Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.7. TRANSIZIONI DI FASE E SINGOLARITÀ 107rispettivamente il nodo a e il nodo b è facile convincersi che il polinomio relativoal grafo G ∪ G ′ (non connesso) formato da entrambi è il prodotto dei relativipolinomi:P a,b (G∪G ′ ) = (A + +A − ρ a )(B + +B − ρ b ) = A ++ +A −+ ρ a +A +− ρ b +A −− ρ a ρ b ,dove nella seconda uguaglianza si è scritta la forma generale del polinomio relativoalle due variabili ρ a e ρ b valida anche nel caso di un grafo connesso. Supponiamoora di fondere i due nodi a e b in un unico nodo ab associato alla variabile ρ ab .Le configurazioni in cui i due nodi a e b avevano segni diversi sono ovviamenteeliminate dal conteggio mentre tutte le altre contribuiscono con lo stesso numero.Perciò dopo la fusione il polinomio precedente diventaP a,b → P ab = A ++ + A −− ρ ab .È chiaro che ogni grafo G può essere ottenuto da un numero sufficiente di fusionidel grafo elementare g formato da due nodi e un link disegnato qualche rigaprecedente, quindi per dimostrare il teorema basta1. provare che è vero per g;2. applicare il principio dell’induzione completa, facendo vedere che questaproprietà sopravvive alla fusione.Ponendo P 12 (g) = 0 si haρ 2 = − 1 + τρ 1τ + ρ 1,da cui si può facilmente dimostrare che se |ρ 1 | < 1 segue |ρ 2 | > 1 7 . Perciò, seρ 1 = ρ 2 = e −2h come vuole l’ipotesi del teorema di Lee e Yang, le due soluzionidi P 12 (g) = 0 hanno h immaginario, come vuole la tesi. Ne consegue che se entrambii ρ sono all’interno del cerchio unitario P 12 (g) non si annulla. Supponiamoora che questa proprietà sia vera per un generico grafo G con N nodi, cioè cheP(G) ≠ 0 per |ρ i | < 1 i = 1, . . ., N. Vogliamo dimostrare che questa proprietà7 Infatti, ricordando che τ < 1, se |ρ 1 | < 1, poichè il prodotto di due numeri di modulo inferiorea uno ha modulo ancora più piccolo, si ha |ρ 1 | 2 (1−τ 2 ) < (1−τ 2 ), da cui 1+τ 2 |ρ 1 | 2 > |ρ 1 | 2 +τ 2 .D’altra parte, prendendo il modulo quadro di ρ 2 si ha |ρ 2 | 2 = 1+τ2 |ρ 1| 2 +2τ Reρ 1. Inserendo laτ 2 +|ρ| 2 1 +2τ Reρ1disuguaglianza trovata nel numeratore di questa frazione si ha appunto |ρ 2 | > 1, cvd.