Appunti di Meccanica Statistica - INFN

108 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICIsopravvive all’ operazione di fusione di due nodi qualsiasi. Siano a e b i nodi chevogliamo fondere. Prima della fusione la dipendenza da ρ a e ρ b di P(G) è al solitoP a,b (G) = A ++ + A −+ ρ a + A +− ρ b + A −− ρ a ρ b .Per le ipotesi fatte , se poniamo 8 ρ a = ρ b = x, le due soluzioni dell’equazioneA −− x 2 + x(A −+ + A +− ) + A ++ = 0hanno modulo > 1, perciò |A ++ /A −− | > 1. Questa disuguaglianza implicache dopo la fusione il corrispondente polinomio A ++ + A −− ρ ab si annulla soloper |ρ ab | > 1. In conclusione, se non c’erano zeri all’interno del cerchio unitarioprima della fusione non ci sono neache dopo la fusione. Utilizziamo oral’ovvia simmetria Z(β, h) = Z(β, −h) della funzione di partizione del modellodi Ising per riscrivere l’eq.(4.7.1) nella forma Z(β, h) = e Lβ e −hN P(τ, ρ) =e Lβ e Nh P(τ, 1/ρ) , ossiaP(τ, 1/ρ) = ρ N P(τ, ρ) ,che ci permette di concludere che non ci sono radici neppure all’esterno del discounitario e che per ogni radice sulla circonferenza della forma ρ = e iho ce n’èun’altra con h o → −h o . Questo completa la dimostrazione.E’ facile verificare il teorema in due casi limite. A T = 0 tutti i nodi devonoavere lo stesso valore e dunque ci sono solo due stati possibili e si haP N (τ = 0) = 1 + ρ N . Gli zeri sono le radici ennesime di -1 e sono quindi distribuitiomogeneamente sul cerchio unitario; nel limite termodinamico N → ∞ricoprono densamente tutta la circonferenza.Nell’altro limite T = ∞, ogni nodo è indipendente da ogni altro ed è comeaver messo a zero il numero dei link. Il polinomio associato è dunque P N (τ =1) = (1 + ρ) N che ha un unico zero di molteplicità N in ρ = −1.Al discendere della temperatura, sempre nel limite termodinamico, l’arco sucui si condensano gli zeri diventa sempre più ampio ed è simmetrico rispettoall’asse reale, come riflesso della simmetria h → −h. Se il sistema ha un puntocritico per T = T c l’arco di condensazione si chiude e coincide con l’intera circonferenzaproprio a T c (v. Fig.4.4). Avviene quindi il fenomeno di pinching dellesingolaritá, che divide il piano complesso di ρ, e quindi anche di h, in due regionidisgiunte, che segnalano l’esitenza di due fasi distinte.8 Attenzione, questo non significa aver fuso i due nodi!.