บทที่ 4 last

4.1 ระบบพิกัดฉากในปริภูมิสามมิติ(Rectangular Coordinates System in Space)การบอกต าแหน่งของจุดในปริภูมิสามมิติต้องมีกรอบอ้างอิงที่แน่นอน ซึ่งเราจะใช้กรอบที่อ้างอิงเป็นเส้นตรงสามเส้นซึ้งตัดและตั้งฉากซึ่งกันและกันที่จุด O ซึ่งเราเรียกจุดนี้ว่า จุดก าเนิด และเรียกเส้นตรงสามเส้นนั้นว่า แกน X แกน Y และแกน Z ซึ่งเป็นแกนพิกัดฉาก แกนพิกัดฉากแต่ละคู่ประกอบกันเป็นระนาบเรียกว่าระนาบพิกัดฉากระนาบ XY คือ ระนาบที่ผ่านแกน X และ แกน Yระนาบ YZ คือ ระนาบที่ผ่านแกน Y และ แกน Zระนาบ XZ คือ ระนาบที่ผ่านแกน X และ แกน Z

ดังรูป

ให้ P เป็นจุดใดๆ ในปริภูมิสามมิติ เราลากเส้นจากจุด P ตั้งฉากกับระนาบพิกัดทั้งสามจะได้ดังรูป

ระยะทางระบุทิศทางจากระนาบ YZ และขนานกับ แกน Xเรียกว่า พิกัด X (X-coordinate) ของ P พิกัด Y และพิกัด Z คือระยะทางระบุทิศทางจากระนาบ XZ และ XY ไปยังจุด P ตามล าดับพิกัดทั้งสามของ P เขียนในรูปสามจ านวนจริงที่เป็นล าดับ (orderedtriple) ได้เป็น (X,Y,Z) ซึ่งเรียกว่า พิกัดฉาก (cartesian or rectangularcoordinates) ของ Pตัวอย่าง การเขียนกราฟในปริภูมิสามมิติแสดงต าแหน่งของจุด (3,2,4) , (4,-2,-5) และ (-2,5,3)

xyx(3,2,4)yz(4,-2,5)x(-2,5,3)yzz

ระบบพิกัดฉากในปริภูมิสามมิติแบ่งเป็น 2 กลุ่ม คือ ระบบพอกัดมือขวา (right-handed coordinate systems) ดังรูป ระบบพิกัดมือขวามีคุณสมบัติว่า เมื่อห่อมือขวา นิ้วมือจะกวาดจากแกน X ในทิศทางบวกไปหาแกน Y ในทิศทางบวก และนิ้วหัวแม่มือชี้ไปในทิศทางแกน Z ในทิศทางบวกและเรียกอีกระบบพิกัดที่ไม่ใช่ระบบพิกัดมือขวาว่าระบบพิกัดมือซ้ายโดยส่วนใหญ่แล้วจะใช้ระบบพิกัดมือขวาเท่านั้นทางซ้ายมือของรูปแสดงระบบพิกัดมือขวา และทางขวามือของรูปแสดงระบบพิกัดมือซ้าย

4.1.1 สูตรการหาระยะทางทฤษฎีบท ระยะทางไม่ระบุทิศทางของจุด P1 x1, y1,z1 และจุดP2 x2, y2,z2 คือ PP x x 2 y y 2 z z 21 2 2 1 2 1 2 1ตัวอย่าง จงหาระยะทางไม่ระบุทิศทางระหว่าง จุด2,5, 4วิธีท า จากสูตรQP 3,4, 1และจะได้ PQ 2 3 5 4 4 12 2 225 1935

ทฤษฎีบท จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงระหว่างจุด P x , y , z และจุด1 1 1 1P คือ2x2, y2,z x 1 x 2 1 2 1 22, y y y , zz x z2 2 2

4.2 เวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ(Vector in three dimensional Space)4.2.1 ความหมายของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติเวกเตอร์ คือ ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง โดยทั่วไปเราใช้ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมโยงระหว่างจุดสองจุด และมีหัวลูกศรก ากับแทนเวกเตอร์ ให้ความยาวของส่วนของเส้นตรงแทนขนาด และหัวลูกศรบอกทิศทางของเวกเตอร์นั้น เราจะให้สัญลักษณ์ PQ แทนส่วนของเส้นตรงที่มีทิศทางหรือเวกเตอร์ที่มีP เป็นจุดเริ่มต้น และ Q เป็นจุดสิ้นสุด มีทิศทางจากจุด P ไปยังจุด Q และใช้สัญลักษณ์ PQ แทนความยาวของ PQ หรือขนาดของ PQ นอกจากนี้เวกเตอร์สองเวกเตอร์จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน และมีทิศทางข้อตกลง ส าหรับจุดเขียนแทนOPPใดๆ ในปริภูมิสามมิติ เราจะใช้สัญลักษณ์P

