Экономико-математические методы и модели - Библиотека ...

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ«Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина»Экономико-математические методы имоделиЭлектронный учебно-методический комплексдля студентов юридического факультетаБрестБрГУ имени А.С. Пушкина20111

Авторы:Марзан Сергей Андреевич — доцент кафедры высшейматематики БрГУ имени А.С. ПушкинаСендер Александр Николаевич — заведующий кафедройматематического моделирования БрГУ имени А.С. ПушкинаРедактор:Сендер Николай Никитич — заведующий кафедройвысшей математики БрГУ имени А.С. ПушкинаРецензенты:Савчук В.Ф. (содержательная экспертиза) — заведующийкафедрой информатики и прикладной математикиБрГУ имени А.С. ПушкинаКозинский А.А. (программно-техническая экспертиза) — доценткафедры информатики и прикладной математикиБрГУ имени А.С. ПушкинаПредлагаемое учебно-методическое издание направлено на самостоятельное изучениеэкономико-математических методов и моделей. В нем представлены основные разделыэкономико-математических методов и моделей. Упор сделан на изложении теоретических ипрактических аспектов алгоритмов решения экстремальных задач с описанием экономическойинтерпретации полученного решения. Использование данного учебно-методическогоиздания, позволит студентам самостоятельно изучать экономико-математические методы имодели, а также овладеть теоретическими знаниями и практическими навыками их решения.Учебно-методическое пособие предназначено для студентов юридического факультетаспециальностей «Бизнес администрирование» и «Государственное управление и экономика».2

СОДЕРЖАНИЕПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Примерный тематический план специальности «Бизнесадминистрирование». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Примерный тематический план специальности «Государственноеуправление и экономика» . . . . . . . . . . . . . 17ЛЕКЦИЯ 1 Основные понятия математического моделированиясоциально-экономических систем. Этапы и методымоделирования 191.1 Социально-экономические системы, методы их исследованияи моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2 Этапы экономико-математического моделирования . . . . . 201.3 Классификация экономико-математических методов и моделей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25ЛЕКЦИЯ 2 Линейное программирование 262.1 Основные понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36ЛЕКЦИЯ 3 Графический метод решения задач линейногопрограммирования 373

3.1 Алгоритм нахождения оптимального решения . . . . . . . 373.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Практическое занятие 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44ЛЕКЦИЯ 4 Симплекс метод решения задач линейного программирования494.1 Алгоритм нахождения опорного и оптимального решениязадачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Практическое занятие 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59ЛЕКЦИЯ 5 Метод искусственного базиса решения задачлинейного программирования 805.1 Алгоритм нахождения оптимального решения . . . . . . . 805.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Практическое занятие 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84ЛЕКЦИЯ 6 Теория двойственности в задачах линейногопрограммирования 886.1 Алгоритм построения двойственной задачи . . . . . . . . . 886.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Практическое занятие 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954

ЛЕКЦИЯ 7 Двойственный симплекс-метод решения задачлинейного программирования 997.1 Алгоритм нахождения опорного и оптимального решения . 997.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Практическое занятие 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103ЛЕКЦИЯ 8 Транспортная задача 1098.1 Постановка транспортной задачи и методы ее решения . . 1098.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118Практическое занятие 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120ЛЕКЦИЯ 9 Целочисленное программирование. Метод Гомори1299.1 Постановка задачи целочисленной оптимизации . . . . . . 1299.2 Экономические задачи целочисленного программирования 1339.3 Алгоритм метода Гомори. Геометрическая иллюстрация методаГомори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1379.4 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143ЛЕКЦИЯ 10 Целочисленное программирование. Метод ветвейи границ 14410.1 Метод ветвей и границ решения задач целочисленного линейногопрограммирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1445

10.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Практическое занятие 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Лабораторные занятия 1,2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160ЛЕКЦИЯ 11 Задача о рюкзаке 16511.1 Постановка задачи о рюкзаке и методы её решения . . . . 16511.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169ЛЕКЦИЯ 12 Задача коммивояжера 17012.1 Постановка задачи коммивояжера и решение методом ветвейи границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176Практическое занятие 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177Лабораторное занятие 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197Лабораторное занятие 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200ЛЕКЦИЯ 13 Постановка и геометрическая интерпретациязадачи параметрического программирования. Графическоерешение задачи 20513.1 Постановка и геометрическая интерпретация задачи параметрическогопрограммирования . . . . . . . . . . . . . . . 20513.2 Графическое решение задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 20913.3 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126

ЛЕКЦИЯ 14 Постановка и геометрическая интерпретациязадачи параметрического программирования. Аналитическоерешение задачи параметрического программирования.21314.1 Постановка и геометрическая интерпретация задачи параметрическогопрограммирования. Аналитическое решениезадачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21314.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221Практическое занятие 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Лабораторное занятие 5,6,7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226ЛЕКЦИЯ 15 Матричные игры с нулевой суммой. Решениематричных игр в чистых стратегиях 23015.1 Парные матричные игры с нулевой суммой . . . . . . . . . 23015.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235ЛЕКЦИЯ 16 Решение матричных игр в смешанных стратегиях.Сведение матричной игры к задаче линейного программирования23616.1 Решение матричной игры сведением к задаче линейногопрограммирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23616.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417

ЛЕКЦИЯ 17 Решение матричных игр в смешанных стратегиях.Решение матричных игр в смешанных стратегияхграфическим методом 24217.1 Решение матричной игры графическим методом . . . . . . 24217.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244ЛЕКЦИЯ 18 Решение матричных игр в смешанных стратегиях.Решение матричных игр в смешанных стратегияхприближенным методом 24518.1 Приближенный метод решения матричных игр . . . . . . . 24518.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249Практическое занятие 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250Лабораторное занятие 8,9,10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259ЛЕКЦИЯ 19 Модели сетевого планирования и управления.Сетевые графики 26419.1 Правила построения сетевых графиков . . . . . . . . . . . 26419.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273ЛЕКЦИЯ 20 Модели сетевого планирования и управления.Временные параметры сетевого графика 27420.1 Расчет временных параметров графика . . . . . . . . . . . 27420.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2818

ЛЕКЦИЯ 21 Модели сетевого планирования и управления.Оптимизация сетевых графиков по времени. 28221.1 Постановка задачи. Алгоритм оптимизации сетевых графиковпо времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28221.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286Практическое занятие 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287ЛЕКЦИЯ 22 Модели сетевого планирования и управления.Оптимизация сетевых графиков по ресурсам. 29322.1 Постановка задачи. Алгоритм оптимизации сетевых графиковпо ресурсам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29322.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296Практическое занятие 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297ЛЕКЦИЯ 23 Модели сетевого планирования и управления.Оптимизация сетевых графиков по стоимости. 30323.1 Постановка задачи. Алгоритм оптимизации сетевых графиковпо стоимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30323.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307Практическое занятие 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308ЛЕКЦИЯ 24 Модель межотраслевого баланса (МОБ) в натуральномвыражении. Вычисление коэффициентов пря-9

мых и полных производственных затрат. Факторная стоимость31524.1 Модель межотраслевого баланса . . . . . . . . . . . . . . . 31524.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319ЛЕКЦИЯ 25 МОБ в стоимостной форме. Основные балансовыеравенства 32025.1 Межотраслевой баланс в стоимостной форме . . . . . . . . 32025.2 Вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Практическое занятие 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326ЛЕКЦИЯ 26 Продуктивность матриц. Свойства продуктивныхматриц. Теорема Фробениуса-Перрона. Продуктивностьмодели Леонтьева 33126.1 Продуктивность балансовой модели . . . . . . . . . . . . . 33126.2 Вопросы и задания для самоконтроля . . . . . . . . . . . . 337Лабораторное занятие 11,12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338Контрольные вопросы для специальности “Бизнес-администрирование”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343Контрольные вопросы для специальности “Государственноеуправление и экономика” . . . . . . . . . . . . . . . . 345Решенный вариант индивидуальной работы для специальности“Бизнес-администрирование” . . . . . . . . . . 34710

Решенный вариант индивидуальной работы для специальности“Государственное управление и экономика” . 400Индивидуальные работы для специальности “Бизнес администрирование”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470Вариант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475Вариант 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480Вариант 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485Вариант 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490Вариант 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495Вариант 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500Вариант 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505Вариант 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510Вариант 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515Индивидуальные работы для специальности “Государственноеуправление и экономика” . . . . . . . . . . . . . . . . 520Вариант 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520Вариант 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528Вариант 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536Вариант 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544Вариант 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552Вариант 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560Вариант 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56811

Вариант 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576Вариант 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584Вариант 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592Вопросы и задания, выносимые на экзамен для специальности“Бизнес-администрирование” . . . . . . . . . . . . 600Вопросы и задания, выносимые на экзамен для специальности“Государственное управление и экономика” . . . 602Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60412

ПредисловиеПредлагаемый вниманию читателей учебно-методический комплекспредназначен в первую очередь студентам юридического факультетаспециальности «Бизнес администрирование» и «Государственное управлениеи экономика» хотя значительная его часть может быть использованаи студентами других специальностей юридического факультета.При составлении учебно-методического комплекса автор руководствовалсяучебными программами для специальностей 1-26 02 01 «Бизнесадминистрирование»и 1-26 02 01 «Государственное управление и экономика».В соответствии с указанной программой, на изучение раздела«Экономико-математические методы и модели» отводится 34 часа лекций,10 часов практических занятий и 24 часа лабораторных занятий поспециальности «Бизнес администрирование» и 34 часа лекций и 34 часапрактических по специальности «Государственное управление и экономика».Учебно-методический комплекс обеспечивает достижение основнойдидактической цели – самообразования. В условиях постоянно возрастающегообъема научной (а значит и учебной) информации количествочасов, предусматриваемых учебными планами на преподавание дисциплин,имеет устойчивую тенденцию к сокращению. В этой связи необходимо,чтобы учебные дисциплины преподавались на современном научномуровне, полноценно и кратко. При этом глубокое изучение ма-13

териала студентами возможно только при условии успешной организациисамостоятельной работы студентов. Изложение материала в учебнометодическомкомплексе приводится в наиболее оптимальной последовательности.При изложении материала приводятся стандартные и специфическиеспособы решения многих задач, с целью обучения на конкретных примерахпоиску наиболее рационального способа решения. В конце каждойлекции приводятся вопросы и задания для самоконтроля с цельюпомочь студентам в проверке усвоения ими теоретического материала.Наряду с примерами, аналогичными решенным на практических занятиях,учебно-методический комплекс содержит достаточно большое количествонетривиальных задач, не все из которых могут быть решеныв аудитории или самостоятельно, многие задачи окажутся полезнымидля кружковой работы с наиболее сильными студентами. Учебнометодическийкомплекс содержит достаточно обширный материал дляконтрольных и индивидуальных работ, а также вопросы для подготовкик экзамену и зачету по разделу «Экономико-математические методы имодели».14

Примерный тематический план специальности«Бизнес-администрирование»№ Название темы, перечень изучаемых вопросов ЛК ПР ЛБВведение 21 Основные понятия математического моделирования социальноэкономических2систем. Этапы и методы моделирования.I Целочисленное программирование 10 4 81 Постановка задачи целочисленного программирования. Метод 2 2 2Гомори решения задач целочисленного линейного программирования.2 Метод ветвей и границ решения задач целочисленного линейного 2 2программирования.3 Решение задач о рюкзаке методом ветвей и границ. 2 2 24 Решение задач коммивояжера методом ветвей и границ. 4 2II Параметрическое программирование 6 2 61 Постановка и геометрическая интерпретация задачи. Графическое2 2 2решение задачи.2 Аналитическое решение задачи. 4 4III Модели теории игр 8 2 61 Предмет и задачи теории игр. Матричные игры с нулевой суммой.2Решение матричных игр в чистых стратегиях.2 Решение матричных игр в смешанных стратегиях. Сведение матричной2 2 2игры к задаче линейного программирования.3 Решение матричных игр в смешанных стратегиях графическим 2 2методом.4 Решение матричных игр в смешанных стратегиях приближеннымметодом.2 215

№ Название темы, перечень изучаемых вопросов ЛК ПР ЛБIV Балансовые модели 8 2 41 Модель межотраслевого баланса (МОБ) в натуральном выражении.2 2 4Вычисление коэффициентов прямых и полных производ-ственных затрат. Факторная стоимость.2 МОБ в стоимостной форме. Основные балансовые равенства. 23 Продуктивность матриц. Свойства продуктивных матриц. Теорема4Фробениуса-Перрона. Продуктивность модели Леонтьева.Итого 34 10 2416

Примерный тематический план специальности«Государственное управление и экономика»№ Название темы, перечень изучаемых вопросов ЛК ПРВведение 11 Основные понятия математического моделирования социальноэкономических1систем. Этапы и методы моделирования.I Линейное программирование 10 141 Формы записи задачи линейного программирования, экономический2 2смысл. Графический метод решения задачи линейного про-граммирования.2 Симплекс метод решения задачи линейного программирования. 2 23 Метод искусственного базиса решения задачи линейного программирования.2 24 Построение двойственной задачи линейного программирования. 25 Двойственный симплекс-метод решения задачи линейного программирования.2 26 Постановка транспортной задачи и ее решение методом потенциалов.227 Постановка транспортной задачи и ее решение распределительным2методом.II Целочисленное программирование 6 41 Основные понятия и сведения из теории графов. Способы задания2графов.2 Постановка задачи о рюкзаке и решение ее методом ветвей границ.2 217

№ Название темы, перечень изучаемых вопросов ЛК ПР3 Постановка задачи коммивояжера и решение методом ветвей и 2 2границ.III Модели теории игр 6 41 Матричные игры с нулевой суммой. Решение матричных игр в 2чистых стратегиях.2 Решение матричных игр в смешанных стратегиях. Сведение матричной2 2игры к задаче линейного программирования.3 Решение матричных игр в смешанных стратегиях графическим 2 2методом.IV Основные понятия сетевого планирования и управления 8 81 Основные понятия сетевого планирования и управления. Правила2построения сетевых графиков. 22 Расчет временных параметров сетевого графика.3 Оптимизация сетевых графиков по времени. 2 24 Оптимизация сетевых графиков по стоимости. 2 25 Оптимизация сетевых графиков по ресурсам. 2 2V Балансовые модели 3 41 Модель межотраслевого баланса (МОБ) в натуральном выражении.1 2Вычисление коэффициентов прямых и полных производ-ственных затрат. Факторная стоимость.2 МОБ в стоимостной форме. Основные балансовые равенства.23 Продуктивность матриц. Свойства продуктивных матриц. ТеоремаФробениуса-Перрона. Продуктивность модели Леонтьева.Итого234 3418

ЛЕКЦИЯ 1Основные понятия математического моделированиясоциально-экономических систем. Этапы и методымоделирования1.1. Социально-экономические системы, методы ихисследования и моделированияПонятие «экономическая система» более или менее сложилось и вшироком смысле трактуется как система общественного производстваи потребления материальных благ. Социальные же аспекты жизни обществавесьма многогранны и не всегда доступны для детального анализа,моделирования и прогнозирования. Под социально-экономическойсистемой будем понимать сложную вероятностную динамическую систему,охватывающую процессы производства, обмена, распределения ипотребления материальных и других благ.Основным методом исследования систем является метод моделирования,т.е. способ теоретического анализа и практического действия,направленный на разработку и использование моделей. При этом подмоделью будем понимать образ реального объекта (процесса) в материальнойили идеальной форме (т.е. описанный знаковыми средствами накаком-либо языке), отражающий существенные свойства моделируемогообъекта (процесса) и замещающий его в ходе исследования и управ-19

ления. Метод моделирования основывается на принципе аналогии, т.е.возможности изучения реального объекта через рассмотрение подобногоему и более доступного объекта, его модели.Важнейшим понятием при экономико-математическом моделировании,как и при всяком моделировании, является понятие адекватностимодели, т.е. соответствия модели моделируемому объекту или процессу.При моделировании имеется в виду не просто адекватность, но соответствиепо тем свойствам, которые считаются существенными дляисследования. Проверка адекватности экономико-математических моделейявляется весьма серьезной проблемой, тем более, что ее осложняеттрудность измерения экономических величин.1.2. Этапы экономико-математического моделированияПроцесс моделирования, в том числе и экономико-математического,включает в себя три структурных элемента: объект исследования; субъект(исследователь) и модель, опосредующую отношения между познающимсубъектом и познаваемым объектом. Выделим следующие шестьэтапов.1. Постановка экономической проблемы и ее качественныйанализ. На этом этапе требуется сформулировать сущность проблемы,принимаемые предпосылки и допущения. Необходимо выделить важнейшиечерты и свойства моделируемого объекта, изучить его структуру20

и взаимосвязь его элементов, хотя бы предварительно сформулироватьгипотезы, объясняющие поведение и развитие объекта.2. Построение математической модели. Этот этап формализацииэкономической проблемы, т.е. выражения ее в виде конкретных математическихзависимостей (функций, уравнений, неравенств и др.). Построениемодели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.3. Математический анализ модели. На этом этапе математическимиприемами исследования выявляются общие свойства модели и еерешений. В частности, важным моментом является доказательство существованиярешения сформулированной задачи. При аналитическомисследовании выясняется единственно ли решение, какие переменныемогут входить в решение, в каких пределах они изменяются, каковытенденции их изменения и т.д. Однако модели сложных экономическихобъектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию;в таких случаях переходят к численным методам исследования.4. Подготовка исходной информации. Математическое моделированиепредъявляет жесткие требования к системе информации; приэтом надо принимать во внимание не только принципиальную возможностьподготовки информации требуемого качества, но и затраты наподготовку информационных массивов. В процессе подготовки информациииспользуются методы теории вероятностей, теоретической и математическойстатистики для организации выборочных обследований,оценки достоверности данных и т.д.21

5. Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмовчисленного решения задачи, подготовку программ на ЭВМ и непосредственноепроведение расчетов. Численное решение существенно дополняетрезультаты аналитического исследования, а для многих моделейявляется единственно возможным.6. Анализ численных результатов и их применение. На этомэтапе прежде всего решается важнейший вопрос о правильности и полнотерезультатов моделирования и применимости их как в практическойдеятельности, так и в целях усовершенствования модели. Поэтомув первую очередь должна быть проведена проверка адекватности моделипо тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных.1.3. Классификация экономико-математических методов имоделейСуть экономико-математического моделирования заключается в описаниисоциально-экономических систем и процессов в виде экономикоматематическихмоделей. Экономико-математические методы следуетпонимать как инструмент, а экономико-математические модели – какпродукт процесса экономико-математического моделирования.Классификация экономико-математических моделей1. По общему целевому назначению экономико-математические моделиделятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении22

общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные,применяемые в решении конкретных экономических задач анализа,прогнозирования и управления.2. По степени агрегирования объектов моделирования модели разделяютсяна макроэкономические и микроэкономические. К первым из нихотносят модели, отражающие функционирование экономики как единогоцелого, в то время как микроэкономические модели связаны, как правило,с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.3. По конкретному предназначению, т.е. по цели создания и применения,выделяют балансовые модели, выражающие требование соответствияналичия ресурсов и их использования; трендовые модели, в которыхразвитие моделируемой экономической системы отражается черезтренд (длительную тенденцию) ее основных показателей; оптимизационныемодели, предназначенные для выбора наилучшего вариантаиз определенного числа вариантов производства, распределения или потребления;имитационные модели, предназначенные для использованияв процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов и др.4. По типу информации, используемой в модели, экономико-математическиемодели делятся на аналитические, построенные на априорнойинформации, и идентифицируемые,построенные на апостериорной информации.23

5. По учету фактора времени модели подразделяются на статические,в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени, идинамические, описывающие экономические системы в развитии.6. По учету фактора неопределенности модели распадаются на детерминированные,если в них результаты на выходе однозначно определяютсяуправляющими воздействиями, и стохастические (вероятностные),если при задании на входе модели определенной совокупности значенийна ее выходе могут получаться различные результаты в зависимостиот действия случайного фактора.7. Экономико-математические модели могут классифицироваться такжепо характеристике математических объектов, включенных в модель,другими словами, по типу математического аппарата, используемого вмодели. По этому признаку могут быть выделены матричные модели,модели линейного и нелинейного программирования, корреляционнорегрессионныемодели, модели теории массового обслуживания, моделисетевого планирования и управления, модели теории игр и т.д.8. Наконец, по типу подхода к изучаемым социально-экономическимсистемам выделяют дескриптивные и нормативные модели. При дескриптивном(описательном) подходе получаются модели, предназначенныедля описания и объяснения фактически наблюдаемых явленийили для прогноза этих явлений (балансовые и трендовые модели). Принормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена иразвивается экономическая система, а как она должна быть устроена и24

как должна действовать в смысле определенных критериев. В частности,все оптимизационные модели относятся к типу нормативных; другимпримером могут служить нормативные модели уровня жизни.1.4. Вопросы для самоконтроля1. Что понимается под социально-экономической системой?2. Назовите основные этапы экономико-математического моделирования.3. Назовите виды классификаций экономико-математических методови моделей.25

ЛЕКЦИЯ 2Линейное программирование2.1. Основные понятия и определенияЛинейное программирование – область математики, разрабатывающаятеорию и численные методы решения задач нахождения экстремума(максимума или минимума) линейной функции многих переменныхпри наличии линейных ограничений, т.е. равенств или неравенств, связывающихэти переменные.Методы линейного программирования применяют к практическимзадачам, в которых:– необходимо выбрать наилучшее решение (оптимальный план) измножества возможных;– решение можно выразить как набор значений некоторых переменныхвеличин;– ограничения, накладываемые на допустимые решения специфическимиусловиями задачи, формулируются в виде линейных уравненийили неравенств;– цель выражается в форме линейной функции основных переменных.Значения целевой функции, позволяя сопоставлять различные решения,служат критерием качества решения.26

Для практического решения экономической задачи математическимиметодами необходимо, прежде всего, составить ее экономико-математическуюмодель. Исходя из отмеченных выше особенностей задач линейногопрограммирования, можно наметить следующую общую схему формированиямодели:1) выбор некоторого числа переменных величин, заданием числовыхзначений которых однозначно определяется одно из возможных состоянийисследуемого явления;2) выражение взаимосвязей, присущих исследуемому явлению, в видематематических соотношений (уравнений, неравенств); эти соотношенияобразуют систему ограничений задачи;3) количественное выражение выбранного критерия оптимальности вформе целевой функции;4) математическая формулировка задачи как задачи отыскания экстремумацелевой функции при условии выполнения ограничений, накладываемыхна переменные.Для иллюстрации приведенной схемы рассмотрим пример.Пример 2.1. Завод производит два вида продукции: велосипеды имотоциклы. При этом цех по сборке велосипедов имеет мощность 100тысяч штук в год, цех по сборке мотоциклов – 30 тысяч. Механическиецеха завода оснащены взаимозаменяемым оборудованием, и одна группацехов может производить либо детали для 120 тысяч велосипедов,27

либо детали для 40 тысяч мотоциклов, либо любую комбинацию деталей,ограниченную этими данными. Другая группа механических цеховможет выпускать детали либо для 80 тысяч велосипедов, либо для 60тысяч мотоциклов, либо любую допустимую их комбинацию. В результатереализации каждой тысячи велосипедов завод получает прибыль в2 тысячи денежных единиц, а каждой тысячи мотоциклов – 3 тысячиденежных единиц. Найти такое сочетание объемов выпуска продукции,которое дает наибольшую сумму прибыли.◭ Обозначим через x 1 и x 2 соответственно количества велосипедов имотоциклов, выпускаемых заводом в год (в тыс. шт.).Учитывая возможности сборочных цехов, необходимо потребовать,чтобыx 1 ≤ 100 (2.1)x 2 ≤ 30. (2.2)Переходя к анализу возможностей механических цехов, следует учитывать,что при выпуске обоих видов продукции должно выполнятьсяусловие пропорциональности количества продукции данного вида долепроизводственной мощности, занятой ее выпуском. Если предусматриваетсяпроизводство 1000 велосипедов (единицы продукции первого вида),то доля занятой производственной мощности механических цеховпервой группы составит 1/120 всей их мощности, принимаемой в данномслучае за единицу; на выпуск же x 1 тыс. велосипедов потребуется28

занять 1/120x 1 всей мощности. Аналогично для производства x 2 тыс.мотоциклов необходимо выделить 1/40x 2 всей мощности. Так что дляреализации план (x 1 , x 2 ) потребуется предусмотреть (1/120x 1 + 1/40x 2 )мощности механических цехов первой группы. Но в производственномпроцессе может быть использована не более чем вся наличная производственнаямощность рассматриваемых цехов, следовательно,1/120x 1 + 1/40x 2 ≤ 1. (2.3)Точно так же получим ограничение по производственной мощностимеханических цехов второй группы:По смыслу задачи1/80x 1 + 1/60x 2 ≤ 1. (2.4)x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0. (2.5)Любой план (x 1 , x 2 ), удовлетворяющий ограничениям (2.1) – (2.5),будет допустимым и даст предприятию прибыль (в тысячах денежныхединиц)f = 2x 1 + 3x 2 . (2.6)Соотношения (2.1) – (2.6) образуют математическую модель задачи.Итак, математически задача отыскания оптимального плана производствавелосипедов и мотоциклов сводится к определению таких x ∗ 1 иx ∗ 2, удовлетворяющих линейным ограничениям (2.1) – (2.5), которые доставляютмаксимум линейной функции (2.6). ◮29

Различные формы записи задач линейного программирования.Общей задачей линейного программирования, заданной в произвольнойформе записи, называют задачу, в которой требуется максимизировать(минимизировать) линейную функциюn∑f(x 1 , ..., x n ) = c j x j , (2.7)при условиях:j=1n∑a ij x j ≤ a i0 (i = 1, s), (2.8)j=1n∑a ij x j = a i0 (i = s + 1, m). (2.9)j=1Функцию (2.7) называют целевой, а условия (2.8) – (2.9) – ограничениямизадачи.Задачей линейного программирования, заданной в симметричной формезаписи, называют задачу, в которой требуется найти максимум функции(2.7) при условиях (2.8) и условияхx j ≥ 0 (j = 1, n). (2.10)Задачей линейного программирования в канонической форме записиназывают задачу, в которой требуется найти максимум функции (2.7)при условиях (2.9), где s = 0, и (2.10).30

Набор чисел ¯x = (x 1 , ..., x n ), удовлетворяющих ограничениям задачилинейного программирования, называется ее планом. План¯x ∗ = (x ∗ 1, ..., x ∗ n), доставляющий максимум (минимум) функции (2.7), называетсяоптимальным.Поскольку min f = max (−f), задачу минимизации функции f формальноможно свести к задаче максимизации противоположной функции(−f). Найдя максимальное значение функции −f, его знак нужнозаменить на противоположный. Тем самым определится минимальноезначение исходной функции f.Переменную x t , не подчиненную условию неотрицательности, можнозаменить парой неотрицательных переменных, приняв x t = x ′ t − x ′′t .Пример 2.2. Привести к канонической форме записи задачуf = x 1 + x 2 → max,⎧⎨ x 1 − x 2 ≤ 1,2x 1 + x 2 = 2,⎩x 1 ≥ 0.◭ Переменная x 2 не подчинена условию неотрицательности, поэтомузаменим ее разностью двух неотрицательных переменных x ′ 2 и x ′′2:x 2 = x ′ 2 − x ′′ 2.Чтобы первое ограничение записать в форме равенства, введем в негонеотрицательную переменную x 3 . В результате данная задача примет31

каноническую форму:⎧⎨⎩f = x 1 + x ′ 2 − x ′′ 2 → max,x 1 − x ′ 2 + x ′′ 2 + x 3 = 1,2x 1 + x ′ 2 − x ′′ 2 = 2,x 1 ≥ 0, x ′ 2 ≥ 0, x ′′ 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0.Пример 2.3. Привести к симметрической форме записи задачу, заданнуюв каноническом виде:f = −2x 1 − x 2 − x 3 + 2x 4 + x 5 → max,⎧−2x 3 − x 4 + x 5 = 4,⎪⎨−x 2 + 4x 3 + 2x 4 = 8,x ⎪⎩ 1 + x 3 + x 4 = 6,x j ≥ 0 (j = 1, 5).◭ Исключим из системы ограничений-равенств любые три переменные.В данном случае удобно исключить из первого ограничения x 5 , извторого x 2 и из третьего x 1 . Учитывая неотрицательность переменных,получаем:⎧⎨ x 5 = 4 + 2x 3 + x 4 ≥ 0,x⎩ 2 = −8 + 4x 3 + 2x 4 ≥ 0,x 1 = 6 − x 3 − x 4 ≥ 0.Опустив x 5 , x 2 и x 1 , приведем к эквивалентным неравенствам. Подставивx 5 , x 2 и x 1 в целевую функцию, после преобразований получим◮32

следующую задачу линейного программирования в симметричной форме:f = −x 3 − x 4 → max⎧⎪⎨⎪⎩−2x 3 − x 4 ≤ 4,−4x 3 − 2x 4 ≤ −8,x 3 + x 4 ≤ 6,x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0.Пример 2.4. Привести задачу линейного программирования, заданнуюв каноническом виде, к симметричной форме:f = 2x 1 + 3x 2 − x 4 + 2x 5 + 6 → max,⎧⎪⎨⎪⎩◮3x 1 + 9x 2 + 5x 3 − 2x 4 − 2x 5 = 7,2x 1 − 2x 2 − 2x 3 + x 4 − x 5 = 1,9x 1 − 8x 2 − 7x 3 + 3x 4 − 4x 5 = 3,x j ≥ 0 (j = 1, 5).◭ Находим (например, методом Гаусса) общее решение системы ограничительныхуравнений:⎧⎨⎩x 3 = x 1 − 135 x 2 + 9 5 ,x 4 = 2x 1 − 13 5 x 2 + 14 5 ,x 5 = 2x 1 + 3 5 x 2 − 9 5 .33

