Appunti di Meccanica Statistica - INFN

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98 CHAPTER 4. SISTEMI CRITICImentre quelle irrilevanti diminuiscono; è chiaro quindi che sulla superficie criticatutte le costanti di accoppiamneto rilevanti sono nulle e quelle irrilevanti possonoessere pensate come delle coordinate della superficie critica che misurano inqualche modo la distanza dal punto fisso. Nella maggior parte dei sistemi noti cisono due costanti di accoppiamento rilevanti e tutte le (infinite) altre sono irrilevanti.In particolare nei sistemi magnetici sono rilevanti la temperatura ridotta t eil campo magnetico h e si hat ′ = s yt t , h ′ = s y hh (4.6.10)dove y t è l’autovalore termico e y h quello magnetico. In un sistema magnetico lecostanti di accoppiamento effettive sono queste due e dunque tutte le costanti diaccoppiamento irrilevanti g sono funzioni di t e h : g i = g i (t, h).4.6.1 Gruppo di rinormalizzazione e universalitàConsideriamo per semplicità un sistema con due costanti di accoppiamento, unarilevante (ad es. la temperatura T ) e una irrilevante g. Fissata l’Hamiltoniana delsistema è fissata anche la funzione g = g(T). Supponiamo di studiare due modellidistinti (rappresentati in figura dalle linee tratteggiate). La superficie critica èrappresentata da un’altra linea nel piano T, g; la sua intersezione con le linee tratteggiatecorrisponde ai punti critici del modello. Il punto P ⋆ sulla superficie criticarappresenta il punto fisso. Tutte le traiettorie del gruppo di rinormalizzazione chepartono dalla superficie critica sono attratte da P ⋆ .Per studiare il comportamento critico di questi due sistemi conviene tracciarele traiettorie del gruppo di rinormalizzazione che partono dalle due linee tratteggiatein prossimità all’intersezione con la superficie critica. Questa funzionada separatrice tra due diversi flussi, in quanto l’accoppiamento rilevante tende acrescere ed ad allontanare il sistema dal punto critico. Questi due flussi saranno attrattidai punti fissi stabili a T = 0 e T = ∞. Le traiettorie portano il sistema fuoridelle linee tratteggiate perchè l’Hamiltoniana del sistema cambia, come si è giàvisto. In prossimita della superficie critica le traiettorie sono attratte da P ⋆ perchèla costante irrilevante tende a diminuire (è zero in P ⋆ ) ma contemporaneamente tdeve aumentare in valore assoluto, per cui tutte le traiettorie tendono a convergeresu un unica linea che rappresenta l’ Hamiltoniana di punto fisso. Dunque,in conclusione, sistemi diversi controllati dallo stesso punto fisso hanno a grandedistanza lo stesso comportamento, generato dalle leggi di potenza degli accoppiamentirilevanti. Questo fatto esprime la proprietà di universalità nel linguaggio
4.6. IL METODO DEL GRUPPO DI RINORMALIZZAZIONE 99gsuperficiecriticaP*g(T)~g(T)Tdel gruppo di rinormalizzazione e mostra che c’è una corrispondenza uno a unotra classi di universalità e punti fissi.4.6.2 Energia libera e leggi di potenzaLe trasformazioni del gruppo di rinormalizzazione lasciano invariante per costruzionela funzione di partizione, ma il numero di nodi N del reticolo viene ad ogni trasformazioneridotto di un fattore s d : N → N ′ = N/s d dunque si possono scriverele identità − log Z = F[K i ] ≡ N f[K i ] = N g[K i ] + N ′ f ′ [K ′ i], dove N g[K i ]è quella parte dell’energia libera che nasce dal raccoglimento a fattore di queitermini che non dipendono dalla configurazione (ed è una funzione analitica regolareche non contiene informazioni sul comportamento critico), mentre f ′ è laparte detta singolare. Si ha ovviamentef[K i ] = 1 s df[K′ i] .Supponiamo di essere molto vicini al punto fisso, in modo da poter trascurare tuttigli accoppiamenti irrilevanti. Per un sistema magnetico l’identità precedente si
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