บทนิยาม ให้ A = a 1 , a 2 , a 3 เป็นเวกเตอร์ใดๆในปริภูมิสามมิติเราจะเรียก a 1 , a 2 และ a 3 ว่า ส่วนประกอบ (component) ของ Aตามแกน X แกน Y แกน Z ตามล าดับ ดังรูปแสดงส่วนประกอบของ A

บทนิยาม เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบทุกตัวเป็นศูนย์เราจะเรียกว่า เวกเตอร์ศูนย์เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ O นั่นคือ O = 0,0,0ขนาดของเวกเตอร์ (magnitude) คือ ความยาวของตัวแทนของเวกเตอร์นั้น นั่นคือถ้า A = a 1 , a 2 , a 3 ขนาดของเวกเตอร์ A คือ‖ A ‖ = a 1 2 + a 2 2 + a 32บทนิยาม ให้ A = a 1 , a 2 , a 3 ที่ไม่เป็นเวกเตอร์ศูนย์ เป็นเวกเตอร์ที่ท ามุม α, β, γ กับแกน X แกน Y และแกน Z ตามล าดับในทิศทางบวกโดยที่α, β และ γ มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง π เราจะเรียก α, β และ γ ว่า มุมแสดงทิศทาง (direction angles) ของ A และเรียก cosα, cosβ และ cosγ ว่าโคไซด์แสดงทิศทาง (direction cosines) ของ A

ซึ่งจากรูป จะได้ว่าแสดง A ซึ่งมีมุมแสดงทิศทางเป็น α, β, γcosα = a 1‖ A ‖ , cosβ = a 2‖ A ‖ , cosγ = a 3‖ A ‖(4.2.1)

บทนิยาม ให้ m เป็นจ านวนจริงบวกใดๆเซตของจ านวนmcosα, mcosβ, mcosγ จะก าหนดทิศทางของ A ด้วย เซตนี้เรียกว่าจ านวนแสดงทิศทาง (direction numbers) ของ Aดังนั้น จากสมการ (4.2.1) เราจะได้ว่า A cosα = a 1 ,‖ A ‖cosβ = a 2 และ ‖ A ‖cosγ = a 3 จะได้ว่า a 1 , a 2 , a 3เป็นจ านวนแสดงทิศทางของเวกเตอร์ A

ทฤษฎีบท ถ้า cosα, cosβ, cosγ เป็นโคไซน์แสดงทิศทางและ a 1 , a 2 , a 3เป็นจ านวนแสดงทิศทางของเวกเตอร์ แล้วพิสูจน์cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = a 1 2‖A‖ 2 + a 2 2‖A‖ 2 + a 3 2= a 1 2 :a 2 2 :a 32‖A‖ 2= a 1 2 :a 2 2 :a 32= 1a 1 2 :a 2 2 :a 322‖A‖ 2

ตัวอย่าง จงหาขนาดและมุมแสดงทิศทางของ A = −1, 2, 1วิธีท าขนาดของ A คือ A = (−1) 2 +( 2) 2 + 1 2 = 4 = 2และจาก cos α = a 1= ;1‖A‖ 2cos β = a 2= 2‖A‖ 2cos γ = a 3= 1‖A‖ 2นั่นคือ α = 2π 3นั่นคือ β = π 4นั่นคือ γ = π 3ดังนั้นมุมแสดงทิศทางของ A คือ α = 2π 3 , β = π 4 และ γ = π 3

4.2.2 พีชคณิตเวกเตอร์บทนิยาม ให้ A = a 1 , a 2 , a 3 , B = b 1 , b 2 , b 3 และ k เป็นจ านวนจริงใดๆ(1) A = B ก็ต่อเมื่อ a 1 = b 1 , a 2 = b 2 และ a 3 = b 3(2) การบวกเวกเตอร์ A + B = a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , a 3 + b 3(3) การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ k A = ka 1 , ka 2 , ka 3บทนิยาม A − B = A +− B

ตัวอย่าง ให้ A = −4,7, −2 , B = 8, −5,4จงหา 3 A − 4 Bวิธีท า3 A − 4 B = 3 −4,7, −2 + −4 8, −5, −4= −12,21, −6 + −32,20,16= −44,41,10ทฤษฏีบท ถ้าให้ P 1 x 1 , y 1 , z 1 เป็นจุดเริ่มต้นและ P 2 x 2 , y 2 , z 2เป็นจุดปลายของเวกเตอร์ P 1 P 2 แล้วP 1 P 2 = x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1(4.2.2)

ตัวอย่าง ให้ P 1,3,5 , Q 2, −1,4 เป็นจุดในปริภูมิสามมิติ จงหา1. เวกเตอร์ PQ2. โคไซน์แสดงทิศทางของเวกเตอร์ PQ3. จ านวนแสดงทิศทางของเวกเตอร์ PQวิธีท า1. PQ = (2 − 1, −1 − 3,4 − 5)= 1, −4, −12. PQ = (1) 2 +(−4) 2 + −1 2 = 18ให้ PQ ท ามุม α, β, γ กับแกน X แกน Yและแกน Z ทางด้านบวกตามล าดับ เราจะได้ cos α = 1 183. เซตของจ านวนแสดงทิศทาง คือ 1, −4, −1, cos β =;418 , cos γ = 1 18