C помощью этих равенств исключаем из целевой функции x 4 и x 5 .Получаемf = 4x 1 + 345 x 2 − 2 5 .Остается в полученных равенствах опустить неотрицательные слагаемыеx 3 , x 4 и x 5 и перейти к эквивалентным неравенствам. В результатеприходим к симметрической форме записи данной задачи:f = 4x 1 + 345 x 2 − 2 5 → max,⎧⎪⎨⎪⎩−x 1 + 13 5 x 2 ≤ 9 5 ,−2x 1 + 13 5 x 2 ≤ 145 ,−2x 1 − 3 5 x 2 ≤ − 9 5 ,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.Общее решение системы ограничительных уравнений можно записатьи в другом базисе, а потому и симметричная форма задачи линейногопрограммирования выразится через инные переменные. ◮Свойства решений задач линейного программирования. Рассмотримзадачу линейного программированияf =n∑c j x j → max, (2.11)j=134

n∑a ij x j = a i0 (i = 1, m), (2.12)j=1x j ≥ 0 (j = 1, n). (2.13)Множество K планов задачи (2.11) – (2.13) является выпуклым, т.е.если ¯x 1 и ¯x 2 – планы задачи, то их выпуклая линейная комбинация¯x = λ¯x 1 + (1 − λ)¯x 2 , где 0 ≤ λ ≤ 1, также является планом задачи.Так как это множество определяется конечной совокупностью линейныхограничений (2.12) и (2.13), его граница состоит из кусков несколькихгиперплоскостей. Множество K может быть либо пустым множеством,либо выпуклым многогранником, либо выпуклой многогранной областью,уходящей в бесконечность. Важное значение имеет приведеннаяниже теорема.Теорема 2.1. Линейная функция (2.11) задачи (2.11) – (2.12) достигаетмаксимального значения в вершине многогранника планов. Еслилинейная функция принимает максимальное значение более чем в однойвершине, то она достигает такого же значения в любой точке, являющейсявыпуклой линейной комбинацией этих вершин.Чтобы выразить аналитически утверждение второй части теоремы2.1, обозначим через ¯x ∗ 1, . . . , ¯x ∗ t вершины, в которых f достигает максимальногозначения. Тогда любую точку ¯x ∗ , в которой f достигает такогоже значения, можно представить в виде ¯x ∗ = λ 1¯x ∗ 1+. . .+λ t¯x ∗ t , где λ k ≥ 035

(k = 1, t),k=1t∑λ k = 1, т.е. если f достигает максимального значения болеечем в одной вершине, то она достигает такого же значения в любойточке ребра или грани, которые определяются этими вершинами.Можно доказать, что каждому опорному решению системы (2.12)соответствует вершина многогранника планов и, наоборот, каждойвершине многогранника планов соответствует опорное решение системы(2.12). Отсюда следует, что совокупность опорных планов задачилинейного программирования совпадает с системой вершин многогранникапланов.Так как число опорных решений системы (2.12) всегда конечно (покрайней мере не больше, чем C r n), многогранник планов будет иметьконечное число вершин.2.2. Вопросы для самоконтроля1. Какая функция называется целевой?2. Что называется задачей линейного программирования?3. Какая задача линейного программирования называется задачей,записанной в канонической форме?4. Какая задача линейного программирования называется задачей,записанной в симетрической форме?36

ЛЕКЦИЯ 3Графический метод решения задач линейногопрограммирования3.1. Алгоритм нахождения оптимального решенияГрафический метод целесообразно использовать для решения задачс двумя переменными, записанных в симметричной форме, а также длязадач со многими переменными при условии, что в их каноническойзаписи содержится не более двух свободных переменных.В случае двух переменных задачу можно записать в виде:f = c 1 x 1 + c 2 x 2 → max; (3.1)⎧⎨ a 11 x 1 + a 12 x 2 ≤ b 1 ,. . . . . . . . . . . . . . . . . .(3.2)⎩a m1 x 1 + a m2 x 2 ≤ b m ,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0. (3.3)Дадим геометрическую интерпретацию элементов этой задачи. Каждоеиз ограничений (3.2), (3.3) задает на плоскости x 1 Ox 2 некоторуюполуплоскость. Полуплоскость – выпуклое множество. Но пересечениелюбого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством. Отсюдаследует, что область допустимых решений задачи (3.1) – (3.3) естьвыпуклое множество.37

На рисунке 3.1 представлены возможные ситуации, когда область допустимыхрешений задачи линейного программирования – выпуклыймногоугольник (a), неограниченная выпуклая многоугольная область(б), единственная точка (в), прямая линия (г), луч (д), отрезок (е), пустоемножество (ж).Перейдем к геометрической интепретации целевой функции. Пустьобласть допустимых решений задачи линейного программирования –непустое множество, например A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 (рисунок 3.2). Выберемпроизвольное значение целевой функции f = f 0 . Получимc 1 x 1 + c 2 x 2 = f 0 . Это уравнение прямой линии. В точках NM целеваяфункция сохраняет одно и то же постоянное значение f 0 . Считая в равенстве(3.1) f параметром, получим уравнение семейства параллельныхпрямых, называемых линиями постоянного значения.Возникает вполне естественный вопрос: как установить направлениевозрастания (убывания) целевой функции? Найдем частные производныецелевой функции по x 1 и x 2 :∂f= c 1 ,∂x 1(3.4)∂f= c 2 .∂x 2(3.5)Частная производная (3.4), (3.5) функции показывает скорость ее возрастаниявдоль данной оси. Следовательно, c 1 и c 2 – скорости возраста-38

x 2ax 2бОx 2Оx 22x О 1x 1Овx г x 2дx Оеx 21жx 1x 1Оx 1Оx 1Рисунок 3.1. – Области допустимых решений задач линейного программированияния f соответственно вдоль осей Ox 1 и Ox 2 . Вектор −→ c = (c 1 , c 2 ) называетсяградиентом функции. Он показывает направление наискроейшеговозрастания целевой функции:( ∂fc = , ∂f ).∂x 1 ∂x 2Вектор −→ −c указывает направление наискорейшего убывания целевойфункции. Его называют антиградиентом. Вектор −→ c = (c 1 , c 2 ) перпендикуляренк прямым f = const семейства c 1 x 1 + c 2 x 2 = f.39

x 2max F f ( A )4min F f ( A )1A 2NA 3A 4F 0ОA 1CA 6MA 5x 1Рисунок 3.2. – Геометрическая интерпретация целевой функцииИз геометрической интепретации элементов задачи линейного программированияследует порядок ее графического решения.1) C учетом системы ограничений строим область допустимых решенийΩ.2) Строим вектор −→ c = (c 1 , c 2 ) наискорейшего возрастания целевойфункции – вектор градиентного направления.3) Проводим произвольную линию уровня f = f 0 (проще провестилинию f = 0, перпендикулярную вектору −→ c ).40

x 2aC**x 2бC***Оx 2в**x 1Оx 2*г**x 1Оx 2д*x 1О x1x 2*в*C*C* x*О1*О1xРисунок 3.3. – Оптимальное решение для различных видов ОДР4) При решении задачи на максимум перемещаем линию уровняf = f 0 в направлении вектора −→ c так, чтобы она касалась областидопустимых решений в ее крайнем положении (крайней точке) (на рисунке3.2 – до точки A 4 ). В случае решения задачи на минимум линиюуровня f = f 0 перемещаем в антиградиентном направлении (на рисунке3.2 – до точки A 1 ).41

5) Определяем оптимальный план x ∗ = (x ∗ 1, x ∗ 2) и экстремальной значениецелевой функции f ∗ = f(x ∗ ).Из рисунка 3.3 видно, что:– для случая (a) оптимальный план единственный;– для случая (б) имеется бесконечное множество оптимальных планов;– для случая (в,г) целевая функция неограничена (т.е. не имеет решения),– для случая (д) область допустимых решений состоит из единственнойточки, где целевая функция достигает одновременно и максимального,и минимального значений;– для случая (е) задача не имеет решения: область допустимых решенийесть пустое множество.Задачу со многими переменными можно решить графически, если вее канонической записи присутствует не более двух свободных переменных,т.е. n − r ≤ 2, где n – число переменных, r – ранг матрицы системыограничительных уравнений задачи. Чтобы решить такую задачу,систему ограничительных уравнений надо преобразовать к разрешенномувиду, т.е. выделить некоторый базис переменных. Затем базисныепеременные следует опустить и перейти к эквивалентной системе неравенств.Целевая функция также должна быть выражена только черезсвободные переменные. Полученную двухмерную задачу решают обычнымграфическим методом. Найдя две координаты оптимального реше-42

ния, подставляют их в ограничительные уравнения исходной задачи иопределяют остальные координаты оптимального решения.Решая графически полученную двухмерную задачу, следует помнить,что на каждой граничной прямой соответствующее неравенство обращаетсяв равенство, поэтому опущенная при образовании этого неравенствабазисная переменная равна нулю. В связи с этим в каждой из вершинобласти допустимых решений по крайней мере две переменные исходнойзадачи принимают нулевые значения.3.2. Вопросы для самоконтроля1. Для какого количества применных применяется графический методрешения задач линейного программирования?2. Какова геометрическая интерпретация целевой функции?3. Сформулируйте алгоритм решения задачи линейного программированияграфическим методом?43

Практическое занятие 1Тема: Графический метод решения задач линейного программирования.Цель: Практическое закрепление графического метода при решениизадач линейного программированияЗадание 1. Решить графическим методом задачу линейного программирования.f = 2x 1 + 3x 2 → max(min)⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + x 2 ≤ 6,x 1 + 4x 2 ≥ 4,2x 1 − x 2 ≥ 0,x 1 , x 2 ≥ 0.◭ Для построения области допустимых решений строим в системеx 1 Ox 2 соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничныепрямые:x 1 + x 2 = 6, x 1 + 4x 2 = 4, 2x 1 − x 2 = 0.Находим полуплоскости, в которых выполняются данные неравенства.Для этого вследствие выпуклости любой полуплоскости достаточновзять произвольную точку, через которую не проходит соответствующаяграничная прямая, и проверить, удовлетворяет ли эта пробная44

точка ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то данное неравенствовыполняется в полуплоскости, содержащей пробную точку. В противномслучае берется полуплоскость, не содержащая пробной точки. Вкачестве пробной точки часто удобно брать начало координат O(0, 0).Для нашего примера область допустимых решений – множество точекчетырехугольника ABCD (рисунок 1).x 2BcF maxAОDCx 1F = 0F minРисунок 1. – ОДР является множество точек четырехугольника ABCDСтроим вектор −→ c = (c 1 , c 2 ) = (2, 3). Так как он необходим лишь длявыяснения направления возрастания целевой функции, иногда для большейнаглядности удобно строить вектор λc (λ > 0). Перпендикулярно к45

вектору c проводим линию уровня f = 0. Параллельным перемещениемпрямой f = 0 находим крайнюю точку B, в которой целевая функциядостигает максимума, и точку A, в которой достигается минимум. Координатыточки B определяются системойx 1 + x 2 = 6, 2x 1 − x 2 = 0,откуда B(2, 4), f max = f(B) = 16. Точку минимума A находим, решаясистему уравнений граничных прямыхx 1 + 4x 2 = 4, 2x 1 − x 2 = 0.Имеем A ( 49 , ) 89 , fmin = f(A) = 329 . ◮Задание 2. Решить графически следующую задачу линейного программированияиз n переменных:f = 8x 1 + 4x 2 + 2x 4 − 16 → max⎧⎪⎨⎪⎩2x 1 + x 2 + x 3 = 28,x 2 + x 4 = 16,x 1 + x 2 − x 5 = 8,2x 1 − 3x 2 + x 6 = 12x j ≥ 0, (j = 1, 6).46

◭ В нашем случае n = 6, а m = 4 и n − m = 2. Приводя известнымспособом, описанный в примере 2.3, систему ограничений-равенств к эквивалентнойсистеме неравенств, получаем сначала систему уравнений⎧⎪⎨⎪⎩а затем систему неравенств⎧x 3 = −2x 1 − x 2 + 28,x 4 = 16 − x 2 ,x 5 = x 1 + x 2 − 8,x 6 = −2x 1 + 3x 2 + 12,⎪⎨⎪⎩2x 1 + x 2 ≤ 28,x 2 ≤ 16,x 1 + x 2 ≥ 8,2x 1 − 3x 2 ≤ 12,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.В итоге получаем задачу линейного программирования с двумя неизвестнымиf = 8x 1 + 2x 2 − 16 → max⎧2x 1 + x 2 ≤ 28,⎪⎨ x 2 ≤ 16,x 1 + x 2 ≥ 8,2x ⎪⎩ 1 − 3x 2 ≤ 12,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.47

35302520151052 О5101C 242 4 6 8 10 12 14 16 18315Рисунок 2. – Оптимальное решение в точке x ∗ 1 = 12, x ∗ 2 = 4Решение этой задачи представлено на рисунке 2: максимум достигаетсяв точке с координатами x ∗ 1 = 12, x ∗ 2 = 4. Используя приведенныеуравнения, находим: x ∗ 3 = 0, x ∗ 4 = 12, x ∗ 5 = 8, x ∗ 6 = 0. Таким образом,x ∗ (12, 4, 0, 12, 8, 0), f max = 120. ◮48

ЛЕКЦИЯ 4Симплекс метод решения задач линейного программирования4.1. Алгоритм нахождения опорного и оптимального решениязадачиГрафический способ применим к весьма узкому классу задач линейногопрограммирования: эффективно им можно решать задачи, содержащиене более двух переменных. Одним из универсальных методовявляется симплекс-метод, называемый также методом последовательногоулучшения плана.Пусть задача записана в канонической форме:n∑f = c j x j → max, (4.1)j=1n∑a ij x j = a i0 (i = 1, m), (4.2)j=1x j ≥ 0 (j = 1, n). (4.3)Если задача (4.1) – (4.3) разрешима, то ее оптимальный план совпадает,по крайней мере, с одним из опорных решений (планов) системыуравнений (4.2). Именно этот опорный план и отыскивается симплексметодомв результате упорядоченного перебора опорных планов. Применительнок задаче (4.1) – (4.3) упорядоченность понимается в том49

смысле, что при переходе от одного опорного плана к другому соответствующиеим значения целевой функции (4.1) возрастают (не убывают).Поэтому симплекс-метод называют методом последовательного улучшенияплана. Поскольку общее число опорных планов не превышает C r n, точерез конечное число шагов будет либо найден оптимальный опорныйплан, либо установлена неразрешимость задачи.Решение задачи (4.1) – (4.3) складывается из двух этапов: на первомнаходят какой-либо начальный опорный план ¯x 0 , на втором – по специальнымправилам переходят от начального плана ¯x 0 к другому, болееблизкому к оптимальному, опорному плану ¯x 1 , затем к следующему¯x 2 и так до тех пор, пока задача не будет решена.Итак, для нахождения начального опорного плана задачи (4.1) – (4.3)можно предложить следующий алгоритм нахождения опорного плана:1) Записать задачу в форме жордановой таблицы так, чтобы все элементыстолбца свободных членов были неотрицательными, т.е. выполнялосьнеравенство a i0 ≥ 0 (i = 1, m). Те уравнения системы (4.2), вкоторых свободные члены отрицательны, предварительно умножаютсяна −1. Таблицу 4.1 называют симплексной;2) Таблицу 4.1 преобразовать шагами жордановых исключений, замещаянули в левом столбце соответствующими x. При этом на каждомшаге разрешающим может быть выбран любой столбец, содержащий хотябы один положительный элемент. Строка целевой функции на выборразрешающих столбцов на данном этапе никакого влияния не оказыва-50

ет. Разрешающая строка определяется по наименьшему из отношенийсвободных членов к соответствующим положительным элементам разрешающегостолбца (такие отношения будем называть симплексными).Таблица 4.1.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍С.Ч. −x 1 . . . −x n0 = a 10 a 11 . . . a 1n. . . . . . . . . . . . . . .0 = a m0 a m1 . . . a mnf 0 −c 1 . . . −c nЗаметим, что один шаг жорданова исключения с выбранным разрешающимэлементом (разрешающий элемент находится на пересеченииразрешающей строки и разрешающего столбца) переводит таблицу 4.1 вновую таблицу 4.2 по схеме, состоящей из следующих четырех правил:1) разрешающий элемент заменяется обратной величиной;2) элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент;3) элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элементи меняют знаки;4) остальные элементы вычисляются по правилу прямоугольника, т.е.преобразованный элемент таблицы 4.2 равен разности произведений эле-51

ментов, расположенных на главной и побочной диагоналях, деленной наразрешающий элемент таблицы 4.1, где главной диагональю этого прямоугольниканазывается диагональ, на которой расположены разрешающийи преобразуемый элементы, а другая диагональ – побочной.Сформулированного правила следует придерживаться независимо оттого, в какой вершине прямоугольника расположен разрешающий элемент.В ходе жордановых исключений столбцы под "переброшенными" наверх таблицы нулями (разрешающие столбцы) можно вычеркивать. Подлежатвычеркиванию и строки, состоящие из одних нулей.Если в процессе исключений встретится 0-строка, все элементы которой– нули, а свободный член отличен от нуля, то система ограничительныхуравнений решений не имеет.Если же встретится 0-строка, в которой кроме свободного члена, другихположительных элементов нет, то система ограничительных уравненийне имеет неотрицательных решений.Если система ограничительных уравнений совместна, то через некотороечисло шагов все нули в левом столбце будут замещены x и темсамым получен некоторый базис, а, следовательно, и отвечающий емуопорный план (таблица 4.2). Чтобы выписать из таблицы компонентыопорного плана, надо положить равными нулю свободные переменные,тогда базисные переменные будут равны соответствующим свободнымчленам: x 1 = b 10 , . . ., x r = b r0 , x r+1 = 0,. . ., x n = 0 или52

¯x 0 = (b 10 , . . ., b r0 , 0, . . . , 0). Отвечающее опорному плану ¯x 0 значениефункции f равно свободному члену b 00 , т.е. f(¯x 0 ) = b 00 .Таблица 4.2.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍С.Ч. −x r+1 . . . −x nx 1 = b 10 b 11 . . . b 1,n−r. . . . . . . . . . . . . . .x r = b r0 b r1 . . . b r,n−rf b 00 b 01 . . . b 0,n−rВ случае, когда в столбце свободных членов имеются отрицательныечисла, разрешающий элемент выбирают следующим образом:1) просматривают строку, отвечающую какому-либо отрицательномусвободному члену, например t-строку, и выбирают в ней какой-либоотрицательный элемент, а соответствующий ему столбец принимают заразрешающий (предполагается, что ограничения задачи совместны);2) составляют отношения элементов столбца свободных членов к соответствующимэлементам разрешающего столбца, имеющего одинаковыезнаки (симплексные отношения);3) из симплексных отношений выбирают наименьшее, оно и определитразрешающую строку (например, p-строка);53

4) на пересеченииразрешающих столбца и строки находят разрешающийэлемент, с которым и делают шаг жорданова исключения.Нахождение оптимального опорного плана. Начальный опорныйплан ¯x 0 исследуется на оптимальность.1. Если в f-строке нет отрицательных элементов (не считая свободногочлена), – план оптимален.В самом деле, из таблицы 4.2 видно, чтоf = b 00 − (b 01 x r+1 + ... + b 0,n−r x n ) ,откуда следует, что при b 01 ≥ 0, ..., b 0,n−r ≥ 0 увеличение любой из свободныхпеременных x r+1 , ..., x n вызывает уменьшение f. Следовательно,наибольшего значения f достигает при x r+1 = ... = x n = 0 (отрицательнымиони быть не могут в силу условия (4.3), т.е. при ¯x 0 .Если в f-строке нет также и нулевых элементов, то оптимальный планединственный; если же среди элементов есть хотя бы один нулевой, тооптимальных планов бесконечное множество.2. Если в f-строке есть хотя бы один отрицательный элемент, а всоответствующем ему столбце нет положительных, то целевая функцияне ограничена в допустимой области (f → ∞). Задача неразрешима.3. Если в f-строке есть хотя бы один отрицательный элемент, а в каждомстолбце с таким элементом есть хотя бы один положительный, томожно перейти к новому опорному плану, более близкому к оптимальному.Для этого столбец с отрицательным элементом в f-строке берут54

за разрешающий (если в f-строке отрицательных элементов несколько,разрешающим выбирают столбец с наибольшим по абсолютной величинеотрицательным элементом); определяют по минимальному симплексномуотношению разрешающую строку и делают шаг жорданова исключения.Полученный опорный план вновь исследуют на оптимальность.Описанный процесс повторяется до тех пор, пока не будет найденоптимальный опорный план либо установлена неразрешимость задачи.Замечание 4.1. Поскольку min f = max (−f), задачу минимизацииможно формально заменить задачей максимизации функции −f.Но можно этого и не делать. Признаком оптимальности опорного планазадачи минимизации является отсутствие положительных элементов вf-строке симплекс-таблицы, содержащей опорный план. Вся остальнаявычислительная процедура остается прежней.Понятие о вырожденном решении. При решении задач линейнойоптимизации мы полагали, что среди элементов правых частей системыограничений нет нулевых элементов. Если же среди базисных неизвестныхв исходной задаче имеется одна или несколько неизвестных, равныхнулю, или нулевое значение базисной неизвестной получено на какомтошаге симплексных преобразований, то налицо вырожденная задачалинейной оптимизации. Вырожденность может иметь место при нахожденииопорного и оптимального решений задачи. Способы ликвидации55

вырожденности в обоих случаях одни и те же. Рассмотрим, чем "опасна"вырожденность.Итак, если мы находим опорное решение, то, в соответствии с алгоритмом,за разрешающий столбец принимаем тот, который содержитотрицательный элемент в строке с отрицательным свободным членом.Разрешающей строкой в этом случае будет та, в которой базисная неизвестнаяравна нулю, так как наименьшее отношение будет равно нулю.Это значит, что величина новой переменной, вводимой в базис, будетравна нулю, и решение в новой симплексной таблице останется неопорным.При продолжении процесса нахождения опорного решения строкас нулевым элементом в столбце свободных членов будет оставаться разрешающей,а изменения будут происходить в наборе базисных и небазисныхнеизвестных, и мы можем прийти к таблице, которая уже была,т.е. может наступить случай зацикливания (возврат к старому базису).Чтобы избежать вырожденности, а, следовательно, и зацикливания,искусственно припишем нулевому элементу в столбце свободных членовзнак плюс, а разрешающим столбцом будем выбирать тот, в котором находятсядва отрицательных элемента: один в строке с отрицательным,а другой в строке с нулевым свободным членом. Тогда согласно общемуправилу нахождения неотрицательного наименьшего симплексногоотношения, строка с нулевым свободным членом не может быть разрешающей.Разрешающей будет другая строка, и при расчете элементов56

новой таблицы вместо нулевого элемента в столбце свободных членовпоявится ненулевое число, т.е. решение будет невырожденным.Аналогично поступаем с вырожденной задачей и при нахождении оптимальногорешения. В этом случае в качестве разрешающего столбцарекомендуется выбирать тот, в котором находится один отрицательныйэлемент в строке функции, а второй отрицательный элемент – в строкес нулевым свободным членом, которому приписывается знак плюс.Разрешающая строка находится, как всегда, по наименьшему симплексномуотношению, не считая строки с нулевым свободным членом.Если при нахождении опорного или оптимального решения задачиневозможно выбрать разрешающий столбец, в котором был бы отрицательныйэлемент в строке с нулевым свободным членом, то разрешающиестолбец и строка находятся по общему правилу и осуществляетсярасчет элементов новой таблицы. После расчета изменится набор базисныхи небазисных неизвестных, поменяются числа в таблице, и, возможно,найдется столбец, в котором будут отрицательные числа: одно – встроке с нулевым свободным членом, а другое – в строке с отрицательнымсвободным членом, если находится опорное решение; или же одно– в строке функции, а другое – в строке с нулевым свободным членом,если находится оптимальное решение задачи.Если же снова свободный член в таблице будет отрицательным, топри дальнейших расчетах рекомендуется следить, нет ли зацикливания.57

4.2. Вопросы для самоконтроля1. Сформулируйте алгоритм нахождения опорного плана задачи линейногопрограммирования?2. Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального плана задачилинейного программирования?3. Что такое вырожденное решение задачи?58

Практическое занятие 2Тема: Симплекс метод решения задач линейного программирования.Цель: Практическое закрепление симплекс метода при решении задачлинейного программированияЗадание 1. Найти какой-либо опорный план задачи⎧⎪⎨⎪⎩f = 3x 1 − x 2 + 5 → max,x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = −4;x 1 − 2x 2 − x 3 − x 5 = −7;2x 1 − x 2 + x 4 + x 5 = 7;x j ≥ 0 (j = 1, 5).◭ Задача записана в канонической форме, но два свободных членаотрицательны, поэтому, перед тем как записать задачу в форме таблицы,умножим первое и второе уравнения на −1. В результате все свободныечлены в исходной симплексной таблице 1 положительны.А теперь будем перебрасывать нули из левого столбца на верх таблицы.Для первого шага жорданова исключения возьмем разрешающим,например, четвертый столбец (в нем есть положительные элементы).Разрешающая строка определится по минимальному из отношений: 4/1и 7/1. В данном случае min(4/1; 7/1) = 4/1, что соответствует первойстроке, которая и будет разрешающей. Сделав еще два шага жордановых59

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 1.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 3 −x 4 −x 50 = 4 −1 −1 1 1 00 = 7 −1 2 1 0 10 = 7 2 −1 0 1 1f = 5 −3 1 0 0 0❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 2.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 3 −x 5x 4 = 4 −1 −1 1 00 = 7 −1 2 1 10 = 3 3 0 −1 1f = 5 −3 1 0 0исключений (таблицы 2 и 3), приходим к таблице 4, в левом столбце которойуже нет нулей: базис выделен. му соответствует начальный опорныйплан: x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 2, x 4 = 2, x 5 = 5 или x 0 = (0; 0; 2; 2; 5),f(x 0 ) = 5.60

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 3.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 3x 4 = 4 −1 −1 10 = 4 −4 2 2x 5 = 3 3 0 −1f = 5 −3 1 0❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 4.С.Ч. −x 1 −x 2x 4 = 2 1 −2x 3 = 2 −2 1x 5 = 5 1 1f = 5 −3 1Мы нашли опорный план в базисе x 3 , x 4 , x 5 . Если таблицу 1 преобразовыватьс другими разрешающими элементами, то получится, вообщеговоря, другой базис, а, следовательно, и другой опорный план. ◮61

Задание 2. Найти какой-нибудь опорный план задачиf = x 1 − 3x 2 − 2x 3 − x 4 + 5 → max,⎧4x 1 − 2x 2 − 2x 3 + 3x 4 = 2,⎪⎨2x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = 3,2x ⎪⎩ 1 − x 2 + 5x 3 − 6x 4 = 1,x j ≥ 0 (j = 1, 4).◭ Записав задачу в таблицу 5 и сделав два шага жордановых исключений,замечаем, что во второй строке таблицы 7 все элементы, кромесвободного члена, – нули; получаем 0 = 2.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 5.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 3 −x 40 = 2 4 −2 −2 30 = 3 2 −1 1 −10 = 1 2 −1 5 −6f 5 −1 3 2 1Следовательно, система ограничительных уравнений несовместна. Задачанеразрешима.62

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 6.С.Ч. −x 2 −x 3 −x 40 = 0 0 −12 150 = 2 0 −4 5x 1 = 1/2 −1/2 5/2 −3f 11/2 5/2 9/2 −2Таблица 7.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍С.Ч. −x 2 −x 3x 4 = 0 0 −4/50 2 0 0x 1 = 1/2 −1/2 1/10f 11/2 5/2 29/10.◮Задание 3. Решить задачуf = 2x 1 + 3x 2 → max,63

⎧⎨⎩3x 1 + 2x 2 − x 3 = 84,3x 1 + 13x 2 − x 4 = 150,x j ≥ 0 (j = 1, 4).◭ Записав задачу в виде симплекс-таблицы и сделав два шага жордановыхисключений с разрешающими элементами, выбранными средиположительных чисел основной части таблиц и соответствующими минимальнымсимплексным отношениям (таблицы 8 – 10), получаем начальныйопорный план: ¯x 0 = (24, 6, 0, 0). План этот неоптимален, таккак в f-строке содержащей его таблицы 10 имеются отрицательные элементы.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 8.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 3 −x 40 = 84 3 2 −1 00 = 150 3 13 0 −1f 0 −2 −3 0 0Для очередного шага разрешающим возьмем первый столбец, так какв f-строке ему соответствует наибольший по абсолютной величине отрицательныйэлемент (−17/33). В этом столбце только один положительныйэлемент, он и будет разрешающим. В результате шага получа-64

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 9.С.Ч. −x 2 −x 3 −x 4x 1 = 28 2/3 −1/3 00 = 66 11 1 −1f 56 −5/3 −2/3 0❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 10.С.Ч. −x 3 −x 4x 1 = 24 −13/33 2/33x 2 = 6 1/11 −1/11f 66 −17/33 −5/33ем таблицу 11 с новым опорным планом ¯x 1 = (50, 0, 66, 0). При этом вf-строке один из элементов имеет отрицательный знак. Однако в столбценад этим элементом нет ни одного положительного. Это говорит онеограниченности функции в области допустимых решений. Задача решена.65

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 11.С.Ч. −x 2 −x 4x 1 = 50 13/3 −1/3x 3 = 66 11 −1f 100 17/3 −2/3x3 0x 23x 2x 841 2x1 0fmax 1 2x4 03x13x150Оcx 6x2 0f 0 x5 66 f 100x 1Рисунок 1. – Графическое решение задания 3На рисунке 1 приведено ее графическое решение. Начальный опорныйплан (24, 6, 0, 0) соответствует на рисунке 1 вершине x 0 областидопустимых решений. В ней f = 66. После шага жорданова исключенияполучен новый опорный план (50, 0, 66, 0), которому на рисунке отвечает66

