Note di Analisi Matematica 2 - Esercizi e Dispense - Università degli ...

Annamaria MazziaNote di Analisi Matematica 2Università degli Studi di Padovacorso di laurea in Ingegneria Edile-Architetturaa.a. 2011-2012Questo lavoro è pubblicato sotto una Creative Commons Attribution-Noncommercial-No DerivativeWorks 2.5 Italy License,(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.5/it/)

1. Funzioni reali di più variabili1.1 Lo spazio R nDallo studio di funzioni reali di variabili reali f : R −→ R che alla variabile x ∈ R associa ilvalore f(x) ∈ R, passiamo a studiare funzioni reali di più variabili: non c’è più una sola variabile xcome variabile di input della nostra funzione, ma possiamo avere due o più variabili di input mentreil valore che assume la funzione rimane un valore reale (detto anche scalare).Se (x, y) è la coppia di variabili, ciascuna delle quali varia in R, possiamo definire una funzione fche alla coppia (x, y) associa il valore f(x, y).Analogamente, data la terna di variabili reali (x, y, z), si può definire una funzione f che, incorrispondenza di (x, y, z), assume il valore reale f(x, y, z),Il discorso si può generalizzare con una n−nupla di valori (x 1 , x 2 , . . . , x n ) introducendo unafunzione f che, per ogni n−nupla (x 1 , x 2 , . . . , x n ) associa il valore reale f(x 1 , x 2 , . . . , x n ).Introduciamo, dunque, lo spazio R n , dove n è un intero naturale, per definire lo spazio a ndimensioni.Un punto P ∈ R n è definito da una n−nupla ordinata di numeri reali (x 1 , x 2 , . . . , x n ). Ciascunvalore x i , i = 1, 2, . . . , n, prende il nome di coordinata i−sima del punto P . Data una funzione fdefinita in R n , possiamo scrivere f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) o f(P ) per dire che stiamo valutando la funzionenel punto P .G Per n = 1 si ha lo spazio reale R. I punti che vi appartengono prendono anche il nome di scalari.G Per n = 2 si ha lo spazio R 2 e il generico punto è indicato mediante la coppia (x, y) (x prende ilnome di ascissa del punto, mentre y è l’ordinata del punto).G Per n = 3 si ha lo spazio R 3 e il generico punto è indicato mediante la coppia (x, y, z),rispettivamente ascissa, ordinata e quota del punto.Esempi di funzioni di più variabili in R 2 sono:G f 1 (x, y) = x + yG f 2 (x, y) = |x| + |y|G f 3 (x, y) = (x + y) cos (x + y)Di queste funzioni è possibile fare il grafico: così come una funzione reale di una variabile reale generauna curva nello spazio R 2 una funzione reale di due variabili reali genera una superficie nello spazioR 3 .Figura 1.1: Grafici delle tre funzioni f 1 , f 2 e f 3 .1

1. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILIPer il grafico di funzioni reali di tre o più variabili reali il discorso si complica perchè va fatto inuno spazio che ha una dimensione in più rispetto a quello di partenza (che non riusciamo quindi avisualizzare). In tal caso il grafico genera un’ipersuperficie. Esempi di funzioni reali in R 3 sono:G f 1 (x, y, z) = x 3 + xyz + y 2 + zG f 2 (x, y, z) = sin (xyz)G f 3 (x, y, z) = e x+y+z1.2 Definizioni preliminariCome per le funzioni di una sola variabile reale (funzioni scalari) sono stati definiti e analizzati iconcetti di continuità, differenziabilità, limite, integrale e derivata, anche per le funzioni di più variabilipossono essere fatti gli analoghi studi.A tale scopo, dobbiamo introdurre alcune definizioni (che valgono in generale per uno spazio R nma che noi vedremo poi in particolare per gli spazi R 2 e R 3 )Definizione 1.2.1 Si definisce funzione di n variabili reali una legge che assegna un unico numero realef(x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ R a ciascun punto (x 1 , x 2 , . . . , x n ) contenuto in un sottoinsieme D(f) di R n . L’insiemedei punti D(f) prende il nome di insieme di definizione o dominio della funzione f. L’insieme di tutti inumeri reali f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) al variare dei punti nel dominio prende il nome di insieme dei valori o codominiodella f (o range, per usare il termine matematico inglese) e si denota con R(f) oppure con f(A) se il dominiodella funzione è stato indicato con l’insieme A.Per indicare una funzione f si possono usare le seguenti scritture:f : D(f) −→ R(f) dove D(f) ⊂ R n , R(f) ⊂ Rf : A −→ B dove A ⊂ R n , B ⊂ R, f(A) ⊂ BPer funzioni di una variabile reale, è usuale indicare la funzione con la notazione y = f(x), dalmomento che il valore della funzione viene rappresentato sull’asse delle y nel piano cartesiano xy. Allastessa maniera, è usuale indicare funzioni reali di due variabili reali mediante la notazione z = f(x, y),visto che il valore di questa funzione viene rappresentato sull’asse delle z. Per quanto riguarda ilgrafico di una funzione f in R 2 , si può dare la seguente definizione:Definizione 1.2.2 Data una funzione f : D(f) −→ R(f) in R 2 , il grafico ad essa associato è dato dall’insieme{}G(f) = (x, y, z) ∈ R 3 : (x, y) ∈ D(f), z = f(x, y)In Figura 1.2 è rappresentato il grafico di una generica funzione di due variabili reali, nello spazio R 2 .I valori della funzione sono rappresentati sull’asse delle z, dove in rosso è rappresentato l’insieme deivalori della funzione R(f), mentre sul piano xy, in blu, è rappresentato l’insieme di definizione D(f).Generalmente, il dominio di una funzione di due variabili può essere o l’intero spazio R 2 o un suosottoinsieme (come nella Figura 1.2).A volte, il dominio di una funzione non è specificato. Come capire qual è l’insieme dei punti per iquali la funzione f esiste? Ci soffermiamo sul caso di una funzione definita in R 2 .1.2.1 Come determinare il dominio di una funzione di due variabili?Come regola generale, se è data una funzione f(x, y) ma non vi è nessuna informazione sul dominio,allora il dominio sarà dato da tutti i punti del piano xy ad eccezione (o escludendo) quei punti (sece ne sono) nei quali la funzione non può essere definita. Sono due le situazioni in cui una funzionef non può essere definita in un punto (x 0 , y 0 ): se il valore f(x 0 , y 0 ) non è un numero reale o se lafunzione in (x 0 , y 0 ) assumerebbe valori ±∞.2

1.2. Definizioni preliminariFigura 1.2: Rappresentazione grafica di una generica funzione di due variabili reali f(x, y).Vediamo degli esempi.Esempio 1.2.1 Sia data la funzione z = f(x, y) = x 3 + x 2 y. Questa funzione è ben definita per tutti ivalori di x e y perchè qualunque sia la coppia (x, y), la funzione assume sempre valori reali. Quindi f èdefinita in tutto R 2 .(Esempio 1.2.2 Sia ora z = f(x, y) = 5 1 − x 4 − y )per 0 ≤ x ≤ 2 e per 0 ≤ y ≤ 8 − 4x.8In tal caso la funzione è assegnata su uno specifico dominio, quindi, anche se la funzione è ben definita pertutti i valori di x e di y, il dominio in cui va studiata, in questo esempio, è quello dato, vale a dire perx ∈ [0, 2], e per y che varia nell’intervallo [0, 8] quando x = 0, mentre y = 0 quando x = 2. Ciò significache l’insieme di definizione è dato dal triangolo di estremi (0, 0), (0, 8) e (2, 0) (si veda Figura 1.3).Esempio 1.2.3 Vediamo ora la funzione z = f(x, y) = √ 16 − x 2 − y 2 .Questa funzione è ben definita solo quando l’espressione sotto radice è non negativa. Perciò il suo dominio èdato dai punti (x,y) che soddisfano la condizione16 − x 2 − y 2 ≥ 0 ⇐⇒ x 2 + y 2 ≤ 16Questa condizione definisce il dominio: si tratta del cerchio di centro l’origine e raggio 4 nel piano xy.Infatti √ x 2 + y 2 è la definizione di distanza di un punto (x, y) dall’origine del piano, da cui la condizionex 2 + y 2 ≤ 16 è equivalente a √ x 2 + y 2 ≤ 4 ovvero l’insieme dei punti la cui distanza dall’origine è minoreo uguale a 4, vale a dire il cerchio di centro l’origine e raggio 4. Il grafico di questa funzione è una semisferanel semipiano per z ≥ 0.3

1. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI(Figura 1.3: Grafico della funzione z = f(x, y) = 5 1 − x 4 − y ).8Esempio 1.2.4 Sia z = f(x, y) = 10 . In tal caso, il dominio non è specificato ma ci accorgiamo subitox − yche la funzione, per essere definita, deve avere il denominatore diverso da zero. Quindi la funzione non èdefinita per x = y. Il dominio della f è dunque tutto il piano xy privato della retta x = y.Per poter andare avanti nello studio delle funzioni, dobbiamo riprendere o generalizzare altriconcetti di base. Incominciamo dai vettori.1.2.2 Sui vettoriUn punto P ∈ R n può essere visto anche come vettore di R n . Abbiamo infatti la seguentedefinizioneDefinizione 1.2.3 Un vettore di R n è un’n−nupla ordinata di numeri reali.Un vettore lo si indica mediante il simbolo ⃗x. Quindi ⃗x è definito mediante (x 1 , x 2 , . . . , x n ).Una funzione che generalizza ai vettori il valore assoluto di un numero reale prende il nome di norma.Esistono diversi tipi di norme. Noi consideriamo la norma euclidea e la chiameremo brevementenorma o modulo. Abbiamo la seguente definizione.Definizione 1.2.4 Dato un vettore ⃗x ∈ R n , si definisce modulo (o norma euclidea di ⃗x) la quantità scalare datada∑|⃗x| = √ n (x i ) 2i=1(con il simbolo ∑ ni=1 (x i) 2 indichiamo la somma (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + . . . (x n ) 2 ).Definizione 1.2.5 Dati due vettori ⃗x e ⃗y in R n si definisce distanza tra i due vettori la quantità |⃗x − ⃗y|.4

1.2. Definizioni preliminariFigura 1.4: Distanza tra due vettori ⃗p e ⃗q o distanza tra due punti P e Q.Geometricamente, la distanza tra due vettori non è altro che la distanza euclidea tra due punti.Esempio 1.2.5 Siano dati i due vettori ⃗p = (7, 1) e ⃗q = (3, 4). La distanza tra i due vettori è data da|⃗p − ⃗q| = √ (7 − 3) 2 + (1 − 4) 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5Se vediamo i due vettori come i punti del piano P e Q che hanno coordinate rispettivamente (7, 1) e (3, 4)e vogliamo calcolare la distanza tra i due punti, dobbiamo applicare esattamente la stessa formula (si vedaFigura 1.4).Quindi due punti nello spazio R n possono essere visti come vettori e viceversa. Di conseguenza, inR 2 o R 3 , quella che per noi è la distanza tra due punti P e Q, e che ricaviamo applicando il teorema diPitagora, può essere vista come la distanza tra i due vettori.Presi due punti P e Q in R n possiamo fare P + Q o P − Q considerandoli come vettori e quindisommando o facendo la differenza delle componenti omonime dei punti-vettori. Tutte le operazioniche possiamo fare tra vettori si ripetono tra punti.Esempio 1.2.6 Siano dati i due punti di R n , P (p 1 , p 2 , . . . , p n ) e Q(q 1 , q 2 , . . . , q n ) (usiamo questa notazioneper rappresentare il punto P (o Q) di coordinate (p 1 , p 2 , . . . , p n ) (o (q 1 , q 2 , . . . , q n )). Allora il punto P + Qha componenti (p 1 +q 1 , p 2 +q 2 , . . . , p n +q n ), mentre il punto P −Q è dato da (p 1 −q 1 , p 2 −q 2 , . . . , p n −q n ).Dato uno scalare α, il punto αP è dato da (αp 1 , αp 2 , . . . , αp n ).Si veda Figura 1.5 per vedere l’interpretazione geometrica lavorando tra vettori.Definizione 1.2.6 Dati due vettori ⃗x e ⃗y, si definisce prodotto scalare tra i due vettori il numero reale indicatocon il simbolo ⃗x · ⃗y dato dan∑⃗x · ⃗y = x i y ii=15

1. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILIFigura 1.5: A sinistra: somma e differenza tra punti in R 2 . A destra: prodotto di uno scalare per unpunto. I vettori αQ, βQ, γQ e δQ sono messi sfalsati per ragioni pratiche di visibilità ma sono sullastessa linea.Figura 1.6: Intervallo aperto ]a 1 , a 2 ]×]b 1 , b 2 [1.2.3 Intorno di un punto, insieme aperto, chiuso, frontiera...Definizione 1.2.7 Dati due punti di R n , A (a 1 , a 2 , . . . , a n ) e B (b 1 , b 2 , . . . , b n ), con a i < b i (per i =1, 2, . . . , n), si definisce intervallo aperto di R n di vertici A e B l’insieme dato daT = {P ∈ R n di coordinate (x 1 , x 2 , . . . , x n ) t. c. a i < x i < b i , i = 1, 2, . . . , n}In R 2 un intervallo aperto di vertici A e B è dato dal rettangolo i cui punti (x, y) sono presi, rispettivamente,negli intervalli aperti ]a 1 , a 2 [ e ]b 1 , b 2 ], che possiamo indicare come ]a 1 , a 2 ]×]b 1 , b 2 [ (si vedaFigura 1.6)Definizione 1.2.8 I ⊂ R n si definisce insieme limitato di R n se esiste un intervallo aperto che lo contiene.Passiamo ora a considerare l’intorno di un punto. In R sappiamo che vale la seguente definizione.Definizione 1.2.9 Dato x 0 ∈ R e ɛ > 0, l’insieme dei punti x sull’asse reale che hanno distanza da x 0 minoredi ɛ è un intervallo aperto di centro x 0 e raggio ɛ che prende il nome di intorno di x 0 . Se indichiamo con A ɛ (x 0 )questo insieme, possiamo dire che6A ɛ (x 0 ) = {x ∈ R : |x − x 0 | < ɛ}

1.2. Definizioni preliminariFigura 1.7: Esempio di insieme limitato in R 2 .Generalizziamo questa definizione in R n .Definizione 1.2.10 Dato P 0 ∈ R n e ɛ > 0, l’insieme dei punti P di R n che hanno distanza da P 0 minore di ɛprende il nome di intorno circolare di centro P 0 e raggio ɛ.Indichiamo con A ɛ (P 0 ) questo insieme, possiamo dire cheA ɛ (P 0 ) = {P ∈ R n : |P − P 0 | < ɛ}G In R 2 , considerando P 0 (x 0 , y 0 ), e il generico punto P (x, y) si ha{A ɛ (P 0 ) = P (x, y) ∈ R 2 : √ }(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 < ɛOsserviamo che l’equazione(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 = ɛ 2rappresenta l’equazione di una circonferenza di centro il punto (x 0 , y 0 ) e raggio ɛ. Quindi l’intornodi (x 0 , y 0 ) è dato da tutti i punti contenuti all’interno della circonferenza (nel cerchio), manon i punti che si trovano sulla circonferenza.G In R 3 , preso P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) e considerato P (x, y, z) il generico punto di R 3 , si ha{A ɛ (P 0 ) = P (x, y, z) ∈ R 3 : √ }(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + (z − z 0 ) 2 < ɛDal momento che l’equazione(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + (−z 0 ) 2 = ɛ 2rappresenta l’equazione della sfera di centro P 0 e raggio ɛ, l’intorno di P 0 è dato da tutti i puntiche si trovano all’interno della sfera ma non sulla superficie della sfera.Vediamo ora altre definizioni che saranno utili nel seguito.Definizione 1.2.11 Dato I ⊂ R n :G Diremo che un punto P 0 ∈ R n è un punto di frontiera di I se ogni intorno di P 0 contiene almeno unpunto di I e un punto che non appartiene a I.G Diremo che un punto P 0 ∈ R n è un punto interno di I se esiste un intorno di P 0 tutto contenuto in I.7

1. FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILIFigura 1.8: Esempio in R 2 di punti interni, di frontiera, di intorno di un punto.G Diremo che I è un insieme chiuso se ciascun punto di frontiera di I appartiene a I.G Diremo che I è un insieme aperto se nessun punto di frontiera di I appartiene a I.G L’insieme interno di I è l’insieme dei punti interni di I che non sono di frontiera di I.G L’insieme di frontiera di I è l’insieme di tutti i punti di frontiera di I.G L’insieme esterno di I è l’insieme dei punti che non sono di I e che non sono di frontiera di I.Definizione 1.2.12 Dato I ⊂ R n :G Diremo che P 0 ∈ R n è punto di accumulazione di I se per ogni intorno di P 0 ci sono infiniti punti cheappartengono a I.G Diremo che P 0 ∈ I è punto isolato di I se non è punto di accumulazione per I.Esempi:G L’intorno circolare di un punto P 0 , A ɛ (P 0 ) è un insieme aperto perchè nessun punto dellafrontiera appartiene ad esso.G L’insieme che denotiamo con il simbolo C ɛ (P 0 ), dato daC ɛ (P 0 ) = {P ∈ R n : |P − P 0 | ≤ ɛ}è un insieme chiuso perchè ciascun punto della frontiera appartiene ad esso.G Gli insiemi R n e ∅ sono sia insiemi chiusi sia insiemi vuoti per convenzione.Definizione 1.2.13 Dato un insieme I ⊂ R n si definisce chiusura di I l’insieme formato dall’unione di I edella sua frontiera.Ad esempio, l’insieme C ɛ (P 0 ) rappresenta la chiusura di A ɛ (P 0 ).Definizione 1.2.14 Se I ⊂ R n è chiuso e limitato, esso si dice compatto.8

2. Limiti, continuità, differenziabilità di funzionidi più variabili2.1 Limite di una funzione di più variabiliIl concetto di limite di una funzione di più variabili è molto simile a quello per funzioni di una solavariabile.Consideriamo una funzione di due variabili, f(x, y). Diciamo che il limite della funzione f(x, y) èL per (x, y) che tende a (x 0 , y 0 ) e scriviamolim f(x, y) = L(x,y)→(x 0,y 0)se tutti i punti di un qualunque intorno di (x 0 , y 0 ) (senza considerare il punto (x 0 , y 0 )) appartengonoal dominio della funzione e se f(x, y) tende a L quando (x, y) tende a (x 0 , y 0 ). Più vicino è il punto(x, y) a (x 0 , y 0 ), più il valore della funzione tende al valore del limite.Formalmente, la definizione è la seguente.Definizione 2.1.1 Siano dati una funzione f : I −→ R, con I ⊂ R 2 , il punto P 0 (x 0 , y 0 ), punto diaccumulazione per I, e L ∈ R, allora diciamo chelim f(x, y) = L(x,y)→(x 0,y 0)se:G ciascun intorno di P 0 contiene punti del dominio di definizione della f (unica eccezione può essere datadal punto P 0 )G se e solo se, per ogni numero ɛ > 0, esiste un altro numero δ > 0 tale chese 0 < √ (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 < δ allora |f(x, y) − L| < ɛqualunque sia il punto P (x, y) ∈ I.Dalla definizione segue che, qualunque sia il valore di ɛ piccolo a piacere, è possibile trovare un intornoA δ (P 0 ) tale che per ogni punto in questo intorno diverso da P 0 (0 < √ (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 < δ), valela relazione |f(x, y) − L| < ɛ, cioè il valore f(x, y) si trova in un intorno di L di raggio ɛ.La definizione di limite per funzioni di due variabili si estende facilmente a funzioni di piùvariabili.Definizione 2.1.2 Siano dati una funzione f : I −→ R, con I ⊂ R n , il punto P 0 (x 1 , x 2 , . . . , x n ), punto diaccumulazione per I, e L ∈ R, allora diciamo chelim f(P ) = LP →P 0se:G ciascun intorno di P 0 contiene punti del dominio di definizione della f (unica eccezione può essere datadal punto P 0 )G se e solo se, per ogni numero ɛ > 0, esiste un altro numero δ > 0 tale chese 0 < |P − P 0 | < δ allora |f(P ) − L| < ɛqualunque sia il punto P ∈ I.9

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILIIl limite di una funzione può valere anche ±∞ e si può anche parlare di limite per P che tende ainfinito.Definizione 2.1.3 Data f : I −→ R, con I ⊂ R n e dato il punto P 0 di accumulazione per I si haG lim P →P0 f(P ) = +∞ se per ogni valore M > 0, esiste δ > 0 tale chese 0 < |P − P 0 | < δ allora f(P ) > MG lim P →P0 f(P ) = −∞ se per ogni valore M > 0, esiste δ > 0 tale chese 0 < |P − P 0 | < δ allora f(P ) < −MG lim P →∞ f(P ) = L se per ogni valore ɛ > 0, esiste M > 0 tale chese |P | > M allora |f(P ) − L| < ɛAlcune regole sui limiti che già conosciamo dalle funzioni scalari si estendono facilmente ai limiti difunzioni di più variabili. Ad esempio, date due funzioni f e g, se lim P →P0 f(P ) = L e lim P →P0 g(P ) =M con L, M ∈ R, si haG lim P →P0 f(P ) ± lim P →P0 g(P ) = L ± MG lim P →P0 f(P )g(P ) = LMf(P )G lim P →P0g(P ) = L (questo si ha se M ≠ 0).MAnche per funzioni di più variabili vale il teorema del confronto (noto anche come teorema deicarabinieri in italiano o squeeze theorem in inglese)Teorema 2.1.1 Se f(x, y) ≤ g(x, y) ≤ h(x, y) per (x, y) in un intorno di (x 0 , y 0 ) e se valelim f(x, y) = lim g(x, y) = L(x,y)→(x 0,y 0) (x,y)→(x 0,y 0)allora anchelim g(x, y) = L.(x,y)→(x 0,y 0)Osserviamo adesso alcuni punti importanti:G Se esiste il limite di una funzione per P che tende a un punto P 0 , questo limite è unico.G Per funzioni di una sola variabile f(x), l’esistenza del limite lim x→x0 f(x) implica che la funzionesi avvicina allo stesso numero finito per x che si avvicina a x 0 sia da sinistra sia da destra.G Per funzioni di due variabili (e il discorso vale in maniera del tutto analogo anche per funzioni ditre e più variabili), il limite lim (x,y)→(x0,y 0) f(x, y) = L esiste solo se f(x, y) tende allo stesso numeroL qualunque sia il percorso che fa (x, y) per avvicinarsi a (x 0 , y 0 ) nel piano cartesiano. Ciòsignifica che (x, y) può avvicinarsi a (x 0 , y 0 ) lungo qualunque curva che possiamo individuarenel piano xy e il limite deve valere sempre L (si veda Figura 2.1).Abbiamo perciò la seguente proposizioneProposizione 2.1.1 Data f : I −→ R, I ⊂ R 2 , e dato P 0 punto di accumulazione per I, se esiste il limitelim (x,y)→(x0,y 0) f(x, y) e tale limite vale L numero reale, allora lo stesso limite si deve avere per P che tende aP 0 su qualunque sottoinsieme di I che ha P 0 come punto di accumulazione.Al contrario, se esistono anche solo due sottoinsiemi di I in cui esiste il limite della f per P che tendea P 0 , ma il valore del limite nei due sottoinsiemi non è lo stesso, allora non può esistere il limite dellafunzione sull’insieme I di partenza (proprio in virtù della proposizione precedente).Vediamo degli esempi di calcolo del limite di funzioni di due variabili.10

2.1. Limite di una funzione di più variabiliFigura 2.1: Percorsi che possono essere fatti da (x, y) per tendere a (x 0 , y 0 ).Esempio 2.1.1 Consideriamo i seguenti limiti:lim(x,y)→(2,2) 3x − y2 =?lim(x,y)→(3,4) xy2 + x 2 y =?In tutti questi esempi il limite esiste e coincide con il valore della funzione nel punto di limite:lim(x,y)→(2,2) 3x − y2 = 6 − 4 = 2lim(x,y)→(3,4) xy2 + x 2 y = 48 + 36 = 84Per la prima funzione il risultato è banale perchè la funzione la possiamo vedere come somma di due funzioniscalari per le quali sappiamo calcolare facilmente il limite. La seconda funzione è data dalla somma di duefunzioni, ciascuna delle quali può essere vista come il prodotto di una funzione nella sola variabile x e di unafunzione nella sola variabile y. Quindi calcoliamo il limite di queste funzioni, applichiamo la regola sul limitedi prodotto di funzioni e otteniamo il risultato.3xyEsempio 2.1.2 Consideriamo ora lim (x,y)→(0,0)x 2 + y 2 .Questo limite non esiste perchè si trovano facilmente due strade diverse per fare tendere il punto (x, y) a(0, 0) attraverso le quali otteniamo due valori diversi del limite.Prendiamo il punto (x, y) sulla retta y = kx con k numero reale arbritrario, diverso da zero. Facciamotendere dunque (x, kx) al punto (0, 0). Il limite diventa3xkxlim(x,kx)→(0,0) x 2 + (kx) 2 = lim(x,kx)→(0,0)3kx 2x 2 + k 2 x 2 =2k1 + k 2 11

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILIQuesto valore del limite, che abbiamo ottenuto facilmente in quanto la funzione si è ridotta a funzione dellasola variabile x, dipende da k, e quindi cambia al cambiare di k. Ciò significa che la funzione non può averelimite per (x, y) → 0.Osserviamo che la funzione data è un esempio di funzione che non è definita nel punto (0, 0) in quantof(0, 0) = 0/0 è una forma indeterminata.8xy 2Esempio 2.1.3 Studiamo ora lim (x,y)→(0,0)x 2 + y 4 .Anche questa funzione è indeterminata in (0, 0).Proviamo a calcolare il limite sulle rette y = kx con k ∈ R, k ≠ 0. Otteniamolim(x,kx)→(0,0)8k 2 x 3x 2 + k 4 x 4 = limx→08k 2 x1 + k 2 x 2 = 0Questo limite non dipende dunque dalla retta, in quanto non dipende da k. Ci verrebbe da concludere cheallora il limite esiste e vale 0. Ma la risposta non sarebbe corretta perchè con le rette non abbiamo esauritotutti i percorsi che può fare il punto per avvicinarsi a (0, 0).Proviamo ad avvicinarci a (0, 0) lungo la parabola x = ky 2 In tal caso abbiamo8ky 4lim(ky 2 ,y)→(0,0) k 2 y 4 + y 4 = 8kk 2 + 1In questo caso, il limite dipende dalla curva x = ky 2 e il valore non è più 0 ma cambia al cambiare di k.Quindi il limite non esiste.Esempio 2.1.4 Proviamo invece che4x 2 ylim(x,y)→(0,0) x 2 + y 2 = 0In tal caso, non conviene scegliere particolari curve per mostrare che il limite vale 0 perchè dovremmo dimostrareche qualunque sia il cammino per avvicinarsi a (0, 0) il limite è sempre quello e, quindi, dovremmolavorare su infiniti percorsi! In tal caso, dobbiamo applicare la definizione di limite.Ora, poichè x 2 ≤ x 2 +y 2 x 2si hax 2 + y 2 ≤ 1, mentre da y2 ≤ x 2 +y 2 , ricaviamo |y| ≤ √ x 2 + y 2 . Possiamodunque dire che4x 2 y|x 2 + y 2 − 0| = | 4x 2 yx 2 + y 2 | ≤ |4y| ≤ 4√ x 2 + y 2Dalla definizione di limite, preso ɛ > 0, dobbiamo provare che esiste δ > 0 tale che per 0 < √ x 2 + y 2 < δ,4x 2 yrisulta |x 2 − 0| < ɛ.+ y2 Se scegliamo δ = ɛ/4, abbiamo:4x 2 y|x 2 + y 2 − 0| ≤ 4√ x 2 + y 2 < 4 ɛ 4 = ɛ4x 2 yQuindi abbiamo provato che |x 2 − 0| < ɛ, cioè il limite della nostra funzione per (x, y) → (0, 0) vale+ y2 esattamente 0.12

2.2. Continuità di una funzione di più variabili2.2 Continuità di una funzione di più variabiliDefinizione 2.2.1 Una funzione f : I −→ R, con I ⊂ R n è continua in P 0 (P 0 ∈ I e punto di accumulazioneper I), selim f(P ) = f(P 0 )P →P 0Nel caso di funzioni di due variabili, si ha:Definizione 2.2.2 Una funzione f : I −→ R, con I ⊂ R 2 è continua in P 0 (x 0 , y 0 ) (P 0accumulazione per I), se∈ I e punto dilim f(x, y) = f(x 0, y 0 )(x,y)→(x 0,y 0)Definizione 2.2.3 Una funzione si dice continua se è continua in ogni punto del suo insieme di definizione.Proposizione 2.2.1 Date due funzioni f e g continue in I ⊂ R 2 , alloraf + g è continua;G fg è continua;G f è continua in tutti quei punti in g non si annulla;gG f ◦ g è continua (f ◦ g(x, y) = f(g(x, y)) funzione composta)Esempio 2.2.1 lim (x,y)→(x0,y 0) x sin (xy) = x 0 sin (x 0 y 0 )La funzione f(x, y) = x sin (xy) è una funzione continua. Infatti la possiamo vedere come il prodottodella funzione x e della funzione sin (xy). La funzione sin (xy) la vediamo come la funzione composta dellafunzione seno applicata al prodotto delle funzioni x e y. Poichè x e y sono funzioni continue anche il loroprodotto è una funzione continua. La funzione composta di funzioni continue è continua (quindi sin (xy) ècontinua) e il prodotto di x per sin (xy) dà ancora una funzione continua.Osserviamo che il concetto di continuità non è ovvio! Ci sono funzioni che ammettono limite per(x, y) che tende a (x 0 , y 0 ) ma il valore del limite non necessariamente è uguale al valore della funzionein (x 0 , y 0 ).Esempio 2.2.2 La{funzione definita come0 se (x, y) ≠ (0, 0)f(x, y) =1 se (x, y) = (0, 0)ammette limite per (x, y) → (0, 0) ma il limite non è il valore della funzione in (0, 0). Questa funzione nonè continua in (0, 0). Difatti lim (x,y)→(0,0) f(x, y) = 0 ≠ f(0, 0) dal momento che la funzione è di costantevalore 0 ad eccezione del punto (0, 0) in cui vale 1. Questa funzione è discontinua in (0, 0).13

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI2.3 Derivate parzialiEstendiamo ora il concetto di derivata che abbiamo visto per funzioni di una sola variabile,introducendo le derivate parziali.Data una funzione di una sola variabile, f(x), la derivata prima f ′ (x) rappresenta la velocità divariazione della funzione al variare di x.Con le funzioni di più variabili, ci sono due casi da considerare: cosa fare se varia solo una variabilementre le altre non variano? cosa fare se varia più di una variabile?Concentriamo ora la nostra attenzione facendo cambiare una variabile alla volta e lasciando le altrefisse.Partiamo con un esempio, lavorando con una funzione di due variabili.Esempio 2.3.1 Sia data f(x, y) = 4x 3 y 5 . Determiniamo la velocità con cui la funzione cambia in unpunto fissato (x 0 , y 0 ), se non facciamo variare la y mentre facciamo variare la x, e viceversa, determiniamola velocità con cui cambia la funzione in (x 0 , y 0 ) fissando x e variando y.Nel primo caso, in cui lasciamo y fissato mentre x varia, dal momento che siamo interessati alla velocitàdella funzione nel punto (x 0 , y 0 ), per y fissato, vuol dire che dobbiamo considerare la funzione per y =y 0 . Consideriamo quindi f(x, y 0 ) = 4x 3 (y 0 ) 5 . Adesso abbiamo una funzione di una sola variabile, la x.Possiamo quindi considerare la funzione g(x) = f(x, y 0 ) = 4x 3 (y 0 ) 5 . Di questa funzione in una solavariabile, sappiamo cosa dobbiamo fare se vogliamo determinare la velocità di cambiamento della funzione perx = x 0 : dobbiamo calcolare la derivata prima g ′ (x 0 ). Nell’esempio, abbiamo g ′ (x 0 ) = 12(x 0 ) 2 (y 0 ) 5 .Quello che abbiamo ottenuto prende il nome di derivata parziale di f(x, y) rispetto a x, nel punto (x 0 , y 0 ).Denotiamo questa derivata parziale con uno dei seguenti simboli:f x (x 0 , y 0 )∂f∂x (x 0, y 0 ) D x f(x 0 , y 0 )Al posto di (x 0 , y 0 ) si può scrivere anche P 0 intendendo per P 0 il punto di coordinate (x 0 , y 0 ).Quindi, nel nostro esempio, f x (x 0 , y 0 ) = 12(x 0 ) 2 (y 0 ) 5 .Vediamo ora cosa succede se lasciamo fissa la variabile x e variamo y. In tal caso, dobbiamo considerare lafunzione h(y) = f(x 0 , y) = 4(x 0 ) 3 y 5 e calcolare la derivata prima di questa funzione che dipende dalla solavariabile y nel punto y 0 . Abbiamo h ′ (y 0 ) = 20(x 0 ) 3 (y 0 ) 4 .Ciò che abbiamo ottenuto è la derivata parziale della f rispetto alla variabile y, nel punto (x 0 , y 0 ). Indichiamoquesta derivata parziale con uno dei seguenti simboli:∂ff y (x 0 , y 0 )∂y (x 0, y 0 ) D y f(x 0 , y 0 )Quindi, per l’esempio considerato, f y (x 0 , y 0 ) = 20(x 0 ) 3 (y 0 ) 4 .Passiamo dunque alla definizione generale delle derivate parziali prime di una funzione di duevariabili (considerando le derivate non più in (x 0 , y 0 ) ma nel generico punto (x, y)).Definizione 2.3.1 Data una funzione f(x, y), le derivate parziali prime rispetto alle variabili x e y sono dateda:f(x + h, y) − f(x, y)(x, y) = limh→0 h∂f∂x∂f(x, y) = lim∂y h→0f(x, y + h) − f(x, y)h14

2.4. Interpretazione delle derivate parzialiDerivate per funzioni scalari e derivate per funzioni di due variabilif(x) =⇒ f ′ (x) = dfdxf(x, y) =⇒ f x (x, y) = ∂f∂x&f y (x, y) = ∂f∂yPer calcolare le derivate parziali prime di una funzione bisogna fare questo ragionamento: se dobbiamocalcolare f x (x, y) dobbiamo trattare la variabile y come una costante e trattare la funzione comese dipendesse dalla sola x; se dobbiamo calcolare f y (x, y), dobbiamo trattare x come una costante ecalcolare la derivata rispetto a y come se la funzione fosse dipendente dalla sola variabile y.Esempio 2.3.2 Calcolare le derivate parziali prime della funzione f(x, y) = 3x 5 + 2 √ y − 10xy.Per calcolare la derivata f x (x, y) trattiamo la y come una costante, da cui f x (x, y) = 15x 4 − 10y. Notiamoche la derivata rispetto a x di 2 √ y vale zero perchè la y è una costante.Al contrario, per calcolare f y (x, y) dobbiamo ora trattare x come una costante, da cui f y (x, y) = 1 √ y− 10x.2.4 Interpretazione delle derivate parzialiSono possibili due interpretazioni sul significato delle derivate parziali prime.G Se consideriamo la derivata parziale come la velocità di cambiamento della funzione alloraf x (x, y) rappresenta la velocità di cambiamento della funzione al variare di x per y fissato, mentref y (x, y) rappresenta la velocità di cambiamento della funzione al variare di y per x fissato.Quindi se f x (x 0 , y 0 ) > 0 vuol dire che la funzione è crescente in quel punto al variare di x, per y 0fissato, mentre se f x (x 0 , y 0 ) < 0 vuol dire che la funzione è decrescente in quel punto al variare dix, per y 0 fissato. Stesso discorso vale su f y (x 0 , y 0 ): se f y (x 0 , y 0 ) > 0 allora la funzione è crescentein quel punto al variare di y, per x 0 fissato, mentre se f y (x 0 , y 0 ) < 0 la funzione è decrescente inquel punto al variare di y, per x 0 fissato. È possibile che una funzione sia crescente fissato y edecrescente fissato x o viceversa.G L’altra interpretazione, geometrica, estende il concetto di pendenza della retta tangente che abbiamoper funzioni di una sola variabile, per cui f ′ (x 0 ) rappresenta la pendenza della retta tangentealla funzione f(x) nel punto x 0 . Nel caso di funzioni di due variabili, f x (x 0 , y 0 ) rappresentala pendenza della traccia della funzione f(x, y) nel piano y = y 0 nel punto (x 0 , y 0 ) (in altre paroleè la pendenza della retta tangente alla curva che si ottiene intersecando la superficie che rappresentala funzione f(x, y), cioè il grafico della f, con il piano verticale y = y 0 ), mentre f y (x 0 , y 0 )rappresenta la pendenza della traccia della funzione f(x, y) con il piano x = x 0 nel punto (x 0 , y 0 ).2.5 Derivate parziali di ordine più elevatoCosì come per le funzioni di una sola variabile è possibile definire le derivate di ordine più elevato(derivata seconda, terza, quarta, n-sima), anche per le funzioni di più variabili è possibile definire lederivate di ordine più elevato. Ci soffermiamo al caso di funzioni di due variabili.Data una funzione f(x, y), dal momento che abbiamo due derivate parziali prime f x e f y , su ciascunadi queste funzioni possiamo pensare di applicare ancora la definizione di derivata parziale rispettoa x e rispetto a y, ottenendo, in tal modo, quattro possibili combinazioni.15

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILIAbbiamo le seguenti scritture:(f x ) x = f xx = ∂ ( ) ∂f∂x ∂x(f x ) y = f xy = ∂ ( ) ∂f∂y ∂x(f y ) x = f yx = ∂ ( ) ∂f∂x ∂y(f y ) y = f yy = ∂ ( ) ∂f∂y ∂y= ∂2 f∂x 2= ∂2 f∂y∂x= ∂2 f∂x∂y= ∂2 f∂y 2Le derivate f xy e f yx sono dette anche derivate parziali miste perchè le derivate sono fatte rispettoa più di una variabile.Osserviamo che, dal punto di vista della notazione usata, quando l’indice della derivata parziale èposta in basso della funzione, per esempio f xy , dobbiamo derivare da sinistra verso destra: in questocaso prima facciamo la derivata rispetto a x e poi rispetto a y. Quando invece usiamo la notazionefrazionale ( ∂2 f) la notazione è opposta: si va da destra verso sinistra. Nell’esempio, il risultato è lo∂y∂xstesso, prima si deriva rispetto a x e poi rispetto a y.Esempio 2.5.1 Calcolare le derivate seconde di f(x, y) = sin (xy) − x 3 e 4y + 4y 2 .Prima di tutto calcoliamo le derivate parziali prime:f x (x, y) = y cos (xy) − 3x 2 e 4yf y (x, y) = x cos (xy) − 4x 3 e 4y + 8yPassiamo ora alle derivate seconde:f xx (x, y) = −y 2 sin (xy) − 6xe 4yf xy (x, y) = cos (xy) − xy sin (xy) − 12x 2 e 4yf yx (x, y) = cos (xy) − xy sin (xy) − 12x 2 e 4yf yy (x, y) = −x 2 sin (xy) − 16x 3 e 4y + 8Nell’esempio appena visto, le derivate parziali miste sono coincidenti. Si tratta di una “coincidenza”o no? In realtà la funzione data gode di una proprietà importante che ci permette di avere questorisultato.Teorema 2.5.1 (di Clairaut-Schwarz) Data la funzione f definita in un insieme aperto A che contiene ilpunto (x 0 , y 0 ), se le funzioni f xy e f yx sono continue in A, alloraf xy (x 0 , y 0 ) = f yx (x 0 , y 0 ).2.6 Differenziabilità di una funzionePrima di entrare a parlare di differenziabilità di una funzione, introduciamo una notazione perdegli spazi di funzioni definite in un insieme aperto I ⊂ R 2 .G Si indica con C 0 (I) l’insieme delle funzioni continue in I (si dice anche che la funzione è di classeC 0 ).16