สมบัติของการบวกเวกเตอร์และการคูณด้วยสเกลาร์ มีดังนี้ให้ A , B , C และ c, k เป็นจ านวนจริงใดๆ จะได้ว่า1. A + B = B + A2. A + B + C = A + B + C3. A + 0 = A4. A + − A = 05. ck A = c k A = k c A6. c A + B = c A + c B7. c + k A = c A + k A8. 1 A = A9. 0 A = 0

1 10 40 ก ก กกก กกก กก กกก กกก ก ก กกก กก

ตัวอย่าง ให้ A 3,1, −2 และ B 2, −5,4 เป็นจุดในปริภูมิสามมิติจงหาเวกเตอร์หน่วยในทิศทางเดียวกับ ABวิธีท าAB = B − A = 2, −5,4 − 3,1, −2 = (−1, −6,6)AB = (−1) 2 +(−6) 2 + 6 2 = 73ดังนั้น เวกเตอร์หน่วยที่มีทิศทางเดียวกันกับ AB คือA= (;1,;6,6)‖A‖ 73= ;173 , ;673 , 673

เวกเตอร์ใดๆในปริภูมิสามมิติสามารถเขียนในพจน์ของการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์หน่วยพื้นฐานสามเวกเตอร์ (three basic unit vectors) ดังต่อไปนี้i = 1,0,0 , j = 0,1,0 , k = 0,0,1เวกเตอร์หน่วยทั้งสาม ท าให้เกิดฐานหลัก (basis) ส าหรับปริภูมิเวกเตอร์สามมิติถ้า A = a 1 , a 2 , a 3 เป็นเวกเตอร์ใดๆในปริภูมิสามมิติเราจะได้ว่า A = a 1 , a 2 , a 3= a 1 , 0,0 + 0, a 2 , 0 + 0,0, a 3= a 1 1,0,0 + a 2 0,1,0 + a 3 0,0,1= a 1 i + a 2 j + a 3 k

ดังรูปดังนั้นจากสมการ (4.2.2) เราสามารถเขียนเวกเตอร์ P 1 P 2 อีกแบบหนึ่งเป็นP 1 P 2 = x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1= x 2 − x 1 i + y 2 − y 1 j +z 2 − z 1 k (4.2.3)

ตัวอย่างเช่น2,1,5 = 2 i + j + 5 k3, −4,6 = 3 i − 4 j − 6 k8,0, −5 = 8 i − 5 k

ตัวอย่าง ให้ A 4,9,1 และ B −2,6,3 เป็นจุดในปริภูมิสามมิติ1. จงเขียนกราฟของเวกเตอร์ AB2. จงเขียนเวกเตอร์ AB ในรูป i , j , k3. จงเขียนกราฟของเวกเตอร์ CD ที่มีทิศทางเดียวกับ AB โดยที่จุด C 6,3, −2 และ ‖CD‖ = 5วิธีท า1. กราฟของ AB

2. เนื่องจากAB = −2 − 4 i + 6 − 9 j + 3 − 1 k= −6i − 3j + 2k3. เนื่องจาก CD มีทิศทางเดียวกับ AB ดังนั้นเวกเตอร์หน่วยก็มีทิศทางเดียวกันและขนาดเท่ากันกับดังนั้นCD= ABCD ABABABด้วยCD = 5( ;6i;3j:2k)7= ( ;30i;15j:10k)7= ( ;307 , ;157 , 10 7 )CDCD

จากจุด C = (6, −3,2) ให้จุด D = (x 2 , y 2 , z 2 )ดังนั้นจะได้x 2 − 6 = ;30; x 72 = ;30+ 6 = 12 7 7y 2 − 3 = ;15; x 72 = ;15+ 3 = 6 7 4z 2 + 2 = 10 ; x 72 = 10 − 2 = ;47ดังนั้นจะได้จุด D = ( 12 , 6 , ;4) กราฟของ CD แสดงในรูป7 477

4.2.4 ผลคูณเชิงสเกลาร์ (dot products)บทนิยาม ให้ A = a 1 , a 2 , a 3 และ B = b 1 , b 2 , b 3 เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ ผลคูณเชิงสเกลาร์ของ A และ B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A ⋅ B ซึ่งA ⋅ B = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3