следующая вершина x 1 . В этой вершине значение функции f возрослодо f = 100. Но и этот опорный план, как видно из рисунка, не являетсянаилучшим, ибо вспомогательную прямую f = 0 можно смещатьв направлении вектора −→ c (в направлении возрастания значений f) какугодно далеко, поскольку область допустимых решений неограниченна.◮Продемонстрируем на примерах решения задач с производственнымсодержанием наиболее часто используемые в практике приемы преобразованиямоделей и способы рационализации расчетов.Задание 4. Полосы листового проката длиной 200 см необходиморазрезать на заготовки трех типов: А, Б и В длиной соответственно 57,82 и 101 см для производства 50 изделий. На каждое изделие требуетсяпо 4 заготовки типов А и Б и 5 заготовок типа В. Известны пять способовраскроя одной полосы. Количество заготовок, нарезаемых из одной полосыпри каждом способе раскроя, приведено в таблице 12. Определить,какое количество полос проката нужно разрезать каждым способом дляизготовления 50 изделий, чтобы отходы от раскроя были наименьшими.◭ Обозначим через x i количество полос, раскраиваемых j-м способом(j = 1, 5).Для производства 50 изделий необходимо 4 × 50 = 200 заготовоктипа А, 200 – типа Б и 250 – типа В. Если использовать все способыраскроя, то общее количество заготовок типа А при условии, что I спо-67

СпособраскрояТаблица 12.Количество заготовок типаТип А Тип Б Тип ВI 3 − −II 2 1 −III 1 − 1IV − 2 −V − 1 1собом раскроено x 1 полос, II – x 2 полос и т.д., можно выразить суммой3x 1 + 2x 2 + x 3 + 0x 4 + 0x 5 . По условию эта сумма должна равняться 200:3x 1 + 2x 2 + x 3 = 200. (1)Аналогично получаются условия по другим типам заготовок:x 2 + 2x 4 + x 5 = 200, (2)По смыслу задачиx 3 + x 5 = 250. (3)x j ≥ 0 (j = 1, 5). (4)Чтобы составить целевую функцию, выражающую суммарную величинуотходов, подсчитаем сначала величины отходов при раскрое одной68

полосы по каждому из способов. Отходы от каждой полосы составят приI способе 200 − 57 × 3 = 29 см, при II способе 200 − (57 × 2 + 82) = 4 см,при III, IV и V – соответственно 42, 36 и 17 см.Суммарную величину отходов можно выразить в видеf = 29x 1 + 4x 2 + 42x 3 + 36x 4 + 17x 5 . (5)Итак, задача заключается в нахождении решения (x ∗ 1, x ∗ 2, x ∗ 3, x ∗ 4, x ∗ 5)системы линейных уравнений и неравенств (1) – (5), доставляющего минимумлинейной функции (5).f = 29x 1 + 4x 2 + 42x 3 + 36x 4 + 17x 5 → min,⎧3x 1 + 2x 2 + x 3 = 200,⎪⎨x 2 + 2x 4 + x 5 = 200,x ⎪⎩ 3 + x 5 = 250,x j ≥ 0, (j = 1, 5).Модель имеет каноническую форму, и все свободные члены положительны,поэтому никаких предварительных преобразований не требуется.Записав задачу в симплекс-таблицу типа таблицы 4.1, известнымспособом (см. задание 2 практического занятия 1) находим начальныйопорный план (таблица 13). Он неоптимален, так как в f-строке имеютсяположительные элементы (напомним, что рассматривается задачаминимизации!). Выберем разрешающим, например, второй столбец. Раз-69

решающим элементом в нем будет 3/2, так какmin(200 : 2, 75 : 3/2) = 75 : 3/2.После шага жорданова исключения приходим к таблице 14, содержащейопорный план x ∗ 1 = (0, 50, 100, 0, 150). Этот план оптимален, ибо в f-строке нет положительных элементов.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 13.С.Ч. −x 1 −x 2x 3 = 200 3 2x 4 = 75 3/2 3/2x 5 = 50 −3 −2f 11950 100 100Но в f-строке присутствует нулевой элемент. Это свидетельствует отом, что существует еще один опорный оптимальный план. Найти егоможно, преобразовав шагом жорданова исключения таблицу 14 с разрешающимстолбцом, содержащим нулевой элемент f-строки. Разрешающаястрока определяется, как обычно, по минимальному симплексномуотношению. Второй опорный оптимальный план (таблица 15) имеет видx ∗ 2 = (50, 0, 50, 0, 200). Но в таком случае любая выпуклая линейная ком-70

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 14.С.Ч. −x 1 −x 4x 3 = 100 1 −4/3x 2 = 50 1 2/3x 5 = 150 −1 4/3f 6950 0 −200/3❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 15.С.Ч. −x 2 −x 4x 3 = 50✟x 1 = 50x ✟ ✟✟✟✟✟ 5 = 200f 6950 0 −200/3бинация опорных планов x ∗ 1 и x ∗ 2:x ∗ = λx ∗ 1 + (1 − λ)x ∗ 2 = λ(0, 50, 100, 0, 150) + (1 − λ)(50, 0, 50, 0, 200) == (50 − 50λ, 50 + 50λ, 0, 200 − 50λ),71

где 0 ≤ λ ≤ 1, также будет представлять собой оптимальный план.Наличие не единственного оптимального плана с практической точкизрения очень удобно, так как имеется возможность выбрать параметр λс учетом других показателей, характеризующих план, но не нашедшихотражения в целевой функции. По смыслу нашей задачи компоненты оптимальногоплана должны выражаться целыми числами, и это следуетпомнить при выборе λ. ◮Задание 5. Предприятие выпускает три вида продукции: I, II, III.Для производства продукции оно располагает ресурсами в следующихобъемах (единиц): комплектующие изделия – 3120, сырье – 3000, материалы– 3150. Расход ресурсов на единицу продукции каждого видапредставлен в таблице 16.Таблица 16.РесурсыВид продукцииВид I Вид II Вид IIIКомплектующие изделия 4 6 8Сырье 2 8 10Материалы 6 9 4Прибыль от единицы продукции I вида составляет 240 млн руб., II –210 млн руб. и III – 180 млн руб.72

Требуется определить производственную программу предприятия, обеспечивающуюмаксимальную прибыль.◭ Составим математическую модель задачи. Обозначим через x 1 , x 2 ,x 3 искомые объемы производства продукции, а через f – прибыль предприятияот производства и реализации всей продукции, которая с учетомобозначений определяется следующей функцией:f = 240x 1 + 210x 2 + 180x 3 → max .Запишем ограничения по ресурсам:⎧⎨ 4x 1 + 6x 2 + 8x 3 ≤ 3120,2x⎩ 1 + 8x 2 + 10x 3 ≤ 3000,6x 1 + 9x 2 + 4x 3 ≤ 3150.Объемы производства продукции не могут быть отрицательными, поэтомуx 1 , x 2 , x 3 ≥ 0.Приведем ограничения задачи к каноническому виду, добавив к ихлевым частям соответствующие положительные неизвестные x 4 , x 5 , x 6 .В результате ограничения запишутся в виде равенств:⎧⎨⎩4x 1 + 6x 2 + 8x 3 + x 4 = 3120,2x 1 + 8x 2 + 10x 3 + x 5 = 3000,6x 1 + 9x 2 + 4x 3 + x 6 = 3150.73

Дополнительные неизвестные x 4 , x 5 , x 6 будут базисными, так как имсоответствуют единичные векторы, которые образуют базис в трехмерномпространстве. Разрешив систему относительно базисных неизвестных,получим:⎧⎨⎩x 4 = −4x 1 − 6x 2 − 8x 3 + 3120 ≥ 0,x 5 = −2x 1 − 8x 2 − 10x 3 + 3000 ≥ 0,x 6 = −6x 1 − 9x 2 − 4x 3 + 3150 ≥ 0.Занесем условия задачи в симплексную таблицу 17❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 17.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 3x 4 = 3120 4 6 8x 5 = 3000 2 8 10x 6 = 3150 6 9 4f 0 −240 −210 −180Базисное решение задачи в таблице 17 следующее: x 1 = x 2 = x 3 = 0(как небазисные неизвестные), т.е. предприятие продукции не выпускает.Тогда x 4 = 3120, x 5 = 3000, x 6 = 3150. Переменные x 4 , x 5 , и x 6 означаютколичество неиспользуемых ресурсов. В самом деле, коль продукция не74

выпускается, то, естественно, ресурсы не используются, и прибыль приэтом равна нулю (f = 0).Решение задачи опорное, так как базисные неизвестные принимаютположительные значения. Переходим к поиску оптимального решения.В строке функции наибольший по абсолютной величине (среди отрицательных)элемент находится в первом столбце, поэтому этот столбецберем за разрешающий.Разрешающую строку находим по наименьшему симплексному отношению( 3120min4 , 30002 , 3150 )= min (780, 1500, 525) = 525.6❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 18.С.Ч. −x 6 −x 2 −x 3x 4 = 1020 −2/3 0 16/3x 5 = 1950 −1/3 5 26/3x 1 = 525 1/6 3/2 2/3f 126000 40 150 −2075

Наименьшее симплексное отношение соответствует 3-й строке, следовательно,она будет разрешающей. Рассчитаем элементы новой симплекснойтаблицы 18.Решение в таблице 18 не является оптимальным, так как в строкефункции имеется отрицательный элемент −20.В соответствии с алгоритмом выберем разрешающий элемент 16/3 иосуществим еще одно симплексное преобразование.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 19.С.Ч. −x 6 −x 2 −x 4x 3 = 191, 25x 5 = 292, 5x 1 = 397, 5f 129825 40 150 −20✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏Так как в строке функции таблицы 19 нет отрицательных элементов,то оптимальное решение задачи найдено, оно будет следующее:x 1 = 397, 5, x 2 = 0, x 3 = 191, 25, x 4 = x 6 = 0, x 5 = 292, 5, f max = 129825(млн. руб). ◮76

Задание 6. Найти максимум функции f = −12x 1 + 5x 2 при ограничениях:⎧⎪ ⎨⎪ ⎩x 2 ≤ 3,3x 1 − 5x 2 ≤ 0,−2x 1 − x 2 ≤ −3,−4x 1 + x 2 ≤ 4,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.◭ После приведения системы ограничений к каноническому виду инахождения базисных неизвестных имеем:⎧x 3 = −x 2 + 3 ≥ 0,⎪⎨ x 4 = −3x 1 + 5x 2 ≥ 0,x 5 = 2x 1 + x 2 − 3 ≥ 0,x ⎪⎩ 6 = 4x 1 − x 2 + 4 ≥ 0,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.Заносим условия задачи в исходную симплексную таблицу 20. Так какбазисная неизвестная x 4 = 0, то имеем вырожденную задачу, в которойрешение неопорное, ввиду того что x 5 = −3.Находим опорное решение. Чтобы определить разрешающий столбец,просматриваем строку с отрицательным свободным членом и фиксируемв ней отрицательные элементы в первом и втором столбцах, однакоучитывая, что задача вырожденная, за разрешающий столбецберем 2-й, так как в этом столбце и строке с нулевым свободным чле-77

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 20.С.Ч. −x 1 −x 2x 3 = 3 0 1x 4 = +0 3 −5x 5 = −3 −2 −1x 6 = 4 −4 1f 0 12 −5ном стоит отрицательное число −5. Разрешающая строка определена понаименьшему симплексному отношению( 3min1 , +0−5 , −3−1 , 4 )= −1.1С разрешающим элементом −1 рассчитываем новую таблицу 21, решениев которой опорное и вырожденное.Переходим к нахождению оптимального решения. Разрешающим столбцомв таблице 21 выбираем 2-й, так как нет других вариантов выбора.Разрешающий элемент находим по наименьшему симплексному отношению( 0min1 , 15−5 , 3−1 , 1 )= 0.178

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 21.С.Ч. −x 1 −x 5x 3 = 0 −2 1x 4 = 15 13 −5x 2 = 3 2 −1x 6 = 1 −6 1f 15 22 −5❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 22.С.Ч. −x 1 −x 3x 5 = 0 −2 1x 4 = 15 3 5x 2 = 3 0 1x 6 = 1 −4 −1f 15 12 5В таблице 22 решение оптимальное. Оно следующее:x 1 = x 3 = x 5 = 0, x 2 = 3, x 4 = 15, x 6 = 1, f max = 15. ◮79

ЛЕКЦИЯ 5Метод искусственного базиса решения задач линейногопрограммирования5.1. Алгоритм нахождения оптимального решенияВ задачах линейного программирования, где все ограничения являютсяравенствами или неравенствами типа "≤" (с неотрицательной правойчастью), базисные переменные позволяют сформировать начальноеопорное решение. Естественно, возникает вопрос: как найти начальноеопорное решение в задачах линейного программирования, где есть ограниченияв виде неравенств типа "≥"? Наиболее общим способом построенияначального опорного решения задачи линейного программированияявляется использование искусственных переменных. Эти переменные впервой симплексной таблице играют роль базисных переменных, но в последующихсимплексных таблицах от них освобождаются. Разработантак называемый M-метод нахождения начального опорного решения,который использует искусственные переменные.Пусть система ограничений имеет видn∑a ij x ij ≥ b i , b i ≥ 0, (i = 1, m).j=1Сведем ее к эквивалентной вычитанием дополнительных переменныхx n+i ≥ 0 (i = 1, m) из левых частей неравенств системы. Получим си-80

стемуn∑a ij x j − x n+i = b i , b i ≥ 0, (i = 1, m).j=1Однако теперь система ограничений не имеет предпочтительного вида,так как дополнительные переменные x n+i входящие в левую часть(при b i ≥ 0) с коэффициентами, равными −1. Поэтому, вообще говоря,базисный план⎛⎞x 0 = ⎝0, 0, . . . , 0, −b} {{ } 1 , −b 2 , . . . , −b m⎠nявляется недопустимым. В этом случае вводится так называемый искусственныйбазис. К левым частям ограничений-равенств, не имеющихпредпочтительного вида, добавляют искусственные переменные ω i .В целевую функцию переменные ω i вводят с коэффициентом M в случаерешения задачи на минимум и с коэффициентом −M для задачина максимум, где M – большое положительное число. Полученная задачаназывается M-задачей, соответствующей исходной. Она всегда имеетпредпочтительный вид.Пусть исходная задача линейного программирования имеет вид:n∑f = c j x j → max(min), (5.1)j=181

n∑a ij x j = b i , b i ≥ 0, (i = 1, m), (5.2)j=1x j ≥ 0 (j = 1, n). (5.3)Причем ни одно из ограничений не имеет предпочтительной переменной.M-задача запишется так:n∑m∑F = c j x j − (+) Mω i , (5.4)j=1i=1n∑a ij x j + ω i = b i , (i = 1, m), (5.5)j=1x j ≥ 0 (j = 1, n), ω i ≥ 0 (i = 1, m), (5.6)где знак "–" в функции (5.4) относится к задаче на максимум. Задача(5.4) – (5.6) имеет предпочтительный вид. Ее начальный опорный план⎛⎞x 0 = ⎝0, 0, . . . , 0, b} {{ } 1 , b 2 , . . . , b m⎠ .nЕсли некоторые из уравнений (5.2) имеют предпочтительный вид, тов них не следует вводить искусственные переменные.Получение оптимального опорного плана исходной задачи основанона следующих утверждениях:82

1) если в оптимальном плане M-задачи все искусственные переменныеω i = 0 (i = 1, m), т.е. ¯x ∗ = (x ∗ 1, . . . , x ∗ n, 0, . . . , 0), то план¯x ∗ = (x ∗ 1, . . . , x ∗ n) является оптимальным планом исходной задачи.2) если в оптимальном плане M-задачи по крайней мере одна из искусственныхпеременных положительна при любом большом M, то исходнаязадача не имеет ни одного плана.3) если M-задача не имеет решения, то и исходная задача неразрешима.5.2. Вопросы для самоконтроля1. Какого вида должны быть ограничения, чтобы нужно было решатьзадачу линейного программирования методом искусственного базиса?2. Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального решения задачилинейного программирования методом искусственного базиса.83

Практическое занятие 3Тема: Метод искусственного базиса решения задач линейного программирования.Цель: Практическое закрепление метода искусственного базиса прирешении задач линейного программированияЗадание 1. Решить методом искусственного базиса задачу линейногопрограммирования.f = 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 → min⎧⎨ 2x 1 + x 2 + x 3 ≤ 2,3x⎩ 1 + 8x 2 + 2x 3 ≥ 8,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 1.◭ Сведем задачу к каноническому виду. Получим:f = 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 0 · x 4 + 0 · x 5 + 0 · x 6 → min⎧2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2,⎪⎨3x 1 + 8x 2 + 2x 3 − x 5 = 8,x ⎪⎩ 3 − x 6 = 1,x j ≥ 0 (j = 1, 6).Первое ограничение имеет предпочтительную переменную, а второеи третье – нет. Поэтому вводим в них искусственные переменные ω 1 и84

ω 2 . Приходим к M-задаче:F = 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 0 · x 4 + 0 · x 5 + 0 · x 6 + Mω 1 + Mω 2 → min⎧2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 2,⎪⎨3x 1 + 8x 2 + 2x 3 − x 5 + ω 1 = 8,x ⎪⎩ 3 − x 6 + ω 2 = 1,x j ≥ 0 (j = 1, 6), ω 1 , ω 2 ≥ 0.Таблица 1.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍С.Ч. −x 1 −x 2 −x 3 −x 5 −x 6 Θx 4 2 2 1 1 0 0 2/1 = 2ω 1 8 3 8 2 −1 0 8/8 = 1ω 2 1 0 0 1 0 −1 −F 9M −3 + 3M −2 + 8M −3 + 3M −M −M −Прежде чем составлять первую симплекс таблицу, выразим функциюF через свободные переменные x 1 , x 2 , x 3 , x 5 , x 6 . Для этого из ограничительныхуравнений найдем x 4 , ω 1 и ω 2 и полученные выраженияподставим в функцию F . После упрощения будем иметьF = 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 + M(−3x 1 − 8x 2 − 3x 3 + x 5 + x 6 + 9).85

Теперь условие M-задачи занесем в симплексную таблицу 1. По меревывода из базиса искусственных переменных соответствующие имстолбцы можно опускать.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 2.С.Ч. −x 1 −x 3 −x 5 −x 6 Θx 4 1 13/8 3/4 1/8 013/4 = 4 3x 2 1 3/8 1/4 −1/8 011/4 = 4ω 2 1 0 1 0 −1 1/1 = 1F 2 + M −9/4 −5/2 + M −1/4 −M −❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 3.С.Ч. −x 1 −x 5 −x 6x 4 1/4 13/8 1/8 3/4x 2 3/4 3/8 −1/8 1/4x 3 1 0 0 −1F 9/2 −9/4 −1/4 −5/286

Так как в симплексной таблице 3 все оценки неположительны: ∆ j < 0(j = 1, 6), то план оптимален.Итак x ∗ = (0, 3/4, 1, 1/4, 0, 0), f(x ∗ ) = 9/2. ◮87

ЛЕКЦИЯ 6Теория двойственности в задачах линейногопрограммирования6.1. Алгоритм построения двойственной задачиПостановка двойственной задачи. Каждой задаче линейного программированияможно поставить в соответствие задачу, называемуюдвойственной к исходной. Пусть дана общая задача линейного программирования(исходная задача):n∑f = c j x j → max, (6.1)⎧⎪⎨⎪⎩j=1n∑a ij x j ≤ b ij=1n∑a ij x j = b ij=1(i = i, m 1 , m 1 ≤ m),(i = m 1 + 1, m),(6.2)x j ≥ 0 (j = 1, n 1 , n 1 ≤ n), (6.3)где x j произвольного знака при j = n 1 + 1, n.Двойственная к ней задача имеет вид:m∑F = b i y i → min, (6.4)i=188

⎧⎪⎨⎪⎩m∑a ij y i ≥ c j , j = 1, n 1 , n 1 ≤ n,m∑a ij y i = c j , j = n 1 + 1, n,i=1i=1(6.5)y i ≥ 0, i = 1, m 1 , m 1 ≤ m, (6.6)y i произвольного знака при i = m 1 + 1, m.Задача (6.4) – (6.6), двойственная к задаче (6.1) – (6.3), строится последующим правилам:1) упорядочивается запись исходной задачи, т. е. если целевая функциязадачи максимизируется, то ограничения-неравенства должны бытьвида ≤, если минимизируется, то вида ≥. Выполнение этих условий достигаетсяумножением соответствующих ограничений на −1;2) если исходная задача является задачей максимизации, то двойственнаябудет задачей минимизации. При этом вектор, образованныйиз коэффициентов при неизвестных целевой функции исходной задачи,совпадает с вектором констант в правых частях ограничений двойственнойзадачи. Аналогично связаны между собой векторы, образованные изкоэффициентов при неизвестных целевой функции двойственной задачи,и константы в правых частях ограничений исходной задачи;3) каждой переменной y i двойственной задачи соответствует i-e ограничениеисходной задачи, и, наоборот, каждой переменной x j прямойзадачи соответствует j-e ограничение двойственной задачи;89

4) матрица из коэффициентов при неизвестных двойственной задачиA T образуется транспонированием матрицы A = [a ij ] m×n, составленнойиз коэффициентов при неизвестных исходной задачи;5) если на j-ю переменную исходной задачи наложено условие неотрицательности,то j-e ограничение двойственной задачи будет неравенством,в противном случае j-e ограничение будет равенством; аналогичносвязаны между собой ограничения исходной задачи и переменныедвойственной.Так как двойственная задача по отношению к двойственной являетсяисходной, то задачи (6.1) – (6.3) и (6.4) – (6.6) образуют пару взаимнодвойственных задач.Дадим экономическую интерпретацию пары двойственных задач. Рассмотримзадачу рационального использования ресурсов. Пусть предприятиерасполагает ресурсами b 1 , b 2 , . . . , b m , которые могут использоватьсядля выпуска n видов продукции. Пусть также известны стоимость единицыj-ro вида продукции c j (j = 1, n) и норма потребления i-го ресурса(i = 1, m) на производство единицы j-й продукции – a ij . Требуетсяопределить объем производства продукции каждого вида x j (j = 1, n),максимизирующий суммарную стоимостьf = c 1 x 1 + . . . + c n x n . (6.7)90

При этом расход ресурсов не должен превышать их наличия:⎧⎨ a 11 x 1 + ... + a 1n x n ≤ b 1 ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎩a m1 x 1 + ... + a mn x n ≤ b m .(6.8)Все неизвестные по своему экономическому смыслу неотрицательны:x j ≥ 0 (j = 1, n). (6.9)По исходным данным сформулируем другую экономическую задачу(двойственную).Предположим, что некоторая организация может закупить все ресурсы,которыми располагает предприятие. Необходимо определить оптимальныецены (оценки) yi ∗ (i = 1, m) на эти ресурсы исходя из естественногоусловия, что покупающая организация стремится минимизироватьобщую оценку ресурсов. Следует, однако, учитывать и тот факт, что заресурсы покупающая организация должна уплатить сумму, не меньшуютой, которую может выручить предприятие при организации собственногопроизводства продукции.Математическая модель задачи имеет следующий вид:F = b 1 y 1 + . . . + b n y n → min, (6.10)⎧⎨ a 11 y 1 + . . . + a m1 y m ≥ c 1 ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(6.11)⎩a 1n y 1 + . . . + a mn y m ≥ c n ,91

y i ≥ 0 (i = 1, m). (6.12)Здесь F — общая оценка ресурсов. Каждое j-e ограничение из системы(6.11) представляет собой неравенство, левая часть которого равнаоценке всех ресурсов, расходуемых на производство единицы j-го видапродукции, а правая – стоимости единицы этой продукции.Заметим, что задачи (6.7) – (6.9) и (6.10) – (6.12) образуют симметричнуюпару взаимно двойственных задач.Принцип двойственности. Если одна из двойственных задач имеетоптимальное решение x ∗ = (x ∗ 1, . . . , x ∗ n), то и другая имеет оптимальноерешение y ∗ = (y ∗ 1, . . . , y ∗ m). При этом экстремальные значения целевыхфункций задач совпадают, т.е.n∑c j x ∗ j =j=1m∑b i yi ∗ .i=1Если целевая функция одной из задач двойственной пары не ограничена,то другая задача не имеет решения.Из этого утверждения, являющегося в сущности теоремой двойственности,следует, что: 1) для разрешимости одной из двойственных задачнеобходимо и достаточно, чтобы каждая из задач имела хотя бы однорешение; 2) для того чтобы планы x ∗ = (x ∗ 1, ..., x ∗ n) и y ∗ = (y ∗ 1, . . . , y ∗ m)являлись оптимальными решениями пары двойственных задач, необхо-92

димо и достаточно, чтобы выполнялось равенствоn∑m∑c j x j = b i y i .j=1Заметим, что для решения исходной задачи симплекс-методом потребовалосьбы выполнить не менее двух итераций. Решение же двойственнойзадачи найдено за одну итерацию. При решении двойственных задачмогут встретиться следующие случаи: 1) обе задачи разрешимы (имеютпланы); 2) области допустимых решений обеих задач пустые; 3) одназадача имеет неограниченную область допустимых решений, вторая –пустую.Рассмотрим важное следствие, вытекающее из принципа двойственности,которое в литературе формулируется в виде теоремы о дополнительнойнежесткости.Теорема 6.1. Если какая-то переменная x ∗ j (j = 1, n), оптимальногорешения исходной задачи положительна, то j-e ограничение двойственнойзадачи ее оптимальным решением обращается в строгое равенство.Если оптимальное решение исходной задачи обращает какое-тоi-e (i = 1, m) ограничение в строгое неравенство, то в оптимальном решениидвойственной задачи переменная y i равна нулю.Эта теорема справедлива для задач симметричной двойственной пары.Для задач, заданных в канонической и общей форме, она справед-i=193

лива только при ограничениях, имеющих вид неравенств, и при неотрицательностипеременных.6.2. Вопросы для самоконтроля1. Дайте экономическую интерпретацию пары двойственных задач.2. Сформулируйте алгоритм построения двойственной задачи.94

Практическое занятие 4Тема: Алгоритм построения двойственной задачи.Цель: Практическое закрепление алгоритма построения двойственнойзадачи линейного программированияЗадание 1. Построить двойственную задачу к следующей задаче,заданной в общей форме:f = 2x 1 − x 2 + x 3 + x 4 − 2x 5 → min,⎧3x 1 − 2x 2 + x 3 + x 4 − x 5 ≤ 8,⎪⎨ x 1 + 3x 2 + x 3 + 3x 4 − 2x 5 = 6,x 1 + x 2 + x 3 − x 4 ≤ 5,2x ⎪⎩ 1 − 5x 2 + x 4 + 3x 5 ≥ 7,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 4 ≥ 0.◭ Упорядочим запись исходной задачи. Так как требуется найти минимумцелевой функции, то неравенства в системе ограничений должныбыть записаны с помощью знака ≥. Умножив первое и третье неравенствана −1, приведем систему ограничений к виду⎧⎪⎨⎪⎩−3x 1 + 2x 2 − x 3 − x 4 + x 5 ≥ −8,x 1 + 3x 2 + x 3 + 3x 4 − 2x 5 = 6,−x 1 − x 2 − x 3 + x 4 ≥ −5,2x 1 − 5x 2 + x 4 + 3x 5 ≥ 7.95

Двойственная задача будет иметь четыре переменные, так как прямаязадача содержит четыре ограничения.В соответствии с указанным выше правилом запишем двойственнуюзадачу:F = −8y 1 + 6y 2 − 5y 3 + 7y 4 → max,⎧−3y 1 + y 2 − y 3 + 2y 4 ≤ 2,2y 1 + 3y 2 − y 3 − 5y 4 ≤ −1,⎪⎨−y 1 + y 2 − y 3 = 1,−y 1 + 3y 2 + y 3 + y 4 ≤ 1,y ⎪⎩ 1 − 2y 2 + 3y 4 = −2,y 1 ≥ 0, y 3 ≥ 0, y 4 ≥ 0.Третье и пятое ограничения двойственной задачи записаны в виде равенства,так как на соответствующие им переменные x 3 и x 5 в исходнойзадаче не наложено условие неотрицательности. На переменные y 1 , y 3 иy 4 наложено условие неотрицательности в связи с тем, что в исходнойзадаче им соответствуют ограничения в виде неравенств. ◮Задание 2. Найти оптимальное решение задачиf = 4x 1 + 2x 2 + 3x 3 → min⎧⎨ 4x 1 + 3x 2 − x 3 ≥ 4,5x⎩ 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 6,x j ≥ 0, (j = 1, 3).96

◭ Двойственная задача имеет вид:F = 4y 1 + 6y 2 → max⎧⎪⎨⎪⎩4y 1 + 5y 2 ≤ 4,3y 1 + y 2 ≤ 2,−y 1 + 2y 2 ≤ 3,y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0.Решение задачи приведено в таблице 1 и 2.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 1.С.Ч. −y 1 −y 2y 3 = 4 4 5y 4 = 2 3 1y 5 = 3 −1 2F 0 −4 −6Оптимальное решение двойственной задачи:F ∗ (y) = 24/5, y ∗ 1 = 0, y ∗ 2 = 4/5, y ∗ 3 = 0, y ∗ 4 = 6/5, y ∗ 5 = 7/5.97