2.6. Differenziabilità di una funzioneG Si indica con C 1 (I) l’insieme delle funzioni definite in I le cui derivate parziali prime sonocontinue in I (si dice anche che la funzione è di classe C 1 ).G Si indica con C 2 (I) l’insieme delle funzioni definite in I le cui derivate parziali prime e secondesono continue in I (si dice anche che la funzione è di classe C 2 ).Definizione 2.6.1 Sia data una funzione f : A −→ R con A ⊂ R 2 , A aperto, e un punto P 0 (x 0 , y 0 ) ∈ A.Diremo che f è differenziabile in P 0 se esistono due numeri reali λ e µ tali chef(x, y) − f(x 0 , y 0 ) − [λ(x − x 0 ) + µ(y − y 0 )]lim√ = 0(x,y)→(x 0,y 0)(x − x0 ) 2 + (y − y 0 ) 2In maniera del tutto equivalente si può dire che f è differenziabile sef(x, y) − f(x 0 , y 0 ) − [λ(x − x 0 ) + µ(y − y 0 )]è infinitesima di ordine superiore rispetto all’infinitesimo √ (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 .Applicando la definizione di limite, dire che f è differenziabile in P 0 , vuol dire che, qualunque siaɛ > 0 esiste δ > 0 tale che per ogni (x, y) ∈ A, con 0 < √ (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 < δ risulta|f(x, y) − f(x 0 , y 0 ) − [λ(x − x 0 ) + µ(y − y 0 )] | < ɛ √ (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2In modo equivalente, possiamo anche dire che f è differenziabile in P 0 se esistono due numeri λ eµ e una funzione σ(x, y) definita in un intorno T di P 0 e infinitesima per (x, y) → (x 0 , y 0 ) tale che, perogni (x, y) ∈ T , vale:f(x, y) − f(x 0 , y 0 ) = λ(x − x 0 ) + µ(y − y 0 ) + σ(x, y) √ (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 .Vale la seguente proposizione.Proposizione 2.6.1 Se f : A −→ R, con A ⊂ R 2 , A aperto, è differenziabile in P 0 ∈ A, allora esistono lederivate parziali prime di f in P 0 e vale: f x (P 0 ) = λ e f y (P 0 ) = µ.µ.Dimostrazione. Sappiamo che la f è differenziabile, dobbiamo provare che f x (P 0 ) = λ e f y (P 0 ) =Fissiamo la variabile y, prendendo y = y 0 . Dalla definizione di differenziabilità si ha:f(x, y 0 ) − f(x 0 , y 0 ) = λ(x − x 0 ) + |x − x 0 |σ(x, y 0 )con σ la funzione infinitesima definita prima. Il termine che moltiplica µ si annulla (abbiamo y 0 − y 0 )come pure √ (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 si riduce a |x − x 0 | per y = y 0 .Dividiamo la relazione trovata per x − x 0 , ricavandof(x, y 0 ) − f(x 0 , y 0 )x − x 0= λ + |x − x 0|x − x 0σ(x, y 0 )Passando al limite per x → x 0 , poichè σ(x, y 0 ) è infinitesima e |x − x 0|è limitata (vale ±1), la funzionex − x 0|x − x 0 |σ(x, y 0 ) è ancora infinitesima. Quindi si hax − x 0f(x, y 0 ) − f(x 0 , y 0 )lim= λx→x 0 x − x 0Il limite che abbiamo calcolato rappresenta la derivata prima della funzione f(x, y 0 ) che dipende dallasola variabile x, nel punto x 0 : essa è, quindi, la derivata parziale prima della f rispetto a x. Abbiamoottenuto che f x (x 0 , y 0 ) = λ.17

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILICon lo stesso ragionamento, si prova che f y (x 0 , y 0 ) = µ. Si deve far variare il punto (x, y) su unaretta parallela all’asse y, per x = x 0 . In tal caso, la definizione di differenziabilità di dà:f(x 0 , y) − f(x 0 , y 0 ) = µ(y − y 0 ) + |y − y 0 |σ(x 0 , y)Dividendo per y − y 0 si haf(x 0 , y) − f(x 0 , y 0 )y − y 0= µ + |y − y 0|y − y 0σ(x 0 , y)Passando al limite per y → y 0 si ha che |y − y 0|y − y 0σ(x 0 , y) → 0 e quindif(x 0 , y) − f(x 0 , y 0 )lim= µy→y 0 y − y 0vale a dire f y (x 0 , y 0 ) = µ.Quindi se f è differenziabile in P 0 , la f ammette le derivate parziali prime in P 0 e valef(x, y) − f(x 0 , y 0 ) = f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) + σ(x, y) √ (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 .✔Come conseguenza, una funzione differenziabile in P 0 è continua in P 0 .Proposizione 2.6.2 Sia f : A −→ R, con A aperto di R 2 . Sia f differenziabile in P 0 ∈ A, allora f è continuain P 0 .Dimostrazione. Poichè f è differenziabile in P 0 , esiste una funzione infinitesima per (x, y) →(x 0 , y 0 ) , σ(x, y) , tale checioèf(x, y) − f(x 0 , y 0 ) = f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) + σ(x, y) √ (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 .Per (x, y) → (x 0 , y 0 ) il secondo membro della relazione appena scritta tende a zero, quindilim f(x, y) − f(x 0, y 0 ) = 0(x,y)→(x 0,y 0)lim f(x, y) = f(x 0, y 0 )(x,y)→(x 0,y 0)La f è continua in P 0 . ✔Teorema 2.6.1 Se f ∈ C 1 (A), con A aperto di R 2 , allora f è differenziabile in A.2.7 DifferenzialeRicordiamo ora il concetto di differenziale di una funzione di una sola variabile.Definizione 2.7.1 Data una funzione f(x) e assumendo che la derivata f ′ (x) = dfdxdifferenziale totale df della funzione è dato da( ) dfdf = dx = f ′ (x)dx.dxesiste in un punto x, il18

2.8. Derivata direzionaleLa quantità df può essere interpretata come il cambiamento infinitesimale del valore della funzionef(x) quando x cambia di una quantità infinitesima dx. Per esprimere questo da un punto di vistaformale, consideriamo l’incremento ∆f = f(x + ∆x) − f(x) che rappresenta l’incremento sulla fquando x è incrementato di una quantità finita ∆x.Applicando il teorema del valor medio, possiamo riscrivere∆f = f ′ (x + θ∆x)∆x, dove θ ∈ (0, 1).Ora passando al limite per ∆x → dx, ∆f → df, essendo df un incremento infinitesimale. Dalmomento che dx è molto piccolo, possiamo dire che dx ≪ x e quindi x + θdx ≈ x da cuidf = f ′ (x)dx.Ritroviamo la formula data per il differenziale df.Qualcosa di simile si ritrova nelle funzioni di due variabili.Definizione 2.7.2 Data f(x, y) funzione di due variabili, con derivate parziali prime continue, si definiscedifferenziale totale della fdf =( ) ∂fdx +∂x( ) ∂fdy = f x dx + f y dy.∂yIl differenziale df rappresenta la variazione della f quando le variabili x e y cambiano di una quantità infinitesimadx e dy.Per arrivare a questa formula, definiamo ∆f la variazione che si ha variando x e y di una quantità∆x e ∆y rispettivamente.∆f = f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)aggiungiamo e sottraiamo f(x, y + ∆y)f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y + ∆y) + f(x, y + ∆y) − f(x, y)} {{ } } {{ }incremento con y+∆y fissato incremento con x fissatoAbbiamo suddiviso ∆f in due pezzi, il primo contenente una variazione solo in x e l’altrocontenente una variazione solo in y. Applicando il teorema del valor medio come prima, otteniamo∆f = f x (x + θ 1 ∆x, y + ∆y)∆x + f y (x, y + θ 2 ∆y)∆y con θ 1 , θ 2 ∈ (0, 1).Per ∆x → dx e per ∆y → dy, con dx e dy incrementi infinitesimali (da cui dx ≪ x e dy ≪ y), risultache ∆f → f, ricavando l’espressione df = f x dx + f y dy.2.8 Derivata direzionaleLa derivata direzionale di una funzione permette di calcolare la velocità di variazione della funzionein una assegnata direzione. Le derivate parziali rispetto a x e rispetto a y rappresentano la velocitàdi variazione lungo le direzioni x e y rispettivamente. Supponiamo ora di voler calcolare come cambiauna funzione f(x, y) nel punto (x 0 , y 0 ), lungo la direzione di un arbitrario vettore unitario ⃗v dicomponenti α 1 e α 2 . Dire che ⃗v è unitario, significa che la norma euclidea del vettore vale uno, cioè(α 1 ) 2 + (α 2 ) 2 = 1.Geometricamente, se consideriamo la superficie di equazione z = f(x, y) (il grafico della f), ilpiano verticale che passa attraverso il punto (x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 )), nella direzione data da ⃗v, interseca lasuperficie in una curva. La pendenza della tangente alla curva nel punto (x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 )) rappresentala velocità di variazione della f nella direzione ⃗v, cioè la derivata direzionale della f lungo ⃗v.19

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILIAl fine di calcolare questa derivata direzionale, consideriamo un punto P (x, y) che si trova sulpiano xy lungo la retta passante per P 0 (x 0 , y 0 ) e avente direzione data da ⃗v. La retta si può scriverecome P = P 0 + h⃗v con h scalare. Ciò significa che le coordinate del punto P si possono scrivere comex = x 0 + hα 1 y = y 0 + hα 2La variazione della f tra il punto P e il punto P 0 è data da f(x 0 + hα 1 , y 0 + hα 2 ) − f(x 0 , y 0 ).Definizione 2.8.1 Definiamo derivata direzionale della f lungo la direzione ⃗v il limite, se esiste ed è finito,f(x 0 + hα 1 , y 0 + hα 2 ) − f(x 0 , y 0 )limh→0hQuesto limite si indica in modo equivalente tramite la scrittura ∂f∂⃗v (x 0, y 0 ) o D ⃗v f(P 0 ).Dalla definizione data, risulta evidente che se ⃗v = ⃗i indicando con ⃗i il versore unitario dell’assex, di componenti (1, 0), allora D ⃗v f(P 0 ) = f x (P 0 ), mentre se ⃗v = ⃗j il versore unitario dell’asse y, dicomponenti (0, 1), allora D ⃗v f(P 0 ) = f y (P 0 ). Quindi le derivate parziali rispetto a x e rispetto a y sonoun caso particolare di derivate direzionali.Vale il seguente teorema, detto formula del gradiente perchè la derivata direzionale, sottodeterminate condizioni, è legata al gradiente della funzione assegnata.Definizione 2.8.2 Data una funzione f che ammette derivate parziali in P 0 , il vettore indicato con il simbolo⃗∇f(P 0 ) o grad f(P 0 ) prende il nome di gradiente della funzione in P 0 e ha come componenti le derivate parzialiprime della f in P 0 :⃗∇f(P 0 ) = (f x (P 0 ), f y (P 0 )).Teorema 2.8.1 (Formula del gradiente) Data f : A −→ R con A ⊂ R 2 , se f è differenziabile in P 0 (x 0 , y 0 )allora f ammette derivata direzionale lungo una qualsiasi direzione unitaria ⃗v(α 1 , α 2 ) e risulta∂f∂⃗v (P 0) = f x (P 0 )α 1 + f y (P 0 )α 2Quindi la derivata direzionale si può vedere come il prodotto scalare tra il gradiente della funzione in P 0 e ilvettore ⃗v.∂f∂⃗v (P 0) = ⃗ ∇f(P 0 ) · ⃗vDimostrazione.Poichè f è differenziabile, valef(x, y) − f(x 0 , y 0 ) = f x (P 0 )(x − x 0 ) + f y (P 0 )(y − y 0 ) + σ(x, y) √ (x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2dove σ è una funzione infinitesima per (x, y) → (x 0 , y 0 ).Poichè devo calcolare la derivata direzionale, considero come punto (x, y) il punto che si trova sullaretta passante per (x 0 , y 0 ) e avente direzione data dal vettore ⃗v. Quindi, come prima, x = x 0 + hα 1 ey = y 0 + hα 2 .Sostituendo nella formula della differenziabilità si ricava:f(x 0 +hα 1 , y 0 +hα 2 )−f(x 0 , y 0 ) = f x (P 0 )(hα 1 )+f y (P 0 )(hα 2 )+σ(x 0 +hα 1 , y 0 +hα 2 ) √ h 2 (α 1 ) 2 + h 2 (α 2 ) 2Dividiamo ambo i membri per h, ricordando anche che, poichè il vettore è unitario, si ha√h2 (α 1 ) 2 + h 2 (α 2 ) 2 = |h| √ (α 1 ) 2 + (α 2 ) 2 = |h|. Quindi si ottiene:20f(x 0 + hα 1 , y 0 + hα 2 ) − f(x 0 , y 0 )h= f x (P 0 )α 1 + f y (P 0 )α 2 + |h|h σ(x 0 + hα 1 , y 0 + hα 2 )

2.9. Derivazione nelle funzioni compostePassando al limite per h → 0, a primo membro si ha proprio il limite della definizione di derivatadirezionale lungo ⃗v, mentre a secondo membro si ottiene f x (P 0 )α 1 + f y (P 0 )α 2 in quanto la quantità|h|h σ(x 0 + hα 1 , y 0 + hα 2 ) tende a 0 poichè è prodotto di un infinitesimo (la funzione σ) per la costante|h|h = ±1).Si ricava quindi l’asserto. ✔2.9 Derivazione nelle funzioni compostePer funzioni scalari, è frequente avere a che fare con funzioni del tipo y = f(x) dove però x è a suavolta funzione di un’altra variabile t, x = g(t).Se scriviamo F (t) = f(g(t)), sappiamo che F ′ (t) = f ′ (g(t))g ′ (t): applichiamo la regola diderivazione sulle funzioni composte.C’è una notazione alternativa a questa: da y = f(x) con x = g(t), abbiamodydt = dy dxdx dt .Per funzioni di più variabili, abbiamo diversi casi da considerare. Ne consideriamo i principali.G Primo caso: Sia z = f(x, y) con x = g(t) e y = h(t). Supponiamo che la f sia una funzionedifferenziabile di (x, y) e che g e h siano funzioni differenziabili di t. Allora z è una funzionedifferenziabile di t e si hadzdt = ∂f dx∂x dt + ∂f dy∂y dtOsserviamo che la derivata di z rispetto a t è una derivata totale.Esempio 2.9.1 Sia z = f(x, y) = x 3 y + 3xy 2 con x = sin (2t) e y = cos (t). Calcoliamo dzdtapplicando la formula. Poichè ∂f∂x = 3x2 y + 3y 2 , ∂f∂y = x3 + 6xy, dxdy= 2 cos (2t) e = − sin (t),dt dtricaviamo:dzdt = (3x2 y + 3y 2 )2 cos (2t) + (x 3 + 6xy)(− sin (t))A questo punto abbiamo calcolato la derivata. Per completare, dobbiamo scrivere x e y in funzione di t:dzdt = (3 sin2 (2t) cos (t) + 3 cos 2 (t))2 cos (2t) + (sin 3 (2t) + 6 sin (2t) cos (t)(− sin (t))e sistemando meglio i termini a destra ricaviamodzdt = 6(sin2 (2t) cos (2t) cos (t) + cos 2 (t) cos (2t)) − (sin 2 (2t) sin (t) + 6 sin (2t) sin (t) cos (t)).G Secondo caso: : z = f(x, y) con x = g(s, t) e y = h(s, t). Le funzioni f, g e h siano differenziabili.In questo caso possiamo calcolare le derivate parziali della f rispetto a s e t. Otteniamo∂z∂s = ∂f ∂x∂x ∂s + ∂f ∂y∂y ∂s∂z∂t = ∂f ∂x∂x ∂t + ∂f ∂y∂y ∂t21

2. LIMITI, CONTINUITÀ, DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI PIÙ VARIABILIEsempio 2.9.2 Sia z = f(x, y) = e 2x sin (y) con x = st e y = s 2 t.In tal caso, applicando la formula abbiamo:∂z∂s = 2e2x sin (y)t + e 2x cos (y)(2s) = 2e 2st (t sin (s 2 t) + s cos (s 2 t))∂z∂t = 2e2x sin (y)s + e 2x cos (y)s 2 = se 2st (2 sin (s 2 t) + s cos (s 2 t))2.10 Piano tangente ad una superficiePer funzioni di una variabile, se facciamo uno zoom intorno ad un punto del grafico di una funzionedifferenziabile, il grafico si discosta di poco dalla sua retta tangente in quel punto e possiamoapprossimare la funzione, in un intorno del punto, tramite l’equazione di una retta.Un discorso simile si può sviluppare per funzioni di due variabili. Qui lo zoom si deve fare intornoad un punto della superficie che rappresenta il grafico di una funzione differenziabile. E il grafico sidiscosterà poco da un piano (il suo piano tangente in quel punto), così che potremo approssimare lafunzione, in un intorno del punto, tramite l’equazione del piano tangente.Sia S la superficie dell’equazione z = f(x, y), con f differenziabile e di classe C 1 . SiaP 0 (x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 ) un punto di S. Consideriamo le curve che intersecano i piani verticali y = y 0 ex = x 0 sulla superficie S. Il punto di intersezione della due curve è proprio il punto P 0 . Siano T 1 eT 2 le rette tangenti alle due curve nel punto P 0 (le pendenze di queste rette sono date dalle derivateparziali rispetto a x e y). Allora il piano tangente alla superficie S nel punto P 0 è definito come il pianoche contiente entrambe le rette tangenti T 1 e T 2 . Possiamo pensare a questo piano tangente come ilpiano in cui ci sono tutte le possibili rette tangenti per P 0 alle curve che giacciono su S e passano attraversoP 0 (considerando le derivate direzionali). Il piano tangente è quindi il piano che più approssimala superficie S intorno al punto P 0 .Un piano passante per il punto P 0 ha equazione nella formaa(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − f(x 0 , y 0 )) = 0Dividendo per c e ponendo A = −a/c e B = −b/c, possiamo scriverez − f(x 0 , y 0 ) = A(x − x 0 ) + B(y − y 0 )Se questa equazione deve rappresentare l’equazione del piano tangente a P 0 sulla superficie, vuol direche l’intersezione con il piano y = y 0 deve essere la retta tangente T 1 . Ponendo y = y 0 , l’equazione siriduce az − f(x 0 , y 0 ) = A(x − x 0 ), y = y 0Ora questa è l’equazione di una retta che ha pendenza A. Ma la pendenza della tangente T 1 è f x (x 0 , y 0 ).Perciò A = f x (x 0 , y 0 ).Allo stesso modo, considerando il piano x = x 0 , il piano tangente si riduce az − f(x 0 , y 0 ) = B(y − y 0 ), x = x 0che rappresenta la retta tangente T 2 con pendenza B = f y (x 0 , y 0 ).Quindi l’equazione del piano tangente è data da22z − f(x 0 , y 0 ) = f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ).

2.11. Formula di Taylor2.11 Formula di TaylorQuando si considerano funzioni scalari differenziabili e continue, la formula di Taylor è utileper approssimare la funzione in un intorno di un punto. Data la funzione f(x) e x 0 un punto cheappartiene all’insieme di definizione della f, possiamo scrivere:f(x) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + (x − x 0) 2f ′′ (ξ x )2dove ξ x è un punto che si trova nell’insieme di definizione della f ed è compreso tra x e x 0 .La formula appena scritta prende il nome di formula di Taylor di centro x 0 e permette di approssimarela funzione f(x) in un intorno di x 0 utlizzando i valori della funzione in x 0 . Il polinomioT 1 (x) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) è il polinomio di Taylor di primo grado. In questo caso rappresenta laretta tangente alla funzione f nel punto x 0 . Se noi approssiamo f(x) mediante il polinomio di Taylordi primo grado, commettiamo un errore dato da R 1 (x) = (x − x 0) 2f ′′ (ξ x ), che possiamo maggiorare,2in valore assoluto, considerando M = max |f ′′ (x)| per x che varia nell’insieme di definizione della f,ottenendo | (x − x 0) 2f ′′ (ξ x )| ≤ |M (x − x 0) 2|, un errore del secondo ordine.22In generale, il polinomio di Taylor di grado n è dato daT n (x) = f(x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f ′′ (x 0 )2!(x − x 0 ) 2 + f (3) (x 0 )3!(x − x 0 ) 3 + . . . + f (n) (x 0 )(x − x 0 ) nn!Se approssimiamo f(x) con il polinomio di Taylor T n (x), l’errore che si commette è di ordine n + 1,poichè vale R n (x) = f (n+1) (ξ x )(x − x 0 ) n+1 .(n + 1)!Nel caso di funzioni di più variabili, il polinomio di Taylor deve considerare le derivate parzialidella funzioni.Teorema 2.11.1 Consideriamo una funzione f(x, y) di classe C 2 . Allora per ogni punto P 0 nell’insieme didefinizione della f, vale la formula di Taylor data daf(x, y) = f(x 0 , y 0 ) + f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 )+ 1 2 f xx(ξ x , η y )(x − x 0 ) 2 + f xy (ξ x , η y )(x − x 0 )(y − y 0 ) + 1 2 f yy(ξ x , η y )(y − y 0 ) 2dove Q(ξ x , η y ) è un opportuno punto che si trova sul segmento di estremi P e P 0 .Se approssimiamo la funzione f(x, y) con il polinomio di Taylor di primo grado dato daT 1 (x, y) = f(x 0 , y 0 ) + f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 )commettiamo un errore dato daR 1 (x) = 1 2 f xx(ξ x , η y )(x − x 0 ) 2 + xy (ξ x , η y )(x − x 0 )(y − y 0 ) + 1 2 f yy(ξ x , η y )(y − y 0 ) 2che è un errore del secondo ordine (abbiamo infatti le potenze (x − x 0 ) 2 , (x − x 0 )(y − y 0 ), (y − y 0 ) 2 ).Osserviamo che il polinomio di Taylor T 1 (x, y) altro non è che l’equazione del piano tangente allasuperficie della funzione f(x, y) nel punto (x 0 , y 0 , f(x 0 , y 0 )).Se consideriamo il polinomio di Taylor di ordine zero per approssimare la funzione f(x, y),abbiamo il cosidetto teorema di Lagrange.Teorema 2.11.2 (di Lagrange) Data f : A −→ R con A ⊂ R 2 , f di classe C 1 , e dato P 0 (x 0 , y 0 ) ∈ A, si haf(x, y) = f(x 0 , y 0 ) + f x (ξ x , η y )(x − x 0 ) + f y (ξ x , η y )(y − y 0 )dove Q(ξ x , η y ) è un opportuno punto che si trova sul segmento di estremi P e P 0 .23

3. Massimi e minimi3.1 Forme quadratichePrima di passare a definire i massimi e minimi di una funzione di più variabili, ci convieneintrodurre il concetto di forma quadratica perchè ci servirà per poter calcolare i massimi e i minimi.Nello spazio R 2 , una forma quadratica è un polinomio omogeneo di secondo grado nelle variabilix e y. Ad esempio, F (x, y) = 3x 2 + 5xy + 2y 2 o F (x, y) = x 2 + 10xy − 7y 2 sono forme quadratiche.Una forma quadratica si può scrivere utilizzando prodotti di matrici e vettori comeF (x, y) = ( x y ) ( ) ( )a 11 a 12 xa 21 a 22 ydove il vettore(di componenti)(x, y) è scritto prima come vettore riga e poi come vettore colonna.a11 aLa matrice A =12è la matrice dei coefficienti della forma quadratica. Eseguendo il prodottoa 21 a 22di A con il vettore colonna (x, y) otteniamo:( ) ( ) ( )a11 a 12 x a11 x + a=12 ya 22 y a 21 x + a 22 ya 21Dobbiamo poi moltiplicare il vettore riga (x, y) per il vettore colonna appena ottenuto (facendo unprodotto scalare tra vettori) ricavando:( ) ( )a x y 11 x + a 12 y= x(aa 21 x + a 22 y11 x + a 12 y) + y(a 21 x + a 22 y) = a 11 x 2 + a 12 xy + a 21 xy + a 22 y 2In definitiva, abbiamo F (x, y) = a 11 x 2 + (a 12 + a 21 )xy + a 22 y 2 .La matrice dei coefficienti della forma quadratica si può scrivere come una matrice simmetrica(con a 12 = a 21 ). Se così non fosse, la si può rendere simmetrica prendendo come coefficiente di riga 1e colonna 2 (e di riga 2 e(colonna 1))la semisomma dei valori a 12 e a 21 della matrice non simmetrica:a12 + a 21vale infatti a 12 + a 21 = 2.2Esempio 3.1.1 Sia F (x, y) = x 2 + 10xy − 7y 2 . Possiamo scrivere questa forma quadratica in formamatriciale ponendo A in forma non simmetrica:F (x, y) = ( x y ) ( ( )1 2 x8 −7)yoppure possiamo scrivere A in forma simmetrica prendendo come valore per gli elementi extra diagonali lasemisomma dei corrispondenti elementi della matrice non simmetricaF (x, y) = ( x y ) ( ( )1 5 x5 −7)yIn entrambi i casi, il risultato è sempre lo stesso, la forma quadratica F (x, y) = x 2 + 10xy − 7y 2 .In generale, una forma quadratica in R 2 viene rappresentata utilizzando una matrice simmetricanella formaF (x, y) = ( x y ) ( ( )a b xb c)y25

3. MASSIMI E MINIMIda cuiF (x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 .Nel caso dello spazio R n si generalizza la definizione di forma quadratica nel modo seguente.Definizione 3.1.1 Una forma quadratica in R n è un polinomio omogeneo di secondo grado nelle n variabilix 1 , x 2 , . . . , x n , a coefficienti reali. Una forma quadratica si può scrivere comeF (x 1 , x 2 , . . . , x n ) =n∑a ij x i x ji,j=1In forma matriciale si può scrivere come⎛⎞a 11 a 12 . . . a⎛ ⎞1n x 1F (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ( )a 21 a 22 . . . a 2nx 1 x 2 . . . x n ⎜⎟ ⎜x 2⎟⎝ . . . . . . ⎠ ⎝. . . ⎠a n1 a n2 . . . a nnx nSe la matrice della forma quadratica non è simmetrica la si può rendere simmetrica come abbiamovisto in R 2 .Torniamo ora a considerare forme quadratiche in R 2 visto che lavoreremo soprattutto in questospazio.Definizione 3.1.2 Una forma quadratica F (x, y) si dicedefinita positiva se, per ogni (x, y) ≠ (0, 0), F (x, y) > 0;semidefinita positiva se, per ogni (x, y) ≠ (0, 0), F (x, y) ≥ 0;definita negativa se, per ogni (x, y) ≠ (0, 0), F (x, y) < 0;semidefinita negativa se, per ogni (x, y) ≠ (0, 0), F (x, y) ≤ 0;G indefinita se esistono almeno due punti (x 1 , y 1 ) e (x 2 , y 2 ) tali che F (x 1 , y 1 ) > 0 e F (x 2 , y 2 ) < 0.Come fare a capire se una forma quadratica è definita positiva, negativa o indefinita? Abbiamo ilseguente teorema.Teorema 3.1.1 Data la forma quadrata F (x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 :G se det(A) = ac − b 2 > 0 e a > 0 allora F (x, y) è definita positiva;G se det(A) = ac − b 2 > 0 e a < 0 allora F (x, y) è definita negativa;G se det(A) = ac − b 2 < 0 allora F (x, y) è indefinita.Vale anche il viceversa:G se F (x, y) è definita positiva allora det(A) = ac − b 2 > 0 e a > 0;G se F (x, y) è definita negativa allora det(A) = ac − b 2 > 0 e a < 0;G se F (x, y) è indefinita allora det(A) = ac − b 2 < 0.Dimostrazione. Ricordiamo innanzitutto che det(A) rappresenta il determinante della matrice Ache caratterizza la forma quadratica e che vale det(A) = ac − b 2 .Scriviamo ora la forma quadratica mettendo in evidenza il coefficiente a e aggiungendo esottraendo b2a 2 y2 , otteniamo:F (x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2= a(x 2 + 2 b a xy + c )a y2= a(x 2 + 2 b b2xy +a a 2 y2 − b2a 2 y2 + c )a y226

3.1. Forme quadraticheOsserviamo che x 2 + 2 b b2xy +a a 2 y2 = (x + b a y)2 . Inoltre − b2a 2 y2 + c a y2 =Abbiamo dunqueF (x, y) = a((x + b )ac −a y)2 b2+a 2 y 2ac − b2a 2 y 2 .La forma quadratica è dunque data dal prodotto di a per la somma di due termini: il termine (x+ b a y)2ac − b2è il quadrato di un binomio ed è sempre positivo; il terminea 2 y 2 può essere positivo o negativoa seconda del segno di ac − b 2 .Se a > 0 e ac − b 2 > 0 allora la forma quadratica è sempre maggiore di zero e quindi è definitapositiva.Se a < 0 e ac − b 2 > 0, la forma quadratica è definita negativa.Se invece ac − b 2 < 0 possiamo avere valori di (x, y) per cui la forma quadratica è positiva e altrivalori per cui la forma quadratica è negativa.Viceversa, supponiamo che la F sia definita positiva, negativa o indefinita. Mettiamo in evidenzail termine y 2 nella forma quadratica. Si ha()F (x, y) = y 2 a x2y 2 + 2bx y + cPoniamo t = x yin modo da poter scrivereF (x, y) = y 2 (at 2 + 2bt + c)Supponiamo che la forma quadratica sia definita positiva: vuol dire che y 2 (at 2 + 2bt + c) > 0 per ognicoppia (x, y) ≠ (0, 0), quindi deve essere at 2 + 2bt + c > 0 per ogni t: questo si ha con a > 0 e con ildiscriminante dell’equazione di secondo grado in t negativo, cioè 4b 2 − 4ac < 0, vale a dire ac − b 2 > 0.Se invece la forma quadratica è definita negativa, vuol dire che at 2 + 2bt + c < 0 per ogni valore dit, quindi deve essere a < 0 e il discriminante negativo, quindi ancora ac − b 2 > 0.Se invece la forma quadratica è indefinita, possiamo avere sia valori positivi che valori negativi,perciò il discriminante dell’equazione di secondo grado in t deve essere positivo, cioè ac − b 2 < 0. 1 ✔Nel caso di forme quadratiche in R n , l’analogo teorema per vedere se una forma quadratica èdefinita positiva, negativa o indefinita è dato dal teorema di Sylvester, che considera i determinanti ditutti i minori principali delle matrice A che definisce la forma quadratica.Definizione 3.1.3 Data A matrice di n righe e n colonne, si definisce minore principale di ordine k e si indicacon A k la matrice che si forma dalla matrice A prendendo le prime k righe e k colonne della matrice stessa.1 Per la seconda parte di questo teorema ci siamo rifatti alle note proprietà:G ax 2 + bx + c = 0– se ∆ = b 2 − 4ac < 0 ⇒ non esistono radici reali all’equazione;– se ∆ = 0 ⇒ le radici sono coincidenti x 1 = x 2 = −b2a ;– se ∆ > 0 ⇒ esistono due radici reali e distinte date da −b ± √ ∆.2aG ax 2 + bx + c > 0, a > 0– se ∆ = b 2 − 4ac < 0 ⇒ l’insieme delle soluzioni che soddisfano la disequazione data è tutto R– se ∆ = 0 ⇒ l’insieme delle soluzioni è tutto R privato della radice dell’equazione ax 2 + bx + c = 0– se ∆ > 0 ⇒ l’insieme delle soluzioni è dato dai valori esterni all’intervallo delle due radici dell’equazione disecondo grado.G ax 2 + bx + c < 0, a > 0– se ∆ ≤ 0 ⇒ non ci sono soluzioni per questa disequazione;– se ∆ > 0 ⇒ l’insieme delle soluzioni è dato dai valori interni all’intervallo delle due radici dell’equazione.27

3. MASSIMI E MINIMIQuindi A 1 = (a 11 ), A 2 =( )a11 a 12, Aa 21 a k =22⎛⎞a 11 a 12 . . . a 1ka 21 a 22 . . . a 2k⎜⎟⎝ . . . . . . ⎠ .a k1 a k2 . . . a kkTeorema 3.1.2 (di Sylvester) Data una forma quadratica in R n , F (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = ∑ ni,j=1 a ijx i x j , alloraG F è definita positiva se e solo se det(A k ) > 0 per ogni k = 1, 2, . . . , n;G F è definita negativa se e solo se (−1) k det(A k ) > 0 per ogni k = 1, 2, . . . , n.3.2 Massimi e minimiPer funzioni scalari, le derivate della funzione aiutano a capire e a trovare i suoi valori massimi eminimi e i punti in cui la funzione assume tali valori. Per funzioni di due variabili, sono di aiuto lederivate parziali.Definizione 3.2.1 Sia data una funzione di due variabili f(x, y) definita in un sottoinsieme I ⊂ R 2 .G Se esiste un punto P 0 (x 0 , y 0 ) tale che per ogni P (x, y) ∈ I, risultaf(x, y) ≤ f(x 0 , y 0 )allora P 0 si dice punto di massimo assoluto per la funzione f e il valore f(x 0 , y 0 ) si dice massimo assolutodella funzione.G Se esiste un punto P 0 (x 0 , y 0 ) tale che per ogni P (x, y) ∈ I, P ≠ P 0 risultaf(x, y) < f(x 0 , y 0 )allora P 0 si dice punto di massimo assoluto proprio per la funzione f e il valore f(x 0 , y 0 ) si dice massimoassoluto proprio della funzione.Cambiando il segno alle diseguaglianze abbiamo la definizione di minimo assoluto e minimo assoluto proprio.G Se esiste un punto P 0 (x 0 , y 0 ) tale che per ogni P (x, y) ∈ I, risultaf(x, y) ≥ f(x 0 , y 0 )allora P 0 si dice punto di minimo assoluto per la funzione f e il valore f(x 0 , y 0 ) si dice minimo assolutodella funzione.G Se esiste un punto P 0 (x 0 , y 0 ) tale che per ogni P (x, y) ∈ I, P ≠ P 0 risultaf(x, y) > f(x 0 , y 0 )allora P 0 si dice punto di minimo assoluto proprio per la funzione f e il valore f(x 0 , y 0 ) si dice minimoassoluto proprio della funzione.Se queste definizioni valgono non in tutto l’insieme di definizione della funzione f ma localmente, inun intorno di P 0 , allora si ottengono le definizioni di punto di massimo (o minimo) relativo (o relativoproprio).Definizione 3.2.2 Sia data una funzione di due variabili f(x, y) definita in un sottoinsieme I ⊂ R 2 .G Se esiste un punto P 0 (x 0 , y 0 ) e un intorno di centro P 0 e opportuno raggio r tale che per ogni P (x, y) ∈A r (P 0 ), risulta28f(x, y) ≤ f(x 0 , y 0 )allora P 0 si dice punto di massimo relativo per la funzione f e il valore f(x 0 , y 0 ) si dice massimo relativodella funzione.