สมบัติเกี่ยวกับผลคุณเชิงสเกลาร์ให้ A , B และ C เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ และ k เป็นจ านวนจริงใดๆจะได้ว่า1. A ⋅ B = B ⋅ A2. A ⋅ B + C = A ⋅ B + A ⋅ C3. k A ⋅ B = k A ⋅ B = A ⋅ k B4. A ⋅ A = ‖ A ‖ 2 ≥ 0 และ A ⋅ A = 0 ก็ต่อเมื่อ A = 0เท่านั้น5. ถ้า A ≠ 0 , B ≠ 0 และ θ เป็นมุมระหว่าง A กับ Bจะได้ว่า A ⋅ B = ‖ A ‖‖ B ‖cosθ เมื่อ 0 ≤ θ ≤ πในกรณีที่ θ = π เราจะกล่าวว่า A ตั้งฉากกับ B นั้นแสดงได้ว่า2A ⋅ B = 0 ก็ต่อเมื่อ A ตั้งฉากกับ B เท่านั้น

ตัวอย่าง ให้ A = 1, −2,3 , B = −3,4,2 และ C = 3,6,3จงพิจารณาว่าเวกเตอร์คู่ใดตั้งฉากกันวิธีท า เราจะใช้เหตุผลว่า X ตั้งฉากกับ Y ก็ต่อเมื่อ X ⋅ Y = 0เนื่องจาก A ⋅ B = 1, −2,3 ⋅ −3,4,2= −3 − 8 + 6 = −5เพราะฉะนั้น A ไม่ตั้งฉากกับ Bเนื่องจาก A ⋅ C = 1, −2,3 ⋅ 3,6,3= 3 − 12 + 9 = 0เพราะฉะนั้น A ตั้งฉากกับ Cเนื่องจาก B ⋅ C = −3,4,2 ⋅ 3,6,3= −9 + 24 + 6 = 21เพราะฉะนั้น B ไม่ตั้งฉากกับ C

4.2.5 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ (cross products)บทนิยาม ให้ A = a 1 , a 2 , a 3 และ B = b 1 , b 2 , b 3 เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ของ A และ B เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ A × Bซึ่ง A × B =จากนิยามจะได้ว่าi j ka 1 a 2 a 3b 1 b 2 b 3i j ka 1 a 2 a 3 = a 2 a 3b 2 bi − a 1 a 33 b 1 bj + a 1 a 23 b 1 bk2b 1 b 2 b 3= a 2 b 3 − a 3 b 2 i + a 3 b 1 − a 1 b 3 j+ a 1 b 2 − a 2 b 1 k= a 2 b 3 − a 3 b 2 , a 3 b 1 − a 1 b 3 , a 1 b 2 − a 2 b 1

สมบัติเกี่ยวกับผลคุณเชิงเวกเตอร์ให้ A , B และ C เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ และ k เป็นจ านวนจริงใดๆจะได้ว่า1. A × B = − B × A2. A × B + C = A × B + A × C3. k A × B = k A × B = A × k B4. A × B = 0 ก็ต่อเมื่อมี k เป็นจ านวนจริงใดๆ ที่ท าให้ A = k Bหรือ B = k A นั่นคือ A ขนานกับ B5. A ⋅ A × B = 0 และ B ⋅ A × B = 0 นั่นคือ A × Bตั้งฉากกับ A และ B

6. ‖ A × B ‖ = ‖ A ‖‖ B ‖sinθ ⋅ N เมื่อ θ เป็นมุมระหว่าง Aกับ B โดยที่ 0 ≤ θ ≤ π และ N เป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับA และ B มีทิศทางตามกฎมือขวา7. ‖ A × B ‖ =พื้นที่ของรูปสี่เหลี ่ยมด้านขนานที่มีด้านประชิดเป็น A กับ Bดังรูป

ตัวอย่าง ก าหนดให้ u = 1,2, −1 และ v = −3,1,2 จงหา1. u × v และ v × u2. เวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากต่อ u และ vวิธีท า1. u × v =i j k1 2 − 1−3 1 2= 4 + 1 i − 2 − 3 j + (1 + 6) k= 5 i + j + 7 kและเนื่องจากคุณสมบัติของการคูณเชิงเวกเตอร์ข้อ 1.จะได้ v × u = u × v= −5 i − j − 7 k

2. เนื่องจาก u × v ตั้งฉากกับ u และ v และu × v = 25 + 1 + 49 = 5 3ดังนั้นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับ u และ v คือv ×uu× v = 1 3 i + 15 3 j + 15 3 k

ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดมุมเป็น A 2,1, −1 , B 3,0,1และ C 1,3, −2 ดังรูปวิธีท าเนื่องจาก AB = B − A = 1, −1,2AC = C − A = −1,2, −1

ดังนั้นi j kAB × AC = 1 − 1 2−1 2 − 1= −1 22 − 1 i − 1 2−1 − 1 j + 1 − 1−1 2k= 1 − 4 i − −1 + 2 j + 2 − 1 k= −3 i − j + kและเนื่องจาก ΔABC = 1 2 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประชิดเป็นAB และ AC ดังนั้นพื้นที่ของ ΔABC = 1 2‖AB × AC‖= ;3 2 : ;1 2 :1 22= 112 ตารางหน่วย