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 2.С.Ч. −y 1 −y 3y 2 = 4/5y 4 = 6/5y 5 = 7/5F 24/5 4/5 6/5✟ ✟✟✟✟✟ ✟На основании соответствия между переменными запишем оптимальноерешение исходной задачи:f ∗ (x) = 24/5, x ∗ 1 = 6/5, x ∗ 2 = x ∗ 3 = 0, x ∗ 4 = 4/5, x ∗ 5 = 0. ◮Заметим, что для решения исходной задачи симплекс-методом потребовалосьбы выполнить не менее двух итераций. Решение же двойственнойзадачи найдено за одну итерацию.98

ЛЕКЦИЯ 7Двойственный симплекс-метод решения задач линейногопрограммирования7.1. Алгоритм нахождения опорного и оптимального решенияРассмотрим задачу линейного программирования: найтиf = c 1 x 1 + . . . + c 1 x n + c → minпри ограничениях:⎧⎨ x n+1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1n x n + b 1 ≥ 0,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⎩x n+m = a m1 x 1 + a m2 x 2 + . . . + a mn x n + b m ≥ 0.x j ≥ 0, j = 1, n.Занесем данные задачи в таблицу для обыкновенных жордановыхисключений (таблица 7.1).Для решения задачи применим обыкновенные жордановы исключения.При использовании двойственного симплекс-метода ее решение находитсяв два этапа: на первом добиваются неотрицательности коэффициентовf-строки, на втором – неотрицательности свободных членов.Алгоритм двойственного симплекс-метода сводится к следующему.99

Таблица 7.1.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍С.Ч. x 1 . . . x nx n+1 = b 1 a 11 . . . a 1n. . . . . . . . . . . . . . .x n+m = b m a m1 . . . a mnf = c c 1 . . . c nЭтап 1.1. Просматривают коэффициенты f -строки; если все они неотрицательны,то переходят к пункту 1 этапа 2.2. Если в f-строке имеется отрицательный коэффициент, то выделяютстолбец, содержащий этот коэффициент.3. В выделенном столбце отыскивают отрицательное число и содержащуюего строку принимают за разрешающую. Если в выделенномстолбце нет отрицательных чисел, то задача не имеет решения.4. Вычисляют двойственные отношения (отношения элементов f-строкик элементам разрешающей строки). Наименьшее из отношений определяетразрешающий столбец (двойственное отношение может быть толькоположительным).100

5. С найденным разрешающим элементом делают шаг обыкновенныхжордановых исключений. Анализ новой таблицы начинают с пункта 1.Этап 2.1. Просматривают столбец свободных членов; если все элементы столбцанеотрицательны, то оптимальное решение достигнуто.2. Если в столбце свободных членов есть отрицательные элементы, тосреди них находят наименьший. Этот элемент определяет разрешающуюстроку.3. Разрешающий элемент находят по наименьшему двойственному отношению.Если в разрешающей строке нет положительных элементов,то задача не имеет решения.4. С найденным разрешающим элементом делают один шаг обыкновенныхжордановых исключений. Анализ полученной таблицы начинаютс пункта 1 этапа 2.Замечание 7.1. Чтобы найти максимум функции, следует произвестив задаче замену F (x) = −f(x) и искать минимум полученнойфункции. Искомый максимум функции f(x) равен свободному члену,находящемуся в F -строке симплексной таблицы, взятому с обратнымзнаком.101

7.2. Вопросы для самоконтроля1. Сформулируйте алгоритм нахождения опорного решения задачидвойственым симплекс методом.2. Сформулируйте алгоритм нахождения опорного решения задачидвойственым симплекс методом.102

Практическое занятие 5Тема: Двойственный симплекс решения задачи линейного программированияЦель: Практическое закрепление двойственного симплекс метода прирешении задач линейного программированияЗадание 1. Найти двойственным симплекс-методом минимум функцииf = 4x 1 − 4x 2при ограничениях⎧⎪⎨⎪⎩x 3 = 2x 1 − 2x 2 + 8 ≥ 0,x 4 = −x 1 + 4x 2 + 10 ≥ 0,x 5 = 2x 1 + 2x 2 − 12 ≥ 0,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.◭ Занесем условие задачи в таблицу 1. Так как в f-строке имеется отрицательныйэлемент (−4), второй столбец считаем выделенным. В этомстолбце находим отрицательное число (−2) и содержащую его первуюстроку считаем разрешающей. Вычисляем наименьшее двойственное отношение:min(4/2, −4/ − 2) = 2.103

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 1.С.Ч. x 1 x 2x 3 = 8 2 −2x 4 = 10 −1 4x 5 = −12 2 2f = 0 4 −4Из двух одинаковых отношений выберем второе. Оно определяет разрешающийэлемент (−2). Делаем один шаг обыкновенных жордановыхисключений и заносим результат в таблицу 2.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 2.С.Ч. x 1 x 3x 2 = 4 1 −1/2x 4 = 26 3 −2x 5 = −4 4 −1f = −16 0 2104

В f-строке таблицы 2 все элементы неотрицательные, однако в столбцесвободных членов есть отрицательное число (−4), следовательно,план, записанный в таблице, не является допустимым. Принимаем третьюстроку за разрешающую. Так как в f-строке есть нуль, имеем случайвырождения. В столбце над нулем в разрешающей строке находитсяположительный элемент (4), следовательно, разрешающим будет первыйстолбец.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 3.С.Ч. x 5 x 3x 2 = 5x 4 = 29x 1 = 1f = −16 0 2С разрешающим элементом (4) делаем следующий шаг. Найденныйновый план (таблица 3) является оптимальным.Значение f(x) min = 16, при x ∗ 1 = 1, x ∗ 2 = 5, x ∗ 3 = x ∗ 5 = 0, x ∗ 4 = 29. ◮105

Задание 2. Применяя двойственный симплекс-метод, найти максимумфункции f = 4x 1 + 2x 2 при ограничениях⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + x 2 ≤ 6,x 1 ≤ 3,2x 1 + x 2 ≤ 10,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.◭ После изменения направления оптимизации заданной функцииF (x) = −f(x) и приведения системы ограничений к эквивалентной системеуравнений получим следующую задачу: найти минимум функцииF = −4x 1 − 2x 2 при⎧⎪ ⎨⎪ ⎩x 3 = −x 1 − x 2 + 6 ≥ 0,x 4 = −x 1 + 3 ≥ 0,x 5 = −2x 1 − x 2 + 10 ≥ 0,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.Занесем условие задачи в таблицу 4.В F -строке имеем два отрицательных элемента (−4) и (−2), следовательно,можно выделить любой из столбцов. Выделим столбец, в которомнаходится элемент (−4). Здесь три отрицательных элемента, поэтомув качестве разрешающей можно взять любую строку. Пусть разрешающейбудет первая. Вычисляем наименьшее двойственное отношение:( −4min−1 , −2 )= 2.−1106

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 4.С.Ч. x 1 x 2x 3 = 6 −1 −1x 4 = 3 −1 0x 5 = 10 −2 −1F = 0 −4 −2❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 5.С.Ч. x 1 x 3x 2 = 6 −1 −1x 4 = 3 −1 0x 5 = 4 −1 1F = −12 −2 2Разрешающий столбец соответствует переменной x 2 . С разрешающимэлементом (−1) сделаем шаг жордановых исключений. В результате получимтаблицу 5. Преобразовав ее, придем к таблице 6.107

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 6.С.Ч. x 4 x 3x 2 = 3x 1 = 3x 5 = 1F = −18 2 2В столбце свободных членов и F -строке таблицы 6 нет отрицательныхэлементов, следовательно, получен оптимальный план: x ∗ 1 = x ∗ 2 = 3,x ∗ 3 = x ∗ 4 = 0, x ∗ 5 = 1 и F min = −18. Поменяв знак в значении функции,имеем f max = 18. ◮108

ЛЕКЦИЯ 8Транспортная задача8.1. Постановка транспортной задачи и методы ее решенияПостановка транспортной задачи. В m пунктах производстваA 1 , A 2 , . . . , A m , находится однородный продукт (уголь, картофель и т.д.)в количествах соответственно a 1 , a 2 , . . . , a m единиц, который должен бытьдоставлен n потребителям B 1 , B 2 , . . . , B n в количествах b 1 , b 2 , . . . , b n единиц.Известны транспортные издержки A ij (расходы), связанные с перевозкойединицы продукта из пункта A i (i = 1, m) в пункт B j(j = 1, n). Требуется составить такой план перевозок, который обеспечивалбы при минимальных транспортных издержках удовлетворениеспроса всех пунктов потребления за счет распределения всего продукта,произведенного всеми пунктами поставки.Для разрешимости поставленной задачи необходимо и достаточно,чтобы сумма запасов продукта равнялась сумме спроса на него, т.е.m∑ n∑a i = b j . (8.1)i=1Такую транспортную задачу называют закрытой или задачей c правильнымбалансом, если же условие (8.1) нарушается, – открытой.На практике условие (8.1), как правило, не выполняется. Однако прииспользовании рассматриваемых ниже методов решения предполагает-j=1109

ся, что задача закрытая. Поэтому надо знать, как открытую задачу формальнопреобразовать в закрытую.Если суммарный запас продукта превышает общий спрос, т.е.m∑a i >i=1n∑b j ,j=1то в рассмотрение вводится фиктивный (n + 1)-й пункт потребленияB n+1 со спросом, равным небалансу, т.е.b n+1 =m∑a i −i=1n∑b j ,j=1и одинаковыми тарифами, полагаемыми обычно равными нулю. Теперьусловие разрешимости выполняется, а величина целевой функции остаетсяпрежней, поскольку цены на дополнительные перевозки равны нулю.При этом грузы, которые должны быть перевезены в пункт B n+1 ,фактически останутся в пункте отправления.Если же общий спрос потребителей больше суммарного запаса продукта,то вводится фиктивный (m + 1)-й пункт отправления A m+1 сзапасом продуктаn∑ m∑a m+1 = b j − a i .j=1i=1110

Тарифы на доставку продукта фиктивным поставщиком полагают,как и в предыдущем случае, равными нулю, что не отразится на целевойфункции.Для наглядности поместим все данные сформулированной выше задачив таблицу, которую будем называть распределительной или транспортной.При этом предполагаем, что рассматривается закрытая задача.ПоставщикТаблица 8.1.ПотребительB 1 B 2 . . . B nA 1 c 11 x 11 c 12 x 12 . . . c 1n x 1n a 1A 2 c 21 x 21 c 22 x 22 . . . c 2n x 2n a 2. . . . . . . . . . . . . . . . . .A m c m1 x m1 c m2 x m2 . . . c mn x mn a mПотребностьв грузеb 1 b 2 . . . b nЗапасгрузаСоставим математическую модель задачи. Целевая функция f, выражающаясуммарные транспортные затраты, связанные с реализациейплана X перевозок, запишется в видеm∑ n∑f = c 11 x 11 + c 12 x 12 + . . . + c mn x mn = c ij x ij → min . (8.2)i=1j=1111

Переменные x ij должны удовлетворять ограничениям по запасамn∑x i1 + x i2 + . . . + x in = x ij = a i (i = 1, m) (8.3)и ограничениям по потребностямx 1j + x 2j + . . . + x mj =i=1m∑x ij = b j (j = 1, n). (8.4)Поскольку обратные перевозки не предполагаются, тоi=1x ij ≥ 0 (i = 1, m), (j = 1, n). (8.5)Таким образом, математически транспортная задача (8.2) – (8.5) ставитсяследующим образом. Среди множества решений системы линейныхуравнений (8.3), (8.4) и неравенств (8.5) найти такое решение(x ∗ 11, x ∗ 12, . . . , x ∗ mn), которое доставляет минимум линейной функции(8.2). Отсюда видно, что транспортная задача является задачей линейногопрограммирования и ее можно решать симплекс-методом. Однакоспецифические особенности системы ограничительных уравнений (8.3),(8.4) позволили разработать для транспортной задачи более простые методырешения.Эти особенности состоят в следующем:1) коэффициенты при переменных во всех уравнениях равны либоединице, либо нулю;112

2) каждая переменная встречается в двух и только двух уравнениях:один раз в системе ограничений по запасам и один раз в системеограничений по потребностям;3) система уравнений симметрична относительно всех переменныхx ij .При решении транспортной задачи будем использовать прием последовательногоулучшения плана, предусматривающий следующие этапы:1) построение начального опорного плана;2) оценка этого плана;3) переход от имеющегося опорного плана к новому опорному планус меньшими транспортными затратами.Ранг системы ограничений транспортной задачи (8.2) – (8.5) равенm+n−1 (на единицу меньше m+n за счет связующего условия баланса).Поэтому количество базисных переменных также равно m + n − 1, асвободных mn − (m + n − 1).Циклом, или замкнутым контуром, называется последовательностьклеток (i, j) таблицы 8.1 транспортной задачи, в которой каждые две рядомстоящие клетки находятся в одной строке или одном столбце, приэтом первая и последняя клетки совпадают. Циклы могут быть самойразнообразной конфигурации, однако количество вершин в них всегдачетно, и повороты линий цикла производятся под прямым углом. Решениетранспортной задачи будет ацикличным, если в таблице с этимрешением невозможно построить ни одного цикла, в вершинах которого113

были бы все занятые клетки, или если для любой свободной клетки таблицыможно построить только один цикл, содержащий эту свободнуюклетку, а остальные вершины будут в занятых клетках.Методы составления исходного опорного плана. Первым шагомв решении транспортной задачи является составление исходногоопорного плана, который последовательно улучшается до получения оптимальногорешения. При составлении исходного плана по методу северозападногоугла, первой загружается клетка (1, 1). Если закрывается строка,то следующей загружается клетка (2, 1); если же закрывается столбец,то следующей загружается клетка (1, 2). Итак, каждый раз загружаетсяклетка, соседняя, либо по строке, либо по столбцу (в зависимостиот конкретных данных задачи). Последней будет загружена клетка(m, n). В результате загруженные клетки расположатся вдоль диагонали(1, 1)–(m, n), поэтому способ "северо-западного угла" называютеще диагональным способом. Недостатком данного метода является то,что он не учитывает значения элементов A ij матрицы транспортныхрасходов, в результате чего полученное этим методом начальное распределение(начальный план перевозок) может быть весьма далеким отоптимального.Составление исходного плана методом минимальных элементов. Первойв распределительной таблице загружается клетка с наименьшимтарифом. Далее загружается клетка той же строки (столбца) со следующимпо величине тарифом и т.д. Поскольку при заполнении таб-114

лицы учитываются величины тарифов, то, как правило, построенныйплан оказывается ближе к оптимальному, нежели построенный способомсеверо-западного угла.После составления исходного плана определяется его вырожденность.Вырождение матрицы наступает тогда, кода при особых условиях дальнейшеееё решение невозможно. В данном типе задач вырождение появляетсяпри числе занятых клеток меньшем, чем (m + n − 1), где m –число поставщиков, а n – число потребителей. Для сохранения неизменнымчисла занятых клеток m + n − 1 в свободные клетки помещаютнули, полагая в дальнейшем эти клетки занятыми.Методы нахождения оптимального плана. Распределительныйметод представляет собой разновидность симплексного метода. Решениетранспортной задачи этим методом сводится к следующему. Сначаластроят опорный план задачи методом "северо-западного угла" илиметодом "минимального элемента".После того как будет получен начальный опорный план перевозок,для каждой свободной клетки необходимо построить замкнутый контур,который представляет собой совокупность клеток вида(i 1 , j 1 ) → (i 1 , j 2 ) → . . . → (i s , j s ) → (i s , j 1 ),где i 1 , i 2 . . . i s ; j 1 , j 2 . . . j s – различны.115

Клетку (i 0 , j 0 ), для которой x i0 ,j 0= 0, назовем свободной. Для каждойсвободной клетки существует единственный замкнутый контур, содержащийэту свободную клетку, все остальные клетки которого заняты.Пронумеруем все клетки замкнутого контура, начиная со свободной,которую берем со знаком плюс. Знаки клеток замкнутого контура чередуются.Построив замкнутый контур для свободной клетки, вычисляем алгебраическуюсумму∆ i0 ,j 0= c i1 ,j 1− c i1 ,j 2+ c i2 ,j 2− c i2 ,j 3+ . . . + c is ,j s− c i0, ,j 0,где (i 0 , j 0 ) – свободная клетка. Критерием оптимальности плана будутвсе алгебраические суммы ∆ ij ≥ 0.Наиболее распространенным методом решения транспортной задачи(8.2) – (8.5) является метод потенциалов. По данному опорному плану,у которого число занятых клеток равно m + n − 1, каждому поставщикуи потребителю придается число, называемое потенциалом. Потенциалывыбираются так, чтобы их сумма для каждой загруженной грузомклетки была равна тарифу перевозки единицы груза. Так, если клетка(i, k) базисная (занятая), тоu i + v k = c ik , (8.6)где u i – потенциал i-го поставщика, v k – потенциал k-го потребителя, c ikтариф базисной клетки.116

Решив систему из m + n − 1 уравнений вида u i + v k = c ik , получимзначения потенциалов u i и v k соответственно i-го поставщика и k-го потребителя.Далее вычислим оценки свободных клеток по формуле∆ ij = c ij − (u i + v j ). (8.7)Если для свободных клеток все оценки ∆ ij ≥ 0, то полученный опорныйплан перевозок оптимален. При наличии хотя бы одной оценки∆ ij ≤ 0 в число базисных вводят клетку, для которой оценка ∆ ij минимальна.Для такой клетки строится цикл и производится перемещениегруза так, чтобы баланс цикла сохранялся.i;ki;j203050r;kr;jРисунок 8.1.Например, цикл имеет вид, показанный на рисунке 8.1, где клетка(i, k) свободная. Свободной клетке условно приписываем знак "+" , тогдаследующей клетке по ходу или против хода часовой стрелки – знак117

"−" и т.д.; знаки чередуются. В отрицательных вершинах цикла определяемнаименьшую загрузку клетки, т.е. min(20, 30) = 20.Количество груза, равное 20 единиц прибавляем к поставкам в клеткахсо знаком "+" и вычитаем это же количество груза из поставок вклетках со знаком "−". В результате такого перемещения груза балансцикла не нарушается, хотя изменяются загрузки клеток (рисунок 8.2).i;ki;j201070r;kr;jРисунок 8.2.8.2. Вопросы для самоконтроля1. Сформулируйте математическую модель транспортной задачи.2. В чем отличие открытой от закрытой транспортной задачи?118

3. Сформулируйте методы построения опорного плана транспортнойзадачи.4. Сформулируйте методы нахождения оптимального плана транспортнойзадачи.119

Практическое занятие 6Тема: Транспортная задача и методы ее решенияЦель: Практическое закрепление распределительного метода и методапотенциалов при решении транспортной задачиЗадание 1. На основании следующих данных (таблица 1) составитьоптимальный план перевозок, при котором транспортные издержки былибы минимальными.Таблица 1.ПоставщикиПотребителиB 1 B 2 B 3ЗапасыA 1 4 1 3 15A 2 2 0 1 10A 3 3 5 6 15Потребностьв грузе12 8 20 40◭ Составим план перевозок по правилу "северо-западного угла".f 1 = 12 · 4 + 3 · 1 + 5 · 0 + 5 · 1 + 15 · 6 = 146.120

Таблица 2.ПоставщикиПотребителиB 1 B 2 B 3ЗапасыA 1 12 4 31 315A 22505110A 33 515 6 15Потребностьв грузе12 8 20 40Проведем оценку свободных клеток (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 2):∆ 13 = 3 − 1 + 0 − 1 = 1, ∆ 21 = 2 − 4 + 1 − 0 = −1,∆ 31 = 3 − 6 + 1 − 0 + 1 − 4 = −5,∆ 32 = 5 − 6 + 1 − 0 = 0.Из этих вычислений следует, что в клетку (3, 1) необходимо поместитьгруз, равный min(15, 5, 12) = 5. Производим смещение по циклузамкнутого контура для клетки (3, 1); в результате получаем второйплан перевозок (таблица 3).x 11 = 7, x 12 = 8, x 13 = 0, x 21 = 0, x 22 = 0, x 23 = 10,x 31 = 5, x 32 = 0, x 33 = 10.121

Таблица 3.ПоставщикиПотребителиB 1 B 2 B 3ЗапасыA 1 7481 315A 22 010 1 10A 3 53 510 6 15Потребностьв грузе12 8 20 40При этом плане значение целевой функцииf 2 = 7 · 4 + 5 · 3 + 8 · 1 + 10 · 1 + 10 · 6 = 121.Проведем оценку свободных клеток (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 2).∆ 13 = 3 − 4 + 3 − 6 = −4, ∆ 22 = 0 − 1 + 3 − 1 = 1,∆ 21 = 2 − 3 + 6 − 1 = 4, ∆ 32 = 5 − 3 + 4 − 1 = 5.Перспективной клеткой является клетка (1, 3). Смещение чисел, стоящихв клетках замкнутого контура для клетки (1, 3), уменьшает значениецелевой функции на 28. Смещение значений по замкнутому контуруприводит к новому плану перевозок.x 11 = 0, x 21 = 0, x 31 = 12, x 12 = 8, x 22 = 0, x 32 = 0,122

x 13 = 7, x 23 = 10, x 33 = 3.Таблица 4.ПоставщикиПотребителиB 1 B 2 B 3ЗапасыA 14817315A 22 010 1 10A 3 12 3 5 3615Потребностьв грузе12 8 20 40При этом плане значение целевой функцииf 3 = 12 · 3 + 8 · 1 + 7 · 3 + 10 · 1 + 3 · 6 = 93.Свободными клетками являются (1, 1), (2, 1), (2, 2), (3, 2). Оценив их,найдем:∆ 11 = 4 − 3 + 6 − 3 = 4, ∆ 22 = 0 − 1 + 3 − 1 = 1,∆ 21 = 2 − 1 + 6 − 3 = 4, ∆ 32 = 5 − 6 + 3 − 1 = 1.Дальнейшее уменьшение значения целевой функции невозможно, таккак все значения ∆ ij неотрицательны; следовательно, третий план перевозок(таблица 4) со значением целевой функции f 3 = 93 являетсяоптимальным. ◮123

Задание 2. Проверить выполнение условия баланса и привести транспортнуюзадачу к виду, где условие баланса выполнено. Затем решить.Матрица стоимости перевозок⎡⎣3 12 7 154 6 8 95 10 6 7i=1i=1i=1Вектор запасов A = (120, 85, 75). Вектор заявок B = (90, 70, 60, 80).∑◭ m n∑m∑ ∑a i = 280, b j = 300, a i < n b j . Таким образом, задача открытоготипа. Введем в рассмотрение фиктивного поставщика A 4 с запасомравным 20 и нулевыми тарифами. Составим экономико-математическуюмодель, обозначив через x ij объем поставки i-м поставщиком j-мупотребителю (i = 1, 4, j = 1, 4). Целевую функцию f надо минимизировать.Клетки загружаем методом "северо-западного угла".Данные задачи можно записать в виде таблицы 5. Загружено клетокm + n − 1 = 4 + 4 − 1 = 7, так что план невырожденный. Для исследованияего на оптимальность составляем систему уравнений (8.6) дляопределения потенциалов. Затем по формуле (8.7) определяем оценкисвободных клеток.i=1⎤⎦ .u 1 + v 1 = 3, u 1 = 0, v 1 = 3,u 1 + v 2 = 12, v 2 = 12,124

u 2 + v 2 = 6, u 2 = −6,u 2 + v 3 = 8, v 3 = 14,u 3 + v 3 = 6, u 3 = −8,u 3 + v 4 = 7, v 4 = 15,u 4 + v 4 = 0, u 4 = −15,Таблица 5.ПоставщикиПотребителиB 1 B 2 B 3 B 4ЗапасыA 1 90 3 30 − 12 ⊕7 15120A 2440 ⊕ 6 – 45 8 9 85A 35 1015 6 60 7 75A 40 0 020 0 20Потребностьв грузе90 70 60 80∆ 13 = c 13 − (u 1 + v 3 ) = 7 − (0 + 14) = −7,∆ 14 = c 14 − (u 1 + v 4 ) = 15 − (0 + 15) = 0,∆ 21 = c 21 − (u 2 + v 1 ) = 4 − (−6 + 3) = 7,125

∆ 24 = c 24 − (u 2 + v 4 ) = 9 − (−6 + 15) = 0,∆ 31 = c 31 − (u 3 + v 1 ) = 5 − (−8 + 3) = 10,∆ 32 = c 32 − (u 3 + v 2 ) = 10 − (−8 + 12) = 6,∆ 41 = c 41 − (u 4 + v 1 ) = 0 − (−15 + 3) = 12,∆ 42 = c 42 − (u 4 + v 2 ) = 0 − (−15 + 12) = 3,∆ 43 = c 43 − (u 4 + v 3 ) = 0 − (−15 + 14) = 1.Среди оценок есть одна отрицательная, поэтому план неоптимальныйи его следует улучшить, загружая клетку (1, 3). Исследуя этот план наоптимальность, находим потенциалы и оценки свободных клеток.Таблица 6.ПоставщикиПотребителиB 1 B 2 B 3 B 4ЗапасыA 1 90 3 12 30 7 15 120A 2470 6 15 8 9 85A 35 1015 6 60 7 75A 40 0 020 0 20Потребностьв грузе90 70 60 80126

u 1 + v 1 = 3, u 1 = 0, v 1 = 3,u 1 + v 3 = 7, v 3 = 7,u 2 + v 2 = 6, v 2 = 5,u 2 + v 3 = 8, u 2 = 1,u 3 + v 3 = 6, u 3 = −1,u 3 + v 4 = 7, v 4 = 8,u 4 + v 4 = 0, u 4 = −8,∆ 12 = c 12 − (u 1 + v 2 ) = 12 − (0 + 5) = 7,∆ 14 = c 14 − (u 1 + v 4 ) = 15 − (0 + 8) = 7,∆ 21 = c 21 − (u 2 + v 1 ) = 4 − (1 + 3) = 0,∆ 24 = c 24 − (u 2 + v 4 ) = 9 − (1 + 8) = 0,∆ 31 = c 31 − (u 3 + v 1 ) = 5 − (−1 + 3) = 3,∆ 32 = c 32 − (u 3 + v 2 ) = 10 − (−1 + 5) = 6,∆ 41 = c 41 − (u 4 + v 1 ) = 0 − (−8 + 3) = 5,∆ 42 = c 42 − (u 4 + v 2 ) = 0 − (−8 + 5) = 3,∆ 43 = c 43 − (u 4 + v 3 ) = 0 − (−8 + 7) = 1.127

Отрицательных оценок нет, следовательно, данный опорный план являетсяоптимальным, но он неединственный, так как есть оценки равныенулю. Тогда целевая функция для данного случая будет равнаf = 90 · 3 + 30 · 7 + 70 · 6 + 15 · 8 + 15 · 6 + 60 · 7 = 1530. ◮128

ЛЕКЦИЯ 9Целочисленное программирование. Метод Гомори9.1. Постановка задачи целочисленной оптимизацииПод задачей целочисленного программирования понимаетсязадача, в которой все или некоторые переменные должны принимать целыезначения. В том случае, когда ограничения и целевая функция представляютсобой линейные зависимости, задачу называют целочисленнойзадачей линейного программирования. В противном случае, когда хотябы одна зависимость будет нелинейной, это будет целочисленной задачейнелинейного программирования. Если требование целочисленностираспространяется на часть неизвестных величин задачи, то такая задачаназывается частично целочисленной.Целочисленное программирование возникло в 50–60-е годы XX векаиз нужд практики – главным образом в работах американских математиковДж. Данцига и Р. Гомори. Первоначально целочисленное программированиеразвивалось независимо от геометрии чисел на основетеории и методов математической оптимизации, прежде всего, линейногопрограммирования. Однако в последнее время исследования в этомнаправлении все чаще проводятся средствами математики целых чисел.Задачи такого типа весьма актуальны, так как к их решению сводитсяанализ разнообразных ситуаций, возникающих в экономике, технике,129

военном деле и других областях. С появлением ЭВМ, ростом их производительностиповысился интерес к задачам такого типа и к математикев целом.Целочисленным (иногда его называют также дискретным)программированием называется раздел математического программирования,изучающий экстремальные задачи, в которых на искомые переменныенакладывается условие целочисленности, а область допустимыхрешений конечна. Огромное количество экономических задач носит целочисленныйхарактер, что связано, как правило, с физической неделимостьюмногих элементов расчета: например, нельзя построить два с половинойзавода, купить полтора автомобиля и т.д. В ряде случаев такиезадачи решаются обычными методами, например, симплексным методом,с последующим округлением до целых чисел. Однако такой подходоправдан, когда отдельная единица составляет очень малую часть всегообъема (например, товарных запасов); в противном случае он можетвнести значительные искажения в действительно оптимальное решение.Большинство целочисленных задач, таких как задача с неделимостями,принадлежит к разряду так называемых трудно решаемых. Этоозначает, что вычислительная сложность алгоритма их точного решениясравнима по трудоемкости с полным перебором вариантов. Получениеих точного решения не может быть гарантировано, хотя для некоторыхзадач данного типа существуют эффективные методы, позволяющие находитьточное решение даже при больших размерностях.130

Для решения целочисленных задач используются следующие методы:1) симплекс-метод (для транспортных задач, задач о назначениях);2) метод отсечения (метод Гомори);3) метод ветвей и границ (в общем случае не обеспечивает полученияточного решения);4) эвристические методы (не обеспечивают получения точного решения).Последняя группа методов может использоваться в случаях, когдаприменение предыдущих методов невозможно или не приводит к успеху.Кроме того, эвристические методы можно использовать для решениязадач любой сложности.Математическая модель задачи целочисленного программированияпредставлена в виде:n∑f = c j x j → max, (9.1)j=1n∑ ( )a ij x j = b i i = 1, m , (9.2)j=1x j ≥ 0(j = 1, n), (9.3)x j(j = 1, n)целые [9, с. 174]. (9.4)Ограничения (9.2) определяют выпуклую область OABCD в n-мерномпространстве, как показано на рисунке 9.1.131

x jRDHGCFBRОEAx iРисунок 9.1. – ОДР задачи целочисленного программированияУзлы целочисленной решетки на рисунке 9.1 изображены точками.Такие точки, расположенные внутри области OABCD, являются допустимымирешениями задачи целочисленного программирования. Ее оптимальныерешения всегда располагаются на границе области решений.В данном случае граничные точки не являются даже допустимыми решениями,поскольку ни одна из них не целочисленная. Предположим,что область допустимых решений сужена до выпуклой оболочки допустимыхцелых точек внутри допустимой области. На рисунке 9.1 этавыпуклая оболочка показана затененной областью OEFGH. Эту затененнуюобласть можно рассматривать как область допустимых решенийнекоторой другой задачи линейного программирования. Действи-132

