Appunti di Meccanica Statistica - INFN

102 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICIdi ugualglianze si ricava l’equazione funzionaleG(r, t) = s 2y h−2d G( r s , t syt ) . (4.6.14)Scegliendo s in modo che r o = r/s sia una scala di riferimento fissa, si ottieneper G la forma funzionale seguenteG(r, t) =1r 2d−2y hΦ(r t 1/yt ) . (4.6.15)Il confronto diretto con la (4.5.6) permette di identificare il comportamento criticodella lunghezza di correlazione che, combinata alla (4.5.7), ci dà direttamente ilvalore dell’esponente termico in funzione di y tξ ∝ 1|t| 1/yt ⇒ ν = 1/y t .Inserendo questo dato nell’espressione di α si ottiene una scaling relation già ottenutanel & 4.5.2. Similmente il confronto tra gli esponenti di r a t = 0 dàη = d + 2 − 2 y h ,che può utilizzarsi per ricavare in quest’ambito la relazione di scaling γ = ν (2 −η).4.6.3 Il modello di Landau-GinzburgConsideriamo ora un modello su reticolo appartenente alla classe di universalitàdel modello di Ising, ma piú facilmente trattabile dal punto di vista analitico. Assegnamoad ogni nodo x del reticolo, anziché un segno, un numero reale φ(x),che puo’ essere pensato come la variabile di blocco definita come la media dellevariabili di sito: φ(x) = ∑ i∈x S i/s d . L’Hamiltoniana è della formaH = − ∑ 〈x,y〉Jφ(x)φ(y) + ∑ x(K φ(x) 2 + L φ(x) 4 − B φ(x) ) ,dove J, K e L sono delle costanti di accoppiamento. In assenza di campo magnetico(B = 0) questa Hamiltoniana è invariante rispetto alla trasformazioneφ → −φ che definisce la simmetria Z 2 di ogni modello tipo Ising. La sommasulle configurazioni (detta anche integrazione funzionale o misura della funzionedi partizione) è ora rappresentata dall’integrale multiplo