3.3. Ricerca di massimi e minimi relativiG Se esiste un punto P 0 (x 0 , y 0 ) e un intorno di centro P 0 e opportuno raggio r tale che per ogni P (x, y) ∈A r (P 0 ), P ≠ P 0 , risultaf(x, y) < f(x 0 , y 0 )allora P 0 si dice punto di massimo relativo proprio per la funzione f e il valore f(x 0 , y 0 ) si dice massimorelativo della funzione.Cambiando il segno alle diseguaglianze abbiamo la definizione di minimo relativo e minimo relativo proprio.Definizione 3.2.3 I valori massimo e minimo (assoluti o relativi) assunti dalla funzione si chiamano ancheestremi (assoluti e relativi) della funzione.Un punto di estremo relativo interno all’insieme di definizione della funzione f si chiama punto di estremorelativo interno.Teorema 3.2.1 Se una funzione f : I −→ R, con I ⊂ R 2 , I aperto, f ∈ C 1 (I), ammette un punto dimassimo o minimo relativo interno nel punto P 0 (x 0 , y 0 ) allora esistono le derivate parziali della f in P 0 e valef x (P 0 ) = f y (P 0 ) = 0Dimostrazione. Sia P 0 (x 0 , y 0 ) un punto di massimo (o minimo) relativo interno. Poniamo g(x) =f(x, y 0 ). Come conseguenza la funzione g ammette in x = x 0 un punto di massimo (o minimo) relativointerno e, quindi, g ′ (x 0 ) = 0. Ma g ′ (x 0 ) = f x (x 0 , y 0 ). Perciò vale f x (x 0 , y 0 ) = 0.Allo stesso modo, posto h(y) = f(x 0 , y), si ha che y 0 è punto di massimo (o minimo) relativo internoper la funzione h, da cui h ′ (y 0 ) = 0. Ma h ′ (y 0 ) = f y (x 0 , y 0 ) e quindi f y (x 0 , y 0 ) = 0. ✔Perciò, se P 0 è un punto di estremo relativo interno per la funzione f, necessariamente il gradientedella f in P 0 è il vettore nullo:⃗∇(f)(P 0 ) = (00).Non vale il viceversa, tuttavia se dobbiamo cercare i punti di massimo e minimo relativo interni all’insiemedi definizione di una funzione, dobbiamo analizzare quei punti che hanno il gradiente nulloperchè tra questi ci saranno i punti di massimo e minimo relativi. Se l’insieme di definizione dellafunzione è un insieme aperto, i punti di massimo e minimo relativo sono tutti punti interni all’insiemedi definizione.Vale la seguente definizione.Definizione 3.2.4 Un punto P 0 (x 0 , y 0 ) tale che ⃗ ∇(f)(P 0 ) = (00) si dice punto critico (o stazionario) dellafunzione f.3.3 Ricerca di massimi e minimi relativiPer capire se una funzione ha un punto di massimo o minimo relativo in un suo punto critico, vienein aiuto il cosiddetto test sulle derivate seconde. A tale scopo introduciamo la seguente definizione.Definizione 3.3.1 Data una funzione f ∈ C 2 (I), con I ⊂ R 2 , I aperto, e dato un punto P 0 ∈ I, si definiscehessiano della f in P 0 il determinante H f (P 0 ) della matrice( )fxx (P 0 ) f xy (P 0 )f xy (P 0 ) f yy (P 0 )Poichè la funzione è di classe C 2 , vale f xy = f yx .QuindiH f (P 0 ) =∣ f xx(P 0 ) f xy (P 0 )f xy (P 0 ) f yy (P 0 ) ∣ = f xx(P 0 )f yy (P 0 ) − (f xy (P 0 )) 2 29

3. MASSIMI E MINIMITeorema 3.3.1 (Test sulle derivate seconde) Data una funzione f ∈ C 2 (I), con I ⊂ R 2 , I aperto, e datoP 0 punto critico per f, avente come hessiano H f (P 0 ) = f xx (P 0 )f yy (P 0 ) − (f xy (P 0 )) 2 , si ha:G se H f (P 0 ) > 0 e f xx (P 0 ) > 0, allora P 0 è un punto di minimo relativo interno proprio e f(P 0 ) è unvalore di minimo relativo;G se H f (P 0 ) > 0 e f xx (P 0 ) < 0, allora P 0 è un punto di massimo relativo interno proprio e f(P 0 ) è unvalore di massimo relativo;G se H f (P 0 ) < 0 allora P 0 non è nè punto di massimo nè punto di minimo relativo e si chiama punto disella.Osserviamo che se vale H f (P 0 ) = 0, P 0 può essere punto di minimo, massimo o di sella: bisogna indagare casoper caso.Dimostrazione.funzione f:Per dimostrare questo teorema, applichiamo la formula di Taylor di centro P 0 allaf(x, y) = f(x 0 , y 0 ) + f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 )+ 1 2 f xx(ξ x , η y )(x − x 0 ) 2 + f xy (ξ x , η y )(x − x 0 )(y − y 0 ) + 1 2 f yy(ξ x , η y )(y − y 0 ) 2Considerando x = x 0 + h e y = y 0 + k, poichè P 0 è un punto critico, la formula si riduce af(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0 , y 0 ) + 1 2 f xx(ξ x , η y )h 2 + f xy (ξ x , η y )hk + 1 2 f yy(ξ x , η y )k 2= f(x 0 , y 0 ) + 1 (fxx (ξ x , η y )h 2 + 2f xy (ξ x , η y )hk + f yy (ξ x , η y )k 2)2dove (ξ x , η y ) è un punto che non conosciamo, sul segmento di estremi P e P 0 .In un opportuno intorno di P 0 , per il teorema della permanenza del segno, se vale f xx (x 0 , y 0 ) > 0vale anche f xx (x, y) > 0 nell’intorno di P 0 . Alla stessa maniera, sempre per lo stesso teorema sullapermanenza del segno, se H f (P 0 ) > 0 anche H f (P ) > 0 nell’intorno di P 0 .Supponiamo, allora di trovarci nelle ipotesi in cui H f (P 0 ) > 0 e f xx (P 0 ) > 0. Allora la formaquadratica data daF 0 (h, k) = f xx (P 0 )h 2 + 2f xy (P 0 )hk + f yy (P 0 )k 2ha il determinante della matrice ad essa associata che vale det(A) = f xx (P 0 )f yy (P 0 ) − (f xy (P 0 )) 2cioè det(A) = H f (P 0 ). Poichè per ipotesi, H f (P 0 ) > 0 e f xx (P 0 ) > 0, allora la forma quadraticaè definita positiva. La stessa cosa vale per la forma quadratica definita in un opportuno intornodi P 0 , considerando il punto (ξ x , η x ) della formula di Taylor: la forma quadratica data daF ξ,η (h, k) = f xx (ξ x , η y )h 2 + 2f xy (ξ x , η y )hk + f yy (ξ x , η y )k 2 è una forma quadratica positiva, cioèF ξ,η (h, k) > 0. Riprendendo la formula di Taylor, in un intorno di P 0 risulta quindida cuicioèf(x, y) = f(x 0 , y 0 ) + 1 2 F ξ,η(h, k)f(x, y) − f(x 0 , y 0 ) = 1 2 F ξ,η(h, k) > 0f(x, y) > f(x 0 , y 0 ).Il punto P 0 è perciò un punto di minimo relativo proprio.Analogamente si provano gli altri due casi: se l’hessiano in P 0 è positivo e f xx (P 0 ) < 0 allora laforma quadratica associata è definita negativa e, dalla formula di Taylor, risulta che P 0 è un punto di30

3.3. Ricerca di massimi e minimi relativiFigura 3.1: Grafico della funzione f(x, y) = x 4 + y 4 − 4xy + 2.massimo relativo. Se invece l’hessiano è negativo, la forma quadratica associata è indefinita e quindiP 0 non può essere nè di massimo nè di minimo, ma è un punto di sella. ✔Esempio 3.3.1 Calcolare i punti di massimo e minimo relativo e i corrispondenti valori di massimo e minimodella funzione f(x, y) = x 4 + y 4 − 4xy + 2.Calcoliamo i punti critici della funzione calcolando le derivate parziali prime e ponendole uguali a zero:{f x (x, y) = 4x 3 − 4y = 0f y (x, y) = 4y 3 − 4x = 0Dalla prima equazione abbiamo y = x 3 e sostituendo nella seconda equazione ricaviamo0 = 4(x 9 −x) = 4x(x 8 −1) = 4x(x 4 −1)(x 4 +1) = 4x(x 2 −1)(x 2 +1)(x 4 +1) = 4x(x−1)(x+1)(x 2 +1)(x 4 +1)Le radici reali sono tre x = 0, x = 1, x = −1, che, insieme alla relazione y = x 3 , ci danno i tre punti criticiP 0 (0, 0), P 1 (1, 1) e P 2 (−1, −1).Per ciascuno di questi punti critici applichiamo il teorema del test sulle derivate seconde. In questo caso lederivate parziali seconde sono:f xx = 12x 2 , f xy = −4, f yy = 12y 2Per il punto P 0 abbiamo H f (P 0 ) = −16 < 0, quindi possiamo dire subito che P 0 è un punto di sella.Per P 1 si ha H f (P 1 ) = 128 > 0, f xx (P 1 ) = 12 > 0, quindi P 1 è un punto di minimo relativo internoproprio con valore minimo f(P 1 ) = 0.Per P 2 vale H f (P 2 ) = 128 > 0, f xx (P 2 ) = 12 > 0, quindi P 2 è un altro punto di minimo relativo internoproprio con valore minimo f(P 2 ) = 0.In Figura 3.1 possiamo osservare come P 1 e P 2 siano punti di minimo mentre P 0 è un punto di sella.31

3. MASSIMI E MINIMIFigura 3.2: Grafico della funzione f(x, y) = 2y 2 .Esempio 3.3.2 Consideriamo ora la funzione f(x, y) = 2y 2 e cerchiamo i punti di massimo e minimorelativo. Per i punti critici, imponiamo che il gradiente della funzione sia uguale a zero, quindi{f x = 0f y = 4y = 0La f x vale sempre zero perchè la f non dipende da x, Dalla seconda equazione ricaviamo y = 0, da cui i punticritici della funzione sono tutti i punti di coordinate (x, 0), cioè tutti i punti dell’asse delle x.Andiamo a calcolare l’Hessiano in questi punti. Poichè f xx = 0, f xy = 0, e f yy = 4, segue che H f (x, 0) = 0.Quindi il teorema sul test delle derivate seconde non ci può dire nulla.In tal caso, dobbiamo vedere come è fatta la funzione e cercare di capire cosa succede in un intorno di questipunti critici.Fissato x = x 0 , per il punto (x 0 , 0), in un suo qualunque intorno vale f(x, y) = 2y 2 ≥ 0 = f(x 0 , 0) (possoprendere anche un punto che ha y = 0 ma x ≠ x 0 ). Si conclude quindi che (x 0 , 0) è un punto di minimorelativo. Questo vale per tutti i punti (x, 0), che sono, dunque, tutti punti di minimo relativo (non proprio).Si veda la Figura 3.2 per confrontare i risultati.3.4 Sui massimi e minimi assolutiPer funzioni scalari, il teorema di Weierstrass assicura che se una funzione è continua in unintervallo chiuso e limitato allora essa ammette massimo e minimo (assoluti).Lo stesso teorema vale anche per funzioni di più variabili.Teorema 3.4.1 (di Weierstrass) Data una funzione continua f : I −→ R, con I ⊂ R 2 , I insieme chiuso elimitato (quindi compatto), la f ammette massimo e minimo (assoluti) in I.Questo teorema è utile per trovare massimi e minimi assoluti di una funzione continua in uninsieme compatto I. Si può applicare questo metodo:32

3.4. Sui massimi e minimi assoluti1. si calcola il valore della f nei punti critici della f che si trovano all’interno di I;2. si studia la funzione sulla frontiera di I e si cercano i valori estremi della f sulla frontiera;3. il più grande dei valori trovati ai passi 1 e 2 rappresenta il valore assoluto massimo della funzione;il più piccolo dei valori trovati rappresenta il valore minimo assoluto della funzione. Icorrispondenti punti sono rispettivamente i punti di massimo e minimo assoluti della funzione.Osserviamo, quindi, che la procedura per trovare i valori estremi assoluti di una funzione, in uninsieme compatto, è diversa dalla procedura per trovare gli estremi relativi di una funzione medianteil test delle derivate seconde.A volte, si cercano sia gli estremi assoluti sia gli estremi relativi di una funzione e, in questo caso,vanno seguite entrambe le strade.Esempio 3.4.1 Si devono trovare gli estremi assoluti della funzione f(x, y) = x 2 − 4xy + 4y sul rettangoloD = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 4}.L’insieme D è un insieme chiuso e limitato (il rettangolo di vertici A(0, 0), B(2, 0), C(2, 4), D(0, 4)), lafunzione è polinomiale, perciò continua. Ci troviamo nelle ipotesi del teorema di Weierstrass, quindi esistonoil massimo e il minimo assoluti della funzione in D.Cerchiamo i punti critici interni: da f x = 2x − 4y e f y = −4x + 4, ponendo queste derivate uguali a zeroabbiamo il sistema di equazioni{2x − 4y = 04 − 4x = 0Dalla seconda equazione ricaviamo x = 1, da cui, nella prima, 4y = 2, cioè y = 1 . Otteniamo il punto2critico P 0 (1, 1 2 ). Il punto P 0 si trova all’interno dell’insieme D (se così non fosse non lo dovremmo prenderein considerazione). Calcoliamo f(P 0 ) = 1. Non dobbiamo vedere se questo è un punto di massimo o minimorelativo (non è richiesto), quindi passiamo a vedere cosa succede alla funzione sulla frontiera (se invece dovessimocalcolare anche gli estremi relativi, a questo punto dovremmo applicare il test della derivata seconda).La frontiera dell’insieme I è dato dall’unione dei segmenti AB, BC, CD e DA.Il segmento AB ha equazione y = 0 con 0 ≤ x ≤ 2. Su questo segmento la funzione f si riduce aduna funzione della sola variabile x, g(x) = f(x, 0) = x 2 , con 0 ≤ x ≤ 2. Si vede facilmente (poichèg ′ (x) = 2x ≥ 0 nell’intervallo dato) che la g è una funzione crescente in [0, 2]: il suo valore minimo si haper x = 0 (g(0) = 0) e il suo valore massimo per x = 2 (g(2) = 4). Quindi dal segmento AB dobbiamoricordare i punti A e B dove la funzione vale 0 e 4 rispettivamente.Il segmento BC ha equazione x = 2 con 0 ≤ y ≤ 4. Qui la funzione si riduce a h(y) = f(2, y) =4 − 8y + 4y = 4 − 4y nell’intervallo [0, 4]. La funzione è decrescente (h ′ (y) = −4 < 0), quindi assumevalore massimo in 0 (h(0) = 4) e minimo in 4 (h(4) = −12). Per y = 0 ritroviamo il punto B, per y = 4troviamo il vertice C.Sul segmento CD, di equazione y = 4, con 0 ≤ x ≤ 2, la funzione diventa g(x) = f(x, 4) = x 2 − 16x + 16per x ∈ [0, 2]. La derivata g ′ (x) = 2x − 16 si annulla per x = 8 che è un punto all’esterno dell’intervallo incui deve variare la x (se fosse all’interno avremmo trovato un punto critico da considerare ai fini del calcolodegli estremi della f). Si ha g ′ (x) < 0 per 2x − 16 < 0 cioè x < 8: quindi nell’intervallo [0, 2] la g èdecrescente e assume valore massimo in 0 (g(0) = 16) e valore minimo in 2 (g(2) = −12). Per x = 0abbiamo il vertice D, per x = 2 ritroviamo C.Arriviamo infine al segmento AD dato dall’equazione x = 0, per 0 ≤ y ≤ 4. La funzione diventa h(y) =f(0, y) = 4y. La funzione è crescente e assume valore minimo e massimo rispettivamente agli estremi 0 e 4.Ritroviamo i punti A e D.33

3. MASSIMI E MINIMIFigura 3.3: Grafico della funzione f(x, y) = x 2 − 4xy + 4y nell’insieme compatto [0, 2] × [0, 4].Quindi i valori da confrontare sono: P 1 (1, 1 2 ) dove f(P 1) = 1, A dove f(A) = 0, B con f(B) = 4, C dovef(C) = −12, e D con f(D) = 16.Dal confronto segue che il massimo assoluto vale 16 e punto di massimo assoluto è D, mentre il minimoassoluto è −12 con punto di minimo assoluto C.3.5 Funzioni impliciteNello studiare funzioni scalari, abbiamo visto funzioni del tipo y = f(x): la variabile y è funzioneesplicita della variabile y:y = sin (x), y = √ x 3 + 2, y = ln x + 4, . . . . . .Ma ci sono anche funzioni che sono definite implicitamente da una relazione tra x e y come, adesempio,x 2 + y 2 = 9 o x 3 + y 3 = 12xy o xye xy2 + 3ye −x = 0 o . . .In alcuni casi è possibile risolvere questo tipo di equazioni scrivendo y come una funzione esplicita (opiù funzioni esplicite) di x.Nel caso di x 2 +y 2 = 9, si ottiene y = ± √ 9 − x 2 , quindi due troviamo due funzioni f(x) = √ 9 − x 2e g(x) = − √ 9 − x 2 . I grafici della f e della g sono rispettivamente il semicerchio superiore e inferioredella circonferenza x 2 + y 2 = 9 e, insieme, ci danno il grafico di tutta la circonferenza.Non è altrettanto facile trovare un’espressione esplicita di y come funzione di x nel caso di x 3 +y 3 =12xy: potremmo usare la formula per trovare le radici di un polinomio di terzo grado (supponendo xcostante). Ma le formule sono talmente complicate che non le scriviamo neanche! Ci accontentiamo disapere che è possibile risolvere il problema.34

3.5. Funzioni implicitePer la funzione xye xy2 + 3ye −x = 0 non riusciamo a trovare una formula esplicita che ci permettadi scrivere y in funzione di x o viceversa x come funzione di y.Si ha quindi questo problema: data un’equazione f(x, y) = 0 è possibile scrivere y = g(x) tale chef(x, g(x)) = 0? In tal caso diremo che la y = g(x) è definita implicitamente dalla f. Si ha la seguentedefinizione.Definizione 3.5.1 Data una funzione f(x, y) definita in un sottoinsieme di R 2 , diciamo che la funzione y =g(x) definita in un intervallo di R è definita implicitamente dall’equazione f(x, y) = 0 se, per ogni x cheappartiene all’intervallo di definizione della g, si ha cheG il punto (x, g(x)) appartiene all’insieme di definizione della f;G f(x, g(x)) = 0.Dire f(x, y) = 0 vuol dire intersecare il grafico della superficie della funzione f con il piano z = 0, cioècon il piano xy, ricavandone quindi una curva. Per tutti quei punti per cui (x, g(x)) ∈ I e f(x, g(x)) = 0il grafico della g coincide con il grafico della curva f(x, y) = 0.Per capire se esiste una funzione g definita implicitamente dalla f e se è unica, si ha il seguenteteorema.Teorema 3.5.1 (delle funzioni implicite o teorema di Dini) Sia data una funzione f : I −→ R con I ⊂R 2 , I aperto, f ∈ C 1 (I). Sia P 0 (x 0 , y 0 ) ∈ I tale che f(x 0 , y 0 ) = 0 e f y (x 0 , y 0 ) ≠ 0. Allora esiste un’unicafunzione y = g(x) definita in un opportuno intorno di x 0 (]x 0 − ɛ, x 0 + ɛ[), di classe C 1 , tale che, per ognix ∈]x 0 − ɛ, x 0 + ɛ[ risultaG y 0 = g(x 0 )G (x, g(x)) ∈ IG f(x, g(x)) = 0G g ′ (x) = − f x(x, g(x))f y (x, g(x)) .La formula della derivata prima di g si ottiene applicando le regole di derivazione per le funzionicomposte. Poichè f y (x 0 , y 0 ) ≠ 0, per il teorema della permanenza del segno si ha f y (x, g(x)) ≠ 0 in unintorno di (x 0 , y 0 ). Deriviamo ambo i membri dell’equazione f(x, g(x)) = 0 rispetto alla variabile x (ècome se avessimo x = t, y = g(x) = g(t) ma continuiamo a chiamare la variabile t con x). Abbiamodfdx = 0Ma (considerando che dxdx = 1)Dunquedfdx = f x(x, g(x)) + f y (x, g(x))g ′ (x).f x (x, g(x)) + f y (x, g(x))g ′ (x) = 0Poichè, per l’ipotesi f y (x 0 , y 0 ) ≠ 0 (quindi anche f y (x, g(x)) ≠ 0) possiamo dividere tutto per f yricavandog ′ (x) = − f x(x, g(x))f y (x, g(x))Osserviamo che il teorema di Dini dà una condizione sufficiente ma non necessaria per l’esistenzae unicità delle funzioni implicite.35

3. MASSIMI E MINIMICome conseguenza del teorema, possiamo ricavare l’equazione della retta tangente alla funzioney = g(x) definita implicitamente dalla f nel punto x 0 . Infatti l’equazione della retta tangente in x 0 perla funzione g è data day − g(x 0 ) = g ′ (x 0 )(x − x 0 ) cioè y − y 0 = − f x(x 0 , y 0 )f y (x 0 , y 0 ) (x − x 0)Moltiplicando ambo i membri per f y (x 0 , y 0 ) troviamof y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) = −f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) da cui f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) = 0Quest’ultima relazione dice che il gradiente della f in (x 0 , y 0 ) è ortogonale alla retta tangente allacurva f(x, y) = 0 in P 0 .3.5.1 Equazione di una retta e vettore normale alla rettaFacciamo un breve richiamo di geometria analitica per comprendere meglio che la relazionef x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) = 0scritta prima significa dire che il gradiente della f in (x 0 , y 0 ) è ortogonale alla retta tangente a f(x, y) =0 in P 0 .Sia assegnata una retta nello spazio R 2 e sia P 0 = (x 0 , y 0 ) un punto che giace sulla retta.Sia ⃗n = (a, b) (n sta per normale) un vettore ortogonale (normale, perpendicolare) alla retta: ilvettore è detto vettore normale.Sia dato un altro generico punto P = (x, y) sulla retta.Indichiamo con ⃗r e ⃗r 0 i vettori che ci indicano i due punti P e P 0 rispettivamente (si veda figura 3.4).Il segmento P P 0 è dato dal vettore ⃗r − ⃗r 0 .Figura 3.4: retta nel pianoOra, poichè ⃗n è ortogonale alla retta, esso è ortogonale al vettore ⃗r − ⃗r 0 , cioè il prodotto scalare trai due vettori è nullo:⃗n · (⃗r − ⃗r 0 ) = 0Poichè ⃗r − ⃗r 0 = (x − x 0 , y − y 0 ), il prodotto scalare diventaa(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) = 036

3.5. Funzioni impliciteQuesta che abbiamo scritto rappresenta l’equazione della retta passante 2 per P e P 0 .Quindi, data l’equazione di una retta nella forma a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) = 0 il vettore che ha comecomponenti i due coefficienti a e b, rappresenta il vettore normale alla retta: ⃗n = (a, b). 3Riprendendo la retta f x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) = 0, questa retta rappresenta la rettatangente a y = g(x) nel punto x 0 . Poichè il grafico della g coincide con il grafico della curva f(x, y) = 0nell’intorno di x 0 , vuole dire che la retta è tangente alla curva f(x, g(x)) = 0 in (x 0 , y 0 ). Il gradientedella f in (x 0 , y 0 ) è dunque ortogonale alla tangente a questa curva.Dallo studio di g ′ e, eventualmente di g ′′ (che si ottiene applicando nuovamente la formula diderivazione delle funzioni composte) possiamo ottenere informazioni sulla funzione g e, quindi, anchesu f(x, y) = 0 nell’intorno di un punto (x 0 , y 0 ). Lo vediamo con un esempio.Esempio 3.5.1 Sia data la funzione f(x, y) = xe 4y + 3y − 1. Si vuol vedere se nel punto P 0 (x 0 , y 0 ) =(0, 1 ) sono verificate le ipotesi del teorema di Dini e, in caso affermativo, se la funzione y = g(x) definita3implicitamente da f(x, y) = 0 è una funzione crescente o decrescente, concava o convessa in un intorno dix 0 .Calcoliamo f(0, 1 3 ) = 0 + 1 − 1 = 0. Inoltre f y(x, y) = 4xe 4y + 3 e f y (0, 1 3 ) = 3 ≠ 0.L’altra derivata parziale è f x = e 4y . Le derivate parziali sono continue, quindi f ∈ C 1 . Siamo nelle ipotesidel teorema di Dini, quindi esiste un’unica funzione y = g(x) definita in un intorno di x 0 = 0 tale che(x, g(x)) appartiente all’insieme di definizione della f, f(x, g(x)) = 0 e g ′ (x) = − f x(x, g(x))f y (x, g(x)) .Per vedere se la funzione è crescente o decrescente, calcoliamo g ′ (0). Poichè f x (0, 1 3 ) = e4/3 e f y (0, 1 3 ) = 3,risulta g ′ (0) = − e4/3< 0. Quindi la g è decrescente in un intorno di 0.3Per calcolare g ′′ (0) (e capire quindi se la g è convessa o concava) torniamo all’equazionef x (x, g(x)) + f y (x, g(x))g ′ (x) = 0e deriviamo ancora rispetto a x, ottenendof xx (x, g(x)) + f xy (x, g(x))g ′ (x) + f yx (x, g(x))g ′ (x) + f yy (x, g(x))(g ′ (x)) 2 + f y (x, g(x))g ′′ (x) = 0Nelle ipotesi (verificate in questo esempio) di derivate parziali seconde continue, vale f xy = f yx . Inoltre,f y (x, g(x)) ≠ 0 quindig ′′ (x) = − f xx(x, g(x)) + 2f xy (x, g(x))g ′ (x) + f yy (x, g(x))(g ′ (x)) 2f y (x, g(x))Adesso possiamo calcolare g ′′ (0). Abbiamo f xx = 0, f xy = 4e 4y , f yy = 16xe 4y , da cui f xx (P 0 ) = 0,f xy (P 0 ) = 4e 4/3 , f yy = 0, quindi8e 4/3 (− e4/3g ′′ (0) = − 3 )> 03La funzione è convessa in un intorno di 0.Osserviamo che, se f(x 0 , y 0 ) = 0 e f y (x 0 , y 0 ) = 0, non possiamo applicare il teorema di Dini.Tuttavia, se, oltre a f(x 0 , y 0 ) = 0, si ha f x (x 0 , y 0 ) ≠ 0, si può applicare il teorema di Dini, scambiandoil ruolo di x e y. Si ha la seguente formulazione2 Spesso troviamo l’equazione scritta nella formao ancoraax + by = d dove d = ax 0 + by 0y = mx + d dove m = − a b , d = a b x 0 + y 03 ⃗n = (−m, 1), se usiamo la rappresentazione della retta mediante y = mx + d.37

3. MASSIMI E MINIMIFigura 3.5: Curve di livello nelle mappe di meteorologia.Teorema 3.5.2 (di Dini, scambiando il ruolo di x e y) Sia data una funzione f : I −→ R con I ⊂ R 2 , Iaperto, f ∈ C 1 (I). Sia P 0 (x 0 , y 0 ) ∈ I tale che f(x 0 , y 0 ) = 0 e f x (x 0 , y 0 ) ≠ 0. Allora esiste un’unica funzionex = h(y) definita in un opportuno intorno di y 0 (]y 0 −ɛ, y 0 +ɛ[), di classe C 1 , tale che, per ogni y ∈]y 0 −ɛ, y 0 +ɛ[risultaG x 0 = h(y 0 )G (h(y), y) ∈ IG f(h(y), y) = 0G h ′ (y) = − f y(h(y), y)f x (h(y), y) .Possiamo lavorare sulla funzione h così come abbiamo fatto per la funzione g per calcolare l’equazionedella retta tangente o la sua derivata seconda.3.6 Curve di livelloUn metodo per visualizzare una funzione di due variabili è quello usato per disegnare le mappegeografiche, dove i punti che hanno la stessa altezza sono uniti insieme in modo da formare lecosiddette curve di livello o linee isometriche (contour lines).Definizione 3.6.1 Si definiscono curve di livello di una funzione f di due variabili, tutte le curve di equazionif(x, y) = c con c costante che appartiene all’insieme dei valori della f.La curva di livello f(x, y) = c è quindi l’insieme di tutti i punti del dominio della f in cui lafunzione assume il valore assegnato c. Mostra, quindi, dove il grafico della f ha altezza c.In Figura 3.5 troviamo un esempio di applicazione delle curve di livello per rappresentare la temperaturain Europa. Ciascuna curva rappresenta un valore diverso di temperatura. Per funzioni matematiche,un esempio di curve di livello si vede in Figura 3.6 dove, a sinistra, vi è la superficie data daz = √ x 2 + y 2 mentre, a destra, sono rappresentate le sue curve di livello.Proposizione 3.6.1 Dato un valore c e P 0 = (x 0 , y 0 ) tale che f(x 0 , y 0 ) = c nell’ipotesi che P 0 non sia criticoper la f, allora il gradiente ⃗ ∇(f)(P 0 ) è ortogonale alla curva di livello f(x, y) = c in P 0 .38

3.6. Curve di livelloFigura 3.6: Superficie f(x, y) = √ x 2 + y 2 (a sinistra) e le sue curve di livello (a destra).Dimostrazione. Per la dimostrazione, ci riconduciamo al teorema di Dini delle funzioni implicite,considerando F (x, y) = f(x, y) − c.Per ipotesi P 0 non è punto critico, quindi almeno una delle due derivate parziali è non nulla in P 0 .Consideriamo il caso in cui f y (x 0 , y 0 ) ≠ 0.Allora F (x 0 , y 0 ) = 0, mentre F y (x, y) = f y (x, y) da cui F y (x 0 , y 0 ) = f y (x 0 , y 0 )Essendo soddisfatte le ipotesi del teorema di Dini, esiste un’unica funzione definita implicitamentedalla F , y = g(x). Allora l’equazione della retta tangente alla F in P 0 ha equazioneF x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + F y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) = 0Con lo stesso ragionamento fatto prima F x (x, y) = f x (x, y) da cui ricaviamof x (x 0 , y 0 )(x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 )(y − y 0 ) = 0Quindi il vettore ⃗ ∇f(P 0 ) è un vettore perpendicolare (normale) alla retta tangente alla curvaf(x, y) = c nel punto P 0 . ✔3.6.1 Significato del vettore gradienteConsideriamo una funzione f differenziabile. Da quanto abbiamo appena visto, il vettore gradientenel punto P 0 (x 0 , y 0 ), ⃗ ∇f(P 0 ), è perpendicolare alla retta tangente alla curva f(x, y) = c che passa perP 0 . Più brevemente, possiamo dire che è perpendicolare alla curva di livello.Il vettore gradiente fornisce anche informazioni sulla direzione di massima crescita della funzionef. Infatti, dal momento che la derivata direzionale dice la velocità di cambiamento della f in quelladirezione, noi possiamo calcolare la derivata direzionale della f in P 0 lungo tutte le possibili direzionie vedere qual è il valore massimo e per quale direzione si ottiene.Per la formula del gradiente, si ha (considerando ⃗v vettore unitario)∂f(P 0 )∂⃗v= ⃗ ∇f(P 0 ) · ⃗v = | ⃗ ∇f(P 0 )||⃗v| cos θ = | ⃗ ∇f(P 0 )| cos θdove θ è l’angolo individuato dai vettori ∇f(P ⃗ 0 ) e ⃗v. Osserviamo che il prodotto scalare scritto inquesta maniera è del tutto equivalente alla formula che abbiamo dato utilizzando le componenti deivettori. 4 Poichè il massimo valore di cos θ è 1 e questo si ha quando θ = 0, vuol dire che il valoremassimo della derivata direzionale ∂f(P 0)vale | ∇f(P∂⃗v⃗ 0 )| e si ha quando θ = 0 cioè quando ⃗v ha lastessa direzione di ∇f(P ⃗ 0 ).4 Proviamo che, dati due vettori ⃗a = (a 1 , a 2 ) e ⃗ b = (b 1 , b 2 ), il prodotto scalare ⃗a ·⃗b = a 1 b 1 + a 2 b 2 si può scrivere, in mododel tutto equivalente come ⃗a ·⃗b = |⃗a|| ⃗ b| cos θ con θ l’angolo individuato dai due vettori ⃗a e ⃗ b.39

3. MASSIMI E MINIMIFigura 3.7: Sul prodotto scalare.3.7 Estremi vincolati e moltiplicatori di LagrangeIn molti problemi che discendono da applicazioni pratiche, si cerca il massimo o il minimo di unafunzione soggetta ad una particolare condizione che viene chiamata vincolo. Si dice, allora, che sicercano gli estremi vincolati.A tal proposito ricordiamo il teorema di Carnot (o del coseno) per cui dato un triangolo qualsiasi e dati due lati (che scriviamocome vettori) ⃗a e ⃗ b che formano un angolo θ, per il terzo lato ⃗c vale|⃗c| 2 = |⃗a| 2 + | ⃗ b| 2 − 2|⃗a|| ⃗ b| cos θdove |⃗a|, | ⃗ b|, |⃗c| sono i moduli dei tre vettori (cioè le lunghezze dei lati del triangolo).Se consideriamo il vettore ⃗a + ⃗ b, applicando sia la regola del parallelogramma sia il teorema di Carnot, tenendo conto cheadesso l’angolo compreso tra i due lati è π − θ (si veda Figura 3.7) e che cos (π − θ) = − cos θ, si ha|⃗a + ⃗ b| 2 = |⃗a| 2 + | ⃗ b| 2 − 2|⃗a|| ⃗ b| cos (π − θ) = |⃗a| 2 + | ⃗ b| 2 + 2|⃗a|| ⃗ b| cos θDa questa relazione ricaviamo|⃗a|| ⃗ b| cos θ = 1 “|⃗a + ⃗ b| 2 − |⃗a| 2 − | ⃗ b| 2”2Scrivendo in modo esplicito i moduli dei vettori, |⃗a + ⃗ b| 2 = (a 1 + b 1 ) 2 + (a 2 + b 2 ) 2 , |⃗a| 2 = (a 1 ) 2 + (a 2 ) 2 e | ⃗ b| 2 = (b 1 ) 2 + (b 2 ) 2 ,e sostituendo, si ha proprio|⃗a|| ⃗ b| cos θ = a 1 b 1 + a 2 b 2Quindi il prodotto scalare può essere scritto sia in un modo che nell’altro.40

3.7. Estremi vincolati e moltiplicatori di LagrangeEsempio 3.7.1 Si deve costruire una scatola di cartone, priva di coperchio, utilizzando 12m 2 (metriquadrati) di cartone. Si vuole costruire una scatola con il massimo volume possibile.Il volume della scatola è dato da V = xyz (dove x, y, e z rappresentano lunghezza, larghezza e altezza dellascatola).La superficie della scatola (che non ha coperchio) è data da 2xz + 2yz + xy = 12 (12 dai 12m 2 di cartone adisposizione).La superficie rappresenta il vincolo per la funzione volume di cui vogliamo calcolare il massimo. Questoesempio può essere risolto in modo semplice andando a scrivere z in funzione di x e y dalla relazione 2xz +2yz + xy = 12:12 − xyz =2(x + y)La funzione V diventa una funzione di due variabili12 − xyV = xyz = xy2(x + y) = 12xy − x2 y 22(x + y)Cerchiamo, di questa funzione, gli estremi relativi e tra questi vediamo se c’è una soluzione fisicamenteaccettabile (x e y rappresentano delle lunghezze e devono essere positive).Troveremo (lo si faccia per esercizio) che V ha il suo valore massimo per x = y = 2, da cui z = 1.Tuttavia, questa strada non è sempre percorribile. Perciò vediamo cosa si deve fare, in generale, quando sicercano punti di massimo o minimo di una funzione soggetta a un vincolo.Vediamo il caso in cui dobbiamo cercare i valori estremi di una funzione f(x, y) soggetta al vincoloespresso dall’equazione g(x, y) = c. In maniera del tutto equivalente, possiamo dire che dobbiamocercare i valori estremi della f(x, y) quando il punto (x, y) deve appartenere alla curva di livellog(x, y) = c. In Figura 3.8 vediamo la curva g(x, y) = c e delle curve di livello della funzione f(x, y).Queste curve di livello hanno equazione f(x, y) = k con k = 7, 8, 9, 10, 11. Se vogliamo cercare il massimodella f(x, y) soggetta al vincolo g(x, y) = c, dobbiamo cercare il più grande valore di k tale che lacurva di livello f(x, y) = k interseca g(x, y) = c. Dalla Figura, si può vedere che questo accade quandole due curve si toccano appena l’una con l’altra, cioè quando hanno in comune una retta tangente.Ciò significa che le normali alle rette tangenti sia a g(x, y) = c sia a f(x, y) = k, nel punto (x 0 , y 0 ),che è il punto in cui g(x, y) = c e f(x, y) = k si incontrano, sono identiche. Ricordando che il vettorenormale alla retta tangente ad una funzione f(x, y) è il gradiente della f, vuol dire che ⃗ ∇f(x 0 , y 0 )e ⃗ ∇g(x 0 , y 0 ) sono vettori paralleli, cioè le loro componenti differiscono di una costante. Seguiremoquesto approccio per il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.Teorema 3.7.1 Data una funzione f ∈ C 1 (I), con I ⊂ R 2 aperto, condizione necessaria affinchè P 0 (x 0 , y 0 ) ∈I sia un punto di massimo o minimo relativo della f soggetta al vincolo g(x, y) = c è cheg(x 0 , y 0 ) = cG la matrice( )fx (P 0 ) f y (P 0 )g x (P 0 ) g y (P 0 )abbia determinante nullo: f x (P 0 )g y (P 0 ) − g x (P 0 )f y (P 0 ) = 0Proposizione 3.7.1 Se P 0 (x 0 , y 0 ) è un estremo vincolato della funzione f soggetta al vincolo g(x, y) = c ese P 0 è punto interno all’insieme di definizione della f e non è punto critico nè per la f nè per la g, allorag(x, y) = c e f(x, y) = f(x 0 , y 0 ) hanno in P 0 la stessa retta tangente.41

3. MASSIMI E MINIMIFigura 3.8: Sul prodotto scalare.Dimostrazione. Se scriviamo le equazioni delle rette tangenti a f(x, y) = f(x 0 , y 0 ) e alla curvag(x, y) = c nel punto P 0 , abbiamo f x (P 0 )(x−x 0 )+f y (P 0 )(y−y 0 ) = 0 e g x (P 0 )(x−x 0 )+g y (P 0 )(y−y 0 ) = 0.Poichè P 0 è un estemo vincolato, vale la condizione f x (P 0 )g y (P 0 ) − g x (P 0 )f y (P 0 ) = 0, ma questarelazione rappresenta una condizione di parallelismo tra le due rette tangenti. 5 ✔Il vincolo si può anche rappresentare come una funzione Φ(x, y) = 0 (caso particolare: Φ(x, y) =g(x, y) − c). Il teorema si riscrive in maniera del tutto analoga.La matrice( )fx (P 0 ) f y (P 0 )g x (P 0 ) g y (P 0 )prende il nome di matrice jacobiana della f e della g. Vale infatti la seguente definizione.Definizione 3.7.1 Date le due funzioni f 1 (x, y) e f 2 (x, y) si definisce matrice jacobiana, la matrice∂(f 1 , f 2 )∂(x, y)⎛∂f 1⎜=∂x⎝∂f 2∂x⎞∂f 1∂y ⎟∂f ⎠ 2∂ySi definisce jacobiano, il determinante della matrice jacobiana.Osserviamo che il teorema che abbiamo enunciato prima è un teorema che ci dà una condizionenecessaria ma non sufficiente.Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange ci permette di trovare gli estremi di una funzione f(x, y)soggetta al vincolo Φ(x, y) = 0 (sempre che il problema ammetta soluzione). Per applicare questometodo deve essere ⃗ ∇Φ(x, y) ≠ 0.Abbiamo detto che, se P 0 è un punto di estremo vincolato, il gradiente della f e della funzionedi vincolo sono tra loro paralleli, cioè le componenti dei due vettori gradiente differiscono per unacostante. Introduciamo questa costante mediante la variabile λ detta moltiplicatore di Lagrange: vuoldire che f x (x 0 , y 0 ) = λΦ x (x 0 , y 0 ) e f y (x 0 , y 0 ) = λΦ y (x 0 , y 0 ).Ora, per capire chi possa essere (x 0 , y 0 ), definiamo la funzione H(x, y, λ) = f(x, y) + λΦ(x, y), chedipende dalle variabili x, y e λ. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange consiste dei seguenti passi:5 Ricordiamo che, date due rette ax + by + c = 0 e a ′ x + b ′ y + c ′ = 0 la condizione di parallelismo è a a ′ = b b ′ ovveroab ′ − a ′ b = 0.42

3.7. Estremi vincolati e moltiplicatori di LagrangeFigura 3.9: Curve di livello della funzione f(x, y) = x 2 + 4y 2 e il vincolo x 2 + y 2 = 1.1. risolviamo il sistema di equazioni dato da⃗∇H(x, y, λ) = 0vale a dire:⎧⎪⎨ f x (x, y) + λΦ x (x, y) = 0f y (x, y) + λΦ y (x, y) = 0⎪⎩Φ(x, y) = 0(a meno del segno ritroviamo la condizione di parallelismo detta prima);2. valutiamo la funzione f nella/e soluzione/i trovate e identifichiamo i valori di massimo eminimo, (se esistono).Esempio 3.7.2 Si devono cercare i valori estremi della funzione f(x, y) = x 2 +4y 2 sul cerchio x 2 +y 2 = 1.In questo caso il vincolo è dato dall’equazione della circonferenza. Applichiamo il metodo dei moltiplicatoridi Lagrange,⎧introducendo la funzione H(x, y, λ) = x 2 + 4y 2 + λ(x 2 + y 2 − 1) Il sistema da risolvere è⎪⎨ 2x + 2λx = 08y + 2λy = 0⎪⎩x 2 + y 2 = 1Dalla prima equazione ricaviamo x = 0 e λ = −1 mentre dalla seconda otteniano y = 0 e λ = −4.Sostituendo x = 0 nella terza equazione (il vincolo) abbiamo y 2 = 1 da cui y = ±1. Sostituendo y = 0nel vincolo ricaviamo x = ±1. Il valore di λ non ci interessa perchè abbiamo trovato tutti i punti (x, y)che verificano il sistema di equazioni. Abbiamo P 0 (0, 1), P 1 (0, −1), P 2 (1, 0) e P 3 (−1, 0). Calcoliamo la fin questi punti: f(P 0 ) = f(P 1 ) = 4, f(P 2 ) = f(P 3 ) = 1. Il valore massimo sul vincolo è dato da 4, neipunti P 0 e P 1 . Il valore minimo sul vincolo è dato da 1 nei punti P 2 e P 3 . Controllando la Figura 3.9 dove cisono le curve di livello della f e la circonferenza, si può vedere come i valori trovati applicando il metodo deimoltiplicatori di Lagrange siano effettivamente quelli che corrispondono a punti di massimo e minimo della fsul vincolo, in quanto le rette tangenti alla curva di livello e alla circonferenza, nei punti trovati, coincidono.43

4. Le curve4.1 Equazioni parametriche di una curvaSupponiamo che una particella si muova lungo una curva γ come quella mostrata in Figura 4.1.Non riusciamo a descrivere la curva mediante un’equazione della forma y = f(x) (cioè attraverso ilgrafico di una funzione) perchè ci sono diverse rette verticali che intersecano la curva più di una volta(mentre per una funzione del tipo y = f(x), ad ogni valore di x deve corrispondere un solo valoref(x)). Tuttavia, possiamo pensare alle coordinate (x, y) della particella che si muove lungo la curvacome funzioni del tempo t in modo da poter scrivere x = f(t) e y = g(t). Questa coppia di funzioni cipermette di descrivere la curva e di dare la definizione di curva sotto forma di equazioni parametriche.Definizione 4.1.1 Se x e y sono entrambe funzioni di una terza variabile t (t è detto parametro), le equazionix = f(t),y = g(t)sono dette equazioni parametriche.Ogni valore di t determina un punto (x, y): al variare di t varia il punto (x, y) che, sul piano cartesiano,descrive una curva γ, che chiamiamo curva parametrica.Il parametro t non rappresenta necessariamente il tempo e quindi si può anche utilizzare un’altralettera per rappresentare il parametro. Poichè, in molte applicazioni, t denota il tempo, ci è più facilevedere (x, y) = (f(t), g(t)) come la posizione della particella al tempo t.Esempio 4.1.1 Proviamo a fare il grafico per capire quale curva è rappresentata mediante le equazioniparametriche{x = t 2 + ty = 2t − 1Figura 4.1: Una particella che si muove su una curva γ.45