тельно, если к задаче линейного программирования, определяющей допустимуюобласть OABCD, добавить ограничение типа RR’, как показанона рисунке 9.1, то вновь полученная задача будет иметь OEFGHв качестве области допустимых решений. Такая вновь полученная областьобладает двумя важными свойствами: во-первых, она содержитвсе допустимые целочисленные точки исходной задачи линейного программирования(поскольку она является выпуклой оболочкой этих точек),во-вторых, все крайние точки новой области – целочисленные. Поэтомулюбое базисное оптимальное решение модифицированной задачилинейного программирования имеет своими компонентами целые числаи является оптимальным решением исходной задачи целочисленногопрограммирования.Именно алгоритм целочисленного программирования, который будетописан ниже, реализует методы систематического введения дополнительныхограничений с целью сведения исходной допустимой областик выпуклой оболочке ее допустимых целочисленных точек.9.2. Экономические задачи целочисленногопрограммированияЗначительная часть экономических задач, относящихся к задачам линейногопрограммирования, требует целочисленного решения. К ним относятсязадачи, у которых переменные величины означают количество133

единиц неделимой продукции, например распределение производственныхзаданий между предприятиями, загрузка оборудования, распределениесудов по линиям и другие. Рассмотрим некоторые из них.Задача оптимального использования оборудования. На предприятииимеется m видов оборудования (станков) соответственно в количествеb i(i = 1, m)единиц. На каждом виде оборудования можно изготавливатьn видов деталей, которые входят в комплект соответственнов количестве k j(j = 1, n)единиц.Пусть a ij – производительность i-го вида оборудования при изготовленииj-го вида детали. Необходимо составить план выпуска использованияоборудования, который обеспечит максимальный выпуск комплектнойпродукции. Обозначим через x ij количество i-го оборудования, накотором изготавливаются детали j-го вида. За единицу времени их будетпроизведено a ij x ij единиц, а на всех видах оборудования:Z j =m∑ ( )a ij x ij j = 1, n .i=1Так как в комплект должно входить k деталей, то отношения Z j /k j(j= 1, n)определяют количество комплектов, которое можно составитьиз деталей j-го вида. Количество полных комплектов по всем видам деталейопределяется наименьшим из этих отношений. Для соблюденияусловия полной комплектности, очевидно, должно выполняться равен-134

ство отношений:Z 1 /k 1 = Z 2 /k 2 = . . . = Z j /k j = . . . = Z n /k n .Откуда получаем n − 1 ограничений по комплектности:( ) ∑ m (Z j /k j = Z 1 /k 1 j = 2, n , a ij x ij − k )ja i1 x i1 = 0 ( j = 2, n ) .k 1i=1Так как оборудование используется полностью, то получаем еще mограничений:n∑ ( )x ij = b i i = 1, m , xij ≥ 0 ( i = 1, m; j = 1, n ) .j=1Таким образом, математическая модель задачи оптимального использованияоборудования запишется в виде:⎧⎪⎨⎪⎩f = min1≤j≤n1k jm∑i=1a ij x ij → max,n∑ ( )x ij = b i i = 1, m ,m∑ ()a ij x ij − k jk 1a i1 x i1 = 0 ( j = 2, n ) ,j=1i=1x ij ≥ 0 ( i = 1, m; j = 1, n ) и целые.135

Задача оптимальной загрузки транспортного средства. Транспортноесредство грузоподъемностью P и вместимостью V загружаетсяn неделимыми различными предметами. Каждый(из предметов)характеризуетсявесом p j , стоимостью c j и объемом v j j = 1, n . Требуется загрузитьсудно предметами таким образом, чтобы суммарная стоимостьих была максимальной и выполнялись ограничения по грузоподъемностии вместимости.Обозначим через x j неизвестные параметры задачи, при этом{x j =1, если j − предмет загружается на транспортное средство j = 1, n,0, в противном случае.С учетом обозначения математическая модель задачи имеет вид⎧⎪⎨⎪⎩f =n∑c j x j → max,j=1n∑p j x j ≤ P,j=1n∑v j x j ≤ V,j=1x j ≥ 0 ( j = 1, n ) и целые.При составлении модели экономической задачи следует учитывать, что,как правило, невозможно точно выразить в форме уравнений и нера-136

венств все количественные связи экономического процесса, поэтому приходитсяограничиваться только основными из них.Все без исключения количественные связи различных экономическихпроцессов не могут быть выражены в модели по следующим причинам;1) полная информация о всех факторах, влияющих на данный процесс,отсутствует;2) невозможно количественно соизмерить некоторые факторы;3) с увеличением числа факторов чрезвычайно усложняется модель,что затрудняет ее практическое применение.Несмотря на это, использование математических методов играет важнуюроль в планировании и управлении.9.3. Алгоритм метода Гомори. Геометрическая иллюстрацияметода ГомориМетод Гомори основан на применении симплекс-метода и метода отсечения.Идея его достаточно проста и заключается в следующем.Сначала находится оптимальное решение задачи целочисленного программированиясимплекс-методом. Если полученное решение целочисленное,то цель достигнута. Если же оптимальное решение не являетсяцелочисленным, то в условия задачи вводится дополнительное ограничение,которое отсекает от области допустимых решений полученноенецелочисленное решение и не отсекает от нее ни одной точки с цело-137

численными координатами. Далее симплекс-методом решается расширеннаязадача, т.е. находится ее опорное и оптимальное решение. Еслиновое решение не будет целочисленным, то вводится еще одно дополнительноеограничение. Процесс построения дополнительных ограниченийи решения задачи симплекс-методом продолжается до тех пор, пока небудет найдено оптимальное целочисленное решение или не будет установлено,что его не существует.Приведем алгоритм метода Гомори.1. Симплекс-методом находят оптимальный план задачи (9.1)–(9.3)(таблица 9.1). Если в таблице 9.1 все свободные члены β 1 , . . . , β m целые,то план (β 1 , . . . , β m , 0, . . . , 0) является оптимальным и для исходнойзадачи (9.1)–(9.4). Если задача (9.1)–(9.3) неразрешима, то и задача(9.1)–(9.4) неразрешима. Если среди свободных членов β 1 , . . . , β m естьнецелые, о переходят к пункту 2 алгоритма.2. Среди нецелых свободных членов выбирают, например, тот, которыйимеет наибольшую дробную часть. Пусть в нашем случае таковымявляется β k . По строке x jk формируют правильное отсечение в виденеравенства{α k,m+1 } x jm+1 + {α k,m+2 } x jm+2 + . . . + {α k,n } x jn ≥ {β k } (9.5)3. Неравенство (9.5) введением дополнительной неотрицательной целочисленнойпеременной x n+1 преобразовывают в эквивалентное урав-138

Таблица 9.1.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍С.Ч. −x jm+1 −x jm+2 . . . −x jnx j1 = β 1 α 1,m+1 α 1,m+2 . . . α 1,nx j2 = β 2 α 2,m+1 α 2,m+2 . . . α 2,n. . . . . . . . . . . . . . . . . .x jk = β k α k,m+1 α k,m+2 . . . α k,n. . . . . . . . . . . . . . . . . .x jm = β m α m,m+1 α m,m+2 . . . α m,nf = γ 0 γ m+1 γ m+2 . . . γ nнение{α k,m+1 } x jm+1 + {α k,m+2 } x jm+2 + . . . + {α k,n } x jn − x n+1 = {β k } (9.6)4. Расширяют таблицу 9.1 за счет включения в нее дополнительнойстроки для составленного уравнения (9.6) (таблица 9.2), получая темсамым симплексную таблицу для расширенной задачи.5. Составленную расширенную задачу вновь решают симплекс-методом.Если оптимальный план будет целочисленным, то он и станет решениемисходной задачи (9.1)–(9.4). В противном случае возвращаютсяк пункту 2 алгоритма.139

Таблица 9.2.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍С.Ч. −x jm+1 −x jm+2 . . . −x jnx j1 = β 1 α 1,m+1 α 1,m+2 . . . α 1,nx j2 = β 2 α 2,m+1 α 2,m+2 . . . α 2,n. . . . . . . . . . . . . . . . . .x jk = β k α k,m+1 α k,m+2 . . . α k,n. . . . . . . . . . . . . . . . . .x jm = β m α m,m+1 α m,m+2 . . . α m,nx n+1 = − {β k } − {α k,m+1 } − {α k,m+2 } . . . − {α k,n }f = γ 0 γ m+1 γ m+2 . . . γ nЕсли задача разрешима в целых числах, то через конечное число итерацийоптимальный целочисленный план будет найден.Если в процессе решения появится строка с нецелым свободным членоми целыми остальными коэффициентами, то соответствующее уравнениене имеет решения в целых числах. В таком случае и исходнаязадача неразрешима в целых числах [9, с. 176–178].Геометрическая иллюстрация метода Гомори осуществляется с помощьюграфического поля, на которое нанесена целочисленная решетка(рисунок 9.2).140

x 2864BLNEFCM(1)2AK(3)f ( x) K Dmax0 2 4 6(2) fmax ( целочисленные)x 1Рисунок 9.2. – Геометрическая иллюстрация метода ГомориНа рисунке 9.2 максимальное значение функции в области допустимыхрешений (четырехугольник ABCD) достигается в нецелочисленнойточке С. После построения первого дополнительного ограничения,прямая линия которого на рисунок 9.2 проходит через точки Е и F,максимальное значение функции в новой области допустимых решений(многоугольник ABEFD) достигается в нецелочисленной точке F. При141

включении в систему ограничений второго дополнительного ограничения,прямая которого проходит через точки E и K, максимум функциидостигается в нецелочисленной точке Е в области допустимых решений,представленной многоугольником ABEKD. А после включенияв систему ограничений третьего дополнительного ограничения, прямаякоторого проходит через точки L и М, найдено максимальное значениефункции в целочисленной точке N с координатами (2;4) многоугольникаABLNKD.Нетрудно увидеть, что дополнительные ограничения отсекали тольконецелочисленные точки, и не была отсечена ни одна целочисленнаяточка [4, с 133–134].В качестве преимуществ метода Гомори можно рассматривать его эффективностьи точность, т.к. в результате решения получается наиболееоптимальное значение задачи. К недостаткам метода можно отнести:– трудоемкость (в некоторых задачах для расчета симплексных таблицнеобходимо производить множество расчетов);– громоздкость (решение достаточно объемно, т.к. приходится искатьоптимальные значения сначала симплекс-методом, а затем методом отсечения,который также может применяться несколько раз);– малая применимость (метод применяется для задач с небольшимколичеством переменных, т.к. при увеличении их числа происходит значительноеувеличение трудоемкости вычислений).142

9.4. Вопросы для самоконтроля1. Сформулируйте постановку задачи целочисленной оптимизации.2. Приведите примеры задач, приводящие к целочисленной оптимизации.3. Сформулируйте алгоритм Гомори решения задачи целочисленнойоптимизации.143

ЛЕКЦИЯ 10Целочисленное программирование. Метод ветвей и границ10.1. Метод ветвей и границ решения задач целочисленноголинейного программированияСуть метода и технология его применения заключаются в том, чтосначала в ОДР системы ограничений θ находится оптимальное решениезадачи симплекс-методом без учета условия целочисленности (рассмотримзадачу нахождения максимума функции.). Если в полученномрешении некоторые переменные имеют дробные значения, то выбираемлюбую из дробных переменных и по ней строим два ограничения.В одном ограничении величина переменной меньше или равна наибольшемуцелому числу, не превышающему значения дробной переменной воптимальном решении, а в другом ограничении она больше или равнанаименьшему целому значению, но не меньше значения дробной переменной.Если, например, дополнительные ограничения строить по переменнойx 2 = 9/2 (4 ≤ 9/2 ≤ 5), то первое ограничение будет x 2 ≤ 4, а второеx 2 ≥ 5, этим мы исключаем из ОДР исходной задачи промежуток сдробными значениями неизвестной x 2 (4 ≤ x 2 ≤ 5). Этот промежутокразбивает ОДР θ на две части: θ 1 и θ 2 где θ 1 – новая ОДР, полученная144

добавлением к ограничениям исходной задачи дополнительного ограниченияx 2 ≤ 4, а θ 2 – добавлением ограничения x 2 ≥ 5.В результате разбиения ОДР θ получены две новые задачи (подзадачи)линейной оптимизации. Если после их решения полученные значениянеизвестных будут не целочисленные, то, сравнив значения функцийэтих задач, выбираем задачу с большим значением функции и поновой неизвестной с дробным значением строим снова два дополнительныхограничения (третье и четвертое) и разбиваем эту задачу еще надве новые подзадачи. В результате получаем ветви, изображенные нарисунке 10.1.Ветвление заканчивается нахождением целочисленного решения, еслионо существует. Границами в методе выступают значения функцийзадач каждой ветви. На каждом этапе решения задачи дальнейшемуветвлению (разбиению на новые задачи) подлежит та ветвь (задача), укоторой значение функции больше. Поэтому отдельные подзадачи (ветви),у которых значение функции меньше, могут быть отброшены. Однакоиногда, сравнивая значения функций подзадач, приходится возвращатьсяк ветвям, которые ранее были отброшены, и продолжать дальнейшеерешение от них.Поскольку множество всех решений задачи ЦЛО конечно, то послеконечного числа разбиений исходной задачи на подзадачи оптимальноерешение будет найдено.145

Рисунок 10.1. – Схема разбиения задачи на подзадачи целочисленной оптимизации146

10.2. Вопросы для самоконтроля1. Сформулируйте алгоритм метода ветвей и границ решения задачцелочисленного программирования.2. Схематически проиллюстрируйте суть метода ветвей и границ.147

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 7Тема: Метод Гомори решения задач целочисленного линейного программирования.Метод ветвей и границ при решении задач целочисленноголинейного программирования.Цель: Практическое закрепление методов Гомори и ветвей границпри решении задач целочисленного линейного программированияЗадание 1. На производственном участке предприятия необходимоустановить оборудование трех типов. Стоимость единицы оборудованияпервого типа составляет 5 млрд. руб., второго – 3 млрд. руб. и третьего– 2 млрд. руб. На закупку оборудования предприятие располагаетсредствами в 15 млрд. руб. Площадь производственного участка дляразмещения оборудования составляет 25 м 2 . Производительность единицыкаждого типа оборудования равна соответственно 1 тыс. единиц,2 тыс. единиц и 3 тыс. единиц продукции в смену. Требуется определить,сколько оборудования каждого типа закупать, чтобы получить максимальнуюпроизводительность производственного участка, если известно,что для установки единицы оборудования первого типа, с учетомпроходов, требуется 6 м 2 площади, второго – 4 и третьего – 3 м 2 .◭ 1. Обозначим через x 1 , x 2 и x 3 количество закупаемого оборудованиякаждого типа. Тогда математическая модель задачи запишется148

следующим образом:⎧⎨⎩f = x 1 + 2x 2 + 3x 3 → max6x 1 + 4x 2 + 3x 3 ≤ 25;5x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≤ 15;x j ≥ 0 ( j = 1, 3 ) и целые.Решаем задачу симплекс-методом без условия целочисленности. Приведемсистему ограничений к каноническому виду. Добавим к левымчастям ограничений неотрицательные дополнительные неизвестные x 4и x 5 :⎧⎨ 6x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 25;5x⎩ 1 + 3x 2 + 2x 3 + x 5 = 15;x j ≥ 0 ( j = 1, 3 ) .Выразим из системы ограничений базисные неизвестные x 4 и x 5 :⎧⎨ x 4 = −6x 1 − 4x 2 − 3x 3 + 25 ≥ 0;x 5 = −5x 1 − 3x 2 − 2x 3 + 15 ≥ 0;⎩x j ≥ 0 ( j = 1, 3 ) .Занесем коэффициенты системы ограничений и функции в симплекснуютаблицу (таблица 1).Решение в таблице 1 опорное, так как базисные неизвестные принимаютположительные значения. Переходим к поиску оптимального149

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 1.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 3 t ≥ 0x 4 = 25 6 4 3 25/3x 5 = 15 5 3 2 15/2f = 0 −1 −2 −3решения. В строке функции наибольший по абсолютной величине (средиотрицательных) элемент находится в третьем столбце, поэтому этотстолбец берем за разрешающий. Разрешающую строку находим по наименьшемусимплексному отношениюt = min( 253 ; 152)= 152 .Наименьшее симплексное отношение соответствует второй строке, следовательно,она будет разрешающей. Выделим в таблице разрешающийэлемент, который находится на пересечении разрешающих строкии столбца.Рассчитаем элементы новой симплексной таблицы (таблице 2).В таблице 2 получено оптимальное решение:x 1 = 0; x 2 = 0; x 3 = 15/2; x 4 = 5/2; x 5 = 0; f = 45/2.150

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 2.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 5x 4 = 5/2 −3/2 −1/2 −3/2x 3 = 15/2 5/2 3/2 1/2f = 45/2 13/2 5/2 3/2Однако это решение не удовлетворяет условию целочисленности, таккак обе базисные переменные получили нецелые значения. Определимиз них ту, которая имеет наибольшую дробную часть:{5/2} = 5/2 − [2] = 1/2;{15/2} = 15/2 − [7] = 1/2.Поскольку дробные части у базисных переменных одинаковые, тосформируем правильное отсечение, например, по строке x 4 .2. Правильное отсечение в данном случае имеет вид:{−3/2} x 1 + {−1/2} x 2 + {−3/2} x 5 ≥ {5/2} .Находим дробные части:{−3/2} = −3/2 − [−2] = 1/2;151

{−1/2} = −1/2 − [−1] = 1/2;{5/2} = 5/2 − [2] = 1/2.Правильное отсечение принимает следующий вид:1/2x 1 + 1/2x 2 + 1/2x 5 ≥ 1/2.3. Преобразовываем полученное неравенство в эквивалентное уравнение:1/2x 1 + 1/2x 2 + 1/2x 5 − x 6 = 1/2,илиx 6 = 1/2x 1 + 1/2x 2 + 1/2x 5 − 1/2, (1)где x 6 ≥ 0 и целое.4. На основе таблице 2 составляем таблицу 3 расширенной задачипутем присоединения строки для уравнения (1).5. Решаем расширенную задачу симплекс-методом. Замечаем, что содержавшийсяв таблице 3 план опорным не является (в столбце свободныхчленов имеется отрицательный элемент −1/2). Поэтому, преждевсего, необходимо найти опорный план. Для этого за разрешающийпримем, например, первый столбец и найдем в нем минимальное симплексноеотношение:min (15/2 : 5/2; (−1/2) : (−1/2)) = min (3; 1) = 1.152

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 3.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 5 t ≥ 0x 4 = 5/2 −3/2 −1/2 −3/2 −x 3 = 15/2 5/2 3/2 1/2 3x 6 = −1/2 −1/2 −1/2 −1/2 1f = 45/2 13/2 5/2 3/2❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 4.С.Ч. −x 6 −x 2 −x 5 t ≥ 0x 4 = 4 −3 1 0 −x 3 = 5 5 1 −2 −x 1 = 1 −2 1 1 1f = 4 13 −4 −5Таким образом, разрешающим будет элемент -1/2. Выполним с нимсимплексное преобразование.Решение в таблице 4 опорное, переходим к поиску оптимального решения.В строке функции наибольший по абсолютной величине (сре-153

ди отрицательных) элемент находится в третьем столбце, поэтому этотстолбец берем за разрешающий. Разрешающую строку находим по наименьшемусимплексному отношению, которое соответствует третьей строке.Рассчитываем новую таблицу.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 5.С.Ч. −x 6 −x 2 −x 1x 4 = 4x 3 = 7x 5 = 1f = 21 3 1 5✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏В таблице 5 содержится опорный план, оказавшийся одновременно иоптимальным, и целочисленным. Итак, ¯x ∗ F = (0; 0; 7) и f F ∗ = 21. Значит,предприятию надо закупить 7 единиц оборудования третьего типа. Приэтом из денежных средств останется 1 млрд. руб. (x ∗ 5 = 1), а 4 м 2 производственнойплощади не будут использованы (x ∗ 4 = 4). Максимальнаясменная производительность нового участка будет составлять 21 тыс.ед. продукции. ◮154

Задание 2. Найти оптимальное целочисленное решение следующейзадачи методом ветвей и границf = x 1 + 2x 2 → maxпри ограничениях { 7x1 + 5x 2 ≤ 35,−2x 1 + 3x 2 ≤ 6,x 1 , x 2 ≥ 0, целые.◭ Для наглядности решение осуществим графическим методом. ОДРзадачи является многоугольник OAВС (рисунок 1). В точке В находитсямаксимальное значение функции: f B max = 9, 64 при x 1 = 2, 42 и x 2 = 3, 61.Поскольку значения неизвестных дробные, то разобьем по неизвестнойx 2 ОДР задачи на две части. Одна будет содержать множество точек,у которых x 2 ≤ 3, а вторая – у которых x 2 ≥ 4. В результатеполучаем две новые задачи линейной оптимизации: № 2 и № 3 (исходнаязадача имеет № 1).⎧⎪⎨⎪⎩Задача № 2⎧Задача № 3f = x 1 + 2x 2 → max f = x 1 + 2x 2 → max7x 1 + 5x 2 ≤ 35, ⎪⎨ 7x 1 + 5x 2 ≤ 35,−2x 1 + 3x 2 ≤ 6, −2x 1 + 3x 2 ≤ 6,x 2 ≤ 3,x ⎪⎩ 2 ≥ 4,x 1 , x 2 ≥ 0.x 1 ≥ 0.155

x 2864B2Af max42OKC0 2 4 6f 0x 1Рисунок 1. – Графический метод решения задачиИз рисунка 2 видно, что ни одна целочисленная точка исходной ОДРне потеряна. ОДР задачи № 2 является многоугольник OADEC. В точкеЕ с координатами x 1 = 2, 86 и x 2 = 3 функция достигает максимальногозначения f E max = 8, 86.156

x 28642ADBEx2 4x2 342OC0 2 4 6x 1Рисунок 2. – Промежуточный этап решения задачиРешение задачи № 2 не является целочисленным. Что касается задачи№ 3, то ее ОДР пустая. Ограничения этой задачи противоречивы, и онане имеет решения.157

Продолжая решение, разобьем ОДР задачи № 2 на два подмножествапо неизвестной x 1 = 2, 86. В результате получим две новые задачи № 4и № 5 с соответствующими дополнительными ограничениями x 1 ≤ 2 иx 1 ≥ 3.⎧⎪⎨⎪⎩Задача № 4 Задача № 5⎧f = x 1 + 2x 2 → max f = x 1 + 2x 2 → max7x 1 + 5x 2 ≤ 35, 7x 1 + 5x 2 ≤ 35,⎪⎨−2x 1 + 3x 2 ≤ 6, −2x 1 + 3x 2 ≤ 6,x 2 ≤ 3,x 2 ≤ 3,x 1 ≤ 2,x ⎪⎩ 1 ≥ 3,x 1 , x 2 ≥ 0.x 1 ≥ 0.ОДР этих задач представлены на рисунке 3. ОДР задачи № 4 являетсямногоугольник OADFK. Максимальное значение функции достигаетсяв точке F c координатами x 1 = 2 и x 2 = 3, f F max = 8. Таким образом,получено целочисленное решение задачи № 4.ОДР задачи № 5 является треугольник LMC. Максимальное значениефункция достигает в точке L с координатами x 1 = 3 и x 2 = 2, 8;f L max = 8, 6. Так как значение функции целочисленного решениязадачи № 4 f F max = 8 меньше f L max = 8, 6, то дальнейшему разбиениюна две задачи № 6 и № 7 подлежит задача № 5 по нецелочисленнойнеизвестной x 2 = 2, 8. Не проводя дополнительных построений, отметим,что ОДР задачи № 6 с дополнительным ограничением x 2 ≥ 3 не158

x 28x1 2 x1 36x 042ADBF LEx2 4x2 342OK M C0 2 4 6x 1Рисунок 3. – Оптимальное решение задачи целочисленной оптимизациисуществует, а значение функции в оптимальном целочисленном решениизадачи № 7 с дополнительным ограничением x 2 ≤ 2 равно 7, что меньшеf F max = 8. Таким образом, целочисленное решение исходной задачиследующее: x 1 = 2, x 2 = 3, f F max = 8. ◮159

ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ 1,2Тема: Метод Гомори и метод ветвей и границ решения задач целочисленноголинейного программирования.Цель: Практическое закрепление метода Гомори и метода ветвей играниц при работе на компьютере.Задача 1. Найти оптимальное целочисленное решение задачи:⎧⎪⎨⎪⎩f = x 4 − x 5 → minx 1 + x 4 − 2x 5 = 1;x 2 − 2x 4 + x 5 = 2;x 3 + 3x 4 + x 5 = 3;x j ≥ 0( j = 1, 5 ) и целые.◭ Введем исходные данные задачи в ЭВМ (рисунок 1).Ввод в ячейку каждого коэффициента при неизвестной заканчиваетсянажатием клавиши Enter. Под значения переменных отведем массивВ3:F3. Для удобства вычислений установим их значения, например, равные1. В массиве H6:H8 запишем знаки равенств, в массив I6:I8 занесемправые части системы ограничений, а в массив G6:G8 – формулы, соответствующиесумме произведений значений переменных на коэффициентыпри этих переменных.160

12345678910А B C D E F GH IИМЯЗначениеФункцияX110100ПЕРЕМЕННЫЕX2 X3 X41 1 10 0 1ОГРАНИЧЕНИЯ0100011-23X511=СУММПРОИЗВ(B3:F3;B4:F4) minЗНАК2=СУММПРОИЗВ(B3:F3;B6:F6) 11 =СУММПРОИЗВ(B3:F3;B7:F7) 21 =СУММПРОИЗВ(B3:F3;B8:F8) 3Рисунок 1. – Ввод условия задачи целочисленного программирования в ExcelЧтобы сформировать формулу в ячейке G4, щелкнем по кнопке функциина панели инструментов. На экране появится диалоговое окно Мастерфункций. В поле Категория выделим Математические, щелкнувлевой кнопкой мыши по названию этой категории. Переведем курсорв поле Функция и выберем функцию СУММПРОИЗВ, далее щелкнемпо кнопке ОК. На экране отобразится диалоговое окно СУММ-ПРОИЗВ и поле массивов. В строке формул также находится функцияСУММПРОИЗВ. Щелкнем по красной стрелке в поле Массива 1.(На экране исчезнет диалоговое окно.) Выделим массив В3:F3. Нажмемлевой кнопкой мыши по красной стрелке в строке, находящейся нижестроки формул. Диапазон В3: F3 введен в формулу. Переведем мигающийкурсор в поле Массива 2 и тоже щелкнем левой кнопкой мыши по161

красной стрелке в этом поле. Выделим диапазон В4:F4 с коэффициентамипри неизвестных и щелкнем по красной кнопке, расположенной,как и ранее, в строке ниже строки формул. Массив В4:F4 введен в формулу.Учитывая, что ввод массивов закончен, щелкнем по кнопке ОК.Аналогично вводятся формулы в ячейки G6:G8.Далее применим команду Поиск решения из меню Сервис, щелкнувпоследовательно левой кнопкой мыши по названиям. На экране появитсядиалоговое окно Поиск решения. В поле Установить целевуюячейку занесем $G$4, так как именно в ячейке G4 будет вычислятьсязначение функции. Оно, исходя из цели решения задачи, должнобыть минимальным, поэтому после слова Равной выделим Минимальномузначению. В поле Изменяя ячейки занесем диапазон В3:F3,так как именно эти ячейки отведены под значения вычисляемых переменных.Занесем ограничения задачи в поле Ограничения, для чего щелкнемлевой кнопкой мыши по кнопке Добавить. На экране появится диалоговоеокно Добавление ограничения. В поле Ссылка на ячейкузанесем диапазон G6:G8, а в среднее поле – равенство, выделив его воткрывшемся окне. В правое поле занесем правые части ограничений,расположенные в диапазоне I6:I8. Смысл указанных действий – левыечасти ограничений должны быть равны соответствующим правым частям.Щелкнем левой кнопкой мыши по кнопке Добавить и внесемограничение для неизвестных: В3:F3=целое и В3:F3>=0.162

Рисунок 2. – Диалоговое окно Поиск решенияТак как все условия задачи введены, щелкнем по ОК. На экране появитсядиалоговое окно Поиск решения (рисунок 2).163

12345678910А B C D E F G H IИМЯЗначениеФункцияX150100ПЕРЕМЕННЫЕX2 X3 X40 1 00 0 1ОГРАНИЧЕНИЯ0100011-23X5212211 21 3minЗНАК123Рисунок 3. – Решение задачи целочисленного программирования средствами ExcelДалее щелкнем по кнопке Выполнить (на экране появится диалоговоеокно Результаты поиска решения). Нажимаем ОК и видим на экранерезультаты решения (рисунок 3).Таким образом, ¯x ∗ F = (5; 0; 1; 0; 2) и f ∗ F = −2. ◮164

