Appunti di Meccanica Statistica - INFN

4.6. IL METODO DEL GRUPPO DI RINORMALIZZAZIONE 103somma sulle configurazioni = ∏ x∫ ∞−∞∫dφ(x) ≡Dφ .Possiamo sfruttare l’invarianza di questa misura rispetto al riscalamento φ(x) →bφ(x), dove b è una costante reale arbitraria, per riscrivere la funzione di partizionenella forma∫Z = Dφe −βH =∫=Dφ exp[ ∑x− 1 2]∑(φ(x + a µ ) − φ(x)) 2 + J ′ φ 2 + K ′ φ 2 + L ′ φ 4 − B ′ φ ,µ=1,ddove a µ è lo spostamento di un passo reticolare nella direzione µ. Supponiamoora di essere molto vicini alla superficie critica, dove il passo reticolareè molto piú piccolo della lunghezza di correlazione, per cui possiamo formalmenterimpiazzare somme e differenze finite con integrali e derivate. In particolarea ∑ d x → ∫ d d x e (φ(x + a µ ) − φ(x))/a → ∂ µ φ(x). In questo modol’Hamiltoniana si puó riscrivere, supponendo che le costanti accoppiamento sianoadimensionali, nella forma∫ ( 1βH LG [φ] = d d x2 ∂ µφ∂ µ φ + t +u −h )2a 2φ2 4a d−4φ4 a d/2+1φ (4.6.16)che definsce il modello di Landau- Ginzburg. Si noti che, essendo βH adimensionale,il campo φ cosí definito ha le dimensioni di una lunghezza alla −(d−2)/2,cioé[φ] = L − d−22 . (4.6.17)Esercizio Si dimostri a partire da questa relazione che η = 0.Le nuove costanti di accoppiamento t ed u sono da identificarsi con la temperaturaridotta e la costante u già introdotta nell’approssimazione di campo medio(MFA). Infatti, se trascuriamo in prima approssimazione le fluttuazioni del campoφ, e poniamo per semplicitá a = 1, possiamo individuare una configurazione diequilibrio φ o (costante in un sistema omogeneo infinito) applicando una specie di“teorema della media”∫Z = Dφe −βHLG[φ] ≃ exp[−V ( t 2 φ2 o + u 4 φ4 o − hφ o)]