4. LE CURVEFigura 4.2: Curva data da x = t 2 + t, y = 2t − 1Ciascun valore di t dà un punto della curva. Perciò consideriamo diversi valori di t e i corrispondenti puntiche si ottengono:t x y-2 2 -5-1 0 -3-1/2 -1/4 -20 0 -11 2 1In Figura 4.2 abbiamo messo su un piano cartesiano i punti (x, y) che si ottengono per molti valori delparametro t e li abbiamo uniti in modo da ottenere il grafico di una curva.Osserviamo che una particella, la cui posizione è data dalle equazioni parametriche x = f(t), y = g(t),si muove lungo la curva nella direzione di t crescente. Ciò significa che una curva parametrica ha unadirezione, un orientamento dato da valori crescenti di t. Sul grafico la direzione del movimento della curvaè indicata mediante freccette. Inoltre, osserviamo che a valori di t equidistanti non corrispondono, sulla curva,punti equidistanti: ciò è dovuto al fatto che la particella rallenta o aumenta la sua velocità al variare di t.Dalla Figura 4.2, appare evidente che la curva tracciata dalla particella è una parabola. In effetti, seeliminiamo il parametro t dalle due equazioni parametriche, ricaviamo proprio l’equazione di unaparabola. Per far ciò, dalla seconda equazione y = 2t − 1 ricaviamo t = 1 (y + 1) e sostituiamo il valore2trovato per t nell’equazione in x. Troviamo( ) 2 1x =2 (y + 1) + 1 2 (y + 1) = 1 4 y2 + y + 3 4Riconosciamo l’equazione di una parabola.46

4.1. Equazioni parametriche di una curvaFigura 4.3: Curva data da x = t 2 + t, y = 2t − 1, con −1Nell’esempio, t può variare in tutto R. Se invece t deve variare in un intervallo finito, allora anchela curva risente degli effetti del parametro.Esempio 4.1.2 Consideriamo le equazioni parametriche della curva precedente, ma con t ∈ [−1, 1]:x = t 2 + t y = 2t − 1 − 1 ≤ t ≤ 1Abbiamo solo una porzione della curva che abbiamo disegnata prima (si veda Figura 4.3).Definizione 4.1.2 La curva di equazioni parametrichex = f(t), y = g(t), t 0 ≤ t ≤ t fha punto iniziale (f(t 0 , g(t 0 )) e punto finale (f(t f ), g(t f )).Esempio 4.1.3 Cerchiamo di capire qual è la curva rappresentata dalle equazioni parametriche x = cos t,y = sin t, con 0 ≤ t ≤ 2π.Se facciamo un grafico con le coppie di punti (x, y) al variare di t, otteniamo il grafico di una circonferenza. Neabbiamo conferma eliminando il parametro t. Questa volta sfruttiamo le relazioni trigonometriche osservandochex 2 + y 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1Quindi la circonferenza ha centro nell’origine e raggio 1.In questo esempio il parametro t può essere interpretato come l’angolo in radianti. Al variare di t in [0, 2π],il punto (x, y) = (cos t, sin t) si muove sulla circonferenza in direzione antioraria partendo dal punto (1, 0)e ritornando allo stesso punto.47

4. LE CURVEEsempio 4.1.4 Vediamo ora la curva rappresentata dalle equazioni parametriche x = sin 4t , y = cos 4t,con 0 ≤ t ≤ 2π.Di nuovo, da x 2 + y 2 = sin 2 4t + cos 2 4t = 1 ritroviamo l’equazione della circonferenza di centro l’originee raggio 1.Questa volta, però, il punto iniziale della curva si ha in (sin 0, cos 0) = (0, 1). Per valori di t crescenti, laparticella si muove in direzione oraria lungo la circonferenza e la percorre 4 volte (il punto (0, 1) si ha pert = 0, π/2, π, 3π/2, 2π.Quindi la stessa curva può essere rappresentata in modi diversi. Conviene perciò fare la distinzionetra curva, come insieme di punti, da curva parametrica, come insieme di punti tracciati in modoparticolare.4.2 Grafico di una curva parametricaPer fare il grafico di un’equazione della forma x = g(y) possiamo usare le equazioni parametrichex = g(t), y = t.Alla stessa maniera le curve di equazioni y = f(x) (le familiari funzioni di una variabile reale), possonoessere viste come curve di equazioni parametrichex = t,y = f(t).In generale, data una curva parametrica di equazioni x = f(t), y = g(t), con t 0 ≤ t ≤ t f , per farneil grafico possiamo far variare t nell’intervallo assegnato (o per valori crescenti in R) e vedere dovegiacciono, sul piano cartesiano, i corrispondenti punti (x, y), in modo da avere l’orientamento dellacurva.A volte conviene eliminare il parametro t per capire di che curva si tratta.Altre volte la curva è talmente complicata che conviene affidarsi a programmi di grafica alcalcolatore per poterla visualizzare.Esempio 4.2.1 Consideriamo il caso di una curva data dax = a cos (αt) y = b cos (αt) 0 ≤ t ≤ 2πdove a, b, α sono delle costanti.Visto che le funzioni sono trigonometriche, conviene sfruttare relazioni della trigonometria per capire di checurva si tratta.Facciamo un cambio di variabile ponendo u = αt. Allora le equazioni diventanox = a cos u y = b sin u 0 ≤ u ≤ 2απPossiamo scrivere1 = cos 2 u + sin 2 u = x2a 2 + y2b 2trovando l’equazione di un’ellisse avente come centro l’origine (se a > b l’ellisse è orizzontale con l’assemaggiore sull’asse delle x, viceversa se a < b l’ellisse è verticale con l’asse maggiore sull’asse delle y, seinvece a = b l’ellisse si riduce ad una circonferenza di raggio a).L’ellisse, per u ∈ [0, 2π] viene percorsa tutta. Ma adesso u varia fino a 2απ, il che vuol dire che la curvaviene percorsa α volte dal parametro u: è come un circuito di formula 1 da ripetere per un numero α di giri.48

4.2. Grafico di una curva parametricaFigura 4.4: curva x = 4 cos (3t)y = 1 + cos 2 (3t)Esempio 4.2.2 Il cammino di una particella è dato dax = 4 cos (3t) y = 1 + cos 2 (3t)Proviamo a descrivere questo cammino cercando di capire dove variano x e y e individuando l’intervallo incui varia t per percorrere la curva solo una volta (nel caso in cui possa percorrerla più di una volta).Per eliminare il parametro t, sfruttiamo il fatto che le due equazioni parametriche hanno solo coseni, ricavandocos (3t) dalla prima equazione e sostituendo nella seconda:cos (3t) = x ( x) 2 x 2y = 1 + = 1 +44 16Ricaviamo una parabola. Inoltre−1 ≤ cos (3t) ≤ 1 =⇒ −4 ≤ 4 cos (3t) ≤ 4 =⇒ −4 ≤ x ≤ 40 ≤ cos 2 (3t) ≤ 1 =⇒ 1 ≤ 1 + cos 2 (3t) ≤ 2 =⇒ 1 ≤ y ≤ 2Proviamo ora per alcuni valori di t cosa si ricava per x e y:t x y0 4 2π/2 0 1π -4 23π/2 0 12π 4 2L’arco di parabola viene ripetuto più volte come un pendolo.Dagli esempi visti possiamo osservare che ci sono curve i cui punti (x, y) sono dati da un solovalore del parametro t, in altri casi lo stesso punto viene ripetuto per diversi valori di t. Abbiamo leseguenti definizioniDefinizione 4.2.1 Data una curva di equazioni parametriche x = f(t), y = g(t),49

4. LE CURVEG se un punto (x, y) si ottiene mediante un solo valore del parametro t, allora il punto è detto semplice;G se un punto (x, y) si ottiene mediante più valori del parametro t, allora il punto è detto multiplo.Definizione 4.2.2 Una curva è chiusa se è definita per t ∈ [t 0 , t f ] e (x(t 0 ), y(t 0 )) = (x(t f ), y(t f )): il puntosulla curva che si ha per il valore iniziale del parametro t coincide con il punto sulla curva che si ha per il valorefinale di t.4.3 Parametrizzare una curvaA volte, data una curva come equazione in x e y, vogliamo parametrizzarla.Il caso più interessante è quello di un’ellisse (e quindi, come caso particolare, un cerchio):x 2a 2 + y2b 2 = 1Come equazioni parametriche, possiamo considerarex = a cos (t) y = b sin (t) 0 ≤ t ≤ 2πIn tal caso l’ellisse parte dal punto (a, 0) e vi termina dopo aver percorso l’ellisse in senso antiorario.Una curva può essere parametrizzata in vari modi, comunque. L’ellisse precedente, ad esempio,può essere parametrizzata comex = a cos (αt)x = a sin (αt)x = a cos (αt)y = b sin (αt)y = b cos (αt)y = −b sin (αt)La presenza della costante α ci dice quante volte viene percorsa l’ellisse. Le ultime due equazioniparametriche ci danno la curva percorsa in senso orario (sempre partendo da t = 0).4.4 Tangente ad una curvaAssegnate le equazioni parametriche di una curvax = x(t) y = y(t) t 0 ≤ t ≤ t fvogliamo ricavare una formula per la pendenza delle rette tangenti alla curva in ciascun suo punto.Nel caso di una funzione y = F (x), la retta tangente a F per x = a è data dall’equazionep(x) = m(x − a) + F (a), dove m = F ′ (a) = dydx | x=aPer la curva parametrica, se riusciamo a calcolare la derivata della y in funzione di x, possiamoutilizzare la formula appena scritta per ricavare l’equazione della tangente alla curva in un genericopunto (x, y) della curva. Noi però abbiamo y in funzione del parametro t e non di x.Supponiamo di avere (ma non abbiamo) una funzione y = F (x) che ci permetta di scrivere la curvanon più in forma parametrica, eliminando cioè il parametro t. In realtà noi sappiamo che y = y(t) ex = x(t), quindi sostituendo abbiamoy(t) = y = F (x) = F (x(t)) =⇒ y(t) = F (x(t))Deriviamo rispetto a t:50dydtdF (x(t)) dx=dx dt

4.4. Tangente ad una curvaA noi serve una formula per dydxovvero perdF (x)dxprecedente, nell’ipotesi in cui dxdt ≠ 0 ricaviamody dF (x(t))= =dx dxdydtdxdtper avere la retta tangente.Dalla relazioneAbbiamo trovato, in questo modo, la pendenza della retta tangente alla curva scritta come y =F (x). Se vogliamo avere la tangente alla curva scritta invece come x = H(y), basta scambiare il ruolodella x con la y. L’equazione della retta tangente nel punto f(a) è del tipop(y) = m(y − f(a)) + H ′ (f(a))con m = H ′ (f(a)) = dxdy | y=f(a). In maniera del tutto analoga a quanto visto prima, si ricavadxdxdy = dtdydtper dydt ≠ 0Esempio 4.4.1 Troviamo la tangente alla curva parametrica data dalle equazionix = t 5 − 4t 3 y = t 2nel punto (0, 4).Vedremo, in questo caso, che troveremo più di una retta tangente al punto assegnato (e ne capiremo presto ilmotivo).Per prima cosa applichiamo la formula data prima:dydydx = dt 2t=dx 5t 4 − 12t 2 = 25t 3 − 12tdtAttenzione, adesso, perchè la derivata è in termini di t ma noi dobbiamo calcolare la tangente in un puntoassegnato individuato dalle coordinate (x, y) = (0, 4). Dobbiamo quindi determinare per quale/i valore/i di tsi ottiene questo punto.Per la curva e il punto dati, deve quindi valere{x = t 5 − 4t 3 = 0=⇒{t 3 (t 2 − 4) = 0 → t = 0, t = ±2t 2 = 4 → t = ±2y = t 2 = 4Le soluzioni accettabili per le due equazioni sono t = ±2.Per t = −2 la pendenza della retta tangente risultam = dydx | t=−2 = − 1 8e quindi la retta tangente èy = 4 − 1 8 xPer t = 2 invece si ham = dydx | t=2 = 1 8e la retta tangente èy = 4 + 1 8 xPerchè due rette tangenti nel punto (0, 4)? Perchè la curva ”gira“ attorno al punto (0, 4) e quindi abbiamodue rette tangenti (si veda Figura 4.5).51

4. LE CURVEFigura 4.5: rette tangenti al punto (0.4) della curva x = t 5 − 4t 3 y = t 2Possiamo avere anche tangenti orizzontali o verticali, in un determinato punto di una curva, aseconda che la derivata di y o x rispetto a t sia nulla:G si ha una tangente orizzontale quando dydt = 0 e dxdt ≠ 0G si ha una tangente verticale quando dxdt = 0 e dydt ≠ 0.Possiamo anche scrivere le equazioni della retta tangente ad una curva parametrica in forma parametrica.Dato il punto P 0 = (x 0 , y 0 ) = (x(t 0 ), y(t 0 ), i valori delle derivate dx(t 0), dy(t 0)rappresentanodt dti valori delle tangenti alla curva, componente per componente. L’equazione della retta tangente a P 0 ,scritta in forma parametrica, deve passare per P 0 e avere come direzione quella data dal vettore ⃗v cheha come componenti le due derivate ⃗v = ( dx(t 0), dy(t 0)). Scritta in forma vettoriale, la retta tangentedt dtdeve essere della forma⃗r t = P 0 + t⃗vdove P 0 è inteso come un vettore, t è il parametro al variare del quale abbiamo i punti della retta, ⃗v è ilvettore che dà la direzione della retta. In forma parametrica abbiamo⃗r t = (x 0 + t dx(t 0)dt, y 0 + t dy(t 0))dtOsserviamo che, dalle equazioni della tangente x = x 0 + t dx(t 0), y = y 0 t dy(t 0), se dalla primadtdtequazione ricaviamo t in funzione di x e sostituiamo nella seconda equazione, troviamo l’equazionedella retta tangente che abbiamo ricavato prima.4.5 Lunghezza di un arco di funzionePrima di capire come si calcola la lunghezza di una curva parametrica, partiamo dal voler calcolarela lunghezza di un arco di funzione: data una funzione continua y = f(x) vogliamo determinare lalunghezza dell’arco della curva data dalla funzione nell’intervallo [a, b].52

4.5. Lunghezza di un arco di funzioneFigura 4.6: Approssimazione della lunghezza di un arco di funzione mediante segmenti di rettaPer prima cosa, diamo una stima approssimata della lunghezza di questa curva: dividiamo l’intervallo[a, b] in n parti uguali di ampiezza ∆x ottenendo sulla curva n + 1 punti P i , i = 0, 1, 2, . . . , n.Possiamo quindi approssimare la curva mediante una serie di segmenti congiungenti questi punti.Vediamo in figura 4.6 un esempio con n = 9. Poichè la lunghezza di ciascuno dei segmenti congiungentiP i−1 e P i altro non è che la distanza euclidea tra i due punti |P i − P i−1 |, la curva sarà dunqueapprossimata daL ≈n∑|P i−1 − P i |i=1Prendendo valori di n sempre più grandi noi avremo valori via via più accurati. Passando al limiteper n → ∞ avremo la lunghezza dell’arco di curva:L = limn→∞i=1n∑|P i−1 − P i |Ora, ciascuno punto P i ha coordinate del tipo (x i , f(x i )), da cui|P i−1 − P i | = √ (x i − x i−1 ) 2 + (f(x i ) − f(x i−1 )) 2Dal teorema del valor medio sappiamo che f(x i ) − f(x i−1 ) = f ′ (ξ i )(x i − x i−1 ) dove ξ i è un puntoche non conosciamo all’interno dell’intervallo [x i−1 , x i ]. Ricordando che abbiamo diviso l’intervallo[a, b] di partenza in n parti uguali, si ha x i − x i−1 = ∆x da cui, f(x i ) − f(x i−1 ) = f ′ (ξ i )∆x da cui lalunghezza del segmento si può anche scrivere come|P i−1 − P i | = √ ∆x 2 + (f ′ (ξ i )∆x) 2 = √ (1 + f ′ (ξ i ) 2 )∆x 2 = √ (1 + f ′ (ξ i ) 2 )∆xInserendo questa formula nel limite che fornisce la lunghezza dell’arco di curva si haL = limn→∞i=1n∑ √1 + f′(ξ i ) 2 ∆xUsando la definizione dell’integrale definito, questo limite non è nient’altro che un integrale e,precisamente,L =∫ ba√1 + f′(x) 2 dx53

4. LE CURVEIn maniera equivalente, poichè y = f(x) possiamo riscrivereL =∫ ba√1 +( ) 2 dydxdxSe, invece, abbiamo una funzione scritta in funzione di y, vale a dire x = h(y) con c ≤ y ≤ d, lastessa formula diventa:√∫ d( ) 2 dxL = 1 + dydyc4.6 Lunghezza di una curvaCosì come abbiamo trovato una formula per calcolare la lunghezza di un arco di una funzioney = f(x) o x = h(y), in maniera del tutto analoga, possiamo misurare la lunghezza di una curva.Sia data una curva in forma parametrica comex = x(t) y = y(t) t 0 ≤ t ≤ t fAssumiamo che dx ≥ 0: ciò significa che la curva è attraversata solo una volta, da sinistra versodtdestra, per t che aumenta nell’intervallo [t 0 , t f ]. La curva, quindi, è semplice.Supponiamo, come per la tangente, di poter scrivere y = F (x) o x = H(y) anche se, in realtà,x = x(t) e y = y(t). Applicando le formule viste per l’arco di una funzione alla curva scritta non informa parametrica noi dobbiamo applicare una delle due formule:L =L =∫ ba∫ dc√√1 +1 +( ) 2 dydx se y = f(x), a ≤ x ≤ bdx( ) 2 dxdy se x = h(y), c ≤ y ≤ ddySe lavoriamo considerando y = F (x), poichè x = x(t), operiamo un cambio di variabile per calcolarel’integrale: si ha dx = dx(t) dt (o equivalentemente, se consideriamo x = H(y), dy = dy dt), mentredtdtper le derivate dy dx(o ) ci riconduciamo alle formule viste per la tangente. Quindi la formula perdx dytrovare la lunghezza dell’arco di una curva o, più semplicemente, la lunghezza di una curva, diventa:L =∫ tf⎛√ √√√√√⎜1 + ⎝t 0dydtdxdt⎞2⎟⎠dxdt dt = ∫ tf√ √√√√√√√ ( dydt1 + (t 0 dxdtSemplificando l’espressione sotto radice otteniamoL =∫ tf1∣ t 0√ (dx ) 2 dx+dt∣ dt ∣( ) 2 dy dxdt dt dt) 2) 2dxdt dt54

4.6. Lunghezza di una curvaNell’ipotesi fatta per cui dx è positiva possiamo semplificare ancora ottenendodt√∫ tf (dx ) 2 ( ) 2 dyL =+ dtdt dtt 0Osserviamo che, nel caso in cui è dydtL =∫ tf⎛√ √√√√√⎜1 + ⎝t 0dxdtdydt⎞2⎟⎠dydt dt≥ 0, usando la formula per x in funzione di y, si ottieneda cui si arriva alla stessa formula.Se invece non rappresentiamo la curva mediante la forma y = F (x) o x = H(y), arriviamo allostesso risultato utilizzando un’approssimazione poligonale. Dividiamo l’intervall [t 0 , t f ] in n sottointervallidi stessa ampiezza ∆t. Chiamiamo t 0 , t 1 , t 2 , . . . , t n = t f i punti finali di questi sottointervallie indichiamo con (x i , y i ) i punti che si ottengono sulla curva con il parametro t i . Quindi x i = x(t i ) ey i = y(t i ). Indichiamo con P i i punti sul piano cartesiano che hanno coordinate date da (x i , y i ).I punti P i si trovano sulla curva γ e possiamo tracciare una poligonale con vertici dati da P i , cheapprossima la curva γ. Con lo stesso discorso fatto per trovare la lunghezza di un arco di funzione, lalunghezza della curva γ è data dal limite delle lunghezze dei segmenti P i−1 P i = |P i−1 − P i |OraL ≈n∑|P i−1 − P i |i=1|P i−1 − P i | = √ (x i − x i−1 ) 2 + (y i − y i−1 ) 2 = √ (x(t i ) − x(t i−1 )) 2 + (yt i ) − y(t i−1 )) 2Applichiamo il teorema del Valor Medio alla funzione x(t) nell’intervallo [t i−1 , t i ]:x(t i ) − x(t i−1 ) = x ′ (t ∗ i )∆tdove t ∗ i è un punto opportuno che si trova all’interno dell’intervallo [t i−1 , t i ]. Analogamente,applicando lo stesso teorema alla funzione y(t) si hay(t i ) − y(t i−1 ) = y ′ (t ∗∗i )∆tcon t ∗∗i punto opportuno che si trova all’interno dell’intervallo [t i−1 , t i ]. Di conseguenza√√|P i−1 − P i | = [x ′ (t ∗ i )∆t]2 + [y ′ (t ∗∗i )∆t] 2 = [x ′ (t ∗ i )]2 + [y ′ (t ∗∗i )] 2 ∆tSostituendo nell’espressione data per L e passando al limite per n → +∞ si haL =limn→+∞i=1n∑|P i−1 − P i | = limn∑ √n→+∞i=1[x ′ (t ∗ i )]2 + [y ′ (t ∗∗i)] 2 ∆tQuesto limite ci ricorda un integrale (così come abbiamo fatto per la lunghezza dell’arco di una funzione)anche se non è esattamente lo stesso in quanto abbiamo due punti t ∗ i e t∗∗ i che sono diversi. Sipuò provare, tuttavia, che se x(t) e y(t) sono funzioni continue, il limite scritto prima è lo stesso che siavrebbe con i due punti t ∗ i e t∗∗ i coincidenti. Quindi si può passare all’integrale∫ tf √L = [x ′ (t)] 2 + [y ′ (t)] 2 dtt 055

4. LE CURVEFigura 4.7: cicloideSe, al posto di x ′ (t) scriviamo dxdt e, al posto di y′ (t) scriviamo dydtper la lunghezza di una curva.Riassumiamo questo risultato nel teorema.otteniamo la formula vista primaTeorema 4.6.1 Se una curva γ è descritta tramite equazioni parametriche x = x(t) e y = y(t), con t 0 ≤ t ≤ t f ,e x ′ (t) e y ′ (t) sono funzioni continue e γ è una curva semplice (percorsa solo una volta per t crescente da t 0 at f ), allora la lunghezza della curva è data da:L =∫ tft 0√ (dx ) 2+dt( ) 2 dydtdtEsempio 4.6.1 Vogliamo determinare la lunghezza della curvax = 3 sin (t) y = 3 cos (t) 0 ≤ t ≤ 2πRiconosciamo un cerchio di centro l’origine e raggio 3.Per applicare la formula ci serve calcolare dxdt e dydt :dxdy= 3 cos (t) = −3 sin (t)dt dtDobbiamo quindi calcolare l’integraleL == 3∫ 2π∫0 2π0√9 cos 2 (t) + 9 sin 2 (t)dt =∫ 2π√∫ 2π1dt = 3 dt = 3 · 2π = 6π00√3 cos 2 (t) + sin 2 (t)dt =La lunghezza della curva è esattamente la lunghezza della circonferenza! In questo caso abbiamo una verificaimmediata del risultato che abbiamo ottenuto.4.7 La curva cicloideLa curva tracciata da un punto P sulla circonferenza di un cerchio quando il cerchio rotola suuna linea retta è detta cicloide (si veda Figura 4.7). Per rappresentare questa curva scegliamo comeparametro l’angolo di rotazione θ con cui si muove il cerchio. Per θ = 0 il punto P si trova all’originedegli assi cartesiani. Se il cerchio rotola di un angolo θ, poichè la circonferenza rimane sempre incontatto con la linea retta data dall’asse delle x, la distanza del punto di contatto tra circonferenza easse delle x (punto che chiamiamo T ) dall’origine coincide con la lunghezza dell’arco P T dove P è ilpunto che osserviamo quando il cerchio rotola (si veda la Figura 4.8):OT = arc(P T )L’angolo di rotazione θ è sotteso all’arco di estremi P e T . Poichè la lunghezza di un arco è proporzio-56

4.8. Sistema di coordinate polariFigura 4.8: Considerazioni geometriche sul punto P della circonferenza quando il cerchio rotola lungol’asse x.nale all’ampiezza dell’angolo, considerando che all’angolo centrale 2π corrispondenza la lunghezzadella circonferenza 2πr, possiamo scrivereθ2π = arc(P T )2πrDa questa relazione otteniamo arc(P T ) = rθ, da cui OT = rθ.Questo risultato ci serve per trovare le coordinate del punto P . Si ha infatti (aiutandoci con laFigura 4.8):x = OT − P Qy = CT − CQConsiderando il triangolo rettangolo di vertici P , Q e il centro della circonferenza C, il lato CP = rmentre i lati P Q e CQ sono dati dalle formule trigonometricheP Q = CP sin θ = r sin θ,CQ = CP cos θ = r cos θ. Il lato CT vale r. Inserendo queste relazioni nelle espressioni precedenti troviamox = OT − P Q = rθ − r sin θ = r(θ − sin θ)y = CT − CQ = r − r cos θ = r(1 − cos θ)Abbiamo trovato, dunque, che le equazioni parametriche della curva cicloide sono date dax = r(θ − sin θ), y = r(1 − cos θ)Osserviamo che, sebbene queste equazioni le abbiamo ricavate considerando 0 < θ < π/2, esse sonovalide anche per altri valori di θ. Un arco completo della curva cicloide è dato dalla rotazione completadella circonferenza e si ha, quindi, per θ ∈ [0, 2π].4.8 Sistema di coordinate polariSiamo abituati a rappresentare un punto nel piano utilizzando le coordinate cartesiane. Vi è tuttaviaun altro sistema di coordinate (introdotto da Newton) che può essere conveniente per molti scopi, tra57

4. LE CURVEFigura 4.9: Rappresentazione grafica della curva cicloide per r = 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π (a sinistra) e 0 ≤ θ ≤8π (a destra).Figura 4.10: Coordinate polari.cui quello di rappresentare alcune curve parametriche. Questo sistema prende il nome di sistema dicoordinate polari.Scegliamo un punto nel piano che chiamiamo polo o origine (lo indichiamo con O). Dall’originetracciamo una semiretta chiamata asse polare (in genere questo asse è tracciato orizzontalmente, adestra del punto O e corrisponde al semiasse positivo dell’asse delle x del sistema cartesiano). SeP è un qualunque altro punto in questo piano, tracciamo il segmento, di lunghezza r, che unisce Pall’origine e consideriamo l’angolo θ (di solito espresso in radianti) tra l’asse polare e il segmento OP .Il punto P viene rappresentato dalla coppia ordinata (r, θ) e r, θ sono le coordinate polari del punto P(si veda Figura 4.10). Si usa la convenzione che un angolo è positivo se misurato in senso antiorariorispetto all’asse polare. Inoltre il punto (0, θ) rappresenta l’origine, qualunque sia θ.Si estende il sistema di coordinate polari a valori di r negativi, con la convenzione che il puntodel tipo (−r, θ) giace sulla stessa linea del punto (r, θ) e alla stessa distanza |r| da O, ma sul latoopposto rispetto a (r, θ). Dire (−r, θ) è la stessa cosa di (r, θ + π). Come conseguenza, un punto nelsistema di coordinate polari può avere più di una rappresentazione. Dal momento che una completarotazione antioraria è data dall’angolo 2π, si ha che il punto (r, θ) può essere rappresentato anche come(r, θ + 2nπ), e (−r, θ + (2n + 1)π) con n intero.Per passare dalla rappresentazione in coordinate polari al sistema di coordinate cartesiane, bastaosservare che l’origine del sistema polare corrisponde all’origine del sistema cartesiano, l’asse polarecorrisponde all’asse delle x e, di conseguenza, il punto P di coordinate polari (r, θ), ha coordinatecartesiane x e y date dax = r cos θ,y = r sin θ(si veda Figura 4.11: abbiamo applicato le relazioni trigonometriche che legano i lati di un triangolorettangolo all’angolo compreso tra ipotenusa e uno dei due cateti). Viceversa, dato un punto P incoordinate cartesiane, per trovare i valori di r e θ delle corrispondenti coordinate polari, possiamosfruttare le relazionir 2 = x 2 + y 2 , e tan θ = y xche ricaviamo dalle relazioni precedenti. Poichè tan θ = tan (θ + π), dobbiamo prestare attenzione ascegliere il valore di θ che permette di avere, nel piano polare, lo stesso punto del piano cartesiano.58

4.9. Curve in coordinate polariFigura 4.11: Passaggio da coordinate polari a coordinate cartesiane.Esempio 4.8.1 Convertiamo il punto (2, π/4) da coordinate polari a coordinate cartesiane. Da x = r cos θe y = r sin θ, sostituendo i valori di r e θ otteniamo x = 2 cos (π/4) = 2 √2= √ 2 e y = 2 sin (π/4) =2√2= √ 2. In coordinate cartesiane abbiamo il punto ( √ 2, √ 2).Esempio 4.8.2 Rappresentiamo in coordinate polari il punto dato in coordinate cartesiane (1, −1).Scegliamo la rappresentazione con r > 0 andando a considerare la radice positiva di x 2 + y 2 . Quindir = √ 1 + 1 = √ 2.Abbiamo da risolvere l’equazione tan θ = y x = −1.Sia θ = 3π 4 + 2nπ sia θ = −π + 2nπ con n intero (n = 0, 1, . . .) hanno come tangente il valore −1.4Scegliamo il valore di θ che ci permette (insieme a r = √ 2) di avere il punto P posizionato nel correttoquadrante: dobbiamo scegliere θ = − π 4 + 2nπ. Prendiamo θ = −π . Il punto in coordinate polari dato da4( √ 2, − π 4 ) corrisponde a (1, −1) in coordinate cartesiane. Se considerassimo il punto (√ 2, 3π 4coordinate cartesiane (−1, 1) (si veda Figura 4.12 per un confronto).) avremmo, in4.9 Curve in coordinate polariUn’equazione polare del tipo r = f(θ) o, più in generale, F (r, θ) = 0 ha come grafico l’insieme ditutti i punti P di coordinate polari (r, θ), che soddisfano l’equazione. Possiamo dunque avere dellecurve rappresentate mediante coordinate polari.59

4. LE CURVEFigura 4.12: Punto (1, −1) in coordinate polari e cartesiane.Esempio 4.9.1 La curva di equazione polare r = 4 è data da tutti i punti (r, θ) con r = 4. Dal momento cher rappresenta la distanza dei punti dal polo (l’origine del piano polare), la curva data rappresenta il cerchiodi centro il polo O e raggio 4.Esempio 4.9.2 La curva polare θ = π/5 consiste di tutti i punti (r, θ) con θ = π/5 radianti. Abbiamoquindi una retta che passa per O e che forma un angolo di π/5 radianti con l’asse polare.Esempio 4.9.3 Troviamo le equazioni cartesiane della curva polare r = 2 cos θ.Se proviamo a fare il grafico della curva sul piano polare, al variare di θ, ci accorgiamo che il graficorappresenta una circonferenza.Per passare a coordinate cartesiane, da x = r cos θ abbiamo cos θ = x/r quindi r = 2 cos θ = 2x/r, cioèr 2 = 2x ma r 2 = x 2 + y 2 , da cui x 2 + y 2 = 2x o ancora x 2 + y 2 − 2x = 0. Aggiungendo e sottraendo 1abbiamox 2 + y 2 − 2x + 1 − 1 = 0 cioè (x − 1) 2 + y 2 = 1Abbiamo l’equazione della circonferenza di centro (1, 0) e raggio 1.4.9.1 La curva cardioideStudiamo ora la curva cardioide, chiamata in questo modo perchè a forma di cuore, datadall’equazione r = 1 + sin θ.Per farne il grafico, facciamo prima di tutto il grafico, in coordinate cartesiane, della funzione r =1 + sin θ (si veda Figura 4.13, a sinistra), che altro non è che la funzione sin a cui è aggiunta un’unità.Per θ che varia da 0 a π/2, r cresce da 1 a 2. Ma r rappresenta la distanza dal polo in coordinate60

4.10. Lunghezza di una curva polareFigura 4.13: Cardioide.polari, perció nel grafico in coordinate polari dobbiamo far variare r da 1 a 2 (indichiamo con ➀ questaporzione di curva). Per θ che varia da π/2 a π, r decresce da 2 a 1 perciò nella corrispondente curvapolare dobbiamo rappresentare questa decrescita (indicata nella regione ➁). Per θ ∈ [π, 3π/2] r decresceda 1 a 0 e si ha la corrispondente portione ➂ della curva polare. Infine, per θ ∈ [3π/2, 2π] r aumentada 0 a 1, come mostrato nella porzione ➃.Se θ dovesse andare oltre 2π, la curva ripercorrebbe lo stesso percorso.4.10 Lunghezza di una curva polareSe vogliamo calcolare la lunghezza di una curva in coordinate polari, la formula che abbiamo datoper la lunghezza di una curva parametrica si semplifica. Infatti, se passiamo a coordinate cartesiane,le equazioni che caratterizzano la curva polare r = f(θ) con θ 0 ≤ θ ≤ θ f sono date dax = r cos θ = f(θ) cos θ,y = r sin θ = f(θ) sin θQuindi x e y sono funzioni di θ. Assumendo che f ′ sia una funzione continua, la lunghezza della curvaè data dalla formula√∫ θf (dx ) 2 ( ) 2 dyL =+ dθdθ dθθ 0Si ha (considerando che x e y sono date dal prodotto di due funzioni):dxdθ = f ′ (θ) cos θ − f(θ) sin θ = dr cos θ − r sin θdθdydθ = f ′ (θ) sin θ + f(θ) cos θ = drdθ sin θ + r cos θ 61

4. LE CURVESfruttando il fatto che cos 2 θ + sin 2 θ = 1 si ha( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 dx dy dr+ = cos 2 θ + r 2 sin 2 θ − 2r dr cos θ sin θ+dθ dθ dθdθ( ) 2 dr+ sin 2 θ + r 2 cos 2 θ + 2r dr cos θ sin θdθdθ( ) 2 dr= (cos 2 θ + sin 2 θ) + r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ)+dθ− 2r drdrcos θ sin θ + 2r cos θ sin θdθ dθ( ) 2 dr= + r 2dθAndando a sostituire nell’integrale che dà la lunghezza della curva si haL =∫ θfθ 0√r 2 +( ) 2 drdθdθAbbiamo trovato una formula semplificata per la lunghezza della curva polare.4.10.1 Lunghezze di alcune curveLa curva cardioideCalcoliamo la lunghezza della curva cardioide r = 1 + sin θ con θ ∈ [0, 2π].Poichè dr = cos θ la lunghezza della curva è data dall’integraledθL ==∫ 2π0∫ 2π0√(1 + sin θ)2 + cos 2 θdθ =∫ 2π∫√ 2π √ √2 + 2 sin θdθ = 2 1 + sin θdθ00√1 + sin 2 θ + 2 sin θ + cos 2 θdθPer calcolare questo integrale moltiplichiamo e dividiamo per √ 1 − sin θ ricavandoL = √ 2= √ 2∫ 2π0∫ 2π0√√ 1 − sin θ1 + sin θ √ dθ = √ ∫ 2π21 − sin θ 0√cos2 θ√ dθ = √ ∫ 2π| cos θ|2 √ dθ1 − sin θ 0 1 − sin θ√1 − sin 2 θ√1 − sin θdθAbbiamo un integrale che dipende dal valore assoluto di cos θ: poichè cos θ è positivo per 0 ≤ θ ≤ π/2e per 3π/2 ≤ θ ≤ 2π, mentre è negativo per π/2 ≤ θ ≤ 3π/2, l’integrale si spezza nei tre integraliL = √ ∫ 2π| cos θ|2 √ dθ =1 − sin θ= √ 20∫ π/2Osserviamo che∫cos θ√ dθ 1 − sin θ0cos θ√ dθ − √ ∫ 3π/221 − sin θ π/2cos θ√ dθ + √ ∫ 2π21 − sin θ 3π/2cos θ√1 − sin θdθ62

4.10. Lunghezza di una curva polareFigura 4.14: Spirale di Archimede con k = 2 e θ f = 2π (a sinistra) e θ f = 10π (a destra)si può risolvere facendo il cambiamento di variabile u = sin θ da cui du = cos θdθ ricavando∫∫∫1−1D(1 − u)√ du = − √ du = − √ du = −2 √ 1 − u + costante1 − u 1 − u 1 − uAbbiamo considerato che la derivata di 1 − u vale −1 (l’abbiamo indicata con D(1 − u) e che ∫ x n dx =x n+1n + 1 + costante.Ritornando a L e sostituendo quanto abbiamo trovato nei tre integrali, abbiamoL = √ [ ∣∣∣−2 √ ∣ ∣∣θ=π/2∣2 1 − sin θ − ∣−2 √ 1 − sin θ∣ θ=3π/2∣+ ∣−2 √ ]1 − sin θ∣ θ=2πθ=0θ=π/2θ=3π/2= √ 2 [( −2 √ 1 − 1 + 2 √ 1 − 0 ) − ( −2 √ 1 + 1 + 2 √ 1 − 1 ) + ( −2 √ 1 − 0 + 2 √ 1 + 1 )]= √ (2 2 + 2 √ 2 − 2 + 2 √ )2= √ (2 4 √ )2 = 8La lunghezza della curva cardioide vale 8.La spirale di ArchimedeLa spirale di Archimede è una curva la cui equazione polare è ρ(θ) = kθ con k parametro assegnato,positivo e θ che varia nell’intervallo [0, θ f ] (si veda figura 4.14 per vedere cosa succede aumentandoθ f ).Per calcolare la lunghezza di questa curva, poichè dρ = k si hadθL =∫ θf0√∫ θf √k2 + (kθ) 2 dθ = k 1 + θ2 dθ0L’integrale da risolvere non è immediato nè semplice.Per capire come si arriva al risultato, vediamo nei dettagli la sua risoluzione (specie perchè si trattadi un integrale che può capitare di incontrare anche in altre occasioni). 1Calcoliamo quindi l’integrale ∫ √ 1 + x 2 dx (per semplicità consideriamo l’integrale indefinito eusiamo x al posto di θ).1 Se ci dovesse capitare di risolvere un esercizio arrivando ad un integrale del genere, dovremo ricordarci che esiste tuttaquesta lunga procedura che ci apprestiamo a descrivere per giungere alla formula finale (e quindi torneremo su questi appuntiper ricordarci quale sia il risultato dell’integrale).63

4. LE CURVEFacciamo un cambiamento di variabile ponendo x = tan u. Sappiamo che D(tan u) = 1cos 2 u . La1funzione viene chiamiata anche secante (trigonometrica) e indicata con il simbolo sec u (sec u =cos u1). Per semplicità useremo anche noi questa terminologia.cos uConsideriamo, inoltre, queste relazioni che useremo nel seguito:G 1 + tan 2 u = 1 + sin2 ucos 2 u = cos2 u + sin 2 ucos 2 = 1u cos 2 u = sec2 u1G D(sec u) = D(cos u ) = sin ucos 2 u = tan u = tan u sec ucos uTornando all’integrale, da x = tan u si ha dx = D(tan u)du = 1cos 2 u du = sec2 udu. Sostituendo sihaI =∫ √1+ x2 dx =∫ √1 + tan 2 u sec 2 uduPer la relazione 1 + tan 2 u = sec 2 u si haI =∫ √sec2u sec 2 uduPoichè u = arctan x, si ha −π/2 ≤ u ≤ π/2 e in questo intervallo cos u ≥ 0 da cui sec u ≥ 0, quindi√ sec u = sec u. Allora∫ √sec2∫I = u sec 2 udu = sec 3 uduL’integrale in sec 3 u si risolve riconducendosi all’integrale di sec u. Risolviamo prima quest’ultimointegrale (usando degli accorgimenti: come vedete, la strada per risolvere l’integrale di partenza èmolto lunga).∫∫sec udu ==sec u + tan usec usec u + tan u du∫ sec 2 u + sec u tan udusec u + tan uA questo punto si fa un cambiamento di variabile (ancora!), ponendo w = sec u + tan u (l’espressioneal denominatore della funzione integranda), da cui dw = D(sec u + tan u)du = (sec u tan u + sec 2 u)du(ritroviamo l’espressione al numeratore della funzione integranda), da cui∫ sec 2 ∫u + sec u tan u 1du = dw = ln |w| + costantesec u + tan uw= ln | sec u + tan u| + costante64Torniamo ora all’integrale di sec 3 u riscrivendo diversamente la funzione integranda:sec 3 u = sec3 u2= sec3 u2= sec3 u2= sec3 u2+ sec3 u2+ sec2 u sec u2+ (tan2 u + 1) sec u2+ tan2 u sec u+ sec u2 2= sec3 + tan 2 u sec u2+ sec u2