ЛЕКЦИЯ 11Задача о рюкзаке11.1. Постановка задачи о рюкзаке и методы её решенияПредположим, что задача состоит в отыскании минимума функции fна конечном множестве X. Для успешного применения метода ветвей играниц нужно уметь на подмножествах X 1 ⊆ X находить оценку снизудля функции f (при нахождении максимума – оценку сверху). Числоравное нашей оценке функции f на множестве X 1 , называется границейдля функции f на X 1 .Процесс решения задачи методом ветвей и границ проходит по следующемуалгоритму:1) Разбиваем множество X на два подмножества X 1 и X 2 , находимна каждом из них границу f 1 и f 2 ;2) Выбираем множество, на котором оценка минимальна (при поискеминимума), разбиваем его на два подмножества X 3 и X 4 (этот процессназывается ветвлением), находим на каждом из них границу f 3 и f 4 (приэтом само это множество исключается из списка подмножеств);3) На каждом шаге мы имеем разбиение исходного множества X наконечное число подмножеств (на первом этапе это два множества X 1 иX 2 , на втором – три множества и т.д.), для каждого из которых известнаграница целевой функции f. Повторяем пункт 2 до тех пор, пока в165

каком-то из получающихся подмножеств не найдется настоящий минимум(подмножество будет иметь настолько небольшой размер, что нахождениеминимума будет не очень сложной задачей). Такой минимумтоже является оценкой для множества, только в отличие от остальныхданная оценка является точной;4) Отбрасываем те подмножества из нашего списка, граница у которыхне меньше, чем значение функции f в найденной точке (т.к. в этихподмножествах минимум функции f не может находиться).5) Если после этого список подмножеств окажется пустым, найденнаяточка и является решением задачи. Если нет, продолжаем алгоритм спункта 2, до тех пор, пока мы либо не отбросим все подмножества какне перспективные, либо не найдем другую точку, в которой значениефункции f еще меньше.При воплощении этого алгоритма часто используется деревовариантов. Вершинам данного дерева соответствуют множестваX, X 1 , X 2 , . . . , X n и их оценки. Из каждой вершины-множества дугиведут к его подмножествам, получающимся при ветвлении. Если увершины (множества) имеется точная оценка, такую вершину помечаемзвездочкой (в этой вершине далее ветвление не происходит, а ее оценкаиспользуется для прекращения ветвления в тех вершинах, у которыхоценки больше). Примерный вид дерева вариантов представлен на рисунке11.1.166

f 0Xf X 11f X22f X33f X44*x1f x k * 1 *f kfXk 1k 1Рисунок 11.1. – Дерево ветвлений задачи о рюкзаке методом ветвей и границТаким образом, для того, чтобы решать задачу методом ветвей и границ,необходимо:1. Предложить метод ветвления, т.е. разбиения множества всех вариантовX на подмножества;2. Для каждого из подмножеств, получающихся при ветвлении указатьспособ для вычисления границы (оценки целевой функции на данномподмножестве).167

Отметим, что эффективность применения метода ветвей и границзависит от того, насколько трудоемким является процесс вычисленияоценок, и насколько точными являются оценки, получаемые на каждомшаге. Для облегчения этого процесса обычно ветвление организуют так,чтобы нахождение оценки для всего множества и для его подмножествбыло однотипным. Желательно также, чтобы точность находимых оценокповышалась с уменьшением размеров подмножеств. Оценить достоинстваи трудности метода ветвей и границ можно только при рассмотренииконкретных задач.Задача о рюкзаке. Имеется n предметов. Вес i-го предмета равенp i , его ценность выражается числом c i . Требуется найти совокупностьпредметов минимального веса при условии, что ценность этой совокупностине должна быть меньше заданного числа C. (Другой вариант задачи– найти совокупность предметов максимальной стоимости, вес которойне превосходит P ).◭ Введем переменные x i , i = 1, n. Будем считать, что x i = 1 означает,что i-й предмет вкладывается в рюкзак, x i = 0 – не вкладывается. Тогдаматематическая модель задачи запишется так:f(x) = p 1 x 1 + . . . + p n x n → min,т.е. суммарный вес всех предметов в рюкзаке – минимальный,c 1 x 1 + . . . + c n x n ≥ C,168

а суммарная ценность не меньше требуемой, где x 1 , . . . , x n ∈ {0, 1}.Выберем следующий метод ветвления: выбирается некоторая переменнаяx k , после чего в одной части вариантов полагается x k = 0, а вдругое множество поместим все планы наполнения рюкзака, в которыхx k = 1.В результате в каждом из случаев получается задача, аналогичнаяначальной, количество переменных при этом уменьшается на 1, и изменяютсяцелевая функция и неравенство-ограничение.Для получения оценки снизу будем находить минимум функции f(x)на более широком множестве, чем требуется в задаче: вместо условийx 1 , . . . , x n ∈ {0, 1} будем использовать условия x 1 , . . . , x n ∈ [0, 1]. Приэтом получается обычная задача линейного программирования, решениекоторой можно найти даже без применения симплекс-метода. ◮11.2. Вопросы для самоконтроля1. Сформулируйте математическую модель задач о рюкзаке и двойственнуюк ней.2. Сформулируйте алгоритм метода ветвей и границ для решениязадачи о рюкзаке.3. К какому классу задач оптимизации относится задача о рюкзаке?169

ЛЕКЦИЯ 12Задача коммивояжера12.1. Постановка задачи коммивояжера и решение методомветвей и границПостановка задачи. Имеется n городов. Расстояния между любойпарой городов известны и составляют a ij (i, j = 1, n, i ≠ j). Если прямогомаршрута между городами i и j не существует, то a ij = ∞. Расстояниямежду городами удобно записывать в виде матрицыA = (a ij ) n×n(таблица 12.1), где a ij = ∞.❅j❅❅ ❅Таблица 12.1.1 2 . . . ni1 ∞ a 12 . . . a 1n2 a 21 ∞ . . . a 2n. . . . . . . . . . . . . . .n a n1 a n2 . . . ∞Коммивояжер, выезжая из какого-либо города, должен посетить всегорода, побывав в каждом из них один, и только один раз, и вернуться170

в исходный город. Необходимо определить такую последовательностьобъезда городов, при которой длина маршрута была бы наименьшей.Если городам поставить в соответствие вершины графа, а соединяющимих дорогам – дуги, то в терминах теории графов задача заключаетсяв определении гамильтонова контура минимальной длины. Гамильтоновымконтуром (по имени английского математика Гамильтона)называется путь, проходящий через все вершины графа, у которогоначальная вершина совпадает c конечной. Здесь под длиной контурапонимают не количество дуг, входящих в контур, а сумму их длин.Для записи постановки задачи в терминах целочисленной линейнойоптимизации определим булевы переменные следующим образом:{x ij =1, если коммивояжер переезжает из города i в город j (i, j = 1, n),0, в противном случае.Тогда задача заключается в отыскании значений переменных x ij , минимизирующихфункциюn∑ n∑f(x) = a ij x ij (12.1)при ограниченияхi=1j=1n∑x ij = 1, j = 1, n, (въезд в город j); (12.2)i=1171

n∑x ij = 1, i = 1, n, (отъезд из города i); (12.3)j=1u i − u j + nx ij ≤ n − 1, (i, j = 1, n, i ≠ j). (12.4)Переменные u i , i = 1, n, могут принимать произвольные значения,однако без всякого ущерба на них может быть наложено условие неотрицательностии целочисленности.Легко заметить, что задача целочисленной линейной оптимизации(12.1)–(12.4) эквивалентна задаче коммивояжера. Действительно, условияa ii = ∞ исключают в оптимальном решении значения x ii = 1, какне имеющие смысла. Ограничения (12.2) требуют, чтобы маршрут включалтолько один въезд в каждый город, а ограничения (12.3) – чтобымаршрут включал лишь один выезд из каждого города. Целевая функция(12.1) отражает длину гамильтонова контура. Ограничения (12.4)требуют, чтобы маршрут образовывал контур и проходил через все города.Решение задачи, описанной только условиями (12.1)–(12.3), не обязательноявляется контуром, проходящим через все города. В частности,в результате решения задачи (12.1)–(12.3) могут быть получены два иболее не связанных между собой частичных контуров. Для устранениявозможности образования негамильтоновых контуров и служат ограничения(12.4).172

Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ.Существуют различные версии метода ветвей и границ решения задачикоммивояжера. Рассмотрим стандартный метод Дж. Литла.Вначале для множества R всех гамильтоновых контуров определяетсянекоторая оценка снизу (нижняя граница) ϕ (R) их длины. Затеммножество всех гамильтоновых контуров разбивается на два подмножества.Первое подмножество состоит из гамильтоновых контуров, которыевключают некоторую дугу (i, j), – обозначим его {(i, j)}, а второесостоит из гамильтоновых контуров, которые не включают эту дугу, –обозначим его { (i, j) } . Для каждого из подмножеств {(i, j)} и { (i, j) }определяется нижняя граница длины гамильтоновых контуров ϕ (i,j) иϕ (i,j) . Каждая новая нижняя граница оказывается не меньше нижнейграницы всего множества гамильтоновых контуров ϕ (R) . Среди двух подмножествмаршрутов {(i, j)} и { (i, j) } выбирается подмножество с меньшейнижней границей. Это подмножество снова разбивается на два идля вновь образованных подмножеств находятся нижние границы. Процессразбиения подмножеств аналогичным образом продолжается до техпор, пока не будет выделено подмножество, содержащее единственныйгамильтонов контур. Взаимосвязь подмножеств, полученных в результатеразбиения, изображается в виде дерева (графа), вершинам которогоприписываются нижние границы.Получив гамильтонов контур, просматривают оборванные ветви дереваи сравнивают нижние границы подмножеств, соответствующих обо-173

рванным ветвям, с длиной полученного гамильтонова контура. Еслинижние границы подмножеств, соответствующих оборванным ветвям,окажутся меньше длины гамильтонова контура, то эти ветви разбиваютпо тому же правилу. Процесс продолжается до тех пор, пока нижниеграницы вновь полученных подмножеств меньше длины гамильтоноваконтура. В результате могут быть получены новые гамильтоновы контуры.В этом случае сравниваются длины всех гамильтоновых контурови среди них выбирается контур с наименьшей длиной. Решение задачисчитается законченным, если нижние границы оборванных ветвей неменьше длины гамильтонова контура. В качестве оптимального выбираетсягамильтонов контур с наименьшей длиной.Все рассмотренные действия для большей четкости сформулируем ввиде алгоритма.1. Приводим матрицу расстояний по строкам и столбцам. Находимнижнюю границу всего множества маршрутов:n∑ n∑ϕ (R) = γ = α i + β j .i=12. Каждый нуль в приведенной матрице условно заменяем на ∞ инаходим сумму констант приведения γ (i,j) = α i + β j . Значения γ (i,j) записываемв соответствующие клетки рядом с нулями.3. Априорно исключаем из гамильтонова контура ту дугу (i, j), длякоторой сумма констант приведения максимальна (исключение дуги (i, j)j=1174

достигается заменой элемента в a ij матрице расстояний на ∞. В результатеисключения дуги (i, j) будет образовано подмножество гамильтоновыхконтуров { (i, j) } .4. Приводим полученную матрицу расстояний и определяем нижнююграницу ϕ (i,j) подмножества гамильтоновых контуров { (i, j) } .5. Априорно включаем дугу (i, j) в гамильтонов контур, что ведетк исключению в матрице, полученной после выполнения пункта 2, i-йстроки j-го столбца. Заменяем один из элементов матрицы на ∞ (в простейшемслучае симметричный), чтобы не допустить образования негамильтоноваконтура.6. Приводим сокращенную матрицу и находим нижнюю границу ϕ (i,j)подмножества маршрутов {(i, j)}.7. Проверяем размерность сокращенной матрицы. Если сокращеннаяматрица размерности 2×2, то переходим к выполнению пункта 9; еслиже размерность матрицы больше, чем 2×2, то – к пункту 8.8. Сравниваем нижние границы подмножеств гамильтоновых контуровϕ (i,j) и ϕ (i,j) и переходим к выполнению пункта 2. При этом, еслиϕ (i,j) > ϕ (i,j) , то разбиению подлежит подмножество { (i, j) } (дальнейшемуанализу подвергается матрица, полученная в результате последнеговыполнения пункта 4). Если же ϕ (i,j) < ϕ (i,j) , разбиению подлежитподмножество {(i, j)} (дальнейшему анализу подвергается матрица, полученнаяпосле последнего выполнения пункта 6).175

Разбиение множества гамильтоновых контуров на подмножества сопровождаемпостроением дерева (рисунок 4).9. Определяем гамильтонов контур и его длину.10. Сравниваем длину полученного контура с нижними границамиоборванных ветвей. Если длина гамильтонова контура не превышаетнижних границ оборванных ветвей дерева, то задача решена. Если жедлина контура больше нижней границы некоторых ветвей, то, действуяпо алгоритму, развиваем эти ветви до тех пор, пока не получим маршрутас меньшей длиной или не убедимся, что его не существует.12.2. Вопросы для самоконтроля1. Сформулируйте математическую модель задачи коммивояжера.2. К какому классу задач оптимизации относится задача коммивояжера?3. Сформулируйте алгоритм решения задачи коммивояжера методомветвей и границ.176

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 8Тема: Решение задачи о рюкзаке и коммивояжера методом ветвей играниц.Цель: Закрепление задачи о рюкзаке и коммивояжера методом ветвейи границ на примерах.Задание 1. Рассмотрим задачу о рюкзаке, в который нужно положитьнабор из данных 5 предметов минимального веса, стоимостью неменее 21 у.е. Данные о весе и стоимости каждого предмета даны в таблице1.Таблица 1.№, i 1 2 3 4 5Вес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2◭ Для нахождения первоначальной оценки для каждого предметавычислим цену, т.е. стоимость одного кг предмета. При этом мы допускаемвозможность деления предметов на части. При таком допущенииоптимальный способ наполнения рюкзака становится очевидным: сначаланаполняем рюкзак самым ценным предметом (с самой большой177

ценой). Когда он закончится, продолжаем заполнять рюкзак следующимпо цене предметом и т.д. (до тех пор, пока не наберется указаннаястоимость).Таблица 2.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 2 1 3x i 1 1 0,75Вес взятой части предмета 3 3 3 9Стоимость взятой части 6 9 6 21В таблице 2 указана очередность такой укладки. Величина x i указывает,какую часть предмета мы укладываем в рюкзак. Сначала беремсамый ценный предмет № 4. Он дает 9 у.е. стоимости. Добавляем следующийпо ценности предмет № 2. Суммарная стоимость обоих предметов9 + 6 = 15. Нам осталось добавить 21 − 16 = 5 у.е. стоимости. Это составляет6 8= 0, 75 от стоимости следующего по ценности предмета – №5. Поэтому мы объявляем, что условно берем 0, 75 предмета № 5 (весэтой части составляет 4 × 0, 75 = 3) и заканчиваем укладку рюкзака.178

Мы получили начальную оценку, которая утверждает, что вес рюкзакав наших условиях не может быть меньше 9 кг.Берем самый ценный предмет № 4. Он дает 9 у.е. стоимости. Добавляемследующий по ценности предмет № 2. Суммарная стоимость обоихпредметов 9 + 6 = 15. Нам осталось добавить 21 − 16 = 5 у.е. стоимости.Это составляет 6 8= 0, 75 от стоимости следующего по ценности предмета– № 5. Поэтому мы объявляем, что условно берем 0, 75 предмета№ 5 (вес этой части составляет 4 × 0, 75 = 3) и заканчиваем укладкурюкзака. Мы получили начальную оценку, которая утверждает, что весрюкзака в наших условиях не может быть меньше 9 кг.Поскольку на самом деле предмет № 5 на части делить нельзя, разделимвсе возможные варианты на два множества, в первом из которыхмы не используем этот предмет, во втором – предмет № 5 обязательнодолжен быть в рюкзаке.1) Не берем предмет № 5. Действуем аналогично предыдущему случаю.Теперь после предметов № 4 и № 2 наибольшую ценность из доступныхпредметов имеет, например, № 3. После его добавления стоимостьрюкзака (9 + 6 + 5 = 20). Недостающая 1 у.е. стоимости может бытьвосполнена за счет 0,5 предмета № 1. Итак, получаем, что при отказеот предмета № 5 вес рюкзака ценностью не менее 21 у.е. не может бытьменьше, чем 12 кг (таблица 3).179

Таблица 3.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 5 3 4 2 1x i 0,5 1 1 1 0Вес взятой части предмета 1 3 5 3 12Стоимость взятой части 1 6 5 9 212) Предмет № 5 берем обязательно. В этом случае укладку рюкзаканачинаем с обязательных предметов, а затем продолжаем по прежнемупринципу максимальной цены.2) x51991) x5 012Рисунок 1. – Дерево ветвлений для 5-го предметаУкладываем 5-й и 4-й предметы. Оставшиеся 4 единицы стоимостивосполняем 2/3 предмета № 2. Получаем, что в нашем случае (когда180

Таблица 4.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 3 2 1x i 2/3 1 1Вес взятой части предмета 2 3 4 9Стоимость взятой части 4 9 8 21обязательно берем предмет 5), вес рюкзака не будет меньше 9 кг (таблица4).Посмотрим на дерево вариантов. Поскольку вариант x 5 = 1 (берем 5-й предмет) имеет наименьшую оценку, рассматриваем в первую очередьего. Поскольку при оценке этого варианта нам пришлось делить на части2-й предмет, ставим вопрос именно об этом предмете (рисунок 1).3) Обязательно берем 5-й и 2-й предметы.После 5-го и 2-го предмета остается 7 единиц стоимости, которыезаполняем самым ценным предметом №4 (x 4 = 7/9). Оценка данногомножества вариантов равна 28/3 (таблица 5).181

Таблица 5.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 2 3 17x i 191Вес взятой части предмета 3 2 1 34 9 1 3Стоимость взятой части 6 7 8 214) Обязательно берем 5-й, но не берем 2-й предмет. После укладки5-го, отбрасывания 2-го и укладки 4-го предметов остатки заполняемчастью предмета № 3. Оценка множества вариантов равна 11 (таблица6). Оценим перспективность вариантов. Из всех актуальных оценок(9 1 3 , 11 и 12) наименьшей является оценка 91 3множества с номером 3,поэтому в первую очередь рассмотрим его (рисунок 2). Напомним, чтов данном случае речь шла о делении на части предмета № 4.5) Берем предметы № 5, 2 и 4. В данном случае стоимость уже составит8 + 6 + 9 = 23. Таким образом, в данном множестве вариантов мынашли точную оценку: берем 2-й, 4-й и 5-й предметы, вес рюкзака приэтом составит 3 + 3 + 4 = 10 кг.182

Таблица 6.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 2 4 3 1x i 0 4 51 1Вес взятой части предмета 4 3 4 11Стоимость взятой части 4 9 8 2192) x 1) x5 0519 123) x214) x2 019 311Рисунок 2. – Дерево ветвлений для 5-го и 2-го предметов6) Берем предметы № 5, 2, не берем предмет № 4.Кроме 2-го все остальные предметы оказываются в рюкзаке целиком,при этом общая стоимость составила ровно 21 у.е. В итоге 14 кг – точнаяоценка данного множества вариантов (таблица 7).183

Таблица 7.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 5 2 4 3 1x i 1 1 1 0 1Вес взятой части предмета 2 3 5 4 14Стоимость взятой части 2 6 5 8 212) x5191) x5 09 123) x214) x2 05) x4119 3116) x4 010* 14*Рисунок 3. – Дерево ветвлений для 5-го, 2-го и 4-го предметов184

У нас появились точные оценки (отмечены звездочками). Теперь мыможем сказать, что вариант укладки рюкзака, полученный во множестве5 (x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 1, x 5 = 1) является наилучшим, таккак оценки всех остальных множеств хуже (рисунок 3).Таким образом, минимальный вес рюкзака составляет 10 кг. Для этогов рюкзак нужно положить 2-й, 4-й и 5-й предметы, общая стоимостьрюкзака составит при этом 6 + 9 + 8 = 23 у.е. ◮Задание 2. Матрица расстояний между пятью городами представленав таблице 8. Необходимо найти гамильтонов контур объезда городовминимальной длины.❅ji ❅ ❅❅Таблица 8.1 2 3 4 5 α i1 ∞ 9 8 4 10 42 6 ∞ 4 5 7 43 5 3 ∞ 6 2 24 1 7 2 ∞ 8 15 2 4 5 2 ∞ 2◭ Для нахождения нижней границы множества всех гамильтоновыхконтуров ϕ (R) осуществляем приведение матрицы расстояний. Для этого185

в дополнительный столбец (таблица 8) запишем константы приведенияa i , i = 1, 5, по строкам. Матрица, приведенная по строкам, представленав таблице 9. В дополнительной строке этой матрицы записаны константыприведения по столбцам. Выполнив приведение по столбцам, получимполностью приведенную матрицу (таблица 10).❅ij❅❅ ❅Таблица 9.1 2 3 4 51 ∞ 5 4 0 62 2 ∞ 0 1 33 3 1 ∞ 4 04 0 6 1 ∞ 75 0 2 3 0 ∞β j 0 1 0 0 0Нижняя граница множества всех гамильтоновых контуров R5∑ 5∑ϕ (R) = γ = α i + β j = 13 + 1 = 14.i=1j=1Найдем дугу, исключение которой максимально увеличило бы нижнююграницу, и разобьем все множество гамильтоновых контуров отно-186

❅ji ❅ ❅❅Таблица 10.1 2 3 4 51 ∞ 4 4 0(4) 62 2 ∞ 0(2) 1 33 3 0(1) ∞ 4 0(3)4 0(1) 5 1 ∞ 75 0(0) 1 3 0(0) ∞β j 0 1 0 0 0сительно этой дуги на два подмножества. Для этого определим суммуконстант приведения для всех клеток матрицы с нулевыми элементами,условно (мысленно) заменяя нули на ∞. Заменим, например, элементa 14 = 0 на ∞. Тогда константа приведения по 1-й строке равна 4 (минимальномуэлементу этой строки), а по 4-му столбцу – нулю (минимальномуэлементу этого столбца). Сумма констант приведенияγ (1,4)= α 1 + β 4 = 4 + 0 = 4записана в скобках в клетке (1,4). Аналогично вычислены все остальныеконстанты и записаны в соответствующие клетки таблицы. Наибольшаяиз сумм констант приведения, равная 4, соответствует дуге (1,4). Следо-187

вательно, множество R разбивается на подмножества {(1, 4)} и {(1, 4)}.Таким образом, мы приступим к образованию дерева (рисунок 4). 14R1,4 15 17 18 181,4 4,3 18 194,32,1 182,1 2,5 182,53,5 ,5,2 183,2 ,5,1Рисунок 4. – Дерево ветвлений всех маршрутов задачиИсключение дуги (1,4) из искомого гамильтонова контура осуществляетсяреальной заменой в матрице из таблицы 10 элемента a 14 = 0 на∞. Такая замена позволяет произвести дополнительное приведение матрицыпутем вычитания из элементов 1-й строки 4 и из элементов 4-гостолбца – 0. В результате приведения матрица расстояний для подмножества{(1, 4)} примет вид, показанный в таблице 11, а нижняя границадлин гамильтоновых контуров этого подмножестваϕ (1,4)= ϕ (R) + γ (1,4)= 14 + 4 = 18.188

❅ji ❅ ❅❅Таблица 11.1 2 3 4 51 ∞ 0 0 ∞ 22 2 ∞ 0 1 33 3 0 ∞ 4 04 0 5 1 ∞ 75 0 1 3 0 ∞❅ji ❅ ❅❅Таблица 12.1 2 3 5 α i2 2 ∞ 0 3 03 3 0 ∞ 0 04 ∞ 5 1 7 15 0 1 3 ∞ 0β j 0 0 0 0Включение дуги (1,4) в искомый контур ведет к исключению элементов1-й строки и 4-го столбца таблицы 10. Кроме того, элемент a 14 = 0189

заменяем на ∞, чтобы не допустить образования негамильтонова контура(1–4–1). Сокращенная матрица приведена в таблице 12. Эта матрицадопускает дополнительное приведение на 1 единицу только по 4-й строке.Константы приведения записаны в столбце α i , и строке β j . Суммаконстант приведения сокращенной матрицы, полученной в результатевключения дуги (1,4) в искомый контур, составит:γ (1,4) = ∑ iα i + ∑ jβ j = 1 + 0 = 1.Сокращенная матрица имеет вид таблица 13. Нижняя граница длингамильтоновых контуров подмножества {(1, 4)}ϕ (R) + γ (1,4) = 14 + 1 = 15.Так как после сокращения получена матрица 4×4, переходим к сравнениюоценок ϕ (1,4)и ϕ (1,4) . Дальнейшему разбиению (ветвлению) подлежитподмножество {(1, 4)}, так как его нижняя граница меньше.Найдем дугу, исключение которой максимально увеличило бы нижнююграницу. Для этого определим сумму констант приведения длякаждой клетки с нулем (таблица 13). Максимальная сумма константприведенияγ (4,3)= α 4 + β 3 = 4 + 0 = 4соответствует дуге (4, 3). Следовательно, подмножество гамильтоновыхконтуров {(1, 4)}, в свою очередь, разбиваем на два подмноже-190

ства: {(1,4),(4,3)} и {(1,4), (4, 3)}. После замены элемента a 43 = 0 на ∞(таблица 13) и приведения матрица принимает вид таблицы 14. Нижняяграница длин гамильтоновых контуров подмножества {(1,4),(4,3)}ϕ [(1,4),(4,3)]= ϕ (1,4) + γ (4,3)= 15 + 4 = 19.❅ij❅❅ ❅Таблица 13.1 2 3 52 2 ∞ 0(2) 33 3 0(1) ∞ 0(3)4 ∞ 4 0(4) 65 0(3) 1 3 ∞Включение дуги (4,3) в гамильтонов контур приводит к исключениюиз него дуг (4,2) и (4,5), т.е. элементов 4-й строки матрицы (таблица13), а также дуг (2,3) и (5,3), т.е. элементов 3-го столбца. Кроме того,исключаем из контура дугу (3,1), чтобы не допустить образованиянегамильтонова контура (1–4–3–1). Сокращенная матрица (таблица 15)допускает приведение по 2-й строке на 2 единицы. После приведения этаматрица имеет вид таблица 16.191

❅ji ❅ ❅❅Таблица 14.1 2 3 52 2 ∞ 0 33 3 0 ∞ 04 ∞ 0 ∞ 25 0 1 3 ∞Сумма констант приведенияγ (4,3) = ∑ iα i + ∑ jβ j = 2 + 0 = 2,а нижняя граница гамильтоновых контуров {(1,4),(4,3)}ϕ [(1,4),(4,3)] = ϕ (1,4) + γ (4,3) = 15 + 2 = 17.Так какϕ [(1,4),(4,3)] = 17 < ϕ [(1,4),(4,3)]= 19,дальнейшему ветвлению подлежит подмножество {(1,4),(4,3)}. Все суммыконстант приведения для клеток с нулями (таблица 16) равны, поэтомувыбираем любую из дуг, например (2,1), и разбиваем подмножество{(1,4),(4,3)} на два новых подмножества {(1,4),(4,3),(2, 1)} и192

❅ji ❅ ❅❅Таблица 15.1 2 5 α i2 2 ∞ 3 23 ∞ 0 0 05 0 1 ∞ 0β j 0 0 0❅ij❅❅ ❅Таблица 16.1 2 52 0(1) ∞ 13 ∞ 0(1) 0(1)5 0(1) 1 ∞{(1,4),(4,3),(2,1)}. После исключения дуги (2,1) и приведения матрицырасстояний получим новую матрицу (таблица 17) для которой γ (2,1)= 1.Нижняя граница подмножества {(1,4),(4,3),(2, 1)}ϕ [(1,4),(4,3),(2,1)]= ϕ [(1,4),(4,3)] + γ (2,1)= 17 + 1 = 18.193

❅ji ❅ ❅❅Таблица 17.1 2 52 ∞ ∞ 0(∞)3 ∞ 0(1) 0(0)5 0(∞) 1 ∞Включение дуги (2,1) в контур приводит к исключению 2-й строкии 1-го столбца таблица 16, а также дуги (3,2). Сокращенная матрицаимеет вид таблица 18. Сумма констант приведения этой матрицыγ (2,1) = 1. Приведенная матрица представлена в таблице 19. Нижняяграница подмножества контуров {(1,4),(4,3),(2,1)}ϕ [(1,4),(4,3),(2,1)] = ϕ [(1,4),(4,3)] + γ (2,1) = 17 + 1 = 18.Таблица 18.j❅❅i ❅ ❅2 53 ∞ 05 1 ∞194

❅Таблица 19.ji ❅ ❅❅2 53 ∞ 05 0 ∞Так как в результате сокращения получена матрица 2 × 2 (таблица19), то в искомый гамильтонов контур включаем дуги (3,5) и (5,2),соответствующие нулевым элементам этой матрицы. Сумма константприведения таблица 19 равна нулю. Следовательно, длина гамильтоноваконтура совпадает с нижней границей подмножества {(1,4),(4,3),(2,1)} иравна 18.В соответствии с деревом ветвлений (рисунок 4) гамильтонов контуробразуют дуги (1,4), (4,3), (2,1), (3,5), (5,2). Расположим их, начиная сгорода 1 так, чтобы конец одной совпадал с началом другой. Получимгамильтонов контур, соответствующий последовательности объезда городовкоммивояжером µ = (1 − 4 − 3 − 5 − 2 − 1).Длина найденного маршрута объезда городов не превышает нижнихграниц оборванных ветвей, следовательно, она является оптимальной.Однако возможно, что гамильтонов контур µ не единственный, так как195