4.2.6 ผลคูณเชิงสเกลาร์ของสามเวกเตอร์บทนิยามให้ A , B และ C เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติผลคูณเชิงสเกลาร์ของสามเวกเตอร์ A , B และ C คือ A ⋅B × Cถ้า A = a 1 , a 2 , a 3 , B = b 1 , b 2 , b 3 และ C = c 1 , c 2 , c 3แล้วA ⋅ B × C =a 1 a 2 a 3b 1 b 2 b 3c 1 c 2 c 3ในทางเรขาคณิต เราพบว่าค่าของ | A ⋅ B × C | เท่ากับปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนานซึ่งมีด้านประชิดเป็น A , B และ C ดังรูป

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน = พื้นที่ฐาน×สูง= ‖ B × C ‖h= ‖ B × C ‖‖ A ‖|cosθ|= | B × C ⋅ A |= | A ⋅ B × C |

ตัวอย่าง ให้ A = 2 i − 3 j , B = i + j − k และC = 3 i − k จงหาปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีด้านประชิดเป็น A , B และ Cวิธีท า

4.3 เส้นตรง(Line)ให้ P 1 เป็นจุดในปริภูมิสามมิติและ A 1 ≠ 0 เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติเราจะเรียกเซตของจุด P ใดๆ ซึ่งท าให้ P 1 P ขนานกับA ว่าเส้นตรงที่ผ่านจุด P 1และขนานกับ A และเรียก A ว่าเวกเตอร์แสดงทิศทางของเส้นตรง ดังรูปแสดงเส้นตรงผ่านจุด P 1 และขนานกับ A

จากรูป เราสามารถหาสมการเส้นตรง L ซึ่งผ่านจุด P 1 x 1 , y 1 , z 1 และมีA a, b, c เป็นเวกเตอร์แสดงทิศทาง และให้ P x, y, z เป็นจุดใดๆบนเส้นตรง L ดังนั้น P 1 P ขนานกับ A นั่นคือจะมี t ที่เป็นจ านวนจริงใดๆที่ท าให้P 1 P = t AP − P 1 = t Ax, y, z − x 1 , y 1 , z 1 = t a, b, cx, y, z = x(4.3.1)1 , y 1 , z 1 + t a, b, cเราจะเรียกสมการ (4.3.1) ว่า สมการเวกเตอร์ของเส้นตรง L และจากสมการ(4.3.1) เราสามารถแยกเขียนสมการส าหรับแต่ละส่วนประกอบได้เป็น(4.3.2)x = x 1 + ta, y = y 1 + tb, z = z 1 + tcซึ่งเราเรียกสมการเหล่านี้ว่า สมการอิงตัวแปรเสริม (parametric equation)ของเส้นตรง L จากสมการ (4.3.2) ส าหรับค่า a, b, c ถ้าไม่มีค่าใดเป็นศูนย์เลยเราจะได้ว่า

นั่นคือt = x − x 1a, t = y − y 1b, t = z − z 1cx − x 1a= y − y 1b= z − z 1c(4.3.3)เราจะเรียกสมการ (4.3.3) ว่า สมการสมมาตร (symmetric equations) ของเส้นตรง L ที่ผ่านจุด P 1 x 1 , y 1 , z 1 และขนานกับเวกเตอร์A = a, b, c หรือมี a, b, c เป็นจ านวนแสดงทิศทางถ้ามีค่าใดค่าหนึ่งของ a, b, c เป็นศูนย์ เช่น a = 0 จากสมการ(4.3.3) เราจะเขียนสมการสมมาตรของเส้นตรง L ได้เป็นx = x 1 , y;y 1b, z;z 1c

ถ้ามีสองค่าของ a, b, c เป็นศูนย์ แสดงว่าเส้นตรง L อยู่ในระนาบที่ขนานกันกับระนาบพิกัด อย่างเช่น ถ้า a = b = 0 เขียนสมการสมมาตรของเส้นตรง L ได้เป็น x = x 1 , y = y 1 และ z = z 1 + tc ซึ่งเป็นเส้นตรงเกิดจากระนาบ x = x 1 ตัดกับระนาบ y = y 1 ซึ่งจะขนานกับแกน z

ตัวอย่าง จงหาสมการเวกเตอร์ สมการอิงตัวแปรเสริม และสมการสมมาตรของเส้นตรงที่ผ่านจุด P 1 2, −1,1 และขนานกับ A = 2, −3,4วิธีท า

