Экономико-математические методы и модели - Библиотека ...

спрос может быть удовлетворен (т.е. для него найдется соответствующийплан валового выпуска).Следующая теорема показывает, что продуктивность матрицы A непосредственносвязана с обратимостью матрицы (E − A).Теорема 26.1. (критерий продуктивности) Неотрицательная матрицаA продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E − A) обратима,причем обратная матрица B = (E − A) −1 неотрицательна.◭ 1) Пусть существует матрица B = (E − A) −1 ≥ 0. Тогда для каждогоY ≥ 0 вектор X = BY — неотрицателен как произведение неотрицательныхматриц и является искомым решением уравненияX − AX = Y . Это и означает продуктивность матрицы A.2) Пусть матрица A продуктивна. Обозначим через Y k вектор, все координатыкоторого равны нулю, за исключением k-й, равной единице.Поскольку для всех k вектор Y k неотрицателен, то по определению продуктивностинайдется вектор X k ≥ 0, такой что (E − A)X k = Y k . Пустьматрица B такова, что для всех k ее k-м столбцом является вектор X k .Тогда по правилам умножения матриц произведение (E − A)B будетматрицей, составленной из векторов-столбцов Y k , т.е. единичной матрицей.Таким образом, матрица B является обратной к матрице (E − A),причем все ее столбцы неотрицательны. ◮Следствие 26.1. Если матрица A продуктивна, то система неравенствX − AX ≥ 0 имеет только неотрицательные решения.332