имеются подмножества контуров {(1,4),(4,3),(2, 1)} и {(1, 4)}, нижниеграницы которых также равны 18.Продолжим ветвление подмножества {(1,4),(4,3),(2, 1)}. Следуя алгоритму,найдем сумму констант приведения для каждой клетки с нулемтаблица 17. Максимальная сумма, равная ∞, приходится на две клетки:(2,5) и (5,1). Выбираем любую дугу, например (2,5), и разбиваем подмножество{(1,4),(4,3),(2, 1)} на два подмножества {(1,4),(4,3),(2, 1), (2, 5)}и {(1,4),(4,3),(2, 1),(2,5)}. Нижние границы подмножеств:ϕ [(1,4),(4,3),(2,1),(2,5)]= 18 + ∞ = ∞;ϕ [(1,4),(4,3),(2,1),(2,5)]= 18 + 0 = 18.Продолжив решение, найдем второй оптимальный гамильтонов контурµ = (1 − 4 − 3 − 2 − 5 − 1).Можно найти еще один оптимальный гамильтонов контур, продолжаяразвитие ветви, соответствующей подмножеству контуров {(1, 4)}.Применять алгоритм в этом случае следует к матрице, приведенной втаблице 11. ◮196

ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАНЯТИЕ 3Тема: Решение задачи о рюкзаке методом ветвей и границ.Цель: Закрепление задачи о рюкзаке методом ветвей и границ накомпьютере.Задача 1. Решить следующую задачу о рюкзаке:Таблица 1.№, i 1 2 3 4 5Вес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Ценность не менее 21Для решения задачи о рюкзаке в MS Excel 2007 необходимо использоватьнадстройку «Поиск решения», которая находится в закладке «Данные».Для этого необходимо записать математическую модель задачи орюкзаке: ее целевую функцию и ограничения (рисунок 1).Далее, используя надстройку «Поиск решения», вводим сведения обцелевой функции (ее значение и направление оптимизации). Задаем изменяемыеячейки (оптимальное решение задачи), которые в процессе197

просчета компьютером будут изменяться, а также задаем ограниченияна соответствующие переменные. Более наглядно это можно увидеть нарисунке 2.1234567891011121314151617А B C D E F GРешить следующую задачу о рюкзакеpici2236553948Оптимальное решение задачиx1 x2 x3 x4 x50 1 0 1 1значение целевой функции f(x)=p1x1+p2x2+...+pnxn->min10ограничения нашей задачи c1x1+c2x2+...+cnxn>=С23 21 суммарная ценность СРисунок 1. – Математическая модель задачи о рюкзаке на компьютереПосле ввода данных нажимаем на кнопку «Выполнить» (рисунок 2)и получаем решение нашей задачи. Оптимальное решение задачи выделеносерым цветом: единица означает, что предмет кладем в рюкзак,а нуль – не кладем в рюкзак. Оптимальное значения целевой функциивыделено более темным цветом. Более наглядно это можно увидеть нарисунке 3.198

Рисунок 2. – Ввод сведений об целевой функции и об ограниченияхРисунок 3. – Оптимальное решение задачи о рюкзаке199

ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАНЯТИЕ 4Тема: Решение задачи коммивояжера методом ветвей границ.Цель: Закрепление задачи коммивояжера методом ветвей границ накомпьютере, используя программу «Salesman».При запуске программы запустится окно, имеющий достаточно простойинтерфейс (рисунок 1).Рисунок 1. – Главный интерфейсДля того чтобы задать условие задачи необходимо нажать кнопку«Создать», которая выделена на рисунке 2 прямоугольником.При вводе условия задаются количество городов в задаче коммивояжера,а также максимальный вес ребра, выделенные на рисунке 3 замкнутымикривыми.200

Рисунок 2. – Новое условиеРисунок 3. – Ввод условия201

Нажав на кнопку «редактировать условие» в программе можно изменитьусловие задачи (рисунок 4).Рисунок 4. – Редактирование условияЧтобы добавить или удалить город из условия задачи, достаточнонажать на соответствующие кнопки активного окна «Редактированиеусловия», выделенные замкнутыми кривыми (рисунок 5).Если нажать на панели главного окна кнопку «обучить», выделеннуючерным прямоугольником, можно пошагово просмотреть решениезадачи (рисунок 6 и 7).Нажав на кнопку «проконтролировать» главного окна программы«Salesman», можно проверить знания метода ветвей и границ для решениязадачи коммивояжера, а также его непосредственное практическоеприменение (рисунок 8).202

Рисунок 5. – Добавление или удаление городов в условии задачиРисунок 6. – Кнопка «обучение»203

Рисунок 7. – Просмотр промежуточных вычислений задачиРисунок 8. – Проверка знаний метода ветвей и границ204

ЛЕКЦИЯ 13Постановка и геометрическая интерпретация задачипараметрического программирования. Графическое решениезадачи13.1. Постановка и геометрическая интерпретация задачипараметрического программированияЗадачи параметрического программирования являются обобщениемзадач линейного программирования. Это обобщение состоит в том, чтоданные задач параметрического программирования считают не постояннымивеличинами, а функциями, определенным образом зависящимиот некоторых параметров. Если предположить, например, что произведеннаяпредприятием продукция подлежит хранению, то ее стоимостьбудет складываться из двух частей: 1) постоянной – стоимости продукциина момент изготовления; 2) переменной, зависящей от срока храненияпродукции. Целевую функцию задачи оптимального планированиятакого производства можно выразить через коэффициенты, линейнозависящие от одного параметра, в частности от времени t.Часто на практике встречаются задачи, в которых значения коэффициентовцелевой функции известны лишь приближенно. Представив ихв виде линейных функций параметра t, можно изучить поведение решенийзадач при различных значениях этих коэффициентов. Аналогично205

можно провести исследование для случая, когда изменяются коэффициентысистемы ограничений.Рассмотрим зависимость от параметра t только коэффициентов целевойфункции. Математически задачу в этом случае ставят следующимобразом: пусть параметр t ∈ [α; β], где α и β – произвольные действительныечисла. Необходимо найти для каждого t на отрезке [α; β] свойвектор ¯x ∗ = (x ∗ 1; . . . ; x ∗ n), максимизирующий функциюпри условиях:⎧⎨⎩f t =n∑(c j + d j t) x j (13.1)j=1n∑ ( )a ij x j ≤ a i i = 1, m ,j=1x j ≥ 0 ( j = 1, n ) .(13.2)В выражении (13.1) числа c j и d j известны и постоянны.Остановимся на геометрической интерпретации задачи.Пусть система ограничений (13.2) совместна и определяет выпуклыймногогранник Ω. Уравнениюn ∑j=1(c j + d j t) x j = 0 соответствует семействогиперплоскостей, проходящих через начало координат. Если параметрупридать некоторое значение t = α 0 , то гиперплоскость займетвполне определенное положение. Отодвигая ее от начала координат в206

направлении возрастания функции, получим решение в точке A (рисунок13.1). Придадим параметру другое значение t = α 1 и снова найдемна графике точку оптимума. Гиперплоскостьn ∑j=1(c j + d j α 1 ) x j = 0вследствие изменения параметра t повернется вокруг начала координатна некоторый угол. Отодвинув эту гиперплоскость от начала координата,получим оптимальное решение в той же вершине A. Однако значениефункции при t = α 1 изменится, так как оно равно взвешенному отклонениюточки A от исходной гиперплоскости. При t = α 2 гиперплоскостьбудет параллельна ребру AB. Оптимальное решение в этом случае будетдостигаться в любой точке отрезка AB. Увеличивая t дальше (приt > α 2 ), получим оптимальное решение только в вершине B. Для этойвершины будет свой интервал изменения параметра t.x2f (max) 0Af (max) f 1 0 0f 1 0ОBf 2 0f (max) 2Cf 3 0f 4 0f 4 (max) f 3 (max)x 1Рисунок 13.1. – Всевозможные решения задачи в зависимости от параметра207

Из постановки и геометрической интерпретации задачи следует, чтопри различных значениях параметра t оптимальный план может оказатьсяне одним и тем же. Поэтому в задаче параметрического программированиятребуется не просто найти оптимальное решение, а разбитьотрезок [α; β] на конечное число интервалов, содержащих такие значенияt, для которых оптимальное базисное решение задачи достигается водной и той же вершине многогранника Ω.x 2ABft2О 0f 0t1Cx 1Рисунок 13.2. – Значение целевой функции не зависимо от параметраЕсли многогранник Ω неограничен, то гиперплоскость f t = 0 принекоторых значениях параметра t может занять такое положение, чтоf t (max) окажется неограниченным. Положение гиперплоскостиf t1 = 0 (рисунок 13.2) соответствует неограниченному значению функции,а положение гиперплоскости f t2 = 0 – максимальному.208

13.2. Графическое решение задачиПример 13.1. Определить интервал изменения параметра t и найтизначения переменных x 1 и x 2 , при которых максимум линейной функцииf t = 4x 1 + (2 + t) x 2 , t ∈ [0; 8] достигается в одной и той же вершинеобласти допустимых решений системы ограничений⎧⎪⎨⎪⎩2x 1 − 5x 2 ≤ 10;x 1 + x 2 ≥ 5;−x 1 + x 2 ≤ 4;4x 1 + 5x 2 ≤ 40;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.◭ Находим область допустимых решений системы ограничений. Этомногоугольник ABCD (рисунок 13.3). Придадим параметру самое малоезначение t = 0, тогда получим функцию с постоянными коэффициентамиf 0 = 4x 1 + 2x 2 .Максимальное значение этой функции достигается в вершине C.Далее приравняем f t нулю и найдем уравнение разрешающей прямойпри любом t:x 2 = − 42 + t x 1.209

x 2f0 0f3 0ABf 0maxf 8maxf8 0CОDf 3maxx 1Рисунок 13.3. – Область допустимых решений задачиЗапишем угловой коэффициент k f этой прямой и исследуем его поведениепри изменении параметра t:k f = − 42 + t .При t = 0 его начальное значение k f = −2.Найдем производную углового коэффициента по параметру t:((k f ) ′ t = − 4)′=2 + tt4(2 + t) 2.Очевидно, что при любом t производная положительна, а угловойкоэффициент при увеличении t возрастает. Найдем предел его возрас-210

тания:(lim k f = lim − 4 )= −0.t→+∞ t→+∞ 2 + tТак как при t → +∞ угловой коэффициент k f приближается к нулюсо стороны отрицательных значений, то разрешающая прямая поворачиваетсяпротив часовой стрелки до предельного горизонтальногоположения. (Напомним, что при вертикальном положении прямой угловойкоэффициент как функция терпит разрыв. При вращении прямойпротив часовой стрелки от оси абсцисс до вертикального положения угловойкоэффициент возрастает от 0 до +∞, при дальнейшем вращениипрямой он возрастает от −∞ до 0.)В рассматриваемом примере при изменении параметра t от нуля донекоторого значения максимум функции будет в вершине C. Далее внекоторый фиксированный момент времени оптимум будет достигатьсяна отрезке BC, а затем он перейдет в точку B и останется в ней длявсех больших значений t.Определим значение параметра t, при котором решение задачи окажетсяна отрезке BC. Поскольку в этот момент прямая BC и разрешающаяпрямая должны быть параллельны, приравняем их угловыекоэффициенты. Угловой коэффициент прямой BC k BC = −4/5, следовательно,− 42+t = −4 5, откуда t = 3.211

Итак, при 0 ≤ t < 3 оптимальное решение задачи будет в вершинеC (8, 3; 1, 3), при t = 3 оно достигается на всем отрезке BC, а при 3

ЛЕКЦИЯ 14Постановка и геометрическая интерпретация задачипараметрического программирования. Аналитическоерешение задачи параметрического программирования.14.1. Постановка и геометрическая интерпретация задачипараметрического программирования. Аналитическоерешение задачиАлгоритм решения задачи (13.1)–(13.2) состоит из двух этапов.Этап I. Параметру t дают фиксированное значение, напримерt = α. Этим задача приводится к задаче линейного программирования.Решая эту задачу симплекс-методом, находят вершину, в которой f tдостигает максимума.Этап II. Определяют интервал изменений параметра t, для которогомаксимум f t достигается в одной и той же вершине многогранникаΩ. Найденный интервал исключают из отрезка [α; β]. Для оставшейсячасти отрезка снова решают задачу симплекс-методом, т.е.переходят к этапу I. Решение продолжается до тех пор, пока весьотрезок [α; β] не будет разбит на частичные интервалы.Подробно алгоритм решения рассмотрим на примере.213

Пример 14.1. Найти интервалы изменения параметра t на отрезке∑[α; β] для которых f t = n (c j + d j t) x j достигает максимума в одной иj=1той же вершине области допустимых решений системы ограниченийn∑ ( )a ij x j ≤ a i i = 1, m ,j=1x j ≥ 0 ( j = 1, n ) .◭ Решим задачу в два этапа.Этап I1. Полагаем t = α. Тогда функция f t будет иметь видf α =n∑(c j + d j α) x j (14.1)j=1Все данные задачи заносим в жорданову таблицу. В строке f α этойтаблицы в каждый столбец записываем число, равное сумме чисел c j иd j α. Кроме того, добавим в таблицу две строки для записи функций f tс произвольным параметром t (таблица 14.1). При этом в предпоследнейстроке записываем коэффициенты c j , а в последней – d j . Чтобыполучить f t , нужно умножить коэффициенты последней строки на t исложить их с коэффициентами предпоследней.214

Таблица 14.1.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍С.Ч. −x 1 · · · −x n· · · · · ·(a ij )x n+1 = a 1x n+m = a mf α = 0 c 1 + d 1 α · · · c n + d n αf t =0 c 1 · · · c n0 d 1 · · · d n2. Находим оптимальный план задачи обычным симплекс-методом,подвергая преобразованию и элементы последних двух строк.Предположим, что план, представленный в таблице 14.2, являетсяоптимальным. Тогда все коэффициенты f α -строки неотрицательны:p j + q j α ≥ 0.Поскольку оптимальный план найден, переходим к выполнению действийэтапа II.Этап II1. Находим значения параметра t, при которых план в таблице 14.2будет оставаться оптимальным (максимум f t достигается в той же вер-215

Таблица 14.2. С.П.Б.П. С.Ч. −x n+1 · · · −x s −x s+1 · · · −x n(b ij )· · · · · ·x r = b rx r+1 = b r+1x 1 = b 1· · · · · ·x n+m = b n+mf α = P + Q α p 1 + q 1 α · · · p s + q s α p s+1 + q s+1 α · · · p n + q n αf t =P p 1 · · · p s p s+1 · · · p nQ q 1 · · · q s q s+1 · · · q nшине). Для этого необходимо, чтобы все коэффициенты функции f t былинеотрицательны:⎧⎨ p 1 + q 1 t ≥ 0;· · · · · · · · · · ·(14.2)⎩p n + q n t ≥ 0.Из системы (14.2) видно, что во всех случаях, кроме q j = 0 (приq j = 0 неравенство p j + q j t ≥ 0 выполняется при любых значениях t;следовательно, на столбец, в котором находится q j = 0, можно не обращатьвнимания), границей изменения параметра t служит отношение− p jq j. Поэтому просматриваем элементы q j последней строки таблицы:216

если все они больше нуля, переходим к пункту 2; если все они меньшенуля, – к пункту 3; если же среди элементов q j имеются и положительные,и отрицательные, – к пункту 4.2. Пусть все q j > 0. Среди отношений − p jq jвыбираем наибольшее.Верхней границы в этом случае для t не существует.Таким образом,(α 1 = max − p )j≤ t < +∞ = α 2 .q jВ интервале [α 1 ; α 2 ) функция f t достигает максимума в той же вершине,что и при t = α, следовательно, t ∈ [α 1 ; α 2 ).3. Пусть все q j < 0. Среди отношений − p jq jвыбираем наименьшее.(Если взять t ≤ min − p jq j), то все условия (14.2) будут удовлетворены.Нижней границы для t в этом случае не существует, поэтому его можноуменьшать бесконечно. Значит,α 1 = −∞ < t ≤ min(− p jq j)= α 2 .Как и прежде, t ∈ (α 1 ; α 2 ].4. Пусть среди элементов q j имеются как положительные, так и отрицательные.Разделим систему неравенств (14.2) на две подсистемы соответственнознакам коэффициентов q j . Тогда из подсистемы неравенств217

( )с q j > 0 получим max − p jq j≤ t, а из второй подсистемы q i < 0 будемиметь t ≤ min − p j(q j). Следовательно, вся система неравенств (14.2)будет удовлетворяться, если t будет принимать значения:(α 1 = max− p jq j)} {{ }(q j >0)(≤ t ≤ min− p jq j)} {{ }(q j

6. Если α 2 < β, то в интервале [α; α 1 ] максимум функции f t будетв найденной вершине (рисунок 14.2). Исключаем этот интервал из рассмотренияи решаем задачу для оставшегося интервала [α 2 ; β]. Для этогопридаем t значение α 2 и заменяем строку f α строкой f α2 . В результатезамены получаем новую таблицу (таблица 14.3).12tРисунок 14.2. – Случай, когда α 2 < βЗа разрешающий столбец в новой таблице примем тот, по которомуопределено значение t = α 2 (в этом столбце на пересечении с f α2 -строкойнаходится элемент, равный нулю). Если нули находятся в несколькихстолбцах, то в качестве разрешающего можно брать любой из них.Разрешающий элемент находим по наименьшему симплексному отношениюи делаем один шаг модифицированных жордановых исключений.Получаем следующее по порядку оптимальное решение, так как все коэффициентыв строке f α2 при преобразовании не изменятся.Для найденного решения снова определяем интервал изменения параметраt, для чего переходим к пункту 1.Если в разрешающем столбце не окажется положительных коэффициентов,то функция f t при t > α 2 не ограничена; задача на оставшемсяинтервале [α 2 ; β] решения не имеет.219

Таблица 14.3. С.П.Б.П. С.Ч. −x n+1 · · · −x s −x s+1 · · · −x n(b ij )· · · · · ·x r = b rx r+1 = b r+1x 1 = b 1· · · · · ·x n+m = b n+mf α2 = P + Q α2 p 1 1 α 2 + q · · · p s s α 2 + q p s+1 α 2 + q s+1 · · · p n n α 2 + qf t =P p 1 · · · p s p s+1 · · · p nQ q 1 · · · q s q s+1 · · · q nЗамечание 14.1. При отыскании оптимального решения для t = α(при выполнении пункту 2 этапа I алгоритма) может оказаться, чтофункция f α сверху не ограничена. В этом случае в разрешающем столбцеj 0 коэффициент f α -строки отрицателен (p j0 + q j0 α < 0), а все остальныекоэффициенты столбца j 0 неположительны.При значениях t > α на пересечении строки f t и столбца j 0 будетэлемент p j0 + q j0 t. Нас интересуют значения этого элемента, так как ониопределяют поведение функции при α ≤ t ≤ β. Выберем такое значениеt = t 0 , при котором коэффициент p j0 + q j0 t = 0. Отсюда получаем, чтоt 0 = − p j 0q j0.220

Если значение элемента q j0 ≤ 0, то для всех t ≥ α коэффициентразрешающего столбца в строке f t будет отрицательным (p j0 + q j0 t < 0).Следовательно, на всем заданном отрезке [α; β] целевая функция f t неограничена (задача решения не имеет).Если элемент q j0 > 0, то при α ≤ t < t 0 коэффициент, находящийсяв разрешающем столбце и f t -строке, будет отрицательным. Значит и вэтом случае целевая функция не ограничена и задача решения не имеет.При значении t = t 0 коэффициент p j0 + q j0 t = 0, а при дальнейшемувеличении t он будет положительным. К отрезку [t 0 ; β] применяем последовательновесь алгоритм решения задачи. ◮14.2. Вопросы для самоконтроля1. Сформулируйте первый этап решения задачи параметрическогопрограммирования.2. Сформулируйте второй этап решения задачи параметрическогопрограммирования.221

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 9Тема: Решение задачи параметрического программирования графическими аналитическим методами.Цель: Закрепление задачи параметрического программирования графическими аналитическим методами на примерах и задачах.Задание 1. Найти решение задачи из примера 13.1 при изменениипараметра t на отрезке [0; 12].◭ Полагаем t = 0. Тогдаf 0 = 4x 1 + 2x 2 → max .Таблица 1. С.П.Б.П. С.Ч. −x 1 −x 2x 3 = 10 2 −5x 4 = −5 −1 −1x 5 = 4 −1 1x 6 = 40 4 5f 0 = 0 −4 −2f t =0 −4 −20 0 −1222

Заносим условие задачи в таблицу 1 и решаем ее симплекс-методом.Опуская подробности, приведем оптимальное решение (таблица 2):x 1 = 25/3, x 2 = 4/3.Таблица 2. С.П.Б.П. С.Ч. −x 3 −x 6x 4 = 14/3 1/30 7/30x 1 = 25/3 1/6 1/6x 5 = 11 3/10 1/10x 2 = 4/3 −2/15 1/15f 0 = 36 2/5 4/5f t =36 2/5 4/54/3 −2/15 1/15Определим значения параметра t, при которых оптимальное решениебудет в той же вершине, что и при t = 0.Так как в последней строке элемент q 1 = −2/15 < 0, аэлемент q 2 = 1/15 > 0, то для определения значений t, при которыхмаксимум будет достигаться в найденной вершине, подставим соответствующиезначения в соотношение (14.3). Получим−12 =(− 4/51/15)≤ t ≤(− 2/5−2/15)= 3.223

Здесь α 1 = −12, α 2 = 3. Полученный интервал меньше заданного[0; 12], поэтому исключаем его из дальнейшего рассмотрения и решаемзадачу для оставшегося интервала [3; 12]. Для этого даем t значениеt = 3 и вычисляем для него строку f 3 .Занесем элементы f 3 -строки в таблицу 3. Все прочие элементы таблицыоставляем без изменений.Таблица 3. С.П.Б.П. С.Ч. −x 3 −x 6x 4 = 14/3 1/30 7/30x 1 = 25/3 1/6 1/6x 5 = 11 3/10 1/10x 2 = 4/3 −2/15 1/15f 3 = 40 0 1f t =36 2/5 4/54/3 −2/15 1/15В первом столбце и f 3 -строке таблицы 3 находится нуль, поэтому этотстолбец принимаем за разрешающий (при t > 3 на месте нуля первымпоявится отрицательное число, и план перестанет быть оптимальным).Находим разрешающий элемент по наименьшему симплексному отношениюи переходим к новой таблице (таблица 4).224

Таблица 4. С.П.Б.П. С.Ч. −x 5 −x 6x 4 = 31/9x 1 = 20/9x 3 = 110/3x 2 = 56/9✟ ✟✟✟✟✟f 3 = 40 0 1f t =64/3 −4/3 2/356/9 4/9 1/9План x 1 = 20/9, x 2 = 56/9 в таблице 4 оптимален, так как всеэлементы f 3 -строки неотрицательны. В последней строке все элементыq j > 0, следовательно, применяем соответствующую формулу и определяем,что(α 2 = max − −4/2 )4/9 ; −2/3 ≤ t < +∞ = α 3 ,1/9т.е. 3 ≤ t < +∞. Так как значение α 3 > β, то задача решена.Итак, при 0 ≤ t ≤ +∞ максимальное значение функции достигаетсяв вершине C (25/3; 4/3), при 3 ≤ t ≤ 12 максимальное значение функциидостигается в вершине B (20/9; 56/9) (смотри рисунок 13.3). Призначении t = 3 оптимум достигается в вершинах B и C, а также в ихвыпуклой линейной комбинации. ◮225

ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ 5, 6, 7Тема: Решение задачи параметрического программирования графическими аналитическим методом.Цель: Закрепление решения задачи параметрического программированияграфическим и аналитическим методом на компьютере.Задача 1. Определить интервал изменения параметра t и найти значенияпеременных x 1 и x 2 , при которых максимум линейной функцииf t = 4x 1 + (2 + t) x 2 , t ∈ [0; 8] достигается в одной и той же вершинеобласти допустимых решений системы ограничений⎧2x 1 − 5x 2 ≤ 10;⎪⎨ x 1 + x 2 ≥ 5;−x 1 + x 2 ≤ 4; .4x ⎪⎩ 1 + 5x 2 ≤ 40;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.◭ Данную задачу можно решить с помощью программного модуля«PSM». На рисунке 1 можно увидеть главное окно программы «PSM»,которое называется «Mainview». В этом окне мы вводим данные задачи.Вначале вводим коэффициенты при переменных целевой функции. Количествопеременных может быть различно и добавлять и удалять перменныеможно соответственно с помощью кнопок «Добавить переменную»и «Удалить переменную». В выпадающем списке можно выбрать226

направление оптимизации целевой функции (максимум или минимум) взависимости от условия задачи. Далее ограничения задачи добавляютсяс помощью кнопки «Добавить ограничение». В каждом из ограничениймы вводим коэффициенты при переменных, свободный член, находящийсяв правой части ограничения и из выпадающего (как и в случаес целевой функцией) списка выбираем тип ограничения: ≤, ≥ и =. Нарисунке 1 видно, что каждое ограничение можно и удалить воспользовавшисьсоответствующей кнопки в главном окне программы.Рисунок 1. – Ввод условия задачиЗатем нажав на рисунке 1 кнопку «Вычислить» мы перейдем к табличнойформе записи нашего условия (рисунок 2). Нажав на кнопку«Далее» мы перейдем к последней симплекс таблице (рисунок 3).227

CПБПxxxxZ34560Z tI105440000-x 12114440-x 25115221-x 31000000-x 40100000-x 50010000-x 60001000ДалееРисунок 2. – Первоначальная симплексная таблицаCПБПxxxxZZ14520I8.333333333333334.66666666666667111.3333333333333335361.33333333333333-x 31000000-x 60001000t 0;12-x 30,1666666666666670,0333333333333330,30,133333333333330,40,40,13333333333333-x 40100000-x 50010000-x 60,1666666666666670,2333333333333330,10,0666666666666670,80,80,066666666666667Z 36 1,33333333333333*ttЗакрытьРисунок 3. – Оптимальное решение задачиВ результате мы получим оптимальное решение нашей задачи прикаждом конкретном значении параметра t. Оптимальные значения пе-228

ременных и целевой функции в зависимости от параметра t приведеныв окне «Результаты» (рисунок 3).После получения оптимального решения, нажав кнопку «Закрыть»мы переходим в главное окно программы, где можно закрыть окно даннойпрограммы либо ввести новые данные задачи и получить оптимальноеее решение при различных значениях параметра t. ◮229

ЛЕКЦИЯ 15Матричные игры с нулевой суммой. Решение матричных игрв чистых стратегиях15.1. Парные матричные игры с нулевой суммойИгрой называют упрощенную модель конфликтной ситуации. Играведется по определенным правилам. Суть игры в том, что каждый из ееучастников принимает такие решения, которые, как он полагает, могутобеспечить ему наилучший результат (исход). Исход игры – это значениенекоторой функции, называемой функцией выигрыша (платежнойфункцией). Эта функция задается либо таблицей, либо аналитическимвыражением. Если сумма выигрышей игроков равна нулю, то игру называютигрой с нулевой суммой. Если в игре участвуют два игрока, тоее называют парной. В качестве игрока может выступать как отдельноелицо, так и группа лиц, объединенных общей целью.Каждый игрок в ходе развивающейся конфликтной ситуации выбираетобраз своих действий самостоятельно, имея лишь общее представлениео множестве допустимых ответных решений партнера. В связис этим ни один из игроков не может полностью контролировать положение,так что как одному и другому игроку решение приходитсяпринимать в условиях неопределенности. Непременным остается толькостремление игроков использовать любую ошибку партнера в своих инте-230

ресах. Игры, в которых оба участника, действуя в строгом соответствиис правилами, в равной мере сознательно стремятся добиться наилучшегодля себя результата, называют иногда стратегическими.В экономической практике нередко приходится формализовать (моделировать)ситуации, придавая им игровую схему, в которых один изучастников безразличен к результату игры. Такие игры называют играмис природой, понимая под термином "природа" всю совокупностьвнешних обстоятельств, в которых сознательному игроку приходитсяпринимать решение. В играх с природой степень неопределенности припринятии решения сознательным игроком возрастает. Объясняется этотем, что если в стратегических играх каждый из участников постоянноожидает наихудшего для себя ответного действия партнера, то "природабудучи индифферентной в отношении выигрыша инстанцией, можетпредпринимать такие ответные действия (будем говорить: реализоватьтакие состояния), которые ей совершенно невыгодны, а выгодны сознательномуигроку.Пусть игроки A и B располагают конечным числом возможных действий– чистых стратегий. Обозначим из соответственно A 1 , . . . , A m иB 1 , . . . , B n . Игрок A может выбирать любую чистую стратегиюA i (i = 1, m), в ответ на которую игрок B может выбрать любую своючистую стратегию B j (j = 1, n). Если игра состоит только из личныхходов пары стратегий (A i , B j ) однозначно определяет результат a ij –выигрыш игрока A. При этом проигрыш игрока B составляет a ij . Ес-231

ли известны значения a ij – выигрыша для каждой пары (A i , B j ) чистыхстратегий, можно составить матрицу выигрышей игрока A (проигрышейигрока B) (таблица 15.1). Ее называют платежной.Таблица 15.1.❍ ❍❍❍❍❍❍α 1A iB jB 1 , . . . , B n α iA 1 a 11 . . . a 1na m1 . . . a mn. . . . . . . . . . . . . . .A mβ jβ 1 , . . . , β nα mВ таблице 15.1 приведены числа α i = min a ij – минимально возможныйвыигрыш игрока A, применяющего стратегию A i (i = 1, m),jи β j = max a ij – максимально возможный проигрыш игрока B, если онiпользуется стратегией B j (j = 1, n).Число α = max α ij = max min a ij называют нижней чистой ценой иг-ii jры (максимином), а соответствующую ему чистую стратегию – A 0 i – максиминной.Число α показывает, какой минимальный гарантированныйвыигрыш может получить игрок A, правильно применяя свои чистыестратегии при любых действиях игрока B.232

