Экономико-математические методы и модели - Библиотека ...
Share Embed Flag
Download ePaper

Экономико-математические методы и модели - Библиотека ...

Экономико-математические методы и модели - Библиотека ... Экономико-математические методы и модели - Библиотека ...

brsu.by
12.07.2015 Views

спрос может быть удовлетворен (т.е. для него найдется соответствующийплан валового выпуска).Следующая теорема показывает, что продуктивность матрицы A непосредственносвязана с обратимостью матрицы (E − A).Теорема 26.1. (критерий продуктивности) Неотрицательная матрицаA продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E − A) обратима,причем обратная матрица B = (E − A) −1 неотрицательна.◭ 1) Пусть существует матрица B = (E − A) −1 ≥ 0. Тогда для каждогоY ≥ 0 вектор X = BY — неотрицателен как произведение неотрицательныхматриц и является искомым решением уравненияX − AX = Y . Это и означает продуктивность матрицы A.2) Пусть матрица A продуктивна. Обозначим через Y k вектор, все координатыкоторого равны нулю, за исключением k-й, равной единице.Поскольку для всех k вектор Y k неотрицателен, то по определению продуктивностинайдется вектор X k ≥ 0, такой что (E − A)X k = Y k . Пустьматрица B такова, что для всех k ее k-м столбцом является вектор X k .Тогда по правилам умножения матриц произведение (E − A)B будетматрицей, составленной из векторов-столбцов Y k , т.е. единичной матрицей.Таким образом, матрица B является обратной к матрице (E − A),причем все ее столбцы неотрицательны. ◮Следствие 26.1. Если матрица A продуктивна, то система неравенствX − AX ≥ 0 имеет только неотрицательные решения.332

Следующая теорема играет важную роль в математической экономике.В частности, она оказывается полезной и при исследовании продуктивностиматриц.Теорема 26.2. (Фробениус, Перрон) Пусть A — произвольная неотрицательнаяматрица. Тогда существует собственное значение λ A матрицыA, такое, что для всех собственных значений λ матрицы A выполняетсянеравенство |λ| ≤ λ A . Кроме того, существует неотрицательныйсобственный вектор x A матрицы A, соответствующий значению λ A .Замечание 26.1. Известно, что набор собственных значений у матрицA и A T одинаков, к тому же условие A ≥ 0 равносильно условиюA T ≥ 0. Следовательно, λ AT = λ A . Соответствующий вектор x AT обозначимчерез l A .Определение 26.3. Число λ A называется числом Фробениуса матрицыA.Векторы x A и l A называются, соответственно, правым и левым векторомФробениуса матрицы A.Понятие числа Фробениуса позволяет кратко сформулировать условиепродуктивности матрицы МОБ.Теорема 26.3. Модель Леонтьева с матрицей A продуктивна тогдаи только тогда, когда λ A < 1.333

Следующая теорема играет важную роль в математической экономике.В частности, она оказывается полезной и при исследовании продуктивностиматриц.Теорема 26.2. (Фробениус, Перрон) Пусть A — произвольная неотрицательнаяматрица. Тогда существует собственное значение λ A матрицыA, такое, что для всех собственных значений λ матрицы A выполняетсянеравенство |λ| ≤ λ A . Кроме того, существует неотрицательныйсобственный вектор x A матрицы A, соответствующий значению λ A .Замечание 26.1. Известно, что набор собственных значений у матрицA и A T одинаков, к тому же условие A ≥ 0 равносильно условиюA T ≥ 0. Следовательно, λ AT = λ A . Соответствующий вектор x AT обозначимчерез l A .Определение 26.3. Число λ A называется числом Фробениуса матрицыA.Векторы x A и l A называются, соответственно, правым и левым векторомФробениуса матрицы A.Понятие числа Фробениуса позволяет кратко сформулировать условиепродуктивности матрицы МОБ.Теорема 26.3. Модель Леонтьева с матрицей A продуктивна тогдаи только тогда, когда λ A < 1.333

logo

Prodotti

Risorse

Aziende

Terms of service
Privacy policy
Cookie policy
Cookie settings
Imprint
Change language
Made with love in Switzerland
© 2024 Yumpu.com all rights reserved

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!