Экономико-математические методы и модели - Библиотека ...

n∑a ij x j = a i0 (i = 1, m), (2.12)j=1x j ≥ 0 (j = 1, n). (2.13)Множество K планов задачи (2.11) – (2.13) является выпуклым, т.е.если ¯x 1 и ¯x 2 – планы задачи, то их выпуклая линейная комбинация¯x = λ¯x 1 + (1 − λ)¯x 2 , где 0 ≤ λ ≤ 1, также является планом задачи.Так как это множество определяется конечной совокупностью линейныхограничений (2.12) и (2.13), его граница состоит из кусков несколькихгиперплоскостей. Множество K может быть либо пустым множеством,либо выпуклым многогранником, либо выпуклой многогранной областью,уходящей в бесконечность. Важное значение имеет приведеннаяниже теорема.Теорема 2.1. Линейная функция (2.11) задачи (2.11) – (2.12) достигаетмаксимального значения в вершине многогранника планов. Еслилинейная функция принимает максимальное значение более чем в однойвершине, то она достигает такого же значения в любой точке, являющейсявыпуклой линейной комбинацией этих вершин.Чтобы выразить аналитически утверждение второй части теоремы2.1, обозначим через ¯x ∗ 1, . . . , ¯x ∗ t вершины, в которых f достигает максимальногозначения. Тогда любую точку ¯x ∗ , в которой f достигает такогоже значения, можно представить в виде ¯x ∗ = λ 1¯x ∗ 1+. . .+λ t¯x ∗ t , где λ k ≥ 035