4.11. Funzioni a valori vettorialiPer calcolare l’integrale di sec 3 u dobbiamo integrare i due termini della somma in cui abbiamoscomposto sec 3 u. Del secondo termine sappiamo già quanto vale l’integrale. Per il primo, bastaosservare cheD(sec u tan u) = D(sec u) tan u + sec uD(tan u)= sec u tan u tan u + sec u sec 2 u= sec u tan 2 u + sec 3 uMa allora∫ sec u tan 2 u + sec 3 ∫u 1du =22 D(sec u tan u)du = 1 sec u tan u + costante2Ritornando all’integrale di prima e mettendo insieme i vari pezzi si ha∫sec 3 udu = 1 (sec u tan u + ln | sec u + tan u|) + costante2Quindi (finalmente siamo arrivati alla conclusione!!!!):∫ √1 ∫+ x2 dx = sec 3 udu = 1 (sec u tan u + ln | sec u + tan u|) + costante2Per tornare alla variabile originale x, da x = tan u si ha u = arctan x, da cui (sfruttando le proprietàviste prima di sec u e tan u) sec u = √ 1 + tan 2 u = √ 1 + x 2 . Perciò, sostituendo∫ √1+ x2 dx = 1 (x √ 1 + x2 2 + ln | √ )1 + x 2 + x| + costanteSappiamo ora calcolare la lunghezza della spirale di Archimede.Tornando alla formula∫ θf √L = k 1 + θ2 dθabbiamoL = k0[ 1(θ √ 1 + θ2 2 + ln | √ ) ] θ f1 + θ 2 + θ| = k √√)(θ f 1 + (θ f )022 + ln | 1 + (θ f ) 2 + θ f |4.11 Funzioni a valori vettorialiAbbiamo visto che una curva può essere rappresentata mediante due equazioni parametriche cheindividuano l’ascissa e l’ordinata di ogni suo punto (se avessimo una curva nello spazio 3D avremmotre equazioni, una per x, una per y, una per z).Queste equazioni sono un esempio di funzione a valori vettoriali. Nel caso della curva in 2Dpossiamo definire una funzione f definita nell’insieme [t 0 , t f ] e a valori in R 2 : f : [t 0 , t f ] → R 2 tale chef = (x(t), y(t)) Al parametro t è associato il punto (x(t), y(t)), che possiamo vedere anche come unvettore di R 2 .Più in generaleDefinizione 4.11.1 f : I → R n con I ⊂ R k , (k, n interi) è una funzione vettoriale.Se la funzione vettoriale è data da f(t) = (f 1 (t), f 2 (t), . . . , f n (t)), possiamo calcolare la sua derivata,che è il vettore che ha come componenti le derivate delle componenti della funzione: f ′ (t) =(f 1(t), ′ f 2(t), ′ . . . , f n(t)). ′ Di questo vettore possiamo calcolare il modulo (che è una funzione di t):|f ′ (t)| = √ ∑ ni=1 (f i ′(t))2 .Nel caso 2D, se f(t) = (x(t), y(t)), si ha f ′ (t) = ( dxdt , dydt ) e |f ′ (t)| =√ (dx ) 2+dt( ) 2 dydt65

4. LE CURVE4.12 Le curve riviste come funzioni vettorialiDefinizione 4.12.1G Si dice curva di R n ogni applicazionef : [a, b] → R nG Si dice sostegno (oppure traccia o traiettoria) della curva l’insieme f([a, b]) (il codominio della funzione).G Un curva f si dice di classe C k se f è di classe C k ([a, b]) (cioè se ogni sua componente è di classe C k ).La curva rappresentata dalla f viene detta anche curva γ.Definizione 4.12.2 Una curva γ si dice regolare se1. la f è di classe C 1 ([a, b])2. ∀t ∈]a, b[: |f ′ (t)| > 03. Se la f è una corrispondenza biunivoca tra [a, b] e f([a, b]) (si può avere una sola eccezione se la curva èchiusa, per cui f(a) = f(b))Definizione 4.12.3 Due funzioni vettoriali f : [a, b] → R n e g : [α, β] → R n rappresentanto la stessa curvaγ se esiste una funzione Φ : [α, β] → [a, b], di classe C 1 e Φ ′ (u) > 0 ∀u ∈ [α, β], tale cheΦ(α) = a Φ(β) = bG ∀u ∈ [α, β] : g(u) = (f ◦ Φ)(u) = f(Φ(u))Definizione 4.12.4 Una curva si dice generalmente regolare o regolare a tratti se1. f è continua2. esiste un numero finito di punti a = t 0 < t 1 < . . . < t r = b tali che la f ristretta a ciascun sottointervallo[t i−1 , t i ], i = 1, 2, . . . , r rappresenti una curva regolareEsempio 4.12.1 La curva data dax = t y = |t| − 1 ≤ t ≤ 1non è regolare perchè non è derivabile per t = 0, ma la curva è generalmente regolare perchè ristretta a [−1, 0]e [0, 1] è regolare.4.13 Retta tangente ad una curvaDefinizione 4.13.1 Data una curva γ di classe C 1 , data dalla funzione vettorialef : [a, b] → R nsia t p ∈]a, b[, con f ′ (t p ) ≠ 0.Si definisce retta tangente alla curva γ nel punto f(t p ) la retta passante per f(t p ) e avente come direzionequella del vettore f ′ (t p ):⃗r t = f(t p ) + tf ′ (t p )t ∈ RNel caso 2D ritroviamo la retta che avevamo introdotto a pag. 52:⃗r t = (x(t p ) + dx(t p)dtt, y(t p ) + dy(t p)t)dtDefinizione 4.13.2 Il vettore f ′ (t p ) si dice vettore tangente alla curva γ in f(t p ).In R 2 il vettore tangente si indica anche come66f ′ (t p ) = x ′ (t)⃗i + y ′ (t)⃗j

4.14. Curve orientate4.14 Curve orientateL’orientamento naturale di una curva è quello dato da valori crescenti di t. Per dire che la curva hal’orientamento naturale la si indica come +γ.L’orientamento di una curva può essere data dal versoreτ(t) = f ′ (t)|f ′ (t)|Definizione 4.14.1 Data una curva γ di classe C 1 , data da f : [a, b] → R n si chiama curva opposta la curva Γdata da F : [−b, −a] → R n per la quale F(u) = f(−u)La curva orientata +Γ ha orientamento naturale opposto a quello della curva +γ. Proprio per questomotivo, si può indicare con −γ la curva opposta +Γ.4.15 Di nuovo sulla lunghezza di una curvaDiamo qualche cenno su come si arriva alla lunghezza di una curva.Data una curva γ di classe C 0 , sia data una suddivisione dell’intervallo [a, b] mediante i puntia = t 0 < t 1 < . . . < t r = b. Si consideri la poligonale che congiunge i punti f(t i ). Si dice lunghezzadella curva γ l’estremo superiore dell’insieme costituito dalle lunghezze delle poligonali così create,considerando tutte le possibili suddivisioni dell’intervallo [a, b] fatte con un numero finito di punti.Una curva che ha lunghezza finita si dice rettificabile.Una curva regolare è rettificabile e la sua lunghezza è data daL =∫ ba|f ′ (t)|dtOsserviamo che questa formula è esattamente quella che abbiamo ricavato in precedenza.Per una curva regolare a tratti si ha un’analoga definizione, considerando la somma dellelunghezze delle curve regolari di cui è composta.Proposizione 4.15.1 L’integrale che fornisce la lunghezza di una curva non cambia se si considera la curvaopposta a quella data o se si considera la curva mediante rappresentazioni equivalenti.4.16 L’ascissa curvilineaData una curva regolare orientata +γ data da f : [a, b] → R n si definisca la funzione reale s(t) datada{∫ ta |f ′ (u)|du per t ≠ as(t) =0 per t = aQuesta funzione rappresenta la lunghezza dell’arco di curva tra f(a) e f(t) ed è detta ascissa curvilinea.È una funzione crescente poichè s ′ (t) = |f ′ (t)| > 0 (essendo la curva regolare).La sua inversa è una funzione Φ(s) tale che Φ(s) = t e tale che ∀s ∈ [0, L] (dove L è la lunghezzadella curva γ) si ha Φ(0) = a, Φ(L) = b e Φ ′ (s) > 0.Ma, allora, f è equivalente alla funzione g = f ◦ Φ. La funzione g dipende dall’ascissa curvilinea s.La rappresentazione di una curva mediante l’ascissa curvilinea non dipende dalla rappresentazioneparametrica da cui si è partiti.Proposizione 4.16.1 La derivata di g ha modulo unitario (o norma unitaria).67

4. LE CURVEDimostrazione.|g ′ (s)| = |(f ◦ Φ) ′ (s)| = |f ′ (Φ(s))Φ ′ (s)| = |f ′ (Φ(s))|Φ ′ (s)Non abbiamo considerato il modulo di Φ ′ (s) essendo questa funzione positiva e scalare. Poichè Φ èla funzione inversa di s, per la derivata vale Φ ′ 1(s) =s ′ (la derivata della inversa di una funzione(Φ(s))è uguale al reciproco della derivata della funzione stessa), andando a sostituire, si trova:|g ′ (s)| = 1✔Considerando il differenziale dell’ascissa curvilinea si ha la cosiddetta lunghezza dell’arcoelementare:ds = |f ′ (t)|dt68

5. Superfici parametriche5.1 Superfici parametricheCosì come una curva è stata rappresentata in forma parametrica, anche una superficie può essererappresentata in forma parametrica mediante tre funzioni (una per x, una per y, una per z) dipendentida due parametri, dette equazioni parametriche della superficiex = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v).Alla stessa maniera con cui abbiamo visto le equazioni di una curva parametrica come una funzionevettoriale, anche una superficie parametrica può essere vista come una funzione vettoriale che dipendeda due variabili ⃗r : R 2 −→ R 3 , tale che⃗r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))La funzione vettoriale è definita su una regione D del piano uv e l’insieme dei punti (x, y, z) ∈ R 3 ,che sono i valori della funzione vettoriale, prende il nome di superficie parametrica S.Esempio 5.1.1 Sia data la superficie di equazioni parametrichex = 4 cos u, y = v, z = 4 sin uCerchiamo di capire di quale superficie si tratta.Da x 2 + z 2 = 16 cos 2 u + 16 sin 2 u = 16 deduciamo che sezioni verticali parallele al piano xz, vale a direper y costante, sono tutte circonferenze di raggio 4. Dal momento che l’equazione parametrica per y è proprioy = v, e v ∈ R, la superficie è un cilindro circolare di raggio 4 il cui asse è l’asse delle y (si veda Figura 5.1).Figura 5.1: Cilindro di equazioni x = 4 cos u, y = v, z = 4 sin u.69

5. SUPERFICI PARAMETRICHEFigura 5.2: Cilindro di equazioni x = 4 cos u, y = v, z = 4 sin u con 0 ≤ u ≤ π/4, 0 ≤ v ≤ 1.Esempio 5.1.2 Nell’esempio di prima, non c’erano limitazioni ai parametri u e v. Se invece poniamo dellelimitazioni avremo una porzione di cilindro. Facciamo variare u in [0, π/4] e v in [0, 1]. In Figura 5.2possiamo osservare la superficie che otteniamo.Se una superficie parametrica S è data dalla funzione vettoriale ⃗r(u, v), è utile definire due famigliedi curve che si trovano sulla superficie: una famiglia di curve che si ha considerando u costante e l’altrache si ha considerando v costante. Queste due famiglie corrispondono a linee verticali e orizzontalinel piano uv.Prendendo u = u 0 , la funzione vettoriale ⃗r(u 0 , v) diventa una funzione vettoriale dipendente dalsolo parametro v e definisce una curva γ 1 che giace sulla superficie S. Analogamente, per v = v 0 , si hala curva γ 2 data da ⃗r(u, v 0 ) sulla superficie S.Le due curve prendono il nome di curve coordinate o curve di griglia. I grafici che abbiamo fattoper visualizzare le superfici degli esempi precedenti mostrano queste curve coordinate.5.1.1 Sistema di coordinate sferichePer visualizzare il grafico delle superfici, a volte è utile rappresentare le superfici in un sistema dicoordinate che non è quello cartesiano. Vediamo nel dettaglio il sistema di coordinate sferiche, dove unpunto P che ha coordinate (x, y, z) nello spazio cartesiano viene rappresentato in coordinate sferichemediante (ρ, θ, φ) (si veda Figura 5.3): ρ rappresenta la distanza del punto P dall’origine dello spaziocartesiano (ρ = √ x 2 + y 2 + z 2 ), θ rappresenta l’angolo che si ha tra la proiezione del punto P sul pianoxy e l’asse positivo dell’asse x (in altri termini, è la coordinata polare θ della proiezione di P sul pianoxy), mentre φ è l’angolo tra l’asse positivo dell’asse z e il segmento OP . Quindi ρ ≥ 0 e 0 ≤ φ ≤ π.Questo sistema di coordinate è utile in presenza di simmetrie intorno all’origine.La relazione tra coordinate cartesiane e coordinate sferiche, tiene conto delle relazioni trigonometriche.In Figura 5.4 vediamo i due triangoli rettangoli OP Q e OP P ′ . Il triangolo OP Q ha i lati OQe OP di lunghezza z e ρ rispettivamente, e, per le relazioni sui lati e angoli di un triangolo rettangolovale z = ρ cos φ. Il triangolo OP P ′ ha uno dei suoi cateti, indicato con r, che è dato dalla proiezionedi OP sul piano xy. Vale r = ρ sin φ. Le coordinate x e y sono cateti del triangolo che si forma sulpiano xy e che ha come ipotenusa proprio r, da cui x = r cos θ e y = r sin θ, vale a dire x = ρ sin φcosθe y = ρ sin φ sin θ.70

5.1. Superfici parametricheFigura 5.3: Rappresentazione delle coordinate sferiche.Figura 5.4: Relazione tra coordinate cartesiane e sferiche.Riassumendo, le coordinate sferiche di P sono date dax = ρ sin φ cos θ, y = ρ sin φ sin θ, z = ρ cos φViceversa, considerando la formula della distanza di un punto P dall’origine e sosituendo i valoriappena trovati si ricava:√x2 + y 2 + z 2 =√ρ 2 sin 2 φ cos 2 θ + ρ 2 sin 2 φ sin 2 θ + ρ 2 cos 2 φ = ρEsempio 5.1.3 L’equazione di una sfera di centro l’origine e raggio r è data da x 2 + y 2 + z 2 = r 2 . Possiamodescrivere la sfera usando equazioni parametriche del tipox = x, y = y, z = ± √ r 2 − x 2 − y 2 71

5. SUPERFICI PARAMETRICHEFigura 5.5: Superficie sferica. Il grafico è fatto usando coordinate cartesiane (a sinistra) e coordinatesferiche (a destra).Osserviamo che abbiamo due funzioni per z. Usando queste equazioni e unendo i grafici, otteniamo la sferache si vede in Figura 5.5 a sinistra: parti della sfera non sono rappresentate ma ci sono dei buchi, perchè x ey sono fatti variare in un dominio rettangolare e, in corrispondenza dei buchi abbiamo delle radici quadratedi valori negativi! Se usiamo invece coordinate sferiche, i punti hanno coordinate con ρ = r, da cui,x = r sin φ cos θ, y = r sin φ sin θ, z = r cos φ, 0 ≤ φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2πIl grafico della sfera usando le coordinate sferiche è in Figura 5.5 a destra. Osserviamo come la superficiesia ben rappresentata. In questo caso le curve coordinate per φ costante sono delle circonferenze di valorecostante (che corrispondono ai noti paralleli che si studiano in geografia). Per θ costante abbiamo invece imeridiani (semicirconferenze perchè 0 ≤ φ ≤ π) che collegano polo nord e polo sud.5.2 Piano tangente a una superficie parametricaData una superficie parametrica S di equazione ⃗r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), vogliamo calcolarel’equazione del piano tangente alla superficie in un punto P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) che vi appartiene. Esistequindi una coppia di valori (u 0 , v 0 ) tale che P 0 = ⃗r(u 0 , v 0 ).Per calcolare il piano tangente, facciamo questo tipo di ragionamento. Fissando u = u 0 , le equazioniparametriche della superficie diventano ⃗r(u 0 , v) = (x(u 0 , v), y(u 0 , v), z(u 0 , v)): abbiamo una funzionevettoriale che dipende dalla sola variabile v e che definisce una curva parametrica γ 1 nello spazioR 3 . Questa curva giace sulla superficie S.Scriviamo le equazioni parametriche della retta tangente a questa curva (si veda pag. 66), considerandoche quella che è la derivata della funzione x(u 0 , v) rispetto a v nel punto v = v 0 altro non è chela derivata parziale della funzione x(u, v) rispetto a v nel punto (u 0 , v 0 ) (stesso discorso vale per y eper z). Otteniamoretta ⃗ tv = (x 0 + t ∂x(u 0, v 0 )∂v, y 0 + t ∂y(u 0, v 0 )∂v, z 0 + t ∂z(u 0, v 0 ))∂vAbbiamo chiamato questa retta con retta ⃗ tv perchè è la retta tangente alla curva che dipende dallavariabile v poichè u = u 0 costante. Di conseguenza, la pendenza di questa retta, vale a dire, la tangentealla curva γ 1 nel punto x(u 0 , v 0 ), y(u 0 , v 0 ) è data dal vettore72⃗r tv = ( ∂x(u 0, v 0 )∂v, ∂y(u 0, v 0 )∂v, ∂z(u 0, v 0 ))∂v

5.2. Piano tangente a una superficie parametricaAllo stesso modo, possiamo fissare v = v 0 e considerare che le equazioni parametriche della superficie,in questo caso, si riducono alle equazioni parametriche di una curva nello spazio R 3 che dipendonodalla variabile u. Analogamente, possiamo scrivere le equazioni parametriche della retta tangente aquesta curva nel punto P 0 , ottenendoretta ⃗ tu = (x 0 + t ∂x(u 0, v 0 )∂u, y 0 + t ∂y(u 0, v 0 )∂uLa pendenza di questa retta è data dal vettore⃗r tu = ( ∂x(u 0, v 0 )∂u, ∂y(u 0, v 0 )∂u, ∂z(u 0, v 0 ))∂u, z 0 + t ∂z(u 0, v 0 ))∂uUna volta ottenute queste due rette, il piano tangente alla superficie è il piano individuato dalle direzionidi queste due rette, cioè dai due vettori ⃗r tu e ⃗r tv . Consideriamo dei brevi richiami sulle equazionidi un piano in R 3 .5.2.1 Equazione di un piano e vettore normale al pianoSupponiamo di avere un punto P 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) su un piano nello spazio R 3 . Supponiamo di avereanche un vettore ⃗n che è normale a questo piano:Assumiamo di conoscere un altro generico punto P = (x, y, z) che giace sul piano.Indichiamo con ⃗r e ⃗r 0 i vettori che ci indicano i due punti P e P 0 rispettivamente (si veda figura 5.6).Possiamo costruire il vettore ⃗r − ⃗r 0 che giace interamente nel piano. Per semplicità, nella figura 5.6abbiamo messo sul piano il vettore ⃗n (anche se esso potrebbe stare da tutt’altra parte). Ora, poichèFigura 5.6: piano nello spazio⃗n è ortogonale al piano, esso è ortogonale ad ogni vettore che giace nel piano. In particolare esso èortogonale al vettore ⃗r − ⃗r 0 . Vale dunque:⃗n · (⃗r − ⃗r 0 ) = 0Se ⃗n è un vettore di componenti (a, b, c), poichè ⃗r − ⃗r 0 = (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ), il prodotto scalarediventaa(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0Questa è l’equazione scalare del piano. Spesso troviamo l’equazione scritta nella formaax + by + cz = d dove d = ax 0 + by 0 + cz 073

5. SUPERFICI PARAMETRICHEOsserviamo quindi che, data l’equazione di un piano possiamo ricavare facilmente un vettore normaleal piano: esso è dato da ⃗n = (a, b, c).Ora, dati due vettori ⃗a e ⃗ b in R 3 , il prodotto vettoriale ⃗a × ⃗ b è un vettore che punta nella direzioneperpendicolare al piano individuato dai due vettori ⃗a e ⃗ b, mentre la sua lunghezza è data da|⃗a × ⃗ b| = |⃗a|| ⃗ b| sin θdove θ è l’angolo compreso dai due vettori (0 ≤ θ ≤ π). Da questa formula deduciamo che se i duevettori sono paralleli allora il loro prodotto vettoriale è nullo e viceversa. Come interpretazione geometricasi ha che la lunghezza del prodotto vettoriale rappresenta l’area del parallelogramma individuatodai vettori ⃗a e ⃗ b. Per trovare le componenti del prodotto vettoriale si ha la formula legata al determinantedella matrice che ha sulla prima riga i versori dell’asse delle x, delle y e delle z rispettivamente,sulla seconda riga le componenti del vettore ⃗a e sulla terza riga le componenti del vettore ⃗ b. Si calcolail determinante della matrice rispetto alla prima riga in modo da avere come risultato un vettore. Sia⃗a = (a 1 , a 2 , a 3 ) e ⃗ b = (b 1 , b 2 , b 3 ). I versori unitari dei tre assi siano dati da⃗i, ⃗j, ⃗ k. Il prodotto vettoriale⃗a × ⃗ b è dato da∣ ⃗a × ⃗ ⃗i ⃗j ⃗ k ∣∣∣∣∣ b =a 1 a 2 a 3 =⃗i∣ a ∣ 2 a 3∣∣∣− ⃗j∣b 2 b 3∣ a ∣ 1 a 3∣∣∣+b 1 b ⃗ k3∣ a ∣1 a 2∣∣∣b 1 b 2b 1 b 2 b 3=⃗i(a 2 b 3 − b 2 a 3 ) − ⃗j(a 1 b 3 − b 1 a 3 ) + ⃗ k(a 1 b 2 − b 1 a 2 )= (a 2 b 3 − b 2 a 3 , b 1 a 3 − a 1 b 3 , a 1 b 2 − b 1 a 2 )Quindi se abbiamo due vettori ⃗a e ⃗ b che si trovano sul piano di cui vogliamo scrivere l’equazione, illoro prodotto vettoriale è il vettore normale al piano e può essere utilizzato per scrivere l’equazionedel piano tangente.Tornando al piano tangente ad una superficie parametrica in un punto P 0 , poichè abbiamo trovatoi due vettori tangenti ⃗r tu e ⃗r tv che si trovano sul piano tangente alla superficie, allora il piano tangenteè individuato dal vettore ⃗n = ⃗r tu × ⃗r tv (i due vettori non devono essere tangenti tra loro).Esempio 5.2.1 Sia data la superficie di equazioni parametrichex = 2u 2 , y = 3v 2 , z = 3u + 5vVogliamo trovare l’equazione del piano tangente alla superficie nel punto P 0 (2, 3, 8). Notiamo che questopunto si ha per u = v = 1.Calcoliamo i due vettori tangenti ⃗r tu e ⃗r tv .Poichè∂x∂y∂z∂u = 3∂u = 4u, ∂u = 0,valutando queste derivate in (1, 1) abbiamo⃗r tu = (4, 0, 3)Analogamente, poichè∂x∂v = 0, ∂y∂v = 6v, ∂z∂v = 5valutando queste derivate in (1, 1) abbiamo⃗r tv = (0, 6, 5)Il prodotto vettoriale è⃗i ⃗j ⃗ k⃗r tu × ⃗r tv =4 0 3∣0 6 5∣ = (−18) ⃗i − (12)⃗j + (24) ⃗ k = (−18, −12, 24)74

5.2. Piano tangente a una superficie parametricaQuindi il piano tangente è dato daa(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0dove (a, b, c) = (−18, −12, 24) e (x 0 , y 0 , z 0 ) = (2, 3, 8) = P 0 , da cui−18(x − 2) − 12(y − 3) + 24(z − 8) = 0o ancora−18x + 36 − 12y + 36 + 24z − 192 = 0 =⇒ 24z − 12y − 18x − 120 = 0 =⇒ 2z − y − 1.5x − 10 = 075

6. Integrali6.1 Integrali dipendenti da parametriAnalizziamo brevemente gli integrali dipendenti da parametri, vedendo il caso in cui la funzioneintegranda dipende da una sola variabile e il caso in cui dipende da due variabili.6.1.1 Integrali dipendenti da parametri per funzioni di una sola variabileSe f : I −→ R con I ⊂ R è una funzione continua, fissato x 0 ∈ I si può definire la funzioneF (x) =∫ xx 0f(t)dtQuesta funzione prende il nome di funzione integrale della f di punto iniziale x 0 .Proposizione 6.1.1 Se G è una primitiva della f (quindi G ′ = f) si haF (x) =∫ xx 0f(t)dt = G(x) − G(x 0 )La funzione F è a sua volta una primitiva di f.Dimostrazione.Infatti F ′ (x) = d ( ∫ xdxx 0f(t)dt)= d(G(x) − g(x 0))= f(x). ✔dx6.1.2 Integrali dipendenti da parametri per funzioni di due variabiliSe f : I −→ R con I ⊂ R 2 è una funzione continua, si può definire la funzioneF (y 0 , y 1 , x) =∫ y1y 0f(x, y)dyQuindi, fissato un certo valore di x, calcoliamo l’integrale della funzione f(x, y), come funzione chedipende solo da y, per y 0 ≤ y ≤ y 1 . Al variare di x varia l’integrale. E l’integrale varia anche al variaredi y 0 e y 1 , perciò è una funzione che dipende da tre variabili, y 0 , y 1 e x.La F è una funzione continua.Proposizione 6.1.2 Se f è continua, la F è derivabile rispetto a y 0 e y 1 e vale∂F∂y 1= f(x, y 1 )∂F∂y 0= −f(x, y 0 )Dimostrazione.La prima relazione segue dal fatto che, poichè stiamo facendo la derivata rispetto a y 1 (che è ilsecondo estremo dell’intervallo di integrazione), posso considerare la F come funzione integrale diuna funzione dipendente da una sola variabile. In particolare, fissati x e y 0 , considero la funzioneg(y) = f(x, y) eF 1 (y 1 ) = F (y 0 , y 1 , x) =∫ y1y 0g(y)dy77

6. INTEGRALIMi riconduco dunque al caso visto prima, da cui F ′ 1(y 1 ) = g(y 1 ). Ma g(y 1 ) = f(x, y 1 ) e F ′ 1(y 1 ) altro nonè che la derivata della funzione F per y 0 e x fissati, quindi F ′ 1(y 1 ) = ∂F (y 0, y 1 , x)∂y 1Ricaviamo dunque∂F (y 0 , y 1 , x)∂y 1= f(x, y 1 )Per trovare la seconda formula che abbiamo scritto nella proposizione, basta ricordare che∫ ba g(x)dx = − ∫ ag(x)dx da cui∫ y1y 0bf(x, y)dy = −∫ y0y 1f(x, y)dyUtilizzando questa formula e il risultato precendente, e scambiando il ruolo di y 0 e y 1 troviamo chevale 1 ∂F (y 0 , y 1 , x)= −f(x, y 0 )∂y 0✔Si può pensare, della F di voler calcolare anche la derivata parziale rispetto alla x. In tal caso valela relazione∫∂Fy1∂x = ∂f(x, y)dyy 0∂xValgono inoltre le seguenti proposizioniProposizione 6.1.3 Se f è di classe C 1 anche F è di classe C 1 .Se si fa variare y in un certo intervallo definito da due funzioni dipendenti da x: α(x) ≤ y ≤ β(x),con α e β funzioni di classe C 0 , possiamo definire la funzioneF (x) =∫ β(x)α(x)f(x, y)dyProposizione 6.1.4 Se le funzioni f, α e β sono di classe C 1 allora anche la funzione F (x) = ∫ β(x)f(x, y)dyα(x)è di classe C 1 e valeF ′ (x) = f(x, β(x))β ′ (x) − f(x, α(x))α ′ (x) +∫ β(x)α(x)Dimostrazione. Vediamo F (x) = F (α(x), β(x), x).Allora, per la derivazione delle funzioni composte:F ′ (x) =∂F∂α(x) α′ (x) +∂F∂β(x) β′ (x) + ∂F∂x∂f(x, y)dy∂xApplicando i risultati già visti per ciascuna di queste derivate parziali, ritroviamo l’asserto. ✔1 Possiamo pensare di riscrivere la F come F (y 0 , y 1 , x) = R y 1y f(x, y)dy = − R y 00 y f(x, y)dy = −G(y11 , y 0 , x) doveG(y 1 , y 0 , x) = R y 0y f(x, y)dy1Di G (avendo scambiato il ruolo di y 0 e y 1 ) sappiamo qual è la derivata rispetto a y 0 (secondo estremo di integrazione):∂G= f(x, y 0 )∂y 0Allora∂F (y 0 , y 1 , x)= − ∂G = −f(x, y 0 )∂y 0 ∂y 0Ritroviamo dunque l’asserto.78

6.2. Richiamo sugli integrali sempliciFigura 6.1: Come si arriva alla definizione di ∫ ba f(x)dx.6.2 Richiamo sugli integrali sempliciPrima di vedere cosa sono gli integrali multipli (doppi o tripli), rivediamo brevemente cosa è unintegrale definito di una funzione che dipende da una sola variabile:∫ baf(x)dxdove a ≤ x ≤ b. Per integrali di questo tipo, diciamo che stiamo integrando la funzione f(x)nell’intervallo [a, b]. I punti a e b si dicono estremi dell’intervallo di integrazione.Il concetto di integrale di una funzione si deriva considerando l’area che si trova sotto la curvadefinita da y = f(x) nell’intervallo [a, b] (supponiamo per semplicità che la funzione f sia positiva, mail concetto si generalizza a funzioni negative o che hanno valori sia positivi che negativi... il valore diun integrale può essere sia positivo che negativo, a seconda della funzione da integrare).Per calcolare l’area sottesa dalla funzione y = f(x) possiamo pensare di dividere l’intervallo [a, b] inn parti uguali, in modo da avere n sottointervalli di ampiezza ∆x. In ciascuno di questi sottointervalliscegliamo un punto x ∗ i (ad esempio il punto medio di ciascuno dei sottointervalli) e consideriamo ilrettangolo di ampiezza ∆x e altezza f(x ∗ i ) (si veda Figura 6.1). Ciascuno di questi rettangoli ha areapari a f(x ∗ i )∆x, quindi l’integrale può essere approssimato mediante la somma delle aree di ciascunrettangolo:∫ baf(x)dx ≈ f(x ∗ 1)∆x + f(x ∗ 2)∆x + . . . + f(x ∗ n)∆x)Per ottenere l’area esatta della nostra funzione, facciamo il limite per n che tende all’infinito.∫ baf(x)dx = limn→∞i=1n∑f(x ∗ i )∆x6.3 Integrali doppi su domini rettangolariVediamo ora cosa accade se abbiamo una funzione di due variabili f(x, y). Se per funzioni di unasola variabile integriamo su un intervallo (un sottoinsieme di R), per funzioni di due variabili ha sensointegrare su una regione di R 2 .Assumiamo di avere una regione di R 2 data dal rettangolo D = [a, b] × [c, d]. Ciò vuol dire chea ≤ x ≤ b mentre c ≤ y ≤ d.79

6. INTEGRALIFigura 6.2: Grafico di una funzione f(x, y) sul rettangolo D.Figura 6.3: Suddivisione del rettangolo D in tanti rettangolini.Sia, inoltre, f(x, y) ≥ 0 per ogni coppia di punti (x, y) ∈ D, anche se quanto diremo ora si puòestendere al caso più generale di funzioni che assumono valori sia positivi che negativi.La domanda che ci poniamo è la seguente: qual è il volume della regione che si trova sotto il graficodella funzione f(x, y) e sopra il piano xy? (si veda Figura 6.2)Per prima cosa cerchiamo di approssimare il volume (in maniera analoga a quanto abbiamo fattoper l’area nel caso di funzioni di una sola variabile). Per far ciò dividiamo l’intervallo [a, b] in n partiuguali e l’intervallo [c, d] in m parti uguali, in modo da dividere D in tanti rettangolini (ne abbiamon × m) e, in ciascuno di questi, scegliamo un punto di coordinate (x ∗ i , y∗ j ) (si veda Figura 6.3).Su ciascuno di questi rettangolini, costruiamo una colonnina (un parallelogramma) di altezza datada f(x ∗ i , y∗ j ). Ciascuno dei parallelogrammi ha un volume dato da f(x∗ i , y∗ j )∆x∆y.Approssiamo il volume V che si trova sotto il grafico della funzione f(x, y) sommando i volumi diciascun parallelogrammaV ≈n∑i=1 j=1m∑f(x ∗ i , yj ∗ )∆x∆yPrendendo suddivisioni lungo l’asse x e y via via più raffinate, facendo cioè tendere all’infinito n em noi avremo una stima via via più accurata del volume V , vale a dire80

6.4. Integrali iteratiV =limn∑n,m→∞i=1 j=1m∑f(x ∗ i , yj ∗ )∆x∆yA questo punto abbiamo la definizione di integrale doppio (si noti la somiglianza con la definizionedata per integrale definito per funzioni di una singola variabile).Indichiamo, infatti come integrale doppio della funzione f sul dominio dato dal rettangolo Dproprio il volume V :∫∫n∑ m∑f(x, y)dA = lim f(x ∗ i , yj ∗ )∆x∆y.D6.4 Integrali iteratin,m→∞i=1 j=1Supponiamo che f sia una funzione continua nel rettangolo D = [a, b] × [c, d]. Utilizziamo lanotazione ∫ df(x, y)dy per dire che x è costante e si integra la funzione rispetto alla variabile y per ycche varia da c a d. Una volta che abbiamo calcolato questo integrale, avremo un valore che dipendedal valore di x, quindi questo integrale definisce una funzione di x:A(x) =∫ dcf(x, y)dyAdesso integriamo A rispetto a x, per x che varia in [a, b], ottenendo∫ b ∫ [b ∫ ]dA(x)dx = f(x, y)dy dxaacL’integrale scritto a destra dell’equazione precedente prende il nome di integrale iterato. Di solito nonsi mettono le parentesi ma si scrive direttamente ∫ b ∫ df(x, y)dydx: quindi prima integriamo rispettoa ca y da c a d e poi integriamo rispetto a x da a a b.Alla stessa maniera si può definire l’integrale iterato dato da∫ d ∫ b∫ [d ∫ ]bf(x, y)dxdy = f(x, y)dx dycacaIn questo caso, prima integriamo rispetto alla variabile x da a a b e poi integriamo rispetto a y da c a d.Esempio 6.4.1 Valutiamo ∫ 4 ∫ 30 2 xy2 dydx.Dobbiamo prima integrare rispetto alla variabile y, considerando x costante, ottenendo∫ 3xy 2 dy =[x y332] 32= x 333 − x23 3 = 19 3 xIl valore che abbiamo ottenuto corrisponde alla funzione A(x) introdotta prima. Integriamo questa funzioneper x che varia da 0 a 4. Otteniamo∫ 4 ∫ 3∫ 4[∫ 3]xy 2 dydx = xy 2 dy dx02=0∫ 402193 xdx = [ 193x 2 ] 4= 19 203 8 = 152381

6. INTEGRALIEsempio 6.4.2 Proviamo ora a calcolare ∫ 3 ∫ 42 0 xy2 dxdy.Questa volta dobbiamo integrare prima rispetto a x e poi rispetto a y. Abbiamo∫ 3 ∫ 4∫ 3[∫ 4]xy 2 dxdy = xy 2 dx dy202∫ 30[ ] x2 4=2 2 y2 dy0∫ 3] 3= 8y 2 dy =[8 y3232= 8( 333 − 233 ) = 1523Osserviamo come abbiamo ottenuto lo stesso risultato scambiando l’ordine di integrazione. Si hainfatti il seguente teorema.Teorema 6.4.1 (di Fubini) Se f(x, y) è una funzione continua su D = [a, b] × [c, d] allora:o,∫∫f(x, y)dA =∫ b ∫ df(x, y)dydx =∫ d ∫ bDa cc a∫∫f(x, y)dA =∫ b( ∫ )df(x, y)dy dx =∫ dDa cc af(x, y)dxdy( ∫ )bf(x, y)dx dyQuindi abbiamo due strade equivalenti per calcolare un integrale doppio di una funzione continuasu un dominio rettangolare, riconducendoci a integrali di una sola variabile che sappiamo calcolare.Riassumendo:G nel primo caso∫∫∫ b ∫ d∫ (b ∫ )df(x, y)dA = f(x, y)dydx = f(x, y)dy dxDacanoi prima calcoliamo l’integrale che sta all’interno (tra parentesi tonde), vale a dire, ∫ df(x, y)dycconsiderando x come una costante e integrando rispetto alla variabile y. Come risultato avremouna funzione che dipende solo da x e sarà questa che poi andremo a integrare tra a e b rispettoalla variabile x;G nel secondo caso∫∫∫ d ∫ b∫ (d ∫ )bf(x, y)dA = f(x, y)dxdy = f(x, y)dx dyDcacandiamo prima a calcolare l’integrale ∫ bf(x, y)dx rispetto a x, considerando y come una costanteae poi andremo a integrare il risultato ottenuto rispetto a y nell’intervallo [c, d].6.5 Integrali doppi su domini generaliA differenza degli integrali di funzioni di una sola variabile, in cui il dominio di integrazione èsempre un intervallo, per integrali di funzioni di due variabili, il dominio di integrazione non si riduce82ca

6.5. Integrali doppi su domini generaliFigura 6.4: Dominio normale rispetto all’asse x (sinistra) e rispetto all’asse y (destra).ad un rettangolo ma può avere una forma più generale. Consideriamo il caso in cui il dominio diintegrazione sia un insieme limitato D (perciò esiste un rettangolo R che lo contiene).In tal caso l’integrale di una funzione f(x, y) sul dominio R si può ricondurre all’integrale di unafunzione F (x, y) sul rettangolo R così definita:{f(x, y) se (x, y) appartiene a DF (x, y) =0 se (x, y) appartiene a R ma non a DAllora∫∫D∫∫f(x, y)dA =RF (x, y)dADa un punto di vista pratico, come calcolare questo integrale? La frontiera dell’insieme D devepotersi esprimere mediante funzioni continue di x o di y. Ci sono due casi da considerare (si vedanoFigure 6.4 e 6.5 per degli esempi)1. Caso 1: l’insieme D è dato da{}D = (x, y) ∈ R 2 t. c. a ≤ x ≤ b, g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x)Si dice che il dominio è normale rispetto all’asse x.2. Caso 2: l’insieme D è dato da{}D = (x, y) ∈ R 2 t. c. h 1 (y) ≤ x ≤ h 2 (y), c ≤ y ≤ dSi dice che il dominio è normale rispetto all’asse y.Se il dominio è normale rispetto all’asse x, vuol dire che prendendo una retta x = x 0 con a ≤ x 0 ≤ b,(normale dunque all’asse x), i valori di y che sono compresi tra g 1 (x 0 ) e g 2 (x 0 ) giacciono tutti all’internodel dominio di integrazione. Analogamente, nel caso in cui il dominio sia normale rispetto all’asse y,prendendo la retta y = y 0 normale all’asse y, con c ≤ y 0 ≤ d, si ha che tutti i punti di ordinata y 0 e diascissa compresa tra h 1 (y 0 ) e h 2 (y 0 ) sono all’interno del dominio di integrazione.In questi casi, il teorema di Fubini applicato al rettangolo R in cui uno dei due lati corrispondecon l’intervallo [a, b] o [c, d] a seconda che il dominio sia normale rispetto all’asse x o y, si riduce adun integrale iterato in cui gli estremi dell’integrale interno (da calcolare per primo) sono dati propriodalle due funzioni g 1 , g 2 , o h 1 , h 2 che delimitano la frontiera di D, in quanto all’esterno la funzione Fè nulla. Si ha il seguente teorema.Teorema 6.5.1 (di Fubini) Data una funzione f(x, y) da integrare su un dominio D,G nel caso in cui il dominio di integrazione è normale rispetto all’asse x (Caso 1) si ha:∫∫∫ b ∫ g2(x)f(x, y)dA = f(x, y)dydxDag 1(x)83

