0 come c’era daaspettarsi.