Appunti di Meccanica Statistica - INFN

100 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICIriduce all’ equazione funzionalef(t, h) = 1 s df(t syt , h s y h) . (4.6.11)Questa equazione esprime il fatto che la densità di energia libera f non è separatamentefunzione di t e di h, ma di una opportuna loro combinazione. E’ danotare infatti che s > 1 è un parametro arbitrario e la (4.6.11) ci dice appunto chela f(t, h) non dipende da esso 5 . Un modo rapido per eliminare s è di fissare unavolta per tutte il valore di t ′ (s) = t o da cui1s = ∣ o y t ∣tt ∣(4.6.12)che inserita nella (4.6.11) dàf(t, h) = |t| d y t Φ(h/|t| y hyt) . (4.6.13)Da questa proprietà di scala dell’ energia libera possiamo ricavare tutte le leggidi potenza per le varie funzioni termodinamiche che sono riportate nella tabella4.1, da cui seguono subito le due scaling relations da aggiungere alle altre due cheabbiamo ricavato nel & 4.5.2.α + 2β + γ = 2α + β + β δ = 2Osservazione: mentre la (4.6.13) permette il di calcolare immediatamente α, βe γ, il calcolo di δ richiede la valutazione di f a t = 0 che è incompatibile con lascelta di s data dalla (4.6.12). Una scelta consistente può essere invece s = | ho | 1y hhche, inserita nella (4.6.11), permette di determinare subito anche δ.È facile ricavare, in analogia con quanto si è fatto nel caso dell’energia libera,un’analoga relazione funzionale per il correlatore connesso. Supponiamo al solitodi essere molto vicini al punto fisso e che le uniche costanti di accoppiamentorilevanti siano t e h. L’Hamiltoniana trasformata H ′ saràH ′ = H ′ o − ∑ xh ′ x S′ x5 Per esempio l’equazione funzionale f(x, y) = f(s x, s y) ∀ s ha come soluzione generalef(x, y) = φ(x/y) dove φ è una funzione arbitraria di un solo argomento.