Экономико-математические методы и модели - Библиотека ...

◭ Необходимость. Пусть матрица A продуктивна и ее правый илевый векторы Фробениуса равны, соответственно, x AT и l A . По критериюпродуктивности у системы уравнений X − AX = l A существуетнеотрицательное решение X 1 ≥ 0.Тогда0 < |l A | 2 = (l A ) T l A = (l A ) T (X 1 − AX 1 ) = (l A ) T X 1 − (l A ) T · AX 1 == (l A ) T X 1 − ( A T · l A) T·X1 = (l A ) T X 1 −(λ A · l A ) T ·X 1 = (1 − λ A ) (l A ) T ·X 1 .Векторы l A и X 1 неотрицательны, поэтому (l A ) T · X 1 ≥ 0. Следовательно,(1 − λ A ) > 0, т.е. λ A < 1.Достаточность. Если λ A < 1, то для всех собственных значений λматрицы A справедливо неравенство λ < 1. ◮Лемма 26.1. Следующие свойства эквивалентны:1) все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы;2) при k → ∞ выполняется условие A k → 0.◭ Если матрица A неотрицательна и выполняется любое из указанныхусловий, то ряд E +A+A 2 +...+A k +... сходится к неотрицательнойматрице B.Поскольку суммой ряда E + A + A 2 + ... + A k + ... является матрицаB = (E − A) −1 , то у матрицы (E − A) существует обратная матрица,являющаяся неотрицательной. Согласно критерию, это доказываетпродуктивность матрицы A. ◮334