ตัวอย่าง ให้เส้นตรงผ่านจุด A 3,2, −1 และ B 4,4,61. จงหาสมการแบบสมมาตรและสมการอิงตัวแปรเสริมของเส้นตรง2. จงหาจุดอื่นอีกสองจุดบนเส้นตรงนี้3. จงหาจุดที่เส้นตรงตัดระนาบพิกัดทั้งสามวิธีท า(1) ให้ P x, y, z เป็นจุดใดๆบนเส้นตรงนี้เนื่องจากจุด A และจุด B อยู่บนเส้นตรง ดังนั้น AB เป็นเวกเตอร์แสดงทิศทางของเส้นตรงนี้ และ AB = B − A = 4,4,6 − 3,2, −1= 1,2,7สมการเวกเตอร์ของเส้นตรงผ่านจุด A 3,2, −1 และ B 4,4,6คือP = A + tABนั่นคือ x, y, z = 3,2, −1 + t 1,2,7เมื่อ t เป็นจ านวนจริงใดๆ

จะได้สมการอิงตัวแปรเสริมของเส้นตรง คือx = 3 + t, y = 2 + 2t, z = −1 + 7tและจะได้สมการสมมาตรx;3= y;2= z:11 2 7(2) หาจุดอื่นๆ บนเส้นตรงได้จากการเปลี่ยนค่า t ที่ไม่ใช่ 0 และ 1จากสมการ x = 3 + t, y = 2 + 2t, z = −1 + 7tให้ t = 2 จะได้ x = 5, y = 6, z = 13ให้ t = −1 จะได้ x = 2, y = 0, z = −8(3) หาจุดตัดของเส้นตรงกับระนาบพิกัดได้จากสมการx;3= y;2= z:11 2 7

ดังนี้1. บนระนาบ xy ให้ z = 0 จะได้ x;3= y;2= 0:11 2 7หรือจะได้ x = 3 + 1 = 22 และ y = 2 + 2 = 16 7 7 7 72. บนระนาบ yz ให้ x = 0 จะได้ 0;3= y;2= z:11 2 7หรือจะได้ y = −4, z = −223. บนระนาบ zx ให้ y = 0 จะได้ x;3= 0;2= z:11 2 7หรือจะได้ x = 2, z = −8

หมายเหตุจากสมการเส้นตรงในตัวอย่าง x = 3 + t, y = 2 + 2t, z = −1 + 7tหรือ x = 3 + t, y = 2 + 2t, z = −1 + 7tเราใช้จุด A 3,2, −1 เป็นจุดผ่าน แต่ถ้าใช้จุด B 4,4,6 เป็นจุดผ่านจะได้ x = 4 + t, y = 4 + 2t, z = 6 + 7tx;4= y;4= z;61 2หรือเป็นสมการของเส้นตรงเดียวกัน7เราใช้ 1,2,7 เป็นจ านวนแสดงทิศทางของเส้นตรงเราสามารถใช้เซต m, 2m, 7m เป็นจ านวนแสดงทิศทางของเส้นตรงนี้ได้เหมือนกันอย่างเช่น −1, −2, −7 ซึ่งได้จากBA = A − B = 3,2, −1 − 4,4,6 = −1, −2, −7สรุป เส้นตรงสองเส้นจะขนานกัน ก็ต่อเมื่อ เวกเตอร์แสดงทิศทางของเส้นตรงทั้งสองขนานกัน

ตัวอย่าง จงแสดงว่าสมการx;1วิธีท า= y;2= z;41 2 3เป็นสมการของเส้นตรงเดียวกันx;2และ = y;4= z;72 ;4 ;6

4.4 ระนาบในปริภูมิสามมิติ (Planes)บทนิยาม ให้ P 1 เป็นจุดๆหนึ่งในปริภูมิสามมิติ และ N ≠ 0 เป็นเวกเตอร์หนึ่งในปริภูมิสามมิติ เราจะเรียกเซตของจุด P ใดๆ ซึ่งท าให้ P 1 Pตั้งฉากกับ N ว่า ระนาบที่ผ่านจุด P 1 และตั้งฉากกับเวกเตอร์ N และเรียก N ว่า เวกเตอร์แนวฉากของระนาบ (normal vector) ดังรูป

ต่อไปเราจะหาสมการของระนาบซึ่งมี P 1 x 1 , y 1 , z 1 เป็นจุดบนระนาบ และมี N = a i + b j + c k เป็นเวกเตอร์แนวฉาก ให้P x, y, z เป็นจุดใดๆบนระนาบ ดังนั้น P 1 P ตั้งฉากกับ N นั่นคือN ⋅ P 1 P = 0หรือ a, b, c ⋅ x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 = 0 หรือa x − x 1 + b y − y 1 + c z − z 1 = 0(4.4.1)เราเรียกสมการ (4.4.1) ว่าสมการของระนาบที่ผ่านจุด P 1 x 1 , y 1 , z 1 และมี N เป็นเวกเตอร์แนวฉาก เราอาจเขียนสมการของระนาบได้ใหม่เป็นเมื่อ d = ax 1 + by 1 + cz 1ax + by + cz + d = 0(4.4.2)

ข้อสังเกต สัมประสิทธิ์ของ x, y, z ในสมการ (4.4.2) คือ ส่วนประกอบของเวกเตอร์แนวฉากของระนาบตัวอย่าง จงหาสมการของระนาบที่ผ่านจุด P 1 2, −1, −3 และมีเวกเตอร์แนวฉาก N = 2, −3,4วิธีท า