6. INTEGRALI}Figura 6.5: A sinitra: D ={(x, y) ∈ R 2 : 1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y 3 . Il dominio è normale rispetto all’asse{y. A destra: D = (x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1, x 3 ≤ y ≤ √ }x . Il dominio è normale rispetto all’asse x.Figura 6.6: Dominio dato dal triangolo di vertici (0, 3), (1, 1) e (5, 3)G nel caso in cui il dominio di integrazione è normale rispetto all’asse y (Caso 2) si ha:∫∫∫ d ∫ h2(y)f(x, y)dA =f(x, y)dxdyDch 1(y)Esaminiamo il Caso 1 (il discorso si ripete analogo per il Caso 2). Noi calcoliamo prima l’integraleinterno ∫ g 2(x)g 1(x)f(x, y)dy considerando x come costante, rispetto alla variabile y. Il risultato ora dipendeda x in quanto gli estremi di integrazione sono funzioni di x. Una volta ottenuto questo integrale,integriamo il risultato rispetto alla variabile x con estremi a e b.A volte, un dominio può essere considerato normale sia rispetto all’asse x sia rispetto all’asse y.Altre volte può essere visto come unione di due domini. A seconda dell’integrale che si deve fare,conviene scegliere di vederlo in un modo piuttosto che in un altro.84

6.5. Integrali doppi su domini generaliFigura 6.7: Dominio di integrazione delimitato dalle parabole y = 3x 2 e y = x ∗ 2 + 2.Esempio 6.5.1 Nel caso del triangolo mostrato in Figura 6.6, il dominio può essere visto come l’unione didue domini normali rispetto all’asse x, oppure come un dominio normale rispetto all’asse y.Nel primo caso, D = D 1 ∪ D 2 , in quanto la funzione g 1 (x) varia a seconda di dove si trovi x:D 1 = {(x, y) t.c. 0 ≤ x ≤ 1, −2x + 3 ≤ y ≤ 3}D 2 ={(x, y) t.c. 1 ≤ x ≤ 5,12 x + 1 }2 ≤ y ≤ 3Se riscriviamo le equazioni delle due rette y = −2x + 3 e y = 1 2 x + 1 2in funzione di x otteniamo, dallaprima, x = − 1 2 y + 3 , e dalla seconda x = 2y − 1, e possiamo scrivere l’insieme D come2D ={(x, y) t.c. − 1 2 y + 3 }2 ≤ x ≤ 2y − 1, 1 ≤ y ≤ 3Esempio 6.5.2 Calcoliamo ∫∫ D x2 dA dove D è l’insieme delimitato dalle parabole y = 3x 2 e y = x 2 + 2.Prima di tutta facciamo un grafico dell’insieme D (si veda Figura 6.7). I punti di intersezione delle dueparabole si hanno per 3x 2 = x 2 + 2 cioè 2x 2 − 2 = vale a dire per x = ±1. Si vede facilmente che il dominioè normale rispetto all’asse x: basta considerare −1 ≤ x ≤ 1 e 3x 2 ≤ y ≤ x 2 + 2. Infatti la curva che delimitala porzione inferiore della frontiera dell’insieme è data da y = 3x 2 mentre la porzione superiore della frontieraè y = x 2 + 2. L’integrale diventa∫∫∫ 1 ∫ x 2 +2x 2 ydA =x 2 dydxD===−1∫ 1−1∫ 1−1∫ 1−13x 2[x 2 y ] y=x 2 +2y=3x 2x 2 (x 2 + 2 − 3x 2 )dx2x 2 − 2x 4 dx =] 1 [2 x33 − 2x5 = 2 2 5−13 − 22 5 = 81585

6. INTEGRALIFigura 6.8: Dominio di integrazione dell’integrale ∫ 1 ∫ 10 y sin x2 dxdy.Esempio 6.5.3 Sia da calcolare l’integrale ∫ 1 ∫ 10 y sin x2 dxdy. Se cerchiamo di valutare l’integrale così comeci è stato presentato, abbiamo la difficoltà di dover valutare ∫ sin x 2 dx. Si tratta, infatti, di uno di quegliintegrali impossibili da valutare mediante funzioni elementari! Ci conviene allora cambiare l’ordine diintegrazione. Cerchiamo{allora di capire come è fatto il dominio}di integrazione D. Da come è scritto l’integrale,risulta D = (x, y) ∈ R 2 : 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1 . Facciamo il grafico (si veda Figura 6.8). Questodominio lo possiamo vedere come normale rispetto all’asse x prendendo 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x. Quindi∫ 1 ∫ 1∫∫sin x 2 dxdy = sin x 2 dA0y=== 1 2D∫ 1 ∫ x0∫ 100∫ 1sin x 2 dydx =x sin x 2 dx = 1 20∫ 10∫ 1d(x 2 )dx sin x2 dx = 1 20[y sin x2 ] y=xy=0 dx2x sin x 2 dx[− cos x2 ] 1= 1 (1 − cos 1)026.6 Proprietà degli integrali doppiAssumendo che i seguenti integrali esistano, vediamone brevemente alcune proprietà:D (f(x, y) + g(x, y)) dA = ∫∫ D f(x, y)dA + ∫∫ g(x, y)dAD D cf(x, y)dA = c ∫∫ f(x, y)dA, essendo c una costante.D Se f(x, y) ≥ g(x, y) per tutti i punti (x, y) in D, allora ∫∫ D f(x, y)dA ≥ ∫∫ g(x, y)dA.DG Se D = D 1 ∪ D 2 , dove D 1 e D 2 sono domini che non si sovrappongono ma possono avere al piùsolo punti della frontiera in comune, allora∫∫f(x, y)dA =D∫∫f(x, y)dA +D 1∫∫f(x, y)dAD 286

6.7. Cambiamento di variabiliFigura 6.9: Esempio di trasformazione globalmente invertibile dall’insieme S del piano uv all’insiemeR del piano xy.G Considerando la funzione di valore costante 1 si ha∫∫1dA = area(D)Ddove area(D) è l’area dell’insieme D (torneremo su questo punto più avanti).G Se m ≤ f(x, y) ≤ M per tutti i punti (x, y) in D, allora∫∫m area(D) ≤ f(x, y)dA ≤ M area(D)6.7 Cambiamento di variabiliDA volte, il calcolo di un integrale si può semplificare operando un cambiamento di variabili. Atale scopo, per il calcolo di integrali doppi, consideriamo un cambiamento di variabili dato da unatrasformazione T che permette di passare dal piano uv al piano xy: T (u, v) = (x, y) dove x e y sonolegate a u e v mediante equazioni del tipox = x(u, v), y = y(u, v)Questa trasformazione può essere vista come una funzione vettoriale ⃗r = (x(u, v), y(u, v)). L’ipotesifondamentale, allo scopo di calcolare un integrale doppio, è che la trasformazione ci permetta diottenere tutti i punti del dominio di integrazione.Una trasformazione T è dunque una funzione in cui sia il dominio che il codominio sono sottoinsiemidi R 2 . Se T (u 1 , v 1 ) = (x 1 , y 1 ) allora il punto (x 1 , y 1 ) è l’immagine del punto (u 1 , v 1 ) mediantela trasformazione. Se la trasformazione è una corrispondenza biunivoca tra l’insieme di definizione eil codominio della trasformazione, allora si può definire la trasformazione inversa T −1 e si dice che latrasformazione è globalmente invertibile (si veda Figura 6.9).Definizione 6.7.1 Una trasformazione x = x(u, v) y = y(u, v) definita in un insieme aperto di R 2 si diceregolare se1. è di classe C 12. è globalmente invertibile3. in ogni punto (u, v) lo jacobiano risulta diverso da zero 2∣ ∣∣∣∣∣∣∣∣ ∂x∂(x, y)∣∂(u, v) ∣ = ∂u∂y∂u∂x∂v= ∂x ∂y∂y∂u ∂v − ∂y ∂x∂u ∂v ≠ 0∣∂v2 Si rimanda alla definizione 3.7.1 per ricordare cosa è lo jacobiano.87

6. INTEGRALIFigura 6.10: Trasformazione dell’elemento S nel piano uv nell’elemento R nel piano xy.Un esempio di trasformazione regolare è dato dalle coordinate polarix = x(ρ, θ) = ρ cos (θ) y = y(ρ, θ) = ρ sin (θ) con ρ > 0 e 0 ≤ θ ≤ 2π.Cerchiamo di capire, ora, come un cambiamento di variabili agisca sul calcolo di un integrale doppio.Ricordiamo che, nel caso di un integrale di una funzione scalare il cambiamento di variabile portaalla tecnica della sostituzione: data una funzione f(x) da integrare in [a, b] si ha∫ baf(x)dx =∫ dcf(g(u))g ′ (u)dudove x = g(u), a = g(c), b = g(d). Nel caso di funzioni di due variabili, cosa si fa e per quale motivo?6.7.1 Significato dello jacobianoConsideriamo un rettangolino S nel piano uv il cui angolo in basso a sinistra è dato dal punto(u 0 , v 0 ), e di dimensioni ∆u e ∆v. L’immagine della regione S attraverso la trasformazione regolare Tsia la regione R del piano xy. Uno dei punti della frontiera sia proprio l’immagine del punto (u 0 , v 0 ),cioè (x 0 , y 0 ) = T (u 0 , v 0 ). Si veda la Figura 6.10.La trasformazione T sia data mediante due equazioni parametriche del tipo x = x(u, v) e y =y(u, v) che possiamo vedere come una funzione vettoriale ⃗r(u, v) = (x(u, v), y(u, v)). Il lato del rettangolinodi S che si ha per v = v 0 viene trasformato in R mediante la curva ⃗r(u, v 0 ) (che dipende orasolo dal parametro u). Di questa curva il vettore tangente in u = u 0 (quindi al punto (x 0 , y 0 )) è dato da⃗r tu = ( ∂x(u 0, v 0 ), ∂y(u 0, v 0 )).∂u ∂uAlla stessa maniera, troviamo che il vettore tangente alla curva ⃗r(u 0 , v) nel punto v = v 0 è dato da⃗r tv = ( ∂x(u 0, v 0 ), ∂y(u 0, v 0 )).∂v ∂vLa regione R = T (S) può essere approssimata dal parallelogramma dato dai vettori secanti (siveda Figura 6.11) dati da⃗a = ⃗r(u 0 + ∆u, v 0 ) − ⃗r(u 0 , v 0 ) ⃗ b = ⃗r(u0 , v 0 + ∆v) − ⃗r(u 0 , v 0 )Ricordando che ∂⃗r(u 0, v 0 )⃗r(u 0 + ∆u, v 0 ) − ⃗r(u 0 , v 0 )= lim ∆u→0 , e ricordando che la derivata parzialedi una funzione vettoriale è data dalle derivate parziali delle singole componenti della funzione∂u∆uvettoriale, ricaviamo l’approssimazione88⃗a = ⃗r(u 0 + ∆u, v 0 ) − ⃗r(u 0 , v 0 ) ≈ ∆u ∂⃗r∂u

6.7. Cambiamento di variabiliFigura 6.11: Approssimazione di R mediante i vettori secanti.ma, per quanto detto prima, ∂⃗r∂u = ⃗r tu, da cui⃗a = ⃗r(u 0 + ∆u, v 0 ) − ⃗r(u 0 , v 0 ) ≈ ∆u⃗r tu .Con analogo ragionamento arriviamo all’approssimazione⃗ b = ⃗r(u0 , v 0 + ∆v) − ⃗r(u 0 , v 0 ) ≈ ∆v⃗r tv .Quindi l’area della regione R può essere approssimata attraverso dall’area del parallelogramma di lati⃗a e ⃗ b cioè ∆u⃗r tu e ∆v⃗r tv . L’area del parallelogramma determinato da due vettori è dato dal modulo delprodotto vettoriale dei due vettori stessi. Quindi l’area di R si può approssimare tramite |(∆u⃗r tu ) ×(∆v⃗r tv )|. Si ha, quindi,area(R) ≈ |⃗a × ⃗ b| = |(∆u⃗r tu ) × (∆v⃗r tv )| = |⃗r tu × ⃗r tv |∆u∆vCalcoliamo il prodotto vettoriale⃗i ⃗j ⃗ k∂x ∂y⃗r tu × ⃗r tv =∂u ∂u 0∂x ∂y∣ 0∣∂v ∂vI sottodeterminanti delle componenti rispetto a x e a y sono nulli, da cui∂x ∂y⃗r tu × ⃗r tv = ⃗ ∂u ∂uk= ∂x ∂y⃗ k( ∂x ∂y∂u ∂v − ∂x ∂y∂v ∂u )∣ ∣∂v ∂vRitroviamo lo jacobiano delle due funzioni x e y rispetto a u e v:∂(x, y)∣∂(u, v) ∣ . Perciò, area(R) ≈∂(x, y)∣∂(u, v) ∣ ∆u∆v.∫∫ Supponiamo, ora, di dover calcolare l’integrale di una funzione f(x, y) su un dominio Rf(x, y)dA. Sia data una trasformazione regolare che trasforma un insieme S del piano uv nellaRregione R. Suddividiamo il dominio R in elementini R ij , ciascuno dei quali è immagine di un rettangolinoS ij di S. Su ciascuno di questi elementini R ij consideriamo un punto di coordinate (x i , y j ) che89

6. INTEGRALIFigura 6.12: Cambio di variabili per il calcolo di integrali doppi: trasformazione della regione S nellaregione R mediante la trasformazione regolare T .è immagine, mediante la trasformazione T , del punto (u i , v j ) che si trova sull’angolo in basso a sinistradel rettangolino S ij (si veda la Figura 6.12). Allora l’area ∆R ij può essere approssimata mediante larelazione∆R ij ≈∂(x, y)∣∂(u, v) ∣ ∆u∆vdove ∆u e ∆v sono i lati del rettangolino S ij , mentre lo jacobiano è valutato in (u i , v j ). Allora∫∫Rf(x, y)dA ≈≈m∑i=1 j=1m∑i=1 j=1A questo punto osserviamo chem∑i=1 j=1n∑f(x i , y j )∆R ijn∑f(x(u i , v j ), y(u i , v j ))∂(x, y)∣∂(u, v) ∣ ∆u∆vn∑∫∫f(x(u i , v j ), y(u i , v j ))∂(x, y)∣∂(u, v) ∣ ∆u∆v ≈Sf(x(u, v), y(u, v)∂(x, y)∣∂(u, v) ∣ dudvSi arriva perciò al seguente teorema (che non dimostriamo, però tutti i discorsi appena fatti ciportano a intuire che il risultato non può che essere così!).Teorema 6.7.1 Sia data una trasformazione regolare T della regione S del piano uv alla regione R del pianoxy. Inoltre sia assegnata una funzione f continua in R. Supponiamo che le regioni R e S siano domini normalirispetto all’asse x o y. Allora∫∫∫∫f(x, y)dA = f(x(u, v), y(u, v)∂(x, y)∣∂(u, v) ∣ dudvRS90

6.7. Cambiamento di variabiliFigura 6.13: Aree corrispondenti nel piano θρ e nel piano xy.Esempio 6.7.1 Consideriamo il caso della trasformazione data dalle coordinate polari, per cui x(ρ, θ) =ρ cos (θ) e y(ρ, θ) = ρ sin (θ).Il rettangolino ∆θ∆ρ viene trasformato in una specie di rettangolino con i lati curvi. Il disegno mostrato infigura 6.13 è stato realizzato facendo variare θ nell’intervallino [ 2π 3 , 2π + 0.5] e ρ in [0.5, 0.75].3Lo jacobiano di questa ∣ trasformazione è dato da∂(x, y)∣∣∣ ∣ ∂(ρ, θ) ∣ = cos (θ) −ρ sin (θ)sin (θ) ρ cos (θ) ∣ = ρ cos2 (θ) + ρ sin 2 (θ) = ρPerciò, ∫∫ se facciamo un cambiamento ∫∫ di variabili utilizzando coordinate polari si ha:f(x, y)dA = f(ρ cos (θ), ρ sin (θ))ρ dρdθRSEsempio 6.7.2 Sia da calcolare ∫∫ 4x + 8ydA dove R è il parallelogramma di vertici A(−1, 3), B(1, −3),RC(3, −1) e D(1, 5). Si applichi la trasformazione x = 1 4 (u + v), y = 1 (v − 4u).4Il parallelogramma R è rappresentato in Figura 6.14. Se scriviamo le equazioni dei lati del parallelogrammasi trova facilmente che la retta per AB è data dall’equazione y +3x = 0, la retta per CD è data da y +3x = 8,la retta per BC è x − y = 4 e infine quella per AD è x − y = −4.Da queste relazioni, si vede che ponendo u = x − y e v = y + 3x, si ricava la trasformazione assegnatax = 1 4 (u + v), y = 1 (v − 4u). Inoltre si vede che R è l’immagine del rettangolo S delimitato dalle linee4u = 4, u = −4, v = 0 e v = 8.Se calcoliamo lo jacobiano delle funzioni x e y rispetto a u e v otteniamo∣ ∣∣∣∣∣∣∣ 1 −3∂(x, y)∣ ∣ = 4 4∣∂(u, v)1414= 1 4∣91

6. INTEGRALIFigura 6.14: Insiemi S e R per il calcolo dell’integrale ∫∫ 4x + 8ydA.RAllora∫∫∫∫4x + 8ydA =R= 1 4= 1 4(4 1 4 (u + v) + 81 4 (v − 3u) ) 14 dudv = ∫∫S∫ 4 ∫ 8−4∫ 40(3v − 5u)dvdu = 1 4−4(96 − 40u)du = 1 4∫ 4−4S[ 32 v2 − 5uv] v=8[96u − 20u2 ] u=4u=−4 = 192(u + v + 2v − 6u) 1 4 dudvduv=06.8 Area di un dominioDagli integrali doppi si può ricavare un’altra considerazione geometrica, sull’area del dominio diintegrazione. Come abbiamo già visto tra le proprietà degli integrali doppi, si ha∫∫area(D) = dADProviamo a dimostrare questo risultato, supponendo che D sia un dominio normale rispetto all’assex, da cui a ≤ x ≤ b e g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (y). L’area compresa tra le curve g 2 (x) e g 1 (x), vale a direl’area di D, può essere calcolata proprio come la differenze degli integrali delle due funzioni, tramitel’integralearea(D) =∫ ba(g 2 (x) − g 1 (x))dxD’altra parte, dalla definizione di integrale doppio, considerando la funzione f(x, y) = 1, abbiamo∫∫Ddxdy ==∫ b ∫ g2(x)a∫ ba(g 1(x)dy)dx(g 2 (x) − g 1 (x))dxe, per quanto abbiamo appena visto= area(D)92

6.9. Cenni su integrali tripliFigura 6.15: Area di D come integrale doppio6.9 Cenni su integrali tripliL’estensione del concetto di integrale di una funzione dipendente da due variabili ad una funzionedipendente da tre variabili porta al cosiddetto integrale triplo: ∫∫∫ f(x, y, z)dV .EIl caso più semplice si ha quando il dominio di integrazione E è rappresentato da unparallelepipedo [a, b] × [c, d] × [r, s].Allora si ha:∫∫∫∫ s ∫ d ∫ bf(x, y, z)dV =f(x, y, z)dxdydzE=== . .r c a∫ b ∫ d ∫ sa c r∫ d ∫ s ∫ bcraf(x, y, z)dzdydxf(x, y, z)dxdzdyAbbiamo 6 diverse possibilità di integrazione, prima rispetto a x, poi rispetto a y, poi rispetto a z,oppure lungo y, x, z, o ancora... (tutte le possibili combinazioni che si hanno scambiando l’ordinedelle tre variabili). Il risultato che si ottiene non cambia (consideriamo l’integrale di funzioni continue,in modo da estendere il teorema di Fubini).Si ha, inoltre, che il volume di una regione tridimensionale E è dato da un integrale triplo e,precisamente∫∫∫volume(E) = dVESe la regione di integrazione E è più generale, le tecniche di integrazione sono estese su tre possibilitipi di dominio:1. Primo caso: E = {(x, y, z) t.c. (x, y) ∈ D, u 1 (x, y) ≤ z ≤ u 2 (x, y)}, dove D è un regione nel pianoxy (che a sua volta può essere visto come un dominio normale rispetto all’asse x o rispetto all’assey). La regione E viene detta normale rispetto al piano xy e l’integrazione per fili.∫∫∫∫∫ [ ∫ ]u2(x,y)f(x, y, z)dV =f(x, y, z)dz dAEDu 1(x,y)93

6. INTEGRALI2. Secondo caso: E = {(x, y, z) t.c. (y, z) ∈ D, u 1 (y, z) ≤ x ≤ u 2 (y, z)}, dove D è un regione nelpiano yz (che a sua volta può essere visto come un dominio normale rispetto all’asse y o rispettoall’asse z). La regione E viene detta normale rispetto al piano yz. Se si riesce a vedere l’insiemeD come normale rispetto all’asse z allora si parla di integrazione per strati o per sezione.∫∫∫∫∫ [ ∫ ]u2(y,z)f(x, y, z)dV =f(x, y, z)dx dAEDu 1(y,z)3. Secondo caso: E = {(x, y, z) t.c. (x, z) ∈ D, u 1 (x, z) ≤ y ≤ u 2 (x, z)}, dove D è un regione nelpiano xz (che a sua volta può essere visto come un dominio normale rispetto all’asse x o rispettoall’asse z). La regione E viene detta normale rispetto al piano xz. Se l’insieme D lo si può vederecome normale rispetto all’asse z allora si parla di integrazione per strati o per sezione.∫∫∫∫∫ [ ∫ ]u2(x,z)f(x, y, z)dV =f(x, y, z)dy dA6.10 Integrali curvilineiEDu 1(x,z)Un integrale curvilineo (o di linea) ha lo scopo di integrare una funzione di due (o tre) variabili suun insieme di integrazione dato da una curva γ.Ci soffermiamo al caso bidimensionale (quindi funzioni di due variabili e curve nel piano xy).Consideriamo una curva γ regolare (la funzione vettoriale f che la rappresenta è continua e la suaderivata è diversa da zero per ogni valore del parametro t.) Quindi f(t) = (x(t), y(t)) con a ≤ t ≤ b.L’integrale curvilineo di una funzione g(x, y) lungo la curva γ si denota con il simbolo ∫ g(x, y)dsγdove ds rappresenta il differenziale dell’ascissa curvilinea, dovuto al fatto che ci stiamo muovendolungo la curva e non su l’asse delle√x o delle y.(dx ) 2 ( ) 2 dyRicordiamo che ds = |f ′ (t)|dt = + dtdt dtAllora, andando a sostituire nell’integrale curvilineo e considerando la curva scritta in formaparametrica si ha:∫γg(x, y)ds =∫ ba√ (dx ) 2g(x(t), y(t)) +dt( ) 2 dydtdtPer g(x, y) = 1 si ottiene la lunghezza della curva.Esempio 6.10.1 Vogliamo calcolare ∫ γ (4+xy2 )ds dove γ è la porzione di circonferenza di centro nell’originee raggio unitario che si ha −1 ≤ x ≤ 0.Scriviamo le equazioni parametriche della curva γ:πx = cos t, y = sin t,2 ≤ t ≤ 3 2 πL’integrale da calcolare diventa∫∫ 3π/2√(4 + xy 3 )ds = (4 + cos t sin 2 t) sin 2 t + cos 2 tdtγ=π/2∫ 3π/2π/2(4 + D(sin t) sin 2 t)dt =[ ] 3π/24t + sin3 t= 4π − 2 3π/2394

6.11. Integrali di superficieSe la curva è regolare a tratti, l’integrale curvilineo si scrive come somma degli integrali curvilinei suciascun tratto di curva regolare di cui è composta. In pratica se γ = γ 1 ∪γ 2 . . .∪γ n con n numero intero,allora∫g(x, y)ds =γ∫g(x, y)ds +γ 1∫g(x, y)ds + . . . +γ 2∫g(x, y)ds.γ nOgni curva ha un suo orientamento.l’integrale curvilineo?Se cambiamo la direzione di moto della curva, cambiaProposizione 6.10.1 Se si cambia l’orientamento di una curva, passando dalla curva +γ alla curva −γl’integrale curvilineo non cambia:∫∫g(x, y)ds = g(x, y)dsγ−γSe +γ è data dalle equazioni parametriche (x(t), y(t)) con a ≤ t ≤ b, (primo punto A = (x(a), y(a)),ultimo punto B = (x(b), y(b))), la curva −γ ha equazioni (x(−t), y(−t)) con t che varia in [−b, −a],(primo punto (x(b), y(b)) = B, ultimo punto (x(a), y(a)) = A). Le curve sono le stesse a partel’orientamento, ma questo non influisce sul risultato dell’integrale curvilineo.6.11 Integrali di superficieCerchiamo ora di integrare una funzione su una superficie S nello spazio tridimensionale.6.11.1 Area di una superficiePer capire le formule che scriveremo nel seguito, deriviamo la formula che permette di calcolarel’area di una superficie data da equazioni parametriche x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), equazioniche possiamo scrivere tramite la funzione vettoriale ⃗r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)).Con un discorso del tutto simile a quanto abbiamo visto nella sezione 6.7 sul cambiamento divariabile, chiamando però adesso D come l’insieme in cui varia (u, v) e S la superficie parametrica,suddividendo D in rettangolini D ij , in S si hanno i corrispondenti elementini S ij . Inoltre, se (u i , v j )è il vertice in basso a sinistra di D ij , il punto P ij (x(u i , v j ), y(u i , v j ), z(u i , v j )) è il corrispondente puntosu S ij . L’area dell’elementino S ij può essere approssimata mediante il parallelogramma di lati∆u⃗r u (u i , v j ) e ∆v⃗r v (u i , v j ) dove ⃗r u e ⃗r v rappresentano la derivata di ⃗r rispetto alle variabili u e v, rispettivamente.Il discorso da fare è del tutto analogo a quanto abbiamo visto nella sezione 6.7. L’areadel parallelogramma, che approssima l’area dell’elementino, è dunque uguale al modulo del prodottovettoriale di ∆u⃗r u (u i , v j ) e ∆v⃗r v (u i , v j ).L’area della superficie sarà dunque data dalla somma di tutte queste aree, facendo tendere a infinitoil numero degli elementini in cui suddividiamo la superficie. Si ha infatti la definizioneDefinizione 6.11.1 Data una superficie S di equazione ⃗r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), con (u, v) ∈ D,allora l’area della superficie è data da∫∫area(S) = |⃗r u × ⃗r v |dADdove ⃗r u = ( ∂x∂u , ∂y∂u , ∂z∂u ) e ⃗r v = ( ∂x∂v , ∂y∂v , ∂z∂v ).Nel caso in cui la superficie è data da una funzione z = f(x, y), possiamo ricondurci al casoprecedente considerando ⃗r(u, v) = ⃗r(x, y) = (x, y, f(x, y)).95

6. INTEGRALIIn tal caso⃗i ⃗j ⃗ k∂f1 0⃗r u × ⃗r v =∂x∂f∣0 1∣∂y√ (∂f ) 2Perciò |⃗r u × ⃗r v | = +∂x∫∫A(S) =D√ (∂f ) 2+∂x= (− ∂f∂x , −∂f ∂y , 1)6.11.2 Integrale di una superficie( ) 2 ∂f+ 1 e l’area della superficie è∂y( ) 2 ∂f+ 1dA∂ySiamo ora in grado di capire la formula da applicare nel caso in cui bisogna calcolare l’integrale diuna funzione g su una superficie S.L’area dell’elementino dS si riconduce alla formula dell’area di una superficie che abbiamo appenavisto. Perciò, se la superficie S è data mediante una funzione z = f(x, y), con (x, y) ∈ D ⊂ R 2 ,l’integrale di superficie di una funzione g(x, y, z) sulla superficie S è dato da∫∫S∫∫g(x, y, z)dS =D√ (∂f ) 2g(x, y, f(x, y)) +∂x( ) 2 ∂f+ 1dA∂yDobbiamo prestare molta attenzione a questo tipo di integrali perchè l’integrale a destra è un integraledoppio mentre l’integrale a sinistra è un integrale di superficie. Quindi il calcolo di un integraledi superficie si riconduce ad un integrale doppio.La superficie potrebbe essere scritta come y = f(x, z) o x = f(y, z). La definizione di integrale disuperficie è analoga (con le dovute sostituzioni) a quella appena scritta.Se la superficie, invece, è scritta in forma parametrica :x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) (u, v) ∈ Iallora si ha∫∫∫∫g(x, y, z)dS = g(x(u, v), y(u, v), z(u, v))|⃗r u × ⃗r v |dASIdove |⃗r u × ⃗r v | rappresenta il modulo del prodotto vettoriale dei vettori che si hanno derivando parzialmenterispetto a u e rispetto a v le equazioni parametriche della superficie, in modo da poter averel’area dell’elementino di superficie dS.96

6.11. Integrali di superficieQuindi⃗i ⃗j ⃗ k∂y ∂z∂x ∂z∂x ∂y∂x ∂y ∂z∂u ∂u∂u ∂u⃗n = ⃗r u × ⃗r v =∂u ∂u ∂u=⃗i− ⃗j+ ∂y ∂z∂x ∂z⃗ ∂u ∂uk∂x ∂y∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∂x ∂y ∂z∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v∣∣∂v ∂v ∂vscambiamo le colonne del sottodeterminante relativo a ⃗j∂y ∂z∂z ∂x∂x ∂y∂u ∂u∂u ∂u=⃗i+ ⃗j+ ∂y ∂z∂z ∂x⃗ ∂u ∂uk∂x ∂y∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂vosserviamo che i sottodeterminanti sono degli jacobiani=⃗i∂(y, z)∣∂(u, v) ∣ + ⃗j∂(z, x)∣∂(u, v) ∣ + ⃗ k∂(x, y)∣∂(u, v) ∣Chiamando con n 1 , n 2 e n 3 le componenti del vettore normale appena ottenuto, n 1 =∂(y, z)∣∂(u, v) ∣ ,n 2 =∂(z, x)∣∂(u, v) ∣ e n 3 =∂(x, y)∣∂(u, v) ∣ , il modulo di ⃗n è dato da |⃗n| = √ (n 1 ) 2 + (n 2 ) 2 + (n 3 ) 2 . Quindi∫∫∫∫g(x, y, z)dS = g(x(u, v), y(u, v), z(u, v))|⃗r u × ⃗r v |dASD∫∫= g(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) √ (n 1 ) 2 + (n 2 ) 2 + (n 3 ) 2 dADSe g(x, y, z) = 1 l’integrale di superficie ci fa ritrovare l’area della superficie.Esempio 6.11.1 Calcoliamo l’integrale di superficie I = ∫∫ yzdS dove S è la superficie di equazioniSparametriche x = u 2 , y = u sin (v), z = u cos (v), con 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ π/2.L’integrale da calcolare diventa l’integrale doppio∫∫∫ 1 ∫ π/2I = u sin (v)u cos (v)|⃗r u × ⃗r v |dudv = u 2 sin (v) cos (v)|⃗r u × ⃗r v |dvduDCalcoliamo il modulo del prodotto vettoriale. Abbiamo⃗i ⃗j ⃗ k⃗r u × ⃗r v =2u sin (v) cos (v)∣ 0 u cos (v) −u sin (v) ∣ = . . . = ⃗i(−u) + ⃗j(2u 2 sin (v)) + ⃗ k(2u 2 cos (v))Perciò, quando calcoliamo√il modulo, abbiamo (consideriamo anche 0 ≤ u ≤ 1):|⃗r u × ⃗r v | = u 2 + 4u 4 sin 2 (v) + 4u 4 cos 2 (v) = u √ 1 + 4u 2L’integrale èI =∫ 1 ∫ π/200u 2 sin (v) cos (v)u √ 1 + 4u 2 dvdu =00∫ 1 ∫ π/200u 3√ 1 + 4u 2 sin (v) cos (v)dvduOsserviamo che abbiamo funzioni che dipendono solo da v e funzioni che dipendono solo da u, perciò lefunzioni che dipendono solo da u, le possiamo portare fuori dall’integrale in v, ricavando∫ 1I = u 3√ ∫ π/21 + 4u 2 sin (v) cos (v)dvdu0097

6. INTEGRALIOra∫ π/2∫ π/2sin (v) cos (v)dv = sin (v)D(sin (v))dv = sin2 (v)002 ∣Andando a sostituire nell’integrale doppio abbiamoI = 1 2∫ 10u 3√ 1 + 4u 2 duFacciamo un cambiamento di variabili ponendo t = 1 + 4u 2 da cui u 2 = t − 14udu = dt8I = 1 2. Inoltre, per u = 0 si ha t = 1 e per u = 1 si ha t = 5. Quindi∫ 10∫ 5u 2√ 1 + 4u 2 udu = 1 2∫ 51∫ 5t − 1√ dt t4 8= 1 (t √ t − √ t)dt = 1 (t 3/2 − t 1/2 )dt64 164 1= 1 264 ∣5 t5/2 − 2 ∣ ∣∣∣53 t3/2 = . . . = 5√ 548 + 12401π/20= 1 2e 2udu = dt4 , ovvero6.12 Solidi e superfici di rotazioneVediamo da un punto di vista matematico i concetti di massa e baricentro (usualmente visti infisica). Ci serviranno successivamente per calcolare il volume di un solido o l’area di una superficieottenuti, rispettivamente, mediante rotazione di una superficie o di una curva attorno ad uno degliassi.Ci limitiamo a vedere le definizioni di massa, momenti e baricentro, per il caso bidimensionale.Definizione 6.12.1 Si definisce massa di un oggetto piano che riempe una regione C, con densità data daµ(x, y) (funzione continua), la quantià m data da∫∫m = µ(x, y)dxdyCSe un oggetto piano riempe una regione C con densità µ(x, y) (continua), i suoi momenti sono datida∫∫M x = yµ(x, y)dxdyC∫∫M y = xµ(x, y)dxdyCIl baricentro (o centro di massa) dell’oggetto è il punto (x, y) dato da (m essendo la massa)x = M ∫∫ym = C xµ(x, y)dxdy∫∫µ(x, y)dxdyCy = M ∫∫xm = C yµ(x, y)dxdy∫∫µ(x, y)dxdyC98Nel caso di una curva piana γ, omogenea e con densità µ ≡ 1, si ha:

6.12. Solidi e superfici di rotazioneG la massa m è data da∫m = ds =⇒ m = L (la lunghezza della curva)γG i momenti sono∫∫M x = yds M y = xdsγγG il baricentro ha coordinatex = M yL= 1 ∫xdsLγy = M xL= 1 ∫ydsLγDefiniamo, a questo punto, il solido di rotazione.Sia D un insieme del piano (x, y), chiuso e limitato (e integrabile). Per semplicità i valori di y sianopositivi.Una rotazione del piano (x, y) intorno all’asse x (o y) fa sì che l’insieme D generi un solido I nellospazio (x, y, z), che chiamiamo solido di rotazione.Per calcolare il volume di un solido di rotazione si ha ilTeorema 6.12.1 (Primo teorema di Guldino) Il volume dell’insieme I, solido di rotazione ottenuto dall’insiemeD è uguale all’area di D per la lunghezza della circonferenza descritta nella rotazione dal baricentro diD.Supponendo che la rotazione sia fatta attorno all’asse x, il raggio della circonferenza descritta dalbaricentro è data dall’ordinata del baricentro (si considera µ ≡ 1). Quindivolume(I) = area(D) × lunghezza della circonferenzavolume(I) = area(D) × 2π raggio della circonferenzavolume(I) = area(D)2π y∫∫Dvolume(I) = area(D)2π ∫∫ydxdyD∫∫dxdyDvolume(I) = area(D)2πydxdyarea(D)∫∫= 2π ydxdyDSe la rotazione di D avviene attorno all’asse y, il volume del solido di rotazione è data da∫∫volume(I) = 2π xdxdyDperchè la circonferenza descritta dal baricentro ha raggio dato da x.Definiamo, ora, la superficie di rotazione.Sia γ una curva generalmente regolare del piano (x, y). Sia y > 0. Consideriamo l’asse z ortogonalein (0, 0) al piano (x, y). Una rotazione del piano (x, y) intorno all’asse x (o y) fa sì che la curva γ generiuna superficie S nello spazio (x, y, z), che chiamiamo superficie di rotazione.Per misurare l’area di una superficie di rotazione si ha ilTeorema 6.12.2 (Secondo teorema di Guldino) L’area della superficie di rotazione S generata dalla curva γè uguale alla lunghezza della curva per la lunghezza della circonferenza descritta nella rotazione dal baricentrodi γ.99

6. INTEGRALIFigura 6.16: Insieme D da cui calcolare il volume del solido di rotazione attorno all’asse x.Sia γ data da equazioni parametriche x = x(t), y = y(t) con t ∈ [a, b] e di lunghezza L. La superficie siaottenuta mediante rotazione attorno all’asse x. Allora la circonferenza ha raggio y con y = 1 ∫Lγ yds =1 ∫ bLa y(t)√ (x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dt. Alloraarea(S) = lunghezza della curva × lunghezza della circonferenzaarea(S) = L2π yarea(S) = L2π 1 Larea(S) = 2π∫ ba∫ bay(t) √ (x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dty(t) √ (x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dtSe la rotazione avviene attorno all’asse y invece si haarea(S) = 2π∫ bax(t) √ (x ′ (t)) 2 + (y ′ (t)) 2 dtEsempio 6.12.1 Calcoliamo il volume del solido di rotazione ottenuto dalla rotazione completa attornoall’asse x dell’insieme {D = (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 3 }4 , x2 ≥ y, y ≥ 0, x ≥ 0Per calcolare questo integrale dobbiamo applicare il primo teorema di Guldino. Il volume richiesto sarà datoda ∫∫V = 2π ydxdyDL’insieme D è dato dalla regione compresa al di sotto della parabola y = x 2 e all’interno della circonferenzacon centro nell’origine e raggio r = √ 3/2, che si trova nel primo quadrante (si veda Figura 6.16).Cerchiamo ⎧ i punti di intersezione tra la parabola e la circonferenza risolvendo il sistema⎨y = x 2⎩x 2 + y 2 = 3 4100

