Экономико-математические методы и модели - Библиотека ...

Теорема 26.5. Пусть A ≥ 0, r i – сумма i-й строки, c j – сумма j-гостолбца. Тогдаmin r i ≤ λ A ≤ max r i , (26.1)min c j ≤ λ A ≤ max c j . (26.2)◭ Выберем правый вектор Фробениуса x A для матрицы A так, чтобывыполнялось равенство ∑ x i = 1. Тогдаλ A = λ A · ∑ (x A ) i= ∑ (λ A · x A ) i= ∑ · ∑ A ij · (x A ) i== ∑ j(x A ) j · ∑A ij = ∑ij(x A ) j · c jоткуда, в силу ∑ j(x A ) j= 1, немедленно получаем (26.2). Для получения(26.1) аналогичным образом надо использовать левый вектор Фробениуса.◮Следствие 26.2. Если у положительной матрицы сумма по каждомустолбцу меньше единицы, то эта матрица – продуктивная.Таким образом, матрица прямых производственных затрат МОБ, рассчитаннаядля баланса в стоимостной форме, является продуктивной.336