Экономико-математические методы и модели - Библиотека ...

Доказанная теорема сводит проверку продуктивности матрицы к нахождениюее числа Фробениуса, т.е. наибольшего по модулю собственногозначения. Если матрица A имеет большие размеры, то эта задачаможет оказаться не очень легкой (собственно, как и нахождение обратнойматрицы для (E − A)).Имеются достаточные условия продуктивности, которые позволяютсильно упростить такую проверку.Теорема 26.4. Если в модели Леонтьева с матрицей A можно удовлетворитьнекоторый строго положительный спрос Y 0 > 0, то A —продуктивная матрица.◭ По условию теоремы существует вектор X 0 ≥ 0, такой чтоX 0 − AX 0 = Y 0 > 0. Аналогично доказательству предыдущей теоремы,для левого вектора Фробениуса l A получаем:(l A ) T · Y 0 = (l A ) T · (X 0 − AX 0 ) = (1 − λ A ) · (l A ) T · X 0 .Поскольку l A ≥ 0, X 0 ≥ 0 и Y 0 > 0, то (l A ) T · Y 0 > 0, (l A ) T · X 0 ≥ 0.В результате получаем, что (1 − λ A ) > 0, или λ A < 1, что и доказываетпродуктивность матрицы A. ◮Существует еще один способ оценить величину числа Фробениусанеотрицательной матрицы.335