ตัวอย่าง จงหาสมการของระนาบที่ผ่านจุด P 0 1,2,3 , P 1 2, −1,1และ P 2 0,1,2วิธีท า ให้ P x, y, z เป็นจุดใดๆ บนระนาบเนื่องจาก P 0 , P 1 , P 2 อยู่บนระนาบ ดังนั้น P 0 P 1 และ P 0 P 2 ตั้งฉากกับเวกเตอร์แนวฉากของระนาบและจากคุณสมบัติผลคูณเชิงเวกเตอร์จะได้ว่าP 0 P 1 × P 0 P 2 ตั้งฉากกับ P 0 P 1 และ P 0 P 2 แสดงว่า P 0 P 1 × P 0 P 2ขนานกับเวกเตอร์แนวฉากของระนาบดังนั้นเราจะได้ว่า N = P 0 P 1 × P 0 P 2 เป็นเวกเตอร์แนวฉากเวกเตอร์หนึ่งของระนาบN = P 0 P 1 × P 0 P 2= 1, −3,2 × −1, −1, −1i j k= 1 − 3 − 2−1 − 1 − 1= i + 3 j − 4 k

ดังนั้น ระนาบที่ต้องการผ่านจุด P 0 1,2,3 และมีเวกเตอร์แนวฉากN = 1,3, −4จะมีสมการเป็น x − 1 + 3 y − 2 − 4 z − 3 = 0หรือ x + 3y − 4z = 7ในกรณีที่เราก าหนดเงื่อนไขอย่างอื่น เราสามารถหาสมการระนาบได้โดยพิจารณาจุดที่ระนาบผ่านหนึ่งจุดและเวกเตอร์แนวฉากของระนาบ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง จงหาสมการของระนาบที่ผ่านจุด 2,1,3 และตั้งฉากกับเส้นตรง Lเมื่อ L = x;3= y;1= z:2;5 6 ;2วิธีท า

4.5 กราฟในพิกัดฉากสามมิติกราฟใน 2 มิติของสมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร x และ y จะเป็นเส้นโค้งที่ประกอบด้วยเซตของจุด( xy , ) ที่สอดคล้องสมการนั้น ท านองเดียวกันกราฟใน 3 มิติของสมการที่แสดงความสัมพันธ์ของตัวแปร xy , และ z จะประกอบด้วยเซตของจุด ( x, y, z)ที่สออดคล้องกับสมการ และกราฟนั้นเป็นพื้นผิวใน 3 มิติพื้นผิวใน 3 มิติ ที่น ามาใช้ในวิชาคณิตศาสตร์อยู่เสมอได้แก่ ทรงกลมระนาบใน 3 มิติพื้นผิวทรงกระบอกพื้นผิวก าลังสอง

และรัศมีสมการมาตรฐานของทรงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่rคือเมื่อก าหนด G,H,I,J เป็นตัวคงค่า จะได้สมการทั่วไปของทรงกลมคือกราฟของทรงกลมคือ( x( x x x) ) ( y( y y y) ) ( z ( z z z)) rr2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 02 2 2x y z Gx Hy Iz J 0( x0, y0, z0)

ใน 3 มิติ คือถ้าก าหนด a, b, c,d เป็นตัวคงค่า สมการทั่วไปของระนาบถ้าตัวคงค่าa, b, c,dax by cz dสมการ ( * ) เป็นระนาบที่ตัดแกนพิกัดทั้งสาม( * )แต่ละตัวไม่เป็นศูนย์แล้ว กราฟของd ,0,0 a แทนค่า y z 0 จะได้จุดตัดแกน X ที่แทนค่า จะได้จุดตัดแกน Y ที่x z 0แทนค่า xy 0จะได้จุดตัดแกน Z ที่d0, ,0b0,0, d c

ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของพื้นผิววิธีท าz x 2y 2แทนค่า จะได้จุดตัดแกน X ที่yz0แทนค่า xz 0จะได้จุดตัดแกน Y ที่(0,0,2)(0, 1,0)แทนค่าxy0จะได้จุดตัดแกน Z ที่( 2,0,0)เขียนกราฟได้ดังรูปzyx

ตัวอย่างวิธีท าจงเขียนกราฟใน 3 มิติของสมการใน 2 มิติxy1ใน 3 มิติyz(0,1)0(1,0)xx(1,0,0)(0,1,0)y

ตัวอย่างวิธีท าจงเขียนกราฟใน 3 มิติของสมการใน 2 มิติxy 1ใน 3 มิติyX=2z02xyx(2,0,0)

