Intervalli di confidenza Soluzione Es.1. Questo esercizio `e analogo ...

Essendo la varianza incognita si deve ricorrere all’uso della statistica T di student conn − 1 gradi di libertà, cioè l’intevallo di confidenza si ottiene attraverso la formulaµ ∈ ¯x n ±Nei due casi i valori della T di student sonoeInfine, sostituendo i valori si ottienet (11)1− 0,052t (11)1− 0,012√¯s2nn t(n−1) 1− α 2= t (11)0,975 = 2, 201= t (11)0,995 = 3, 106µ ∈ (1, 10 , 2, 27) di livello 95%µ ∈ (0, 86 , 2, 51) di livello 99%che come si vede sono più ampi dei corrispondenti intervalli calcolati in precedenza.Soluzione Es.3. Siamo in uno schema di Bernoulli se ipotizziamo che gli elettori sieprimano in modo indipedente gli uni dagli altri e se pensiamo alla popolazione di tuttigli elettori come ad una popolazione molto ampia in modo tale che la probabilità diestrarre un elettore di un tipo (SI) piuttosto che un altro (NO) non vari da un’estrazionealla successiva. Quindi ogni elettore è una variabile casuale di Bernoulli di parametro p= “proporzione di SI nella popolazione”. Sappiamo cheˆp n − p√ˆp n(1−ˆp n)n=⇒ ˆp n − p√p(1−p)n∼ Zn grande∑dove ˆp n = 1 nn i=1 X i = ¯X n è la proporzione dei SI nel campione. Quindi l’intervallo diconfidenza assume la forma√ˆpn (1 − ˆp n )p ∈ ˆp n ±z 1−α2ndove per α = 0, 05 → z 0,975 = 1, 96 e α = 0, 01 → z 0,995 = 2, 57 quindip ∈ (0, 49 , 0, 53) di livello 95%µ ∈ (0, 48 , 0, 54) di livello 99%c○2001 S.M.Iacus - D.E.P.A. Sezione di Statistica e Matematica 2

Per rispondere al quesito b usiamo direttamente la variabile casuale Bionamiale Y =n∑X i . Quindi i SI vincono se raggiungono almeno la metà più uno de voti, cioè da n in 2i=1poi. Prima di continuare con i calcoli ricordiamo cheY − n ˆp n√n ˆpn (1 − ˆp n ) =⇒Y − n p √n p (1 − p)∼ Zn grandeDobbiamo calcolareP((Y > n )≃ P Z >2n− n ˆp )2 n√n ˆpn (1 − ˆp n )( )√n (0, 5 − 0, 51)1 − Φ √ 0, 51 0, 491 − Φ ( −0, 2 √ n )= Φ(0, 2 √ n)⎧⎪⎨ Φ(1) = 0, 84 n = 2500= Φ(0, 63) = 0, 74 n = 1000⎪⎩Φ(0, 45) = 0, 67 n = 500Per l’ultimo punto c dobbiamo pensare ad un test di ipotesi sulle proporzioni dove ˆp n =0, 505 e l’ipotesi nulla H 0 : p = p 0 = 0, 5 contro l’alternativa H 1 : p > p 0 oppure, piùsemplicemente, ricorrere alla formula che abbiamo derivato poco sopra ponendola pari a0,99 % :(P Y > n ) (= P Z > √ )(0, 5 − 0, 505)n √ = 0, 9920, 505 0, 495cioè si deve risolvere rispetto ad n l’equazionez 0,01 = √ n(0, 5 − 0, 505)√ 0, 505 0, 495dunque−2, 33 ≃ √ n√ n ≃ 233−0, 0050, 5e infinen = 233 2 = 54289Quindi occorre avere un campione enormemente più grande di quelli ipotizzati.c○2001 S.M.Iacus - D.E.P.A. Sezione di Statistica e Matematica 3

Soluzione Es.4. Questo esercizio ricalca il precedente. L’unica variante è il livello diconfidenza dell’intervallo. L’intervallo di confidenza avrà quindi la seguente strutturaµ ∈ ¯x n ± t n−11− α 2Poiché n è molto grande, si ricorre all’approssimazione della t di Student con la Gaussiana,quindi l’intervalo sarà della formaµ ∈ ¯x n ± z 1−α2¯s n√ n¯s n√ ne quindicioèµ ∈ 1, 55 ± 1, 15 0, 510µ ∈ (1, 49 , 1, 61) di livello 75%Soluzione Es.5. Anche in questo caso è un intervallo di confidenza sulle proporzioni,quindi si applica la formula√ˆpn (1 − ˆp n )p ∈ ˆp n ±z 1−α2ndove, in questo caso, ˆp n = 2841000 . Quindip ∈ (0, 26 , 0, 31) di livello 95%c○2001 S.M.Iacus - D.E.P.A. Sezione di Statistica e Matematica 4