6.12. Solidi e superfici di rotazioneSostituendo y = x 2 nella seconda equazione si ha x 2 + x 4 = 3 4 . Con la sostituzione t = x2 l’equazionediventa t 2 + t − 3 4 = 0 da cui t = −1 ± √ 1 + 3= −1 ± 2 : quindi le due radici sono t = 1 222 e t = −3 2 .Ritornando a x 2 = t, si ha come soluzione del primo quadrante il punto x = √ 1 e y = 1 . Per calcolare2 2l’integrale, possiamo vedere il dominio di integrazione come normale rispetto all’asse x, considerando l’unionedi due insiemi, il primo dato da 0 ≤ x ≤ √ 1 , e 0 ≤ y ≤ x 2 1, e il secondo dato da √ ≤ x ≤ 3 2 2 2 e0 ≤ y ≤√34 − x2 .Quindi l’integrale da calcolare va spezzato in due integrali su questi domini. Oppure, si può vedere il dominiodi integrazione normale rispetto all’asse y, con 0 ≤ y ≤ 1 2 e √ y ≤ x ≤√34 − y2 .In tal caso l’integrale diventa∫ 1/2 ∫ √ 34 −y2V =ydxdySi haV =0∫ 1/20= − 1 2= − 1 2√ yy(√34 − y2 − √ y)dy =∫ 1/20(−2y)√34 − y2 dy −∣2∣∣∣1/23 (3 4 − y2 ) 3/20∫ 1/20∫ 1/20y√34 − y2 dy −y 3/2 dy = − 1 2∫ 1/20∫ 1/20y √ ydyD( 3 4 − y2 )− 110 √ 2 = −1 3 (1 2 )3/2 + 1 3 (3 4 )3/2 − 110 √ 2= − 1√36 √ 2 + 8 − 110 √ 2 = − 4√ √ √3 2 314 √ 2 + 8 = − 7 + 8√34 − y2 dy − 2 5 y5/2 ∣ ∣∣∣1/20Esempio 6.12.2 L’arco di parabola y = x 2 per 1 ≤ x ≤ 2 è ruotato attorno all’asse y. Vogliamo trovarel’area della superficie di rotazione. In questo caso dobbiamo applicare il secondo teorema di Guldino, vedendola parabola come la curva di coordinate parametriche x = x, y = x 2 , per cuiQuindiarea(S) = 2πarea(S) = 2π∫ 21∫ 21x √ 1 + 4x 2 dx.8x8= 1 4 π 2(1 + 4x2 ) 3/23√1 + 4x2 dx = 1 ∫ 24 π D(1 + 4x 2 ) √ 1 + 4x 2 dx∣= 1 6 π(17√ 17 − 5 √ 5)21= 1 6 π(173/2 − 5 3/2 )1101

7. Equazioni differenziali ordinarie7.1 Cosa è un’equazione differenziale?Un’equazione differenziale è un’equazione che coinvolge una funzione incognita y = y(x) (chedipende dalla sola variabile x) e le sue derivate. Usualmente si parla di equazione differenziale ordinaria1 in quanto la funzione incognita, essendo funzione di una sola variabile, ammette derivateordinarie e non derivate parziali.Un esempio di equazione differenziale lineare è dato day (n) + a n−1 (x)y (n−1) + . . . + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y = b(x)dove i coefficienti a 0 (x), a 1 (x), . . . , a n−1 (x) e b(x) sono assegnate funzioni continue che dipendonodalla variabile x, mentre y è la funzione incognita e compare insieme alle sue derivate fino a quella diordine n. Usiamo infatti la notazione y (n) per indicare dn ydx n .Se nell’equazione differenziale compaiono le derivate di y fino all’ordine n, allora si dice che l’equazionedifferenziale ha ordine (o grado) n. Bisogna quindi vedere l’ordine più elevato della derivatache appare nell’equazione per capire l’ordine dell’equazione differenziale.Per n = 1, l’equazione differenziale di prima diventay ′ + a(x)y = b(x)Per n = 2 si ha, invece,y ′′ + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y = b(x)Il caso più generale di un’equazione differenziale di ordine n è dato da un’equazione che ha comevariabili x, la funzione incognita y e le sue derivate fino all’ordine n, mediante una funzione continuaF (in genere non lineare):F (x, y, y ′ , . . . , y (n) ) = 0L’esempio di prima, di equazione differenziale lineare, ha come F la funzioneF (x, y, y ′ , . . . , y (n) ) = y (n) + a n−1 (x)y (n−1) + . . . + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y − b(x)Risolvere un’equazione differenziale (si dice anche integrare un’equazione differenziale) vuol direcercare le possibili (ve ne possono essere più di una) funzioni del tipo y = y(x) definite per x chevaria in un opportuno intervallo [a, b], continue e derivabili n volte in [a, b] in modo che sia soddisfattal’equazione differenziale data.Le funzioni y = y(x) che soddisfano l’equazione differenziale si dicono soluzioni o integralidell’equazione differenziale.Se un’equazione differenziale può essere scritta nella formay (n) = f(x, y, y ′ , . . . , y (n−1) )con f funzione continua allora si dice che l’equazione differenziale è in forma normale.1 In inglese si dice: Ordinary Differential Equation, da cui la sigla ODE.103

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEEsempio 7.1.1 Data f, funzione continua in [a, b], si vuole risolverey ′ (x) = f(x) ∀x ∈ [a, b]Questo problema equivale a quello di trovare una primitiva della funzione f, una funzione, cioè, la cuiderivata coincide con f.Ogni funzione della forma y(x) = F (x)+y 0 con y 0 costante e F una primitiva di f è soluzione del problemaassegnato, ovvero dell’equazione differenziale. Come primitiva di f, dal teorema fondamentale del calcolointegrale, sappiamo che possiamo scrivere F (x) = ∫ xx 0f(t)dt dove x 0 è un numero reale fissato in [a, b].Quindi y(x) = ∫ xx 0f(t)dt + y 0 è soluzione del problema dato.L’esempio che abbiamo descritto ora è molto particolare. Infatti si ha che la soluzione y(x) per x = x 0 valeproprio la costante y 0 :∫ x0y(x 0 ) = f(t)dt + y 0 = y 0x 0In questo{caso, si dice che y(x) è soluzione del problema di Cauchy dato day ′ (x) = f(x)y(x 0 ) = y 0dove y(x 0 ) = y 0 rappresenta la condizione iniziale e x 0 il punto iniziale da cui far partire la soluzione alproblema.Vediamo dunque cosa è un problema di Cauchy.7.2 Il problema di Cauchy in localePartiamo dal considerare l’equazione differenzialey ′ = f(x, y)Se la f è non lineare, è ragionevole aspettarsi che le soluzioni dell’equazioni differenziale sianodefinite non in un intervallo assegnato a priori ma solo in un intorno di un punto iniziale assegnato.Fissati, dunque, x 0 e y 0 , supponiamo che:1. la f sia definita in un intorno rettangolare I × J del punto (x 0 , y 0 ) del tipo (siano a e b assegnati){}I × J = (x, y) ∈ R 2 t.c x 0 − a ≤ x ≤ x 0 + a, y 0 − b ≤ y ≤ y 0 + b2. la f sia continua in I × J3. la derivata parziale della f rispetto a y, ∂f , sia continua in I × J.∂ySotto queste ipotesi esiste un intorno di x 0 , [x 0 − δ, x 0 + δ] ed un’unica funzione y = y(x) derivabile in[x 0 − δ, x 0 + δ] che è soluzione del problema di Cauchy dato da{y ′ (x) = f(x, y)y(x 0 ) = y 0Abbiamo appena stabilito una formulazione del teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale (inpiccolo).Teorema 7.2.1 (Teorema di Cauchy (in piccolo) per equazioni differenziali del primo ordine) Siaf = f(x, y) una funzione reale definita nell’intervallo I × J (definito in precedenza). Se f e la sua derivata ∂f∂y104

7.3. Teorema di Cauchy (esistenza e unicità globale)sono funzioni continue in I × J, allora esiste un numero δ > 0 ed esiste una ed una sola funzione y = y(x)derivabile in [x 0 − δ, x 0 + δ], soluzione in tale intervallo del problema di Cauchy{y ′ (x) = f(x, y)y(x 0 ) = y 0Per equazioni differenziali di ordine n, il problema di Cauchy prevede condizioni iniziali non solosulla funzione incognita y ma anche sulle sue derivate fino a quella di ordine n − 1.Consideriamo, infatti, un punto (x 0 , y 0 , y 0, ′ y 0 ′′ , . . . , y (n−1)0 ) ∈ R×R n . Sia I l’intervallo [x 0 −a, x 0 +a](con a ∈ R), e J sia un intorno di R n del punto Y 0 = (y 0 , y 0, ′ y 0 ′′ , . . . , y (n−1)0 ), quindiJ = {Y ∈ R n t.c. |Y − Y 0 | ≤ b}dove√b ∈ R e |Y − Y 0 | è il modulo del vettore Y − Y 0 (quindi se Y = (y 1 , y 2 , y 3 , . . . , y n ) si ha |Y − Y 0 | =(y 0 − y 1 ) 2 + (y 0 ′ − y 2) 2 + . . . (y (n−1)0 − y n ) 2 ).Vale il seguente teorema.Teorema 7.2.2 (Teorema di Cauchy in piccolo per eq. differenziali di ordine n) Sia f =f(x, y 1 , y 2 , y 3 , . . . , y n ) una funzione definita per x ∈ I e (y 1 , y 2 , . . . , y n ) ∈ J (I e J definiti prima). Siaf continua insieme alle derivate parziali fatte rispetto a y 1 , y 2 , . . . , y n . Allora esiste un numero reale δ > 0 eduna ed una sola funzione y(x), derivabile n volte in [x 0 − δ, x 0 + δ], che è soluzione del seguente problema diCauchy:⎧y (n) = f(x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n−1) )y(x 0 ) = y 0⎪⎨ y ′ (x 0 ) = y 0′y ′′ (x 0 ) = y 0′′.⎪⎩y (n−1) (x 0 ) = y (n−1)0Con il teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale, sono date delle condizioni sufficienti perrisolvere localmente, in piccolo, il problema di Cauchy, determinando una soluzione in un intorno delpunto iniziale x 0 .7.3 Teorema di Cauchy (esistenza e unicità globale)A volte è importante stabilire l’esistenza della soluzione del problema di Cauchy per un’equazionedifferenziale ordinaria in un intervallo prefissato (quindi non in un intorno di x 0 ), cioè assegnato apriori, in cui l’equazione differenziale è definita.Per stabilire delle condizioni sufficienti per risolvere globalmente, o in grande, il problema diCauchy, occorre avere condizioni più restrittive sulla funzione f.Nel caso di un’equazione differenziale del primo ordine, si hanno queste condizioni:1. f(x, y) è definita in una striscia verticale di R 2 data da{}[a, b] × R = (x, y) ∈ R 2 t.c. x ∈ [a, b], y ∈ R2. f è continua3. la derivata parziale di f rispetto a y è continua e limitata, quindi∂f(x, y)∣ ∂y ∣ ≤ L per ogni (x, y) ∈[a, b] × R, con L numero reale positivo.105

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEIn queste ipotesi, esiste una ed una sola funzione y(x) che risolve il problema di Cauchy{y ′ (x) = f(x, y)y(x 0 ) = y 0Possiamo enunciare il teorema:Teorema 7.3.1 (Teorema di esistenza e unicità globale (caso di eq. diff. del primo ordine)) Se f =∂f(x, y)f(x, y) è continua in [a, b] × R e la sua derivata è continua e limitata in [a, b] × R, allora per ogni∂yx 0 ∈]a, b[ e per ogni y 0 ∈ R esiste una ed una sola funzione y = y(x), derivabile in [a, b] che risolve su tuttol’intervallo [a, b] il problema di Cauchy{y ′ (x) = f(x, y)y(x 0 ) = y 0Per equazioni differenziali di ordine n il teorema precedente si generalizza considerando funzionif = f(x, y 1 , y 2 , y 3 , . . . , y n ) = f(x, Y ) definite nella striscia [a, b] × R n con{}[a, b] × R n = (x, Y ) = (x, y 1 , y 2 , y 3 , . . . , y n ) ∈ R n+1 , con x ∈ [a, b], y 1 ∈ R, . . . , y n ∈ RTeorema 7.3.2 (Teorema di esistenza e unicità globale (caso di eq. diff. di ordine n)) Se f =f(x, y 1 , y 2 , y 3 , . . . , y n ) è continua in [a, b] × R n e le derivate parziali fatte rispetto a y 1 , y 2 , . . . , y n sonocontinue e limitate in [a, b] × R n , allora per ogni x 0 ∈]a, b[ e per ogni punto di R n dato da (y 0 , y 0, ′ . . . , y (n−1)0 )esiste una ed una sola funzione y(x), derivabile n volte in [a, b], che è soluzione del seguente problema di Cauchy:⎧y (n) = f(x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n−1) )y(x 0 ) = y 0⎪⎨ y ′ (x 0 ) = y 0′y ′′ (x 0 ) = y 0′′.⎪⎩y (n−1) (x 0 ) = y (n−1)07.4 DefinizioniConsideriamo ora un’equazione differenziale del primo ordine e introduciamo le seguentidefinizioni.G Per integrale generale si intende l’insieme delle soluzioni dell’equazione differenziale che variaal variare di una costante c: qualunque sia la coppia (x 0 , y 0 ) si può stabilire il valore della costantec tale che y(c, x 0 ) = y 0 .G Per integrale particolare si intende invece una soluzione particolare dell’equazione differenziale:fissata una coppia (x 0 , y 0 ) esiste una costante c tale che y(c, x 0 ) = y 0 .G Si ha invece un integrale singolare se, data una coppia (x 0 , y 0 ), non esiste una costante c tale chey(c, x 0 ) = y 0 , vale a dire che per quella coppia di dati, la soluzione dell’equazione differenzialenon rientra in un integrale particolare.7.5 Equazioni differenziali lineari del primo ordine106Sia y ′ = f(x, y) con f funzione lineare in y, del tipo f(x, y) = b(x) − a(x)y.Si ha, quindi, per l’equazione differenziale:y ′ = f(x, y) =⇒ y ′ = b(x) − a(x)y =⇒ y ′ + a(x)y = b(x)Vediamo ora tutti i passaggi per trovare l’integrale generale di questa equazione differenziale.

7.5. Equazioni differenziali lineari del primo ordine1. Sia A(x) = ∫ a(x)dx una primitiva di a(x). Poniamo m(x) = e A(x) .2. Moltiplichiamo l’equazione differenziale per m(x), ottenendo:m(x)y ′ (x) + m(x)a(x)y(x) = m(x)b(x) (7.1)3. Consideriamo ora la derivata di m(x). Si hadm(x)dx= deA(x)dxA(x) dA(x)= e = m(x) dA(x)dxdxma essendo A(x) una primitiva di a(x) vuole dire che dA(x)dxdm(x)dx= m(x)a(x)= a(x), da cui si ricava4. Facciamo ora la derivata di y(x)m(x). Abbiamo da fare la derivata di un prodotto di funzioni,da cuid(y(x)m(x))dx= dy(x)dxm(x) + y(x)dm(x) dxLa derivata di m(x) l’abbiamo appena ricavata, la derivata di y(x) è y ′ (x), da cuid(y(x)m(x))dx= m(x)y ′ (x) + m(x)a(x)y(x)Abbiamo trovato il primo membro dell’equazione 7.1.5. Possiamo quindi riscrivere l’equazione 7.1 comed(y(x)m(x))dx= m(x)b(x)6. Integrando ambo i membri dell’equazione e dividendo poi per m(x) (diversa da zero perche èe A(x) ) si ha∫ ∫dy(x)m(x)dx = m(x)b(x)dx + costantedx∫y(x)m(x) = m(x)b(x)dx + costantey(x) = 1 (∫)m(x)b(x)dx + costantem(x)7. Riscrivendo la funzione m(x) come e A(x) si ha(∫)y(x) = e −A(x) e A(x) b(x)dx + costanteL’integrale è generale perchè dipende da una costante.Osserviamo, inoltre, che se a(x) e b(x) sono continue in un certo intervallo [a, b], allora il problemadi Cauchy che possiamo associare a questa equazione differenziale si può risolvere globalmente in[a, b] × R poichè valgono le ipotesi del teorema di esistenza e unicità globale (la funzione f = b(x) −a(x)y è continua e la derivata ∂f = −a(x) è continua e limitata (poichè a(x) dipende solo da x ed è∂y107

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEcontinua in un intervallo chiuso allora ammette minimo e massimo, cioè è limitata).Esempio 7.5.1 Risolviamo l’equazione differenziale y ′ +4xy = x. In questo esempio a(x) = 4x e b(x) = x.Applichiamo il procedimento appena descritto.G A(x) = ∫ a(x)dx = ∫ 4xdx = 2x 2 da cui m(x) = e 2x2 .G Moltiplichiamo l’equazione differenziale per m(x) ricavando:e 2x2 y ′ (x) + e 2x2 4xy(x) = e 2x2 xG Abbiamo allorady(x)e 2x2= e 2x2 xdxG Integrando ambo i membri ∫ e dividendo poi per e 2x2 si hay(x) = e −2x2 e 2x2 xdxDobbiamo quindi calcolare ∫ e 2x2 xdx: considerando che la derivata dell’esponente è 4x, bastamoltiplicare ∫ e dividere per 4 ottenendo:e 2x2 xdx = 1 ∫4xe 2x2 dx = 1 ∫D(2x 2 )e 2x2 dx = 1 444 e2x2 + costanteQuindiy(x) = e −2x2 ( 1 4 e2x2 + costante) = 1 4 + Ce−2x2dove C rappresenta la costante.7.6 Metodo di separazione delle variabiliSe un’equazione differenziale del primo ordine può essere scritta nella formay ′ (x) = p(x)q(y)con p(x) e q(y) continue, allora l’equazione si dice a variabili separabili.Vediamo come si risolve questa equazione nel caso in cui q(y) ≠ 0 per ogni y. In tal caso, possiamodividere ambo i membri per q(y), ottenendoy ′ (x)q(y) = p(x)Integriamo ambo i membri dell’equazione rispetto a x, ricavando:∫y ′ ∫(x)q(y(x)) dx = p(x)dx (7.2)In modo equivalente possiamo scrivere anche∫∫1q(y) dy = p(x)dxSia Q(y) una primitiva didQ(y(x))dx= dQ(y(x))dy1e P una primitiva di p. Vuol dire cheq(y)dydx = 1q(y(x)) y′ (x),108

7.7. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenzialidP (x)mentre = p(x). Tornando alla relazione 7.2, poichè abbiamo trovato le primitive di ciascuno deidxdue integrali, si haQ(y(x)) = P (x) + costanteSe è possibile esplicitare la y allora abbiamo una forma esplicita della soluzione (e questo lo si hase la Q è invertibile), altrimenti abbiamo una forma implicita della soluzione mediante la relazioneQ(y(x)) − P (x) = costante.Esempio 7.6.1 Sia da risolvere il problema di Cauchy, y ′ = x2con la condizione iniziale y(0) = 4.y2 Risolviamo prima l’equazione differenziale, applicando il metodo di separazione delle variabili (p(x) = x 2 ,q(y) = 1 ). Separando le variabili infatti, abbiamo da risolvere:y2 ∫ ∫y 2 dy = x 2 dxovveroy33 = x33 + costanteRisolvendo ora per y (che è funzione di x) otteniamo:y(x) = (x 3 + 3costante) 1/3Poichè la costante è arbitraria possiamo scrivere C = 3costante ricavandoy(x) = (x 3 + C) 1/3Imponiamo ora la condizione iniziale y(0) = 4. Deve essere 4 = (C) 1/3 da cui C = 4 3 = 64. Quindi lasoluzione del problema è data da y(x) = (x + 64) 1/3 .7.7 Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenzialiG Sia data un’equazione differenziale del secondo ordine, in cui manca il termine in y:F (x, y ′ , y ′′ ) = 0In tal caso, si pone z(x) = y ′ (x), da cui z ′ (x) = y ′′ (x). L’equazione differenziale trasformatadiventa:F (x, z, z ′ ) = 0Abbiamo un’equazione differenziale del primo ordine nella incognita z. Una volta trovata zsoluzione dell’equazione differenziale, quindi z = z(x, cost 1 ), si ricava y cercando una primitivadi z:∫y(x) = z(x, cost 1 )dx + cost 2G Se l’equazione differenziale del secondo ordine non dipende esplicitamente da xF (y, y ′ , y ′′ ) = 0allora si pensa y come variabile indipendente e si si pone z(y) = y ′ .Allora (considerando che y è funzione di x e z è funzione di y):y ′′ = dy′dx = dz(y)dx= dz dydy dx = z′ z109

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEQuindi l’equazione differenziale diventaF (y, z, z ′ z) = 0Se si trova un’integrale generale di questa equazione, z = z(y, cost), allora, per trovare y,dalla relazione y ′ = z(y, cost) si ricava la soluzione y osservando che questa che abbiamo appenascritto è un’equazione differenziale a variabili separabili.G Ci sono molti altri casi di equazioni differenziali non lineari che presentano una forma particolaree che possono essere risolte mediante tecniche ad hoc. Non stiamo però a studiarle in questasede.7.8 Le equazioni differenziali lineariRiprendiamo l’esempio visto quando abbiamo introdotto le equazioni differenziali:y (n) + a n−1 (x)y (n−1) + . . . + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y = b(x)dove i coefficienti a 0 (x), a 1 (x), . . . , a n−1 (x) e b(x) sono assegnate funzioni continue, che dipendonodalla variabile x, mentre y è la funzione incognita e compare insieme alle sue derivate fino a quella diordine n.Un’equazione differenziale scritta in questa forma, prende il nome di equazione differenzialelineare, perchè è lineare rispetto a y e alle sue derivate.G Se ciascuna funzione a i (x), per i = 0, 2, . . . , n − 1 è costante rispetto alla variabile x, alloral’equazione differenziale prende il nome di equazione differenziale lineare a coefficienti costanti.G Se b(x) = 0 per ogni valore di x, allora l’equazione si dice equazione differenziale omogenea.G Se b(x) ≠ 0 allora l’equazione si dice equazione differenziale non omogenea.L’equazione che si ha ponendo b(x) ≡ 0 si dice equazione omogenea associata all’equazionedi partenza in cui b(x) ≠ 0.Per quanto riguarda il problema di Cauchy associato ad un’equazione differenziale lineare diordine n, vale il seguente teorema.Teorema 7.8.1 Se le funzioni a 0 (x), a 1 (x), . . . , a n−1 (x) sono continue in un intervallo [a, b], allora il problemadi Cauchy⎧y (n) + a n−1 (x)y (n−1) + . . . + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y = b(x)y(x 0 ) = y 0y ⎪⎨′ (x 0 ) = y 0′y ′′ (x 0 ) = y 0′′.⎪⎩y (n−1) (x 0 ) = y (n−1)0ammette sempre un’unica soluzione y(x) qualunque sia il punto (x 0 , y 0 , y ′ 0, . . . , y (n−1)0 ) associato alle condizioniiniziali.Dimostrazione.Infatti, l’equazione differenziale si può scrivere comey (n) = f(x, y, y ′ , . . . , y (n−1) )con f(x, y, y ′ , . . . , y (n−1) ) = b(x) − a n−1 (x)y (n−1) − . . . − a 1 (x)y ′ − a 0 (x)y.Riscrivendo la f come una funzione dipendente da x e da un punto Y = (y 1 , y 2 , . . . , y n ), (quindif(x, Y ) = b(x) − a n−1 (x)y n − . . . a 1 (x)y 2 − a 0 (x)y 1 ) si ha che110∂f∂y i= −a i−1 (x)

7.8. Le equazioni differenziali lineariQuindi ciascuna derivata è una funzione continua e limitata in [a, b] per cui sono soddisfatte leipotesi del teorema di Cauchy in grande, qualcunque sia il punto iniziale assegnato. ✔Per provare alcune proprietà generali delle equazioni differenziali lineari, conviene introdurre alcunenotazioni. La prima consiste nel vedere l’equazione differenziale come il risultato di un operatoreL applicato alla funzione y(x).Introduciamo dunque l’operatore L che agisce su una funzione f(x) nel modo seguente:ddxL(f) = f (n) + a n−1 (x)f (n−1) + a n−2 (x)f (n−2) + . . . + a 0 (x)fIntroducendo i simboli D e D n per indicare la derivata prima e la derivata n rispetto a x, D =D n = dn, l’operatore L si può scrivere comedxn L = D n + a n−1 (x)D n−1 + a n−2 (x)D n−2 + . . . + a 0 (x)Allora l’equazione differenziale linearey (n) + a n−1 (x)y (n−1) + . . . + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y = b(x)può essere scritta comeL(y) = b(x)Difatti:L(y) = (D n + a n−1 (x)D n−1 + a n−2 (x)D n−2 + . . . + a 0 (x))y= D n (y) + a n−1 (x)D n−1 (y) + . . . + a 0 (x)y= y (n) + a n−1 (x)y (n−1) + . . . + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)yUsando l’operatore L, è facile dedurre, facendo uso delle proprietà delle derivate, che vale:1. L(y 1 + y 2 ) = L(y 1 ) + L(y 2 )2. L(αy) = αL(y), dove α è una costante.Queste due proprietà dicono che L è un operatore lineare.Quindi, dato l’operatore L appena definito:G L(y) = b(x) è un’equazione differenziale lineare non omogenea. La funzione b(x) prende il nomedi termine noto dell’equazione differenziale.G L(y) = 0 è l’equazione differenziale omogenea (il termine noto vale zero) associata all’equazionedifferenziale precedente, in quanto l’operatore L è lo stesso.Possiamo stabilire questo risultato.Teorema 7.8.2 Se y 1 , y 2 , . . . , y m sono un numero finito m di soluzioni dell’equazione differenziale lineare omogeneaL(y) = 0, allora anche ogni funzione data da c 1 y 1 + c 2 y 2 + . . . + c m y m , con c 1 , c 2 , . . . , c m costanti di R,è soluzione di L(y) = 0,Dimostrazione. La dimostrazione segue dal fatto che L è un operatore lineare. Da L(y 1 ) = 0,L(y 2 ) = 0, . . . L(y m ) = 0, e applicando la linearità di L, si ha✔L(c 1 y 1 + c 2 y 2 + . . . + c m y m ) = L(c 1 y 1 ) + L(c 2 y 2 ) + . . . L(c m y m )= c 1 L(y 1 ) + c 2 L(y 2 ) + . . . + c m L(y m )= 0111

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIETeorema 7.8.3 Data l’equazione differenziale L(y) = 0 con le funzioni a 0 (x), a 1 (x), . . . , a n−1 (x) continue inun intervallo [a, b], allora per ogni x 0 ∈]a, b[, la funzione identicamente nulla è l’unica soluzione del problemadi Cauchy L(y) = 0 con condizioni iniziali date day(x 0 ) = 0, y ′ (x 0 ) = 0, . . . , y (n−1) (x 0 ) = 0Dimostrazione. La dimostrazione segue dal teorema di esistenza ed unicità del problema diCauchy, considerando che la funzione nulla risolve l’equazione differenziale con le condizioni inizialitutte nulle. ✔Chiamiamo con il simbolo N l’insieme delle soluzioni di un’equazione differenziale lineare omogeneadata mediante l’operatore L. Questo insieme prende il nome di spazio nullo dell’operatore L.L’insieme N è uno spazio vettoriale sul campo dei reali.7.8.1 Cosa è uno spazio vettoriale?Consideriamo un insieme N (non necessariamente quello di prima), costituito da funzioni realidefinite in R. Sia 0 lo zero di N, vale a dire la funzione identicamente nulla.N è uno spazio vettoriale (sui reali), se:G è possibile definire un’operazione interna + sugli elementi dell’insieme N, chiamata somma, chegode della proprietà associativa e commutativa, per la quale esiste l’elemento neutro (lo zero), eogni elemento ha l’opposto.G è possibile definire un’operazione esterna · degli elementi di N sui reali, chiamata prodotto perla quale– per ogni c 1 e c 2 in R e per ogni f in N, si ha (c 1 c 2 ) · f = c 1 · (c 2 · f)– per ogni c 1 e c 2 in R e per ogni f in N, si ha (c 1 + c 2 ) · f = (c 1 · f) + (c 2 · f)– per ogni c in R e per ogni f e g in N, si ha c · (f + g) = c · f + c · g– per ogni f in N, si ha 1 · f = fUn elemento dello spazio vettoriale prende il nome di vettore.Siano ora y 1 , y 2 , . . . , y n n elementi dello spazio vettoriale N. Si dice combinazione lineare dei vettoriy 1 , y 2 , . . . , y n mediante i coefficienti c 1 , c 2 , . . . , c n di R, il vettore dato dac 1 y 1 + c 2 y 2 + . . . c n y n.Gli n vettori y 1 , y 2 , . . . , y n si dicono linearmente indipendenti se l’unica combinazione lineare deivettori y 1 , y 2 , . . . , y n che produce il vettore nullo è data da coefficienti tutti nulli:c 1 y 1 + c 2 y 2 + . . . c n y n = 0 ⇐⇒ c 1 = c 2 = . . . = c n = 0Se uno spazio vettoriale ha n vettori linearmente indipendenti allora si dice che lo spazio ha dimensionen. I vettori linearmente indipendenti costituiscono una base dello spazio. Ogni funzionedello spazio può essere ottenuta mediante una combinazione lineare della base, cioè dei suoi vettorilinearmente indipendenti.7.9 L’equazione omogeneaTorniamo all’equazione differenziale omogenea L(y) = 0 e cerchiamo di caratterizzare le suesoluzioni.Sia L(y) = y (n) +a n−1 (x)y (n−1) +. . .+a 1 (x)y ′ +a 0 (x)y e sia data l’equazione differenziale L(y) = 0.Siano y 1 , y 2 , . . . , y n n integrali particolari, per x ∈ [a, b], dell’equazione differenziale omogenea. Percapire se questi integrali sono linearmente indipendenti, abbiamo bisogno di introdurre il cosiddetto112

7.9. L’equazione omogeneadeterminante wronskiano o, semplicemente, il wronskiano delle funzioni y 1 , y 2 , . . . , y n , che è datodalla funzione w(x) definita per x ∈ [a, b] mediante il determinantey 1 (x) y 2 (x) . . . y n (x)y 1(x) ′ y 2(x) ′ . . . y ′ n(x)w(x) =y 1 ′′ (x) y 2 ′′ (x) . . . y n(x)′′. . . . . .∣y (n−1)1 (x) y (n−1)2 (x) . . . y n(n−1) (x) ∣Teorema 7.9.1 Sia dato l’operatore L definito tramite le n funzioni a 0 (x), a 1 (x), . . . , a n−1 (x), continue in unintervallo aperto ]a, b[⊂ R. Siano y 1 (x), y 2 (x), . . . , y n (x) n funzioni diverse da zero che soddisfano l’equazionedifferenziale:L(y 1 ) = L(y 2 ) = · · · = L(y n ) = 0Condizione necessaria e sufficiente affinchè le n soluzioni siano linearmente indipendenti è che sia diverso dazero per ogni valore di x ∈]a, b[, il wronskiano w(x).Teorema 7.9.2 Lo spazio delle funzioni che sono soluzione dell’equazione omogenea L(y) = 0 (lo spazio nulloN) ha dimensione n, ovvero, l’equazione omogenea L(y) = 0 ammette sempre un sistema di n integralilinearmente indipendenti.Dimostrazione.Si fissi x 0 ∈ R e si considerino gli n problemi di Cauchy(1)L(y) = 0, y(x 0 ) = 1, y ′ (x 0 ) = 0, y ′′ (x 0 ) = 0, . . . y (n−1) (x 0 ) = 0(2)L(y) = 0, y(x 0 ) = 0, y ′ (x 0 ) = 1, y ′′ (x 0 ) = 0, . . . y (n−1) (x 0 ) = 0(3)L(y) = 0, y(x 0 ) = 0, y ′ (x 0 ) = 0, y ′′ (x 0 ) = 1, . . . y (n−1) (x 0 ) = 0.(n)L(y) = 0, y(x 0 ) = 0, y ′ (x 0 ) = 0, y ′′ (x 0 ) = 0, . . . y (n−1) (x 0 ) = 1Quindi l’i-mo problema di Cauchy ha condizioni iniziali tutte nulle, eccetto la derivata y (i−1) chein x 0 vale 1.Per ciascuno di questi problemi di Cauchy, la soluzione esiste ed è unica (per il teorema di esistenzae unicità visto prima).Consideriamo ora il wronskiano delle n funzioni y i (per i = 1, 2, . . . , n) che sono soluzioni di questiproblemi di Cauchy:w(x) =∣y 1 (x) y 2 (x) . . . y n (x)y 1(x) ′ y 2(x) ′ . . . y n(x)′ y 1 ′′ (x) y 2 ′′ (x) . . . y n(x)′′. . . . . .1 (x) y (n−1)2 (x) . . . y n(n−1) (x) ∣y (n−1)Valutiamo w(x) per x = x 0 . Si ha1 0 . . . 00 1 . . . 0w(x 0 ) =. . . . . .∣0 0 . . . 1∣113

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIERisulta che w(x 0 ) è il determinante della matrice identità, che ha uno sugli elementi della diagonaleprincipale e zero altrove. Il determinante di questa matrice vale 1, quindi è diverso da zero.Poichè x 0 è stato scelto in modo arbitrario in R, vuole dire che le n soluzioni dell’equazionidifferenziali sono linearmente indipendenti (in base al teorema 7.9.1).Abbiamo trovato dunque n funzioni linearmente indipendenti che risolvono l’equazione omogeneaL(y) = 0. Queste n funzioni costituiscono una base per lo spazio delle soluzioni dell’equazioneL(y) = 0. ✔Definizione 7.9.1 Una n-pla di funzioni y 1 , y 2 , . . . , y n che sono soluzioni linearmente indipendenti di L(y) =0 prende il nome di sistema fondamentale di integrali di L(y) = 0.Se conosciamo n soluzioni linearmente indipendenti di L(y) = 0, la generica soluzione di L(y) = 0è data da una combinazione lineare delle soluzioni linearmente indipendenti. Questa genericasoluzione prende il nome di integrale generale. Si ha il seguente teoremaTeorema 7.9.3 (Sull’integrale generale di un’equazione omogenea) Dato un sistema fondamentale diintegrali y 1 , y 2 , . . . , y n dell’equazione differenziale omogenea L(y) = 0, l’integrale generale è dato dallecombinazioni lineariy = c 1 y 1 + c 2 y 2 + . . . c n y ncon c 1 , c 2 , . . . , c n costanti di R.7.10 L’equazione non omogeneaSia data ora un’equazione differenziale non omogeneaL(y) = b(x).Sappiamo che ad essa possiamo associare l’equazione differenziale omogeneaL(y) = 0Se conosciamo un integrale particolare dell’equazione non omogenea, y, e conosciamo l’integralegenerale dell’equazione omogenea associata, y, allora l’integrale generale dell’equazione non omogenea,che indichiamo con η, è dato dalla somma di y e di y. Vale infatti il seguente teorema.Teorema 7.10.1 Dato y integrale particolare di L(y) = b(x), e dato l’integrale generale y di L(y) = 0, alloral’integrale generale di L(y) = b(x) è dato daη = y + yDimostrazione.Consideriamo η = y + y. Si haL(η) = L(y + y)applicando la linearità di L= L(y) + L(y)ma L(y) = 0 e L(y) = b(x)= b(x)Quindi η è soluzione dell’equazione differenziale L(y) = b(x).114

7.11. Equazioni lineari a coefficienti costantiSupponiamo che y ∗ sia un altro integrale particolare diverso da y, per l’equazione non omogenea,L(y ∗ ) = b(x), allora y ∗ = y ∗ − y risulta un integrale dell’omogenea associata, in quantoL(y ∗ ) = L(y ∗ − y) = L(y ∗ ) − L(y) = b(x) − b(x) = 0Quindi y ∗ si può scrivere come combinazione lineare di un sistema fondamentale di integrali dell’equazioneomogenea, tramite dei coefficienti c 1 , c 2 , . . . , c n . Perciò y ∗ = y ∗ + y rientra come casoparticolare (perchè y ∗ è caratterizzato da specifici coefficienti) dell’integrale generale η = y + y, cioèη = y + y è l’unico modo per rappresentare l’integrale generale dell’equazione non omogenea. ✔Quindi l’integrale generale dell’equazione differenziale L(y) = b(x), conoscendo n integrali linearmenteindipendenti dell’equazione omogenea associata, e un integrale particolare y della nonomogenea, è dato da dato day = c 1 y 1 + c 2 y 2 + . . . , c n y n + y7.11 Equazioni lineari a coefficienti costantiData l’equazione differenzialey (n) + a n−1 (x)y (n−1) + . . . + a 1 (x)y ′ + a 0 (x)y = b(x)se a 0 (x) ≡ a 0 , a 1 (x) ≡ a 1 , . . . , a n−1 (x) = a n−1 , tutte le funzioni sono costanti in x, allora l’equazionedifferenziale prende il nome di equazione differenziale a coefficienti costanti:y (n) + a n−1 y (n−1) + . . . + a 1 y ′ + a 0 y = b(x)Per trovare l’integrale generale dell’equazione lineare a coefficienti costanti, si considera la cosiddettaequazione caratteristica, che si ricava dall’equazione differenziale omogenea associata,sostituendo alle derivate della funzione incognita le potenze della variabile z:P (z) = z n + a n−1 z n−1 + . . . + a 1 z + a 0 = 0Quindi a y (n) sostituiamo z n , a y (n−1) sostituiamo z n−1 m fino ad arrivare a y che sostituiamo conz 0 = 1. Il polinomio P (z) prende il nome di polimonio caratteristico. Si cercano le radici del polinomiocaratteristico, cioè i valori di z per cui P (z) = 0 e da queste radici è possibile risalire (vedremo ora inche modo) all’integrale generale dell’equazione differenziale lineare omogenea. Occorre poi trovareun integrale particolare per l’equazione non omogenea.Ricordiamo che un polinomio di grado n ammette n radici: queste radici possono essere reali ocomplesse, e possono essere con molteplicità semplice o di un certo grado, ma tali che la somma deigradi di ciascuna radice dia il grado del polinomio. Vediamo dei semplici esempi.Esempio 7.11.1 Consideriamo un polinomio di secondo grado. Sappiamo che, dato un polinomio di secondogrado P (z) = az 2 + bz + c, per trovare le radici del polinomio, cioè quei valori di z per cui P (z) = 0 si ha laformula z = −b ± √ b 2 − 4ac, dove la quantità sotto radice, b 2 − 4ac prende il nome di discrimante e viene2aindicato con il simbolo ∆.GSe ∆ = b 2 − 4ac > 0 si hanno due radici reali distinte.Esempio: P (z) = z 2 − 5z − 6.In questo caso ∆ = 25 + 24 = 49, da cui z = 5 ± 72 . Si hanno due radici distinte: z 1 = 6 e z 2 = −1.115

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEGSe ∆ = b 2 − 4ac = 0 si hanno due radici reali coincidenti (una radice da contarsi due volte, o conmolteplicità due).Esempio: P (z) = z 2 − 2z + 1. Qui ∆ = 4 − 4 = 0. Si ricava facilmente, o applicando la formula, oriconoscendo che P (z) = (z − 1) 2 , che la radice è z = 1 da contarsi due volte, cioè z = 1 è una radice conmolteplicità doppia.GSe ∆ = b 2 −4ac < 0, non si hanno radici reali ma nel campo complesso, introducendo l’unità immaginariai = √ −1, per cui √ b 2 − 4ac = √ (−1)(4ac − b 2 ) = i √ 4ac − b 2 , essendo ora 4ac − b 2 > 0.Esempio: P (z) = z 2 + 2z + 3. In questo caso ∆ = 4 − 12 = −8 Sotto radice ho −8, quindi le radici sonocomplesse.z = −2 ± i2√ 2= −1 ± i √ 22Trovo due radici z 1 = −1 + i √ 2 e z 2 = −1 − i √ 2.Queste due radici sono complesse e coniugate, perchè la parte immaginaria delle due radici è una l’oppostadell’altra.Un numero complesso, infatti, si può vedere come z = a + ib, con a e b numeri reali e i l’unità immaginaria.Il coniugato di z = a + ib è dato da z = a − ib.Per determinare l’integrale generale di un’equazione differenziale omogenea si vanno a cercare leradici del polinomio caratteristico. Supponiamo che il polimonio caratteristico abbia n radici reali tuttedistinte tra di loro, γ 1 , γ 2 , . . . , γ n , allora le funzioni y(x) = e γix sono soluzioni particolari dell’equazionedifferenziale. Infatti da y(x) = e γx si ha y ′ = γe γx , y ′′ = γ 2 e γx , . . . , y (n) = γ n e γx . Se andiamo asostituire nell’equazione differenziale, ricaviamoL(y) = L(e γx )= γ n e γx + a n−1 γ n−1 e γx + . . . + a 1 γe γx + a 0 e γxmetto in evidenza e γx= (γ n + a n−1 γ n−1 + . . . + a 1 γ + a 0 )e γx= P (γ)e γxma γ è radice dell’equazione caratteristica= 0Quindi y = e γx è soluzione dell’equazione differenziale lineare omogenea.In genere, però, un polinomio di grado n può avere radici reali che si ripetono (che hanno una certamolteplicità), o radici reali insieme a radici complesse e coniugate (e anche queste radici possono avereuna certa molteplicità).Per ricavare l’integrale generale di un’equazione lineare omogenea, viene in aiuto il seguenteteorema.Teorema 7.11.1 Siano γ 1 , γ 2 , . . . , γ h h radici reali del polinomio caratteristico, ciascuna delle quali ha rispettivamentemolteplicità r 1 , . . . , r h mentre siano α 1 ± iβ 1 , α 2 ± iβ 2 , . . . , α l ± iβ k 2k radici complesse e coniugatecon molteplicità, rispettivamente, s 1 , s 2 , . . . , s k .La molteplicità delle radici è tale che r 1 + r 2 + . . . + r h + 2(s 1 + s 2 + . . . + s k ) = n.Allora le n funzioni116e γpx , xe γpx , . . . x rp−1 e γpx , per p = 1, 2, . . . , he αqx cos (β q x), e αqx sin (β q x), xe αqx cos (β q x), xe αqx sin (β q x), . . . ,x sq−1 e αqx cos (β q x), x sq−1 e αqx sin (β q x), per q = 1, 2, . . . , k

