Appunti di Meccanica Statistica - INFN

8 CHAPTER 1. PROLOGO: LA TERMODINAMICA DEI PRINCIPIcalore scambiata con il termostato coincide con il il lavoro fatto (espansione) osubito (compressione):Q = L ,mentre lungo le adiabatiche ovviamente Q = 0. Il lavoro fatto per una espansioneisoterma con un piccolo incremento di volume ∆V si può scrivere, grazieall’equazione di stato, nella formap∆V = nRT ∆VV .Quindi, integrando, il lavoro fatto da un’espansione dal volume V A a V B alla temperaturaT 2 èL AB = nRT 2 log V BV A.È utile a questo punto osservare che nel piano log V, log p (cioè nel piano p, V inscala doppiamente logaritmica), le isoterme p V = cost e le adiabatiche p V γ =cost formano rispettivamente due fasci di rette parallele e quindi un ciclo di Carnotè rappresentato da un parallelogramma ABCD. Poichè i lati opposti sono ugualilog V BVA= log V DVC, quindi il rapporto delle quantità di calore scambiate Q 2 = L ABe Q 1 = L CD con i termostati durante un ciclo è dato semplicemente dal rapportodelle temperatureQ 1= T 1, (1.1.5)Q 2 T 2che coincide con il risultato ottenuto nell’ eq.(1.1.4) con la scala termodinamicaassoluta. In conclusione il rendimento di una macchina di Carnot reversibile èη rev = 1 − T 1T 2(1.1.6)In base al teorema di Carnot, in un ciclo qualunque (reversibile o no) l’eq.(1.1.5)viene rimpiazzata dalla disuguaglianzaQ 1Q 2≥ T 1T 2, (1.1.7)dove al solito il segno di uguale vale solo per i cicli reversibili.