Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.7. TRANSIZIONI DI FASE E SINGOLARITÀ 105ulteriore accoppiamento rilevante, quindi il punto fisso gaussiano non può descivereil comportamento critico a d < 4 di un sistema magnetico, dove sappiamoche gli accoppiamenti rilevanti sono solo h e t 6 . Si può allora concludere che perdimensioni spaziali minori di 4 il punto fisso che descrive la classe di universalitàdi Ising non è quello gaussiano. Ci deve essere un nuovo punto fisso non banaleper d < 4.Esercizio: Si dimostri che in prossimità del punto fisso gaussiano il termineφ(x+a µ)−φ(x)acinetico (∇φ) 2 ≡ ( ∑ µ) 2 tende, per effetto del gruppo di rinormalizzazione,al limite continuo ∂ µ φ(x)∂ µ φ(x).(Suggerimento: sviluppare in serie di Taylor φ(x + a µ ) e mostrare che tutti itermini che contengono derivate superiori alla prima sono irrilevanti.)4.7 Transizioni di fase e singolaritàAbbiamo piu’ volte constatato che le transizioni di fase si manifestano come singolaritàdell’energia libera, ossia singolarità del logaritmo della funzione di partizioneZ. Questa è in generale una funzione olomorfa dei parametri β e h. Inparticolare per ogni reticolo di dimensione finita si può scrivere ( come vedremoesplicitamente tra poco) come un polinomio ( a coefficienti positivi) nelle variabiliexp(−2β) e exp(−2h). Dunque le possibili singolarità di log Z sono gli zeri dellafunzione di partizione. Poichè i coefficienti di questi polinomi sono positivi glizeri cadono per valori complessi di β e di h.Partendo da queste considerazioni Lee e Yang, in due famosi lavori apparsi nel1952, proposero un nuovo punto di vista nello studio delle transizioni di fase. Essicongetturarono che gli zeri dela funzione di partizione si accumulino su linee delpiano complesso e la densita’ di questi zeri aumnenti all’aumentare della taglia delsistema. Nel limite termodinamico queste linee si dovrebbero maninifestare cometagli della funzione energia libera nel piano complesso di exp −2β e exp −2h. Lesingolarità sono dunque i punti di diramazione associati a questi tagli. Quando ilsistema è prossimo a una transizione di fase questi punti di diramazione si avvicinanoall’asse reale in coppia dal di sotto e dal di sopra e lo toccano proprio al puntodi transizione. Dunque dal punto di vista delle proprietà di analiticità le singolaritàassociate alle transizioni di fase sarebbero dunque dovute a un fenomeno dipinching che rende impossibile la continuazione analitica tra fasi diverse. Queste6 Infatti gli operatori rilevanti controllano l’effettiva distanza del sistema dal punto critico,d’altra parte la funzione di partizione del modello di Ising o di un generico modello magneticoè solo funzione della temperatura e del campo magnetico.