7.11. Equazioni lineari a coefficienti costantisono n soluzioni reali dell’equazione differenziale omogenea linearmente indipendenti.Scritto in forma meno compatta, vuol dire che se l’equazione caratteristica ha n radici, in partereale e in parte complesse coniugate, così come sono state descritte nel teorema, si hanno le seguentisoluzioni per l’equazione lineare:G dalle radici reali del polinomio caratteristico si hanno i seguenti integrali:e γ1x xe γ1x x 2 e γ1x . . . x r1−1 e γ1xe γ2x xe γ2x x 2 e γ2x . . . x r2−1 e γ2xe γ3x xe γ3x x 2 e γ3x . . . x r3−1 e γ3x. . . . . . .e γ hxxe γ hxx 2 e γ hx. . . x rh−1 e γ hxG dalle radici complesse e coniugate del polinomio caratteristico si hanno i seguenti integrali:e α1x cos (β 1 x) e α1x sin (β 1 x) xe α1x cos (β 1 x) xe α1x sin (β 1 x)x 2 e α1x cos (β 1 x) x 2 e α1x sin (β 1 x) . . . . . .. . . . . . x s1−1 e α1x cos (β 1 x) x s1−1 e α1x sin (β 1 x)e α2x cos (β 2 x) e α2x sin (β 2 x) xe α2x cos (β 2 x) xe α2x sin (β 2 x)x 2 e α2x cos (β 2 x) x 2 e α2x sin (β 2 x) . . . . . .. . . . . . x s2−1 e α2x cos (β 2 x) x s2−1 e α2x sin (β 2 x)e α3x cos (β 3 x) e α3x sin (β 3 x) xe α3x cos (β 3 x) xe α3x sin (β 3 x)x 2 e α3x cos (β 3 x) x 2 e α3x sin (β 3 x) . . . . . .. . . . . . x s3−1 e α3x cos (β 3 x) x s3−1 e α3x sin (β 3 x)....e αkx cos (β k x) e αkx sin (β k x) xe αkx cos (β k x) xe αkx sin (β k x)x 2 e αkx cos (β k x) x 2 e αkx sin (β k x) . . . . . .. . . . . . x sk−1 e αkx cos (β k x) x sk−1 e αkx sin (β k x)L’integrale generale è dato da una combinazione lineare di tutte queste soluzioni particolari.Quindi l’integrale generale dell’equazione differenziale omogenea è dato dalle combinazionilineari delle soluzioni linearmente indipendenti trovate.Esempio 7.11.2 Sia data l’equazione lineare omogenea y ′′ − 4y = 0.L’equazione caratteristica è data da P (z) = z 2 − 4 = 0Le radici di questa equazione sono date da z 1 = 2, z 2 = −2. Sono due radici reali, con molteplicità uno.L’integrale generale dell’equazione differenziale è dunque dato day(x) = c 1 e 2x + c 2 e −2xEsempio 7.11.3 Sia ora y ′′ + 2y ′ + y = 0. Ora l’equazione caratteristica è data da P (z) = z 2 + 2z + 1 = 0,che ha come radici z = −1 con molteplicità doppia.In tal caso l’integrale generale è dato day(x) = c 1 e −x + c 2 xe −x 117

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEEsempio 7.11.4 Sia data l’equazione differenziale y ′′ + 2y ′ + 3 = 0. Adesso si ha, per l’equazione caratteristica,P (z) = z 2 + 2z + 3 = 0 che ha due radici complesse e coniugate z 1 = −1 + i √ 2 e z 2 = −1 − i √ 2.La parte reale è a = −1 la parte complessa è b = √ 2, quindi l’integrale generale èy(x) = c 1 e −x cos ( √ 2x) + c 2 e −x sin ( √ 2x)Se, invece, interessa la soluzione generale dell’equazione differenziale non omogenea, dobbiamotrovare, oltre all’integrale generale dell’omogenea associata, anche un integrale particolare dell’equazionenon omogenea visto che l’integrale generale è dato dalla somma dell’integrale generaledell’omogenea associata e dell’integrale particolare della non omogenea (in base al teorema 7.10.1).Il problema di trovare l’integrale generale di un’equazione differenziale non omogenea L(y) = b(x)si riconduce alla soluzione di due problemi:1. trovare l’integrale generale dell’equazione omogenea associata L(y) = 02. trovare un integrale particolare dell’equazione non omogenea L(y) = b(x)7.12 Metodo dei coefficienti indeterminatiPer alcune funzioni b(x) è possibile trovare l’integrale particolare in modo abbastanza semplice,applicando il cosiddetto metodo dei coefficienti indeterminati. Ecco un elenco di possibili casi perb(x).G Sia b(x) = P (x), un polinomio di grado p. Se nell’equazione differenziale, a 0 ≠ 0 , allora comesoluzione particolare si ha y = Q(x), dove Q(x) è un polinomio di grado al più p (si va a cercareun polinomio dello stesso grado del termine noto che sia soluzione particolare dell’equazionenon omogenea).G Se b(x) = P (x) polinomio di grado p, ma a 0 = a 1 = . . . = a r−1 = 0 con r −1 ≤ n−1 (ciò equivalea dire che nell’equazione caratteristica associata si ha la radice z = 0 con molteplicità r) allora siha come soluzione particolare y = x r Q(x) polinomio di grado al più p.G Sia b(x) = e αx P (x) con α ∈ R e P (x) polinomio di grado p,– Se α non è radice dell’eq. caratteristica, allora y = e αx Q(x), con Q(x) polinomio di grado alpiù p.– Se α è radice dell’eq. caratteristica, con molteplicità r, allora y = x r e αx Q(x) con Q(x)polinomio di grado al più p.G Sia b(x) = e αx cos(βx)P (x) oppure b(x) = e αx sin(βx)P (x) oppure b(x) = e αx (cos(βx) +sin(βx))P (x), con α, β ∈ R e P (x) polinomio di grado p– Se α ± iβ non è radice dell’eq. caratteristica, allora y = e αx (cos(βx)Q 1 (x) + sin(βx)Q 2 (x))con Q 1 e Q 2 polinomi di grado al più p.– Se α ± iβ è radice dell’eq. caratteristica con molteplicità r, allora y = x r e αx (cos(βx)Q 1 (x) +sin(βx)Q 2 (x)) con Q 1 e Q 2 polinomi di grado al più p.Se il termine noto b(x) è dato dalla somma di funzioni, ciascuna delle quali si può ricondurre ad unodei casi descritti sopra, allora l’integrale particolare è dato dalla somma degli integrali particolari delleequazioni differenziali non omogenee legate a ciascun addendo della funzione di partenza. Infatti,se il termine noto è dato dalla somma di m funzioni, b(x) = b 1 (x) + b 2 (x) + . . . + b m (x), possiamoconsiderare sia l’equazione differenziale L(y) = b(x), sia le m equazioni differenziali L(y) = b 1 (x),L(y) = b 2 (x), . . . L(y) = b m (x).Siano y 1 , y 2 , . . . , y m m soluzioni particolari di queste m equazioni differenziali, allora valeL(y 1 + y 2 + . . . y m ) = L(y 1 ) + L(y 2 ) + . . . + L(y m )b 1 (x) + b 2 (x) + . . . + b m (x)= b(x)118

7.12. Metodo dei coefficienti indeterminatiQuindi y = y 1 + y 2 + . . . + y m è soluzione dell’equazione differenziale L(y) = b(x).Vediamo degli esempi sulla risoluzioni di equazioni differenziali non omogenee.Esempio 7.12.1 Si voglia risolvere l’equazione differenzialey ′′ + y = 3x 2Per prima cosa risolviamo l’omogenea associata y ′′ + y = 0. L’equazione caratteristica è : z 2 + 1 = 0, da cuiz = ±i: abbiamo due radici complesse e coniugate. L’integrale generale è, dunque: y = c 1 cos (x)+c 2 sin (x).Cerchiamo ora un integrale particolare. Vediamo che b(x) = 3x 2 , è un polinomio di secondo grado, e ilcoefficiente a 0 dell’equazione differenziale è diverso da zero. Quindi l’integrale particolare deve essere unpolinomio di secondo grado, del tipo y = ax 2 + bx + c, con a, b, c da determinare andando a sostituire ynell’equazione differenziale. Infatti deve esserey ′′ + y = 3x 2Da y = ax 2 + bx + c, si ha y ′ = 2ax + b e y ′′ = 2a. Andando a sostituire nell’equazione differenziale siricava:2a + ax 2 + bx + c = 3x 2Ora i termini⎧che hanno le stesse potenze di x a primo e a secondo membro vanno eguagliati:⎪⎨ ax 2 = 3x 2bx = 0⎪⎩2a + c = 0Risolviamo questo sistema di 3 equazioni in 3 incognite, ottenendo a = 3, b = 0, c = −2a = −6. Perciòl’integrale particolare è dato da y = 3x 2 − 6.L’integrale generale dell’equazione differenziale non omogenea vale dunque: y = c 1 cos (x) + c 2 sin (x) +3x 2 − 6.Esempio 7.12.2 Sia da risolvere l’equazione differenzialey ′′ + 3y ′ + 2y = x + x 3 − e −x sin (2x)Per prima cosa cerchiamo le soluzioni dell’equazione omogenea associata. L’equazione caratteristica è : z 2 +3z + 2 = 0, da cui le radici reali z 1 = −1 e z 2 = −2. L’integrale generale dell’omogenea è dunquey = c 1 e −x + c 2 e −2x .Consideriamo ora il termine noto b(x) = x + x 3 − e x sin (2x). Osserviamo come il termine noto possa esserevisto come somma del polinomio P (x) = x + x 3 e della funzione −e −x sin (2x).Cerchiamo dunque un integrale particolare per l’equazione differenzialey ′′ + 3y ′ + 2y = x + x 3e un integrale particolare per l’equazione differenzialey ′′ + 3y ′ + 2y = −e −x sin (2x)119

7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIEPer il primo integrale, vediamo che il termine noto è un polinomio di terzo grado e che il coefficiente a 0 ≠ 0,quindi l’integrale particolare è un polinomio di terzo grado y = ax 3 + bx 2 + cx + d. Derivando, si hay ′ = 3ax 2 + 2bx + c e y ′′ = 6ax + 2b. Andando a sostituire nell’equazione differenziale si ha6ax + 2b + 3(3ax 2 + 2bx + c) + 2(ax 3 + bx 2 + cx + d) = x + x 3Raccogliendo i termini con le stesse potenze di x a primo membro, abbiamo2ax 3 + (9a + 2b)x 2 + (6a + 6b + 2c)x + 2b + 3c + 2d = x + x 3Uguagliando i termini con le stesse potenze a primo e a secondo membro si ha:⎧2a = 1⎪⎨9a + 2b = 06a + 6b + 2c = 1⎪⎩2b + 3c + 2d = 0= − 51 , da cui y =8x 32 − 9 4 x2 + 23 4 x − 51 8 .Passiamo ora a trovare un integrale particolare per la seconda equazione differenziale che abbiamo ricavatoche ha come termine noto la funzione −e −x sin (2x). Riconducendoci allo schema che abbiamo fatto per ivari casi di termini noto, questo si riconduce alla funzione del tipo e αx sin (βx)P (x), dove α = −1, β = 2,P (x) = −1 (polinomio di grado 0). Poichè −1±i2 non è radice dell’equazione caratteristica (che ha nel nostrocaso solo radici reali), dobbiamo cercare un integrale particolare del tipo y = e −x (cos (2x)a + sin (2x)b)(devono essere Q 1 eQ 2 polinomi di grado zero, cioè delle costanti).Allora,y ′ = −e −x (a cos (2x) + b sin (2x)) + e −x (−2a sin (2x) + 2b cos (2x))Otteniamo a = 1/2, b = − 9 2 a = −9 1 − 6a − 6b, c =4 2= e −x ((2b − a) cos (2x) − (b + 2a) sin (2x))y ′′ = −e −x ((2b − a) cos (2x) − (b + 2a) sin (2x))+e −x (−2(2b − a) sin (2x) − 2(b + 2a) cos (2x))= e −x ((−4b − 3a) cos (2x) + (4a − 3b) sin (2x))Andando a sostituire nell’equazione differenziale, si ottiene:e −x ((−4b − 3a) cos (2x) + (4a − 3b) sin (2x))+3(e −x ((2b − a) cos (2x) − (b + 2a) sin (2x))+= 23 −2b − 3c, d =4 22(e −x (a cos (2x) + b sin (2x)) = −e −x sin (2x)Si può semplificare l’equazione dividendo ambo i membri per e −x . Raccogliendo i termini in sin (2x) ecos (2x) si ha:(2b − 4a) cos (2x) + (−4b − 2a) sin (2x) = − sin (2x)Quindi: {2b − 4a = 0−4b − 2a = −1Risolvendo il sistema si trova a = 110 e b = 1 5 da cui y = e−x ( 110 cos (2x) + 1 sin (2x)).5Concludendo, l’integrale generale dell’equazione differenziale non omogenea da cui siamo partiti è dato da:y = c 1 cos (x) + c 2 sin (x) + x32 − 9 4 x2 + 234 x − 518 + e−x ( 1 10 cos (2x) + 1 sin (2x))5Se si ha un problema di Cauchy, si risolve prima l’equazione differenziale cercando un integralegenerale. Successivamente, le costanti vengono determinate in base alle condizioni iniziali date dalproblema.120

8. Forme differenziali8.1 Introduzione alle forme differenzialiConsideriamo una curva regolare γ nel piano data da equazioni parametrichex = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ bSia data una funzione f(x, y) dipendente da due variabili. Possiamo pensare di integrare la funzionef sulla curva γ rispetto a x o rispetto a y (quindi non sull’arco di curva, ds, ma in dx o dy).Si ha l’integrale curvilineo di f rispetto a x dato da∫γf(x, y)dx =∫ baf(x(t), y(t))x ′ (t)dtSi ha l’integrale curvilineo di f rispetto a y dato da∫γf(x, y)dy =∫ baf(x(t), y(t))y ′ (t)dtInfatti poichè x = x(t), allora dx = x ′ (t)dt. Analogo è il ragionamento per la y.Spesso questi due integrali appaiono insieme: se X e Y sono due funzioni nelle variabili x e y e seγ è una curva (data da equazioni parametriche come in precedenza), allora∫γXdx + Y dy ===∫ ba∫ ba∫ baX(x, y)dx + Y (x, y)dyX(x(t), y(t))x ′ (t)dt + Y (x(t), y(t))y ′ (t)dt(X(x(t), y(t))x ′ (t) + Y (x(t), y(t))y ′ (t)) dtL’espressione che abbiamo scritto come funzione integranda Xdx + Y dy prende il nome di formadifferenziale.Possiamo dare allora la seguente definizioneDefinizione 8.1.1 Date X e Y due funzioni definite in I ⊂ R 2 , si chiama forma differenziale lineare ω (o formalineare) l’espressioneω = Xdx + Y dy = X(x, y)dx + Y (x, y)dyLe funzioni X e Y si chiamano coefficienti della forma differenziale.Se i coefficienti sono di classe C p , la forma differenziale si dice di classe C p .Per una forma differenziale, si possono definire le seguenti operazioni:G dato un vettore r = (r 1 , r 2 ) e (x, y) ∈ I, il prodotto scalare tra ω e r è:ω · r = X(x, y)r 1 + Y (x, y)r 2121

8. FORME DIFFERENZIALIG dato uno scalare c ∈ R e una funzione f definita in I e a valori in R si definisce la moltiplicazionedella forma differenziale per c e per f nel modo seguente:cω = cXdx + cY dyfω = (fX)dx + (fY )dyG Date due forme differenziali ω 1 e ω 2 , si definisce addizione di ω 1 e di ω 2 la seguente forma:ω 1 + ω 2 = (X 1 dx + Y 1 dy) + (X 2 dx + Y 2 dy) = (X 1 + X 2 )dx + (Y 1 + Y 2 )dyCon queste operazione, l’insieme delle forme differenziali lineari, definite in un insieme I ⊂ R, è unospazio vettoriale.Consideriamo, ora il differenziale di una funzione f(x, y). Si ha df = f x dx + f y dy. Quindi il differenzialedi una funzione f si può vedere come una forma differenziale lineare. Non vale, ovviamente,il viceversa: data una forma lineare, non è detto che ci sia una funzione f il cui differenziale coincidacon la forma lineare stessa.8.2 Integrali delle forme differenzialiAbbiamo introdotto le forme differenziali introducendo degli integrali curvilinei fatti rispetto a x erispetto a y. Le forme differenziali, infatti, vengono utilizzate in integrali curvilinei.Data una curva regolare γ con il suo orientamento naturale, quindi una curva +γ, che puó esserescritta in forma parametrica tramite le equazionix = x(t), y = y(t), a ≤ t ≤ bsi definisce integrale curvilineo della forma differenziale ω sulla curva +γ, l’integrale∫+γ∫ω =+γXdxY dy =∫ ba(X(x(t), y(t)x ′ (t) + Y (x(t), y(t))y ′ (t)) dtSe scriviamo le equazioni parametriche della curva usando una funzione vettoriale f = (x(t), y(t)),l’integrale di prima può essere scritto come∫+γω =∫ baω(f(t)) · f ′ (t)dtDifatti il prodotto scalare ω(f(t))·f ′ (t) altro non è che la funzione integranda che abbiamo scritto primaX(x(t), y(t)x ′ (t) + Y (x(t), y(t))y ′ (t).Ora cerchiamo di vedere cosa succede se facciamo l’integrale di una forma differenziale su unacurva +γ o sulla curva opposta −γ. Vediamolo con un esempio.Sia ω = yx 2 dx + sin (πy)dy. Quindi X(x, y) = yx 2 , e Y (x, y) = sin (πy).La curva +γ sia il segmento che va dal punto (0, 2) al punto (1, 4).La curva +γ in forma parametrica può essere scritta comex = t, y = 2t + 2, 0 ≤ t ≤ 1Per t = 0 si ha (0, 2), per t = 1 si ha (1, 4).Facciamo ∫ +γ ω.122

8.2. Integrali delle forme differenzialiSi ha∫+γω ===∫ 10∫ 10∫ 10(y(t)x(t) 2 x ′ (t) + sin (πy(t))y ′ (t) ) dt((2t + 2)t 2 + sin (π(2t + 2))2 ) dt(2t 3 + 2t 2 + 2 sin (π(2t + 2)) ) dt= 2 t4 4 + 2t3 3 − 1 πcos (π(2t + 2))|t=1 t=0= 1 2 + 2 3 − 1 π + 1 π= 7 6Vediamo ora cosa succede se integriamo lungo la curva opposta −γ (ricordiamo che quando abbiamodefinito l’integrale curvilineo di una funzione lungo una curva γ, integrando lungo la curva, cioèrispetto all’ascissa curvilinea ds, abbiamo detto che l’integrale non dipende dall’orientamento dellacurva. In questo caso invece, le cose cambiano):La curva opposta −γ ha equazioni parametrichex = −t, y = −2t + 2, −1 ≤ t ≤ 0Per t = −1 si ha (1, 4), per t = 0 si ha (0, 2).Si ha dunque∫−γω ===∫ 0−1∫ 0−1∫ 0−1yx 2 dx + sin (πy)dy((−2t + 2)(−t) 2 (−1) + sin (π(−2t + 2))(−2) ) dt(2t 3 − 2t 2 − 2 sin (π(−2t + 2)) ) dt= 2 t4 4 − 2t3 3 − 1 πcos (π(−2t + 2))|t=0 t=−1= − 1 π − 1 2 − 2 3 + 1 π= − 7 6Osserviamo dunque che il valore dell’integrale che abbiamo ottenuto sulla curva opposta −γ èl’opposto dell’integrale che avevamo ottenuto sulla curva +γ.Vale infatti il seguente teoremaTeorema 8.2.1 Data una forma differenziale ω e una curva regolare +γ si ha∫ ∫ω = − ω−γ+γDimostrazione. Dimostriamo questo teorema considerando che se una curva +γ è data daf = (x(t), y(t)) con a ≤ t ≤ b, la curva opposta si può scrivere come −γ con F = (˜x(t), ỹ(t)) =(x(−t), y(−t)) con −b ≤ t ≤ −a Quindi ˜x ′ (t) è uguale alla derivata della funzione x(−t) che va vistacome la funzione composta x(h(t)) con h(t) = −t. Derivando, quindi, si ha la derivata di x valutata in123

8. FORME DIFFERENZIALIh(t) = −t per la derivata di h(t) che vale −1, da cui: ˜x ′ (t) = x ′ (−t)(−1) = −x ′ (t). Analogamente, valeỹ(−t) = −y ′ (−t).Allora∫ ∫ −aω = (X(˜x(t), ỹ(t))˜x ′ (t) + Y (˜x(t), ỹ(t)), ỹ ′ (t)) dt−γ==−b∫ −a−b∫ −a−b(X(x(−t), y(−t))(−x ′ (−t)) + Y (x(−t), y(−t)), (−y ′ (−t))) dt− (X(x(−t), y(−t))x ′ (−t) + Y (x(−t), y(−t))y ′ (−t)) dtfacendo il cambio di variabili u = −t, du = −dte considerando che per t = −b, u = b, e per t = −a, u = a=∫ ab∫ b= −∫= −(X(x(u), y(u))x ′ (u) + Y (x(u), y(u))y ′ (u)) dua+γ(X(x(u), y(u))x ′ (u) + Y (x(u), y(u))y ′ (u)) duω✔Quindi nel fare gli integrali curvilinei delle forme differenziali occorre prestare molta attenzione all’orientamentodella curva. Per questo motivo, gli integrali curvilinei delle forme differenziali sono dettiintegrali orientati.Invece, anche per le forme differenziali, l’integrale curvilineo non dipende dal tipo di rappresentazioneutilizzata per la curva, cioè non dipende dalla scelta della rappresentazioneparametrica.Si ha infatti la seguente proposizioneProposizione 8.2.1 L’integrale curvilineo ∫ ω non dipende dalla particolare rappresentazione della curva+γregolare +γ.Dimostrazione. Sia data la curva +γ tramite la funzione f = (x(t), y(t)), con a ≤ t ≤ b o, inmaniera equivalente, tramite la funzione F = (x F (u), y F (u)), con α ≤ u ≤ β . Sappiamo che, dovendorappresentare la medesima curva, le due funzioni f e F sono legate tra loro mediante una funzioneφ : [α, β] ⇒ [a, b] con φ ′ (u) > 0, tale che φ(α) = a, φ(β) = b e F(u) = f(φ(u))Torniamo all’integrale curvilineo. Da una parte∫+γω =Dall’altra si ha:∫ω =124+γ∫ ba∫ βα(X(x(t), y(t))x ′ (t) + Y (x(t), y(t))y ′ (t)) dt(X(x F (u), y F (u))x ′ F (u) + Y (x F (u), y F (u))y ′ F (u)) duMa per la relazione che lega F a f si ha:F(u) = f(φ(u))(x F (u), y F (u)) = (x(φ(u), y(φ(u))x ′ F (u) = x ′ (φ(u))φ ′ (u)y ′ F (u) = y ′ (φ(u))φ ′ (u)

8.3. Applicazione delle forme differenzialiQuindi si ha∫ω =+γ=∫ βα∫ βα(X(x F (u), y F (u))x ′ F (u) + Y (x F (u), y F (u))y ′ F (u)) du(X(x(φ(u)), y(φ(u)))x ′ (φ(u))φ ′ (u) + Y (x(φ(u)), y(φ(u)))y ′ (φ(u))φ ′ (u)) dumettendo in evidenza φ ′ (u)=∫ βα(X(x(φ(u)), y(φ(u)))x ′ (φ(u)) + Y (x(φ(u)), y(φ(u)))y ′ (φ(u))) φ ′ (u)duoperando il cambiamento di variabili t = φ(u)e considerando dt = φ ′ (u)due il cambiamento agli estremi u = α ⇒ t = a, u = β ⇒ t = b=∫ ba(X(x(t), y(t))x ′ (t) + Y (x(t), y(t))y ′ (t)) dtAbbiamo provato che la rappresentazione parametrica della curva non influisce sul risultato finaleperchè gli integrali coincidono qualunque sia la rappresentazione parametrica per descrivere la stessacurva. ✔Per gli integrali curvilinei sulle forme differenziali valgono anche le seguenti proprietà:G se c ∈ R, ∫ +γ cω = c ∫ +γ ωG ∫ +γ ω 1 + ω 2 = ∫ +γ ω 1 + ∫ +γ ω 2G se la curva +γ viene suddivisa in un certo numero k di curve regolari, tali che +γ = +γ 1 ∪ +γ 2 ∪. . . ∪ +γ k o se la curva è regolare a tratti, allora ∫ +γ ω = ∫ +γ 1ω + ∫ +γ 2ω + . . . + ∫ +γ kω8.3 Applicazione delle forme differenzialiIn molte applicazioni soprattutto nella fisica, ci si trova a lavorare con funzioni vettoriali da integraresu curve. Sia ⃗ F = X(x, y)⃗c 1 + Y (x, y)⃗c 2 una funzione vettoriale (scritta in funzione dei versoridegli assi x e y rispettivamente. Sia data una curva regolare +γ data da ⃗r = x(t)⃗c 1 + y(t)⃗c 2 (è la stessacosa di scrivere f = (x(t), y(t)))) con a ≤ t ≤ b.Si definisce integrale curvilineo del vettore ⃗ F lungo la curva +γ l’integrale∫+γ⃗F · d⃗r =∫ ba⃗F (⃗r) · ⃗r ′ (t)dtdove ⃗ F (⃗r) = ⃗ F (x(t), y(t)), da cui∫+γ⃗F · d⃗r ==∫ ba∫ ba(X(x(t), y(t))⃗c 1 + Y (x(t), y(t))⃗c 2 ) · (x ′ (t)⃗c 1 + y ′ (t)⃗c 2 )dt(X(x(t), y(t))x ′ (t) + Y (x(t), y(t))y ′ (t)) dtAbbiamo ritrovato la definizione di integrale curvilineo di una forma differenziale, dove i coefficientidella forma differenziale sono le componenti del vettore ⃗ F .Un esempio in cui vediamo applicata una forma differenziale in fisica è il lavoro compiuto da uncampo di forze. Se consideriamo una particella che si muove lungo una curva, indicando con ⃗s ladistanza percorsa dalla particella lungo la curva +γ, e con ⃗ F = (X, Y ) una forza che agisce sullaparticella mentre essa si sposta di d⃗s, si definisce lavoro elementare eseguito da ⃗ F il prodotto scalare:dL = ⃗ F · d⃗s125

8. FORME DIFFERENZIALIIn coordinate cartesiane, e limitandoci al caso bidimensionale, si può scriveredL = Xdx + Y dyIl lavoro elementare è dunque una forma differenziale.Il lavoro totale lungo tutta la curva +γ è invece definito tramite l’integrale della forma differenzialedL:∫ ∫ bL = dL = X(x, y)dx + Y (x(t), y(t)dy+γa8.4 Teorema fondamentale per gli integrali curvilineiTeorema 8.4.1 Assegnata una funzione f(x, y), si consideri la forma differenziale data dal suo differenziale:ω = df = f x dx + f y dy.Data una curva regolare +γ espressa mediante rappresentazione parametrica da (x(t), y(t)) (o mediante lafunzione vettoriale ⃗r) , si ha∫df = f(x(b), y(b)) − f(x(a), y(a))✔+γQuesto risultato equivale anche a dire che∫∇f · d⃗r = f(x(b), y(b)) − f(x(a), y(a))+γDimostrazione.Si ha∫ ∫ bdf = (f x (x(t), y(t))x ′ (t) + f y (x(t), y(t))y ′ (t)) dt+γaper le regole di derivazione delle funzioni composte=∫ badf(x(t), y(t))dtdt= f(x(t), y(t))| t=bt=a= f(x(b), y(b)) − f(x(a), y(a))8.5 Forme differenziali lineari esatteDefinizione 8.5.1 Una forma differenziale ω = Xdx + Y dy (definita in un insieme aperto e di classe C 0 ) sidice esatta se esiste almeno una funzione F (di classe C 1 ) tale che dF = ω vale a dire se F x = X e F y = Y .Si dice anche che F è una primitiva di ω.Vediamo ora un particolare tipo di insieme che ci permette di stabilire alcune importanti proprietàper le forme differenziali, se definite su questi insiemi. Si tratta degli insiemi connessi.Definizione 8.5.2 Un insieme aperto A ⊂ R 2 si dice connesso se, qualunque siano i punti P e Q presi in A,esiste una linea poligonale che è contenuta tutta in A e che ha P e Q come estremi.Per funzioni definite su insiemi connessi vale questo Lemma.126

8.5. Forme differenziali lineari esatteLemma 8.5.1 Sia f una funzione di classe C 1 definita in un insieme aperto e connesso A di R 2 . Se, per ogni(x, y) ∈ A risulta f x (x, y) = f y (x, y) = 0, allora f è una funzione costante in A.Dimostrazione. Consideriamo due punti, P = (x, y) e P 0 = (x 0 , y 0 ) in A. Dalla definizionedi insieme connesso, sappiamo che esiste una linea poligonale che congiunge P e P 0 e che si trovaall’interno di A. Per semplicità supponiamo che la linea poligonale sia il segmento congiungente i duepunti. Allora, per il teorema di Lagrange, si haf(P ) = f(P 0 ) + f x (Q)(x − x 0 ) + f y (Q)(y − y 0 )con Q punto che non conosciamo, che si trova sul segmento congiungente P e P 0 . Poichè f x (Q) =f y (Q) = 0 (e questo qualunque sia il punto Q), si haf(P ) = f(P 0 )Possiamo variare il punto P , lasciando fisso P 0 ma avremo sempre lo stesso risultato, quindi lafunzione assume valore costante.Se, al posto di un segmento congiungente P e P 0 , abbiamo una linea spezzata, si ripete ilragionamento su ciascun segmento arrivando alla stessa conclusione. ✔Per le forme differenziali, vale il seguente lemma.Lemma 8.5.2 Se F e G sono primitive, di classe C 1 , definite in un insieme aperto e connesso, della stessa formadifferenziale lineare ω, allora differiscono per una costante.Dimostrazione. Poichè, per ipotesi, F e G sono primitive di ω = Xdx + Y dy, vuol dire cheF x = G x = X, F y = G y = Y . Consideriamo la funzione f = F − G. Questa funzione è definitain un insieme aperto e connesso (come la forma lineare) ed è di classe C 1 (essendolo F e G). Si haf x = F x − G x = X − X = 0 e f y = F y − G y = Y − Y = 0, e questo qualunque sia (x, y) presonell’insieme di definizione. Ma, allora, sono soddisfatte le ipotesi del lemma precedente e quindi f èuna funzione costante: f(x, y) = cost. Di conseguenza, F (x, y)−G(x, y) = cost, cioè F e G differisconoper una costante: F (x, y) = G(x, y) + cost. ✔Consideriamo ora i seguenti teoremi sulle forme differenziali lineari esatte.Teorema 8.5.1 Data ω = Xdx + Y dy una forma differenziale lineare, di classe C 0 e definita in un insiemeaperto e connesso, se F è una sua primitiva, allora ogni primitiva di ω è del tipo F + cost con cost una costante.Dimostrazione. Se F è una primitiva di ω, la funzione G = F + cost è anch’essa primitiva, inquanto G x = F x = X e G y = F y = Y (poichè la derivata di una costante rispetto a x e a y vale zero).Supponendo di conoscere un’altra primitiva di ω, G, poichè si ha sempre G x = X e G y = Y , per illemma precedente, si ha ancora che G e F differiscono per una costante, quindi G = F + cost. ✔L’insieme delle primitive di una forma differenziale lineare ω in un insieme aperto e connesso prendeil nome di integrale indefinito, propriò perchè, nota una primitiva, tutte le altre differiscono per unacostante.Teorema 8.5.2 Dato A ⊂ R 2 aperto e connesso e data una forma differenziale lineare ω di classe C 0 in A, leseguenti proposizioni sono equivalenti:1. ω è esatta.2. Se P 0 e P sono due punti qualunque in A e +γ 1 e +γ 2 sono due curve generalmente regolari orientatecontenute in A, che hanno entrambe come primo estremo P 0 e come secondo estremo P , allora∫ ∫ω = ω+γ 1 +γ 2vale a dire l’integrale curvilineo dipende solo dagli estremi P 0 e P e non dal cammino percorso.127

8. FORME DIFFERENZIALI3. Se γ è una qualunque curva generalmente regolare, chiusa e contenuta in A, allora∫ω = 0+γDimostrazione. Di questo teorema, dimostriamo che (1) ⇒ (2), (2) ⇒ (3) e (3) ⇒ (2).(1) ⇒ (2) Sia per ipotesi ω = Xdx + Y dy esatta. Siano dati due punti P 0 e P in A e sia +γuna curva generalmente regolare che ha P 0 come primo estremo e P come secondo estremo. In formaparametrica, le equazioni della curva +γ sianox = x(t) y = y(t) a ≤ t ≤ bQuindi (x(a), y(a)) = (x 0 , y 0 ) = P 0 , e (x(b), y(b)) = (x, y) = P .Sia F una primitiva di ω (esiste perchè ω è esatta: vuol dire che dF = ω, poichè F x = X e F y = Y .Ma allora per il teorema fondamentale del calcolo degli integrali (si veda teorema 8.4.1)∫ ∫ω = dF = F (P ) − F (P 0 )+γ+γL’integrale non dipende dalla particolare curva +γ ma solo dagli estremi della curva e dalla primitivaF . Perciò, date due curve +γ 1 e +γ 2 il risultato dell’integrale non cambia. La (2) è provata.(2) ⇒ (3) Sia +γ una curva generalmente regolare chiusa data da equazioni parametrichex = x(t) y = y(t) a ≤ t ≤ bSi fissi un punto t ′ interno all’intervallo [a, b] e si considerino le due curve che si ottengono da +γfacendo variare il parametro t in [a, t ′ ] e in [t ′ , b] in modo che +γ sia dato dall’unione di queste duecurve, che chiamiamo, rispettivamente +γ 1 e +γ 2 . La curva +γ 1 ha come primo estremo P 0 e comesecondo estremo il punto T = (x(t ′ ), y(t ′ ). La curva +γ 2 ha come primo estremo T e come secondoestremo P 0 (essendo la curva chiusa e quindi (x(a), y(a)) = (x(b), y(b))).La curva opposta a +γ 2 è la curva −γ 2 e ha, quindi, come primo estremo P 0 e come secondo estremoT .Dunque, le curve +γ 1 e −γ 2 hanno gli stessi estremi P 0 e T . Ora, per l’ipotesi (2) sappiamo che∫ ∫ω = ω+γ 1 −γ 2Ma sappiamo anche che∫ ∫ω = − ω−γ 2 +γ 2Quindi∫ ∫ω = −+γ 1+γ 2ωda cui∫ ∫ω + ω = 0+γ 1 +γ 2Torniamo all’integrale su tutta la curva +γ: poichè +γ = +γ 1 ∪ +γ 2 si ha∫ω =+γ∫ω ++γ 1∫ω+γ 2128

8.6. Le forme differenziali lineari chiuseMa la somma di questi due integrali vale zero, quindi∫ω = 0+γL’asserto è dunque provato.(3) ⇒ (2) Siano date due curve +γ 1 e +γ 2 due curve generalmente regolari che hanno gli stessiestremi P 0 e P . Allora la curva +γ 1 ∪ −γ 2 è una curva chiusa generalmente regolare. Per la (3) vale∫+γ 1∪−γ 2ω = 0Ma∫∫ ∫ω =+γ 1∪−γ 2ω ++γ 1−γ 2ωQuindi∫ ∫ω + ω = 0+γ 1 −γ 2da cui∫ ∫ω = −+γ 1∫ ∫ω =+γ 1−γ 2ω+γ 2ωAbbiamo verificato il punto (2).Per completare la dimostrazione del teorema, andrebbe dimostrato che (2) ⇒ (1).dimostrazione è abbastanza complicata, la tralasciamo. ✔Come corollario si haPoichè laProposizione 8.5.1 Sia A ⊂ R 2 un insieme aperto e connesso, e ω è una forma differenziale lineare di classeC 0 in A, con F primitiva. Allora, se +γ è una curva generalmente regolare e orientata contenuta in A, che hacome primo estremo P 0 e come secondo estremo P , si ha∫ω = F (P ) − F (P 0 )+γ✔Dimostrazione.Questo risultato lo abbiamo dimostrato al punto (1) ⇒ (2) del teorema precedente.8.6 Le forme differenziali lineari chiuseDefinizione 8.6.1 Una forma differenziale lineare ω = Xdx + Y dy di classe C 1 in A, insieme aperto di R 2 , sidice chiusa se per ogni punto P di A risulta∂X∂y = ∂Y∂xTeorema 8.6.1 Data ω = Xdx+Y dy una forma differenziale lineare di classe C 1 in un insieme aperto A ⊂ R 2 ,ω esatta =⇒ ω chiusa.129

8. FORME DIFFERENZIALIDimostrazione. Se ω è esatta, vuol dire che esiste una primitiva, F , tale che F x = X e F y = Y . Peripotesi ω è di classe C 1 , vale a dire X e Y sono continue, quindi F è di classe C 1 (poichè le sue derivateparziali coincidono con X e Y ). Inoltre si hae∂F 2∂x∂y = ∂X∂y∂F 2∂y∂x = ∂Y∂xPer il teorema di Schwartz, le derivate parziali miste di F coincidono,∂X∂y = ∂Y∂x∂F 2∂x∂y = ∂F 2, quindi si ha∂y∂xL’asserto è provato. ✔Osserviamo che il viceversa non vale sempre. Si possono avere forme differenziali chiuse che non sonoesatte.Per poter avere l’implicazione ω chiusa ⇒ ω esatta, la forma differenziale lineare deve essere definitain un insieme particolare. Introduciamo, perciò, la definizione di insieme semplicemente connesso.Definizione 8.6.2 Un sottoinsieme di R 2 , A aperto, si dice semplicemente connesso seG è connessoG ogni curva generalmente regolare, chiusa e semplice contenuta in A è la frontiera di un insieme limitatocontenuto in A.Dire che A è un insieme semplicemente connesso vuol dire che l’insieme è ”senza buchi“, in quantoogni curva chiusa e semplice, generalmente regolare, può essere deformata con continuità fino a ridursiad un singolo punto. Una corona circolare ha ”buchi“ e, infatti, non è semplicemente connesso.Il piano privato di un punto non è semplicemente connesso. L’interno di un cerchio è semplicementeconnesso. La circonferenza non è semplicemente connesso.Teorema 8.6.2 Sia ω una forma differenziale lineare di classe C 1 in A aperto e semplicemente connesso. Allorase ω è chiusa, ω è esatta.Dimostrazione.Di questo teorema omettiamo la dimostrazione. ✔130