Appunti di Meccanica Statistica - INFN

104 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICIdove φ o minimizza l’energia libera F = − log Z/β. Quest’ approssimazione ènota come approssimazione di Landau ed è equivalente alla MFA. Infatti, poichém = 〈φ〉 ≃ φ o , è immediato verificare che la suddetta condizione di minimoriproduce effettivamente l’equazione fondamentale della MFA, una volta identificatit e u.Ristabiliamo ora il passo reticolare. Se a → sa per effetto di una trasformazionedel gruppo di rinormalizzazione, anche le costanti di accoppiamento devonomodificarsi in modo da lasciare Z invariata. Si ha allorah ′ = s d/2+1 h , t ′ = s 2 t , u ′ = s 4−d u , (4.6.18)che hanno come punto fisso h = t = u = 0. L’Hamiltoniana di punto fisso èdunqueH ∗ = 1 ∫d d x(∇φ) 2 (4.6.19)2ed il punto fisso è detto punto fisso gaussiano. Rispetto a questo punto h e t sonoaccoppiamenti (o scaling variables) rilevanti (come sapevamo gia’ dalle proprietàgenerali del gruppo di rinormalizzazione ). Gli autovalori termico e magneticosono rispettivamente (come si legge dall’eq.(4.6.18)) y t = 2 e y h = 1 + d/2. Apartire da questi autovalori possiamo calcolarci attraverso le formule del paragrafoprecedente gli esponenti critici e costruire la seguente tabella che mette a confrontoquesti esponenti con quelli calcolati nell’approssimazione di campo medioα β γ δ η νcampo11medio 0 1 3 02 2puntofisso 2 − d 2gauss.d−241d+2d−20C’è perfetto accordo solo per d = 4. Per d > 4 l’approssimazione di campomedio dà un comportamento critico piu’ singolare rispetto a quello previsto dalpunto fisso gaussiano. Una delle ragioni è che, pur esendo u in questa regioneirrilevante (y u = 4 − d < 0), non può essere posto uguale a 0, come vorrebbeil flusso del RG del punto gaussiano, perchè, come si è già visto √ nella MFA, lamagnetizzazione spontanea contiene u a denominatore: m = − t . Accoppiamentidi questo tipo si dicono pericolosamente irrilevanti. Per d < 4 u diventauun12