Appunti di Meccanica Statistica - INFN

106 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICIcongetture hanno avuto numerosissime conferme da analisi numeriche e analitichee sono ormai universalmente accettate. Nel caso particolare degli zeri nel pianocomplesso di h Lee e Yang provarono un teorema di grande generalità sugli zeridella funzione di partizione del modello di Ising che rafforza notevolmente questecongetture:4.7.1 Teorema di Lee e YangGli zeri della funzione di partizione di un modello di Ising ad accoppiamentoferromagnetico definito su un grafo qualsiasi cadono tutti sull’asse immaginariodi h.Per dimostrare questo teorema, scriviamo esplicitamente la funzione di partizioneZ su un grafo arbitrario formato da N nodi e L links e supponiamo per ilmomento che il campo magnetico possa variare da punto a puntoZ =dove∑{S k =±1}e P 〈ij〉 βS iS j + P i h iS i= e Lβ+P i h iP(τ, ρ i ) , (τ = e −2β , ρ i = e −2h i),P(τ, ρ i ) =∑{S k =±1}e P 〈ij〉 β(S iS j −1)+ P i h i(S i −1)(4.7.1)è un polinomio in τ e ρ i . In particolare è al massimo di grado L in τ e diprimo grado in ogni variabile ρ i e complessivamente di grado N nelle variabiliρ i . P(τ, ρ i ) si può anche considerare come la grand partition function di un gasreticolare (o lattice gas) in cui il generico nodo i è occupato (S i = −1) o vuoto(S i = +1; nel primo caso ρ i (che funge da fugacità) compare alla prima potenza,mentre nel secondo caso la potenza è zero. Per esempio, per un grafo composto daun singolo nodo associato alla variabile ρ il polinomio corrispondente è P = 1+ρ.Similmente per un grafo g formato da due nodi uniti da un link si haρ 1 ρ 2 P 12 (g) = 1 + τ(ρ 1 + ρ 2 ) + ρ 1 ρ 2 .Se G è un grafo arbitrario contenente il nodo a si avrà P a (G) = A + + A − ρ a ,dove A + è il contributo di tutte quelle configurazioni in cui S a = +1 e A − è ilcontributo delle ltre con S a = −1. Se G e G ′ sono due grafi disgiunti conteneti