ก าหนด a เป็นตัวคงค่า พิจารณาสมการที่อยู่ในรูปx y a2 2 2x z a2 2 2y z a2 2 2ข้อสังเกต แต่ละสมการ ไม่ปรากฏตัวแปรหนึ่งตัวถ้าพิจารณาใน 3 มิติ ค่าของตัวแปรที่ไม่ปรากฏในสมการย่อมเป็นค่าใดๆ ก็ได้ ดังนั้นกราฟใน 3 มิติ จึงขึ้นอยู่กับตัวแปรที่ปรากฏในสมการ ในกรณีนี้เป็นทรงกระบอกกลมที่มีแกนของทรงกระบอกขนานกับแกนของตัวแปรที่ชาดไป

ตัวอย่างวิธีท าจงเขียนกราฟใน 3 มิติของสมการใน 2 มิติxz2 21ใน 3 มิติ

ตัวอย่างวิธีท าจงเขียนกราฟใน 3 มิติของสมการใน 2 มิติyx2ใน 3 มิติ

กราฟของสมการ2 2 2Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0เป็นผิวก าลังสองทรงรี (The ellipsoid)x y za b c2 2 2 12 2 2วิธีการเขียนกราฟของทรงรี เริ่มจากเขียนกราฟของรอยตัดบนระนาบพิกัดทั้งสามแล้วจึงเขียนกราฟรวมทั้งหมด

รอยตัดบนระนาบxyเป็นวงรี2 2x y 1, z 02 2a bรอยตัดบนระนาบyzเป็นวงรี2 2y z 1, x 02 2b c

รอยตัดบนระนาบxzเป็นวงรี2 2x z 1, y 02 2a cเขียนกราฟรวมทั้งหมดได้ดังรูปต่อไปนี้

ทรงไฮเพอร์โบลาเชิงวงรีx y za b c2 2 2 12 2 2พิจารณารอยตัดบนระนาบพิกัดทั้งสามรอยตัดบนระนาบxyเป็นวงรี2 2x y 1, z 02 2a b

รอยตัดบนระนาบyzเป็นวงรี2 2y z 1, x 02 2b cรอยตัดบนระนาบxzเป็นวงรี2 2x z 1, y 02 2a c

เขียนกราฟรวมทั้งหมด ได้ดังรูปต่อไปนี้

ตัวอย่าง จงเขียนกราฟของสมการวิธีท าจัดสมการได้ใหม่เป็น2 2 24x y 25z1002 2 2x y z 125 100 42y2z100 42x2y25 1002x2z25 4รอยตัดบนระนาบ yz, x 0 ได้ 1 เป็นไฮเพอร์โบลารอยตัดบนระนาบ xy, z 0 ได้ 1เป็นไฮเพอร์โบลารอยตัดบนระนาบ xz, y 0 ได้ 1เป็นวงรีจะได้กราฟทรงไฮเพอร์โบลาเชิงวงรี ชิ้นเดียว

ทรงพาราโบลาเชิงวงรีx 2 y 2z , c 02 2a b cรอยตัดบนระนาบ xy, z 0 จะได้สมการ เป็นจุดรอยตัดบนระนาบz k, k 0เป็นวงรี2 2x y02 2a bx 2 2 y k , kc 02 2a b c

รอยตัดบนระนาบyz, x 0เป็นพาราโบลาyb22zcรอยตัดบนระนาบxz, y 0เป็นพาราโบลาxa22zc

เขียนกราฟรวมทั้งหมด ได้ดังรูปต่อไปนี้

ตัวอย่างวิธีท าจงเขียนกราฟของสมการ2 2x y 1 z25 9รอยตัดบนระนาบ yz, x 0 ได้ 1zเป็นไฮเพอร์โบลารอยตัดบนระนาบ xz, y 0 ได้ 1zเป็นไฮเพอร์โบลารอยตัดบนระนาบ xy, z 0 ได้ 1เป็นวงรีจะได้กราฟพาราโบลาเชิงวงรี2y92x25x y25 92 2

กรวยทรงวงรีx y za b c2 2 2 02 2 2รอยตัดบนระนาบ xy, z 0 จะได้สมการ เป็นจุดรอยตัดบนระนาบz kเป็นวงรี2 2x y02 2a b2 2 2x y k , zk2 2 2a b c

รอยตัดบนระนาบyz, x 0เป็นเส้นตรง 2 เส้น2 2y z 0, x 02 2b cรอยตัดบนระนาบxz, y 0เป็นเส้นตรง 2 เส้น2 2x z 0, y 02 2a c

เขียนกราฟรวมทั้งหมด ได้ดังรูปต่อไปนี้

ตัวอย่าง2 2 2จงเขียนกราฟของสมการ 4x y 25z 0วิธีท ารอยตัดบนระนาบ x 0 เป็นเส้นตรงคู่2y2 25zหรือ2รอยตัดบนระนาบ z 0 เป็นเส้นตรงคู่ 4x2 y หรือyy5z2xรอยตัดบนระนาบy 0เป็นจุดก าเนิดรอยตัดบนระนาบ y kเช่น y 10ได้วงรี2 24x25z100จะได้กรวยเชิงวงรี