Число β = min β ij = min max a ij называют верхней чистой ценойj j iигры (минимаксом), а соответствующую чистую стратегию Bj0 – минимаксной.Число β показывает, какой минимальный гарантированныйпроигрыш может быть у игрока B при правильном выборе им своихчистых стратегий независимо от действий игрока A.Таким образом, правильно используя свои чистые стратегии, игрок Aобеспечит себе выигрыш не меньше α, а игрок B в результате правильногоприменения своих чистых стратегий не позволит игроку A выигратьбольше, чем β. Ясно, что α ≤ β. Если α = β, то говорят, что игра имеетседловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры ν = α = β.Пару чистых стратегий A i и B j , соответствующих α и β, называют седловойточкой матричной игры, а элемент a i∗ j∗ платежной матрицы, стоящийна пересечении i ∗ -й строки и j ∗ -гo столбца, – седловым элементомплатежной матрицы. Он одновременно является минимальным в своейстроке и максимальным в своем столбце, т.е. a ij∗ ≤ a i∗ j ∗ ≤ a i ∗ j. СтратегииA i∗ и B j ∗, образующие седловую точку, являются оптимальными.Тройку {A i , B j , ν} называют решением игры.Для игр без седловых точек оптимальные стратегии игроков находятсяв области смешанных стратегий. Смешанной стратегией игрока Aназывают вектор ⃗p = (p 1 , . . . , p m ), компоненты которого удовлетворяютm∑условиям p i ≥ 0 (i = 1, m), p i = 1. Смешанной стратегией игрока Bi=1233

называют вектор ⃗q = (q 1 , . . . , q n ), где q j ≥ 0 (j = 1, n),n∑q j = 1, p i и q j –вероятности, с которыми игроки A и B выбирают свои чистые стратегиив ходе игры. При использовании смешанных стратегий игра приобретаетслучайный характер, случайной становиться и величина выигрышаигрока A (проигрыша игрока B). Эта величина является функцией смешанныхстратегий и определяется по формуле:m∑ n∑f(¯p, ¯q) = a ij p i q j .i=1Функцию f(¯p, ¯q) называют функцией выигрыша или платежной функцией.Смешанные стратегии ¯p ∗ и ¯q ∗ называют оптимальными, если ониобразуют седловую точку для платежной функции f(¯p, ¯q), т.е. если ониудовлетворяют неравенству f(¯p, ¯q ∗ ) ≤ f(¯p ∗ , ¯q ∗ ) ≤ f(¯p ∗ , ¯q). Пользуются идругим определением оптимальных смешанных стратегий: стратегии ¯p ∗и ¯q ∗ называют оптимальными, еслиminqmaxpj=1j=1f(¯p, ¯q) = max min f(¯p, ¯q) = f(¯p ∗ , ¯q ∗ ).p qВеличину f(¯p ∗ , ¯q ∗ ) = v называют ценой игры. Поиск оптимальныхсмешанных стратегий начинают с упрощения платежной матрицы. Еслив платежной матрице элементы k-й строки не меньше соответствующихэлементов s-ой строки, т.е. a kj ≥ a sj (j = 1, n), то говорят, что стратегияA k доминирует над стратегией A s . Аналогично, если элементы l-го234

столбца не превосходят соответствующих элементов r-го столбца, т.е.a il ≤ a ir (i = 1, m), то говорят, что стратегия B l доминирует над стратегиейB r . Частным случаем доминирования стратегий является дублированиестратегий, когда a kj = a sj (j = 1, n) или a il = a ir (i = 1, m).Исключение из платежной матрицы доминируемых стратегий (ими игрокампользоваться заведомо невыгодно) позволяет уменьшить ее размерность,а это упрощает решение игры. Вероятность применения доминируемыхстратегий равна нулю. Оптимальные смешанные стратегии¯p ∗ и ¯q ∗ в игре с платежной матрицей [a ij ] m×n и ценой v остаются оптимальнымии для игры с платежной матрицей [ba ij + c] m×n (где b > 0)и ценой bv + c. На этом основании платежную матрицу можно всегдапреобразовать так, что ее элементы будут целыми неотрицательнымичислами, а это упрощает расчеты.15.2. Вопросы для самоконтроля1. Назовите виды матричных игр.2. Что называется чистой стратегией игрока?3. Что называется смешанной стратегией игрока?4. Что называется нижней чистой ценой игры?5. Что называется верхней чистой ценой игры?6. Что называется функцией выигрыша?7. Что такое седловая точка и седловой элемент?235

ЛЕКЦИЯ 16Решение матричных игр в смешанных стратегиях. Сведениематричной игры к задаче линейного программирования16.1. Решение матричной игры сведением к задаче линейногопрограммированияПусть игра задана платежной матрицей (таблица 15.1). Оптимальныесмешанные стратегии ¯p ∗ = (p ∗ 1, . . . , p ∗ i , . . . , p∗ m) и ¯q ∗ = (q ∗ 1, . . . , q ∗ j , . . . , q∗ n)игроков A и B могут быть найдены в результате решения пары двойственныхзадач линейного программирования.Для игрока A:⎧⎪⎨⎪⎩∑f = m x i → min,i−1m∑a ij x i ≥ 1 (j = 1, n),i−1x i ≥ 0 (i = 1, m).. (16.1)В результате решения задачи (16.1) находят оптимальный вектор¯x ∗ = (x ∗ 1, . . . , x ∗ i , . . . , x∗ m) и f ∗ = f min , а затемv = 1/f min , p ∗ i = vx ∗ i , (i = 1, m). (16.2)236

Для игрока B:⎧⎪⎨⎪⎩∑ϕ = n y j → max,j=1n∑a ij y j ≤ 1 (i = 1, m),j=1y j ≥ 0 (j = 1, n).(16.3)Решая задачу (16.3), находят оптимальный векторȳ ∗ = (y1, ∗ . . . , yj ∗ , . . . , yn)∗и ϕ ∗ = ϕ max , а затемv = 1/ϕ max , qj ∗ = vyj ∗ , (j = 1, n). (16.4)Поскольку задачи (16.1) и (16.3) образуют пару симметричных двойственныхзадач линейного программирования, нет необходимости решатьобе задачи. Получив решение одной из них, достаточно воспользоватьсясоответствием между переменными в канонических записях задач{свободные}} {x 1 . . . x my n+1}. . .{{y n+m}базисные{базисные}} {x m+1 . . . x m+n}y 1 . . .{{y n}свободные.237

И из строки целевой функции последней симплекс-таблицы, содержащейкомпоненты оптимального вектора, выписать значение компонентоптимального вектора двойственной задачи.Пример 16.1. Решить игру с платежной матрицей:⎡ ⎤2 1 0⎣ 3 0 1 ⎦1 2 4сведя ее к задаче линейного программирования.◭ Прежде всего, проверим, не имеет ли игра седловой точки. Находим:α = max min a ij = 1; β = min max a ij = 2.i j j iТак как α ≠ β, решением игры будут смешанные стратегии, а ценаигры заключена в пределах 1 ≤ ν ≤ 2. Доминирования стратегий, каквидно по матрице, в данной игре нет, и все элементы платежной матрицынеотрицательны. Так что упрощать матрицу не приходится. Составляемпо матрице игры задачи:f = x 1 + x 2 + x 3 → min,⎧⎨ 2x 1 + 3x 2 + x 3 ≥ 1;x⎩ 1 + 2x 3 ≥ 1;x 2 + 4x 3 ≥ 1;(16.5)238

x i ≥ 0 (i = 1, 3);ϕ = y 1 + y 2 + y 3 → max,⎧⎨ 2y 1 + y 2 ≤ 1;3y 1 + y 3 ≤ 1;⎩y 1 + 2y 2 + 4y 3 ≤ 1;(16.6)y i ≥ 0 (j = 1, 3).Решим, например, задачу (16.6). После приведения модели к каноническомувиду дополнительные переменные y 4 , y 5 , y 6 составят начальныйбазис, а основные переменные y 1 , y 2 , y 3 будут свободными. В результатерешения задачи симплексным методом приходим к таблице 16.1 содержащейкомпоненты оптимального планаy ∗ = (y ∗ 1, y ∗ 2, y ∗ 3, y ∗ 4, y ∗ 5, y ∗ 6) = (1/3, 1/3, 0, 0, 0, 0) и ϕ max = 2/3.Находим цену игры ν = 1/ϕ max = 3/2 и компоненты q ∗ j оптимальнойсмешанной стратегии q ∗ игрока B:q ∗ 1 = νy ∗ 1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, q ∗ 2 = 1/2, q ∗ 3 = 0.Найдем теперь оптимальную смешанную стратегию p ∗ игрока A. Введемдополнительные переменные x 4 , x 5 и x 6 в ограничения задачи (16.5).Эти переменные составят начальный базис, а переменные x 1 , x 2 и x 3239

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 16.1.С.Ч. −y 3 −y 4 −y 6y 2 = 1/3y 1 = 1/3y 5 = 0ϕ = 2/3 1/3 1/3 1/3✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏будут свободными. Запишем соответствие между переменными каноническихформ рассматриваемых двойственных задач:свободные{ }} {x 1 x 2 x 3y 4}y 5{{y 6}базисные{базисные}} {x 4 x 5 x 6y 1}y 2{{y 3}свободныеУчитывая это соответствие, выписываем из строки целевой функцииϕ таблицы 16.1 значения компонент оптимального вектора задачи (16.5):x ∗ 1 = 1/3, x ∗ 2 = 0, x ∗ 3 = 1/3. Находим компоненты p ∗ i оптимальной смешаннойстратегии p ∗ игрока A:p ∗ 1 = νx ∗ 1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, p ∗ 2 = 0, p ∗ 3 = 1/2.240

Итак, решение игры найдено:p ∗ = (1/2, 0, 1/2), q ∗ = (1/2, 1/2, 0), ν = 3/2. ◮16.2. Вопросы для самоконтроля1. Как определяются соответствия между базисными и свободнымипеременными в канонических записях пары двойственных задач?2. Сформулируйте алгоритм решения матричной игры путем ее сведенияк задаче линейного программирования.241

ЛЕКЦИЯ 17Решение матричных игр в смешанных стратегиях. Решениематричных игр в смешанных стратегиях графическимметодом17.1. Решение матричной игры графическим методомПри поиске оптимальных стратегий в матричных играх размерностей2 × n и m × 2 целесообразно использовать графический метод решениязадач линейного программирования и свойства оптимальных планов парыдвойственных задач: если в оптимальном плане задачи переменнаяположительна, то соответствующее ограничение двойственной задачи ееоптимальным планом обращается в равенство; если оптимальным планомзадачи ограничение обращается в строгое неравенство, то в оптимальномплане двойственной задачи соответствующая переменная равнанулю.Пример 17.1. Произвести возможные упрощения следующей платежнойматрицы⎡⎤3 1 9 5⎢ 1 5 7 0⎥⎣ 0 4 5 −1 ⎦1 5 7 0и найти решения игр, используя графический метод решения.242

◭ Сделаем несколько упрощений. Так как четвертая и вторая строкаявляются одинаковыми, то можно вычеркнуть любую из них, например,четвертую, третий столбец доминирует над остальными, значит, он являетсяне выгодным для игрока, поэтому его вычеркиваем. В результатеполучим: [ 3 1 51 5 0Откуда α = max(1, 0) = 1 и β = min(3, 5, 5) = 3, α ≠ β, а поэтомудля определения оптимальных смешанных стратегий игроков составляемзадачи:⎧⎪⎨⎪⎩f = x 1 + x 2 → min3x 1 + x 2 ≥ 1x 1 + 5x 2 ≥ 15x 1 ≥ 1и⎧⎨⎩].g = y 1 + y 2 + y 3 → max3y 1 + y 2 + 5y 3 ≤ 1y 1 + 5y 2 ≤ 1.Поскольку первая задача содержит две переменные, то ее будем решатьграфическим методом. В результате получим, что x ∗ 1 = 2/7,x ∗ 2 = 1/7, f max = 3/7. Используя формулы (16.2), получаем: v = 7/3,p ∗ 1 = 1/3, p ∗ 2 = 2/3.Определим оптимальную смешанную стратегию q ∗ = (q1, ∗ q2, ∗ q3). ∗ Воптимальном плане исходной задачи x ∗ 1 > 0 и x ∗ 2 > 0, поэтому первое ивторое ограничение двойственной задачи обращаются в равенства. Крометого, третье ограничение исходной задачи при подстановке значения243

x ∗ 1 обращается в строгое неравенство. Следовательно, в двойственнойзадаче соответствующая ему третья переменная равна нулю, т.е. y ∗ 3 = 0.Для определения остальных двух переменных необходимо решить уравнение:{ 3y1 + y 2 = 1,y 1 + 5y 2 = 1.Откуда находим y 1 = 2/7 и y 2 = 1/7. Используя формулу (16.4),определяем q ∗ 1 = 2/3, q ∗ 2 = 1/3, q ∗ 3 = 0. Итак, решение игры найдено:p ∗ = (2/3, 1/3, 0, 0); q ∗ = (2/3, 1/3, 0, 0); v = 7/3. ◮17.2. Вопросы для самоконтроля1. Как определяются соответствия между базисными и свободнымипеременными в канонических записях пары двойственных задач?2. Сформулируйте алгоритм решения матричной игры графическимметодом.244

ЛЕКЦИЯ 18Решение матричных игр в смешанных стратегиях. Решениематричных игр в смешанных стратегиях приближеннымметодом18.1. Приближенный метод решения матричных игрЕсли точное решение матричной игры оказывается громоздким, можноограничиться приближенным решением. В частности, когда нижняячистая цена игры α мало отличается от верхней чистой цены β, иногдапользуются чистыми максиминной и минимаксной стратегиями, принимаяих за оптимальные. В противном случае целесообразно использоватьметод итераций. В основе этого метода лежит предположение, чтоигра состоит из большого количества партий и игроки выбирают своичистые стратегии в очередной партии, руководствуясь накапливающимсяопытом уже сыгранных партий, обоснованно полагая, что партнери дальше будет действовать так, как он действовал до этого момента.Если каждый игрок имеет единственную оптимальную смешанную стратегию,то при неограниченном увеличении числа партий приближенныесмешанные стратегии стремятся к оптимальным стратегиям игроков, асредние выигрыши – к цене игры v. Используя ЭВМ, вычислительнуюпроцедуру можно значительно ускорить и получить решение игры с любойточностью даже при матрицах больших размерностей.245

Итеративный метод можно рекомендовать для получения приближенногоплана больших по размеру задач линейного программирования,с тем чтобы этот план преобразовать затем в оптимальный с помощьюболее громоздкой симплексной процедуры.Проследим за ходом рассуждений игроков, начиная с первой партии,если игра задана платежной матрицей, помещенной в таблице 18.1. Всерезультаты будем записывать в таблице 18.2.Таблица 18.1.❍ ❍❍❍❍❍ B sA i ❍B 1 . . . B s . . . B t . . . B nA 1 a 11 . . . a 1s . . . a 1t . . . a 1n. . . . . .A k a k1 . . . a ks . . . a kt . . . a kn. . . . . .A l a l1 . . . a ls . . . a lt . . . a ln. . . . . .A m a m1 . . . a ms . . . a mt . . . a mnВ первой партии допускаем, что игрок A выбрал некоторую чистуюстратегию A k (например, максиминную). Запишем в первую строку таблицы18.2 все возможные значения a k1 , . . . , a kn выигрыша, которые иг-246

рок А может получить при применении игроком В любой из его чистыхстратегий B j . ИгрокВ ответит той стратегией, при которой его проигрышбудет наименьшим. Эта стратегия соответствует наименьшему изэлементов a k1 , . . . , a kn . Пусть им будет элемент a ks . Тогда наилучшейдля игрока В будет стратегия B s .НомерпартииИгрок AНакопленныйвыигрыш приразличныхСтратегиястратегияхигрока BТаблица 18.2.Игрок BНакопленныйпроигрыш приразличныхСтратегиястратегияхигрока AB 1 . . . B n A 1 . . . A m v ′ hv ′′hПриближенныезначения цены1 A k a k1 . . . a kn B s a 1s . . . a ms v ′ 1 v ′′1 v ср12 A l b l1 . . . b ln B t b 1t . . . b mt v ′ 2 v ′′2 v ср2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r A p c p1 . . . c pn B q c 1q . . . c mq v ′ r v ′′rv срhv срrЗаполнение первой строки таблицы 18.2 завершаем записью значенийвыигрышей a 1s , . . . , a ms , соответствующих всем возможным стратегиямигрока А. В последние три столбца запишем: v ′ h– наименьший из накопленныхвыигрышей игрока А за h партий, деленный на число партий h;v ′′ h– наибольший из накопленных проигрышей игрока В за h партий,деленный на число партийh; v срh– среднее арифметическое v ′ h и v′′ h –приближенное значение цены игры.247

Во второй партии игрок A предполагает, что игрок В и в даннойпартии воспользуется стратегией B s , а поэтому игрок А отвечает стратегией,которая обеспечивает ему при стратегии B s наибольший выигрыш.Эта стратегия соответствует наибольшему из элементовa 1s , . . . , a ms . Пусть им будет, например, элемент a ls . Тогда наилучшейдля игрока А будет чистая стратегия A l . Во вторую строку таблицы 18.2запишем суммарные значения выигрыша за первую (при стратегии A k ) ивторую (при стратегии A l ) партии – накопленный выигрыш a kj +a lj = b lj(j = 1, n). В свою очередь игрок В, анализируя суммарные выигрышиb lj игрокаА и предполагая, что игрок А и далее будет пользоватьсястратегией A l , аккумулирующей опыт первых партий (в накопленномвыигрыше), выбирает стратегию B t , отвечающую b lt – наименьшему изэлементов b lj . Заканчивая заполнение второй строки таблицы 18.2, записываемнакопленный проигрыш игрока В за две партии при различныхстратегиях игрока А: b it = a is + a it (i = 1, m). Заполняем и последниетри столбца: v ′ h , v′′ h и vср h. Аналогично игроки выбирают свои стратегиив ходе всей игры. Приближенные оптимальные стратегии игроков находятпосле прекращения итерационного процесса. Предположим, что онзакончился на r-й партии и за всю игру стратегия A l была использованаm(A i ) раз, а стратегия B j – m(B j ) раз. Тогда за вероятности применениячистых стратегий принимаются значения частостей:p ∗ i = m(A i ) : r(i = 1, m); q ∗ j = m(B j ) : r(j = 1, n)248

Приближенное значение цены игры v ≈ v срr = ( v ′ r + v ′′r)/2.18.2. Вопросы для самоконтроля1. В каких случаях применяется приближенный метод решения матричныхигр?2. Сформулируйте алгоритм решения матричной игры приближеннымметодом.249

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 10Тема: Решение матричных игр в смешанных стратегиях: сведениематричной игры к задаче линейного программирования, графическим иприближенным методами.Цель: Закрепление методов графического и приближенного на примерахи задачах.Задание 1. Решить игру с платежной матрицей⎡ ⎤2 1 0⎣ 3 0 1 ⎦ ,1 2 4сведя ее к задаче линейного программирования.◭ Прежде всего, проверим, не имеет ли игра седловой точки. Находим:α = max min a ij = 1; β = min max a ij = 2.i j i jТак как α ≠ β, решением игры будут смешанные стратегии, а ценаигры заключена в пределах 1 ≤ ν ≤ 2. Доминирования стратегий, каквидно по матрице, в данной игре нет, и все элементы платежной матрицынеотрицательны. Так что упрощать матрицу не приходится.Составляем по матрице игры задачи:f = x 1 + x 2 + x 3 → min,250

⎧⎨⎩2x 1 + 3x 2 + x 3 ≥ 1;x 1 + 2x 3 ≥ 1;x 2 + 4x 3 ≥ 1;x i ≥ 0 (i = 1, 3);ϕ = y 1 + y 2 + y 3 → max,⎧⎨ 2y 1 + y 2 ≤ 1;3y⎩ 1 + y 3 ≤ 1;y 1 + 2y 2 + 4y 3 ≤ 1;y i ≥ 0 (j = 1, 3).Решим, например, задачу (2). После приведения модели к каноническомувиду дополнительные переменные y 4 , y 5 , y 6 составят начальныйбазис, а основные переменные y 1 , y 2 , y 3 будут свободными. В результатерешения задачи симплексным методом приходим к таблице 1, содержащейкомпоненты оптимального планаy ∗ = (y ∗ 1; y ∗ 2; y ∗ 3; y ∗ 4; y ∗ 5; y ∗ 6) = (1/3; 1/3; 0; 0; 0; 0) и ϕ max = 2/3.Находим цену игры ν = 1/ϕ max = 3/2 и компоненты q ∗ j оптимальнойсмешанной стратегии q ∗ игрока B:q ∗ 1 = νy ∗ 1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, q ∗ 2 = 1/2, q ∗ 3 = 0.Найдем теперь оптимальную смешанную стратегию p ∗ игрока A. Введемдополнительные переменные x 4 , x 5 и x 6 в ограничения задачи (1).(1)(2)251

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 1.С.Ч. −y 3 −y 4 −y 6y 2 = 1/3y 1 = 1/3y 5 = 0ϕ = 2/3 1/3 1/3 1/3✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏Эти переменные составят начальный базис, а переменные x 1 , x 2 и x 3будут свободными. Запишем соответствие между переменными каноническихформ рассматриваемых двойственных задач:свободные{ }} {x 1 x 2 x 3y 4}y 5{{y 6}базисные{базисные}} {x 4 x 5 x 6y 1}y 2{{y 3}свободныеУчитывая это соответствие, выписываем из строки целевой функцииϕ таблицы 1 значения компонент оптимального вектора задачи(1): x ∗ 1 = 1/3, x ∗ 2 = 0, x ∗ 3 = 1/3. Находим компоненты p ∗ i оптимальнойсмешанной стратегии p ∗ игрока A:p ∗ 1 = νx ∗ 1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, p ∗ 2 = 0, p ∗ 3 = 1/2.252

Итак, решение игры найдено:p ∗ = (1/2; 0; 1/2), q ∗ = (1/2; 1/2; 0), ν = 3/2. ◮Задание 2. Решить игру с платежной матрицей⎡⎣3 812 1⎤⎦9 6графическим методом.◭ В данном случае α = 6, β = 8, т. е. α ≠ β, а поэтому для определенияоптимальных смешанных стратегий игроков составляем задачи:f = x 1 + x 2 + x 3 → min,{ 3x1 + 12x 2 + 9x 3 ≥ 1,8x 1 + x 2 + 6x 3 ≥ 1,x i ≥ 0 (i = 1, 3),ϕ = y 1 + y 2 → max,⎧⎨ 3y 1 + 8y 2 ≤ 1,12y⎩ 1 + y 2 ≤ 1,9y 1 + 6y 2 ≤ 1,y i ≥ 0 (j = 1, 2).(3)(4)253

Поскольку задача (4) содержит две переменные, то, решая ее графически(рисунок 1), находим: y ∗ 1 = 1/27, y ∗ 2 = 1/9, ϕ max = 4/27. Вычисляемν = 1/ϕ max = 27/4, q ∗ 1 = νy ∗ 1 = 1/4, q ∗ 2 = 3/4.y 2 01 9ОA max1 270,1 cmax 4 27y 1Рисунок 1. – Графический метод решения матричной игрыДля того чтобы определить оптимальную смешанную стратегиюp ∗ = (p ∗ 1; p ∗ 2; p ∗ 3), найдем сначала решение двойственной задачи (3).В оптимальном плане задачи (4) y ∗ 1 > 0 и y ∗ 2 > 0, поэтому оба ограничениядвойственной задачи (3) ее оптимальным планом x ∗ = (x ∗ 1; x ∗ 2; x ∗ 3)обращаются в равенства. Кроме того, значениями y ∗ 1 и y ∗ 2 второе ограничениезадачи (4) обращается в строгое неравенство. Следовательно, воптимальном плане задачи (3) соответствующая ему вторая переменнаяравна нулю, т.е. x ∗ 2 = 0. Учитывая сказанное, для определения x ∗ 1 и x ∗ 3254

получаем уравнения 3x 1 + 9x 3 = 1 и 8x 1 + 6x 2 = 1, совместное решениекоторых дает x ∗ 1 = 3/54, x ∗ 3 = 5/54. Вычисляем: p ∗ 1 = 3/8, p ∗ 2 = 0,p ∗ 3 = 5/8.Итак, решение игры найдено:p ∗ = (3/8; 0; 5/8); q ∗ = (1/4; 3/4); ν = 27/4. ◮Задание 3. В матричной игре (таблица 2) получить приближенияцены игры и оптимальных смешанных стратегий, выполнив 20 итераций.Таблица 2.❍ ❍❍❍❍❍ B jA i ❍B 1 B 2 B 3A 1 4 2 2A 2 2 5 0A 3 0 2 5◭ Поскольку α = 2, β = 4 и, следовательно, α ≠ β, то игра не имеетседловой точки, а потому ищем решение игры в области смешанныхстратегий.Пусть в первой партии игрок А избрал стратегию A 1 . Выигрыши егопри различных стратегиях игрока B будут равны соответственно 4, 2255

Таблица 3.Игрок AИгрок BНомерПриближенныеНакопленныйНакопленныйпартиизначения ценывыигрыш припроигрыш приСтратегияразличныхразличныхСтратегиястратегияхстратегияхигрока Bигрока AB 1 B 2 B 3 A 1 A 2 A m v ′ h v ′′h v срh1 A 1 4 2 2 B 2 2 5 2 2 5 7/22 A 2 6 7 2 B 3 4 5 7 1 7/2 9/43 A 3 6 9 7 B 1 8 7 7 2 8/3 7/34 A 1 10 11 9 B 3 10 7 12 9/4 3 21/85 A 3 10 13 14 B 1 14 9 12 2 14/5 12/56 A 1 10 15 16 B 1 18 11 12 7/3 9/3 8/37 A 1 18 17 18 B 2 20 16 14 17/7 20/7 37/148 A 1 22 19 20 B 2 22 21 16 19/8 11/4 41/169 A 1 26 21 22 B 2 24 26 18 7/3 26/9 47/1810 A 2 28 26 22 B 3 26 26 23 11/5 13/5 12/511 A 1 32 28 24 B 3 28 26 28 24/11 28/11 26/1112 A 1 36 30 26 B 3 30 26 33 13/6 33/12 59/2413 A 3 36 32 31 B 3 32 26 28 31/13 38/13 69/2614 A 3 36 34 36 B 2 34 31 40 17/7 20/7 37/1415 A 3 36 36 41 B 1 38 33 40 12/5 40/15 38/1516 A 3 36 38 46 B 1 42 35 40 9/4 21/8 39/1617 A 1 40 40 48 B 1 46 37 40 40/17 46/17 43/1718 A 1 44 42 42 B 2 48 42 42 7/3 8/3 5/219 A 1 48 44 52 B 2 50 47 44 44/19 50/19 47/1920 A 1 52 46 54 B 2 52 52 46 23/10 13/5 49/20или 2. Запишем их в первую строку таблице 3. Игроку B в первой партиивыгоднее использовать либо вторую, либо третью стратегию, таккак в обоих случаях его проигрыш будет наименьшим и равняется двум.Условимся в случае равенства выигрышей (проигрышей) при несколькихстратегиях брать стратегию с меньшим индексом. Итак, игрок B256

выберет стратегию B 2 , при которой он проиграет либо 2, либо 5, либо2 в зависимости от выбора игроком А своей чистой стратегии (смотритаблицу 2). Внесем эти значения в первую строку таблицы 3 и заполнимстроку до конца:v ′ 1 = 2/1 = 2, v ′′1 = 5/1 = 5, v ср1 = (2 + 5)/2 = 7/2.Переходим ко второй партии. Предполагая, что игрок B и во второйпартии может воспользоваться стратегией B 2 , игрок A выберет стратегиюA 2 , при которой его выигрыш является наибольшим и равняется 5.При стратегии A 2 игрок А может выиграть либо 2, либо 5, либо 0. Вовторую строку таблицы 3 записываем выигрыши игрока A в двух партиях,т.е. 4 + 2 = 6, 2 + 5 = 7, 2 + 0 = 2. Игроку B в данной ситуациивыгоднее всего применить стратегию B 3 , соответствующую наименьшемупроигрышу, равному 2. Записываем во вторую строку его суммарныепроигрыши в двух первых партиях: 2 + 2 = 4, 5 + 0 = 5, 2 + 5 = 7. Впоследние три столбца записываем:v ′ 2 = 2/2 = 1, v ′′2 = 7/2, v ср2 = (1 + 7/2)/2 = 9/4.В третьей партии игроку A выгоднее всего применить стратегию A 3 ,а игроку B после этого лучше использовать стратегию B 1 и т.д. После20 итераций подсчитываем, сколько раз игроки использовали каждую изсвоих чистых стратегий. Получаем m(A 1 ) = 12, m(A 2 ) = 2, m(A 3 ) = 6,m(B 1 ) = 6 m(B 2 ) = 8, m(B 3 ) = 6. После этого определяем вероятности257

применения игроками своих чистых стратегий:p ∗ 1 = 12/20 = 0, 6; p ∗ 2 = 2/20 = 0, 1; p ∗ 3 = 6/20 = 0, 3;q ∗ 1 = 6/20 = 0, 3; q ∗ 2 = 8/20 = 0, 4; q ∗ 3 = 6/20 = 0, 3.Таким образом, приближенными оптимальными смешанными стратегиямиигроков будут:p ∗ = (0, 6; 0, 1; 0, 3) , q ∗ = (0, 3; 0, 4; 0, 3) ,а приближенное значение цены игры( )v ≈ v ср20 = v ′ 20 + v ′′20 /2 = 2, 45.Для сравнения приведем точное решение игры:p ∗ = (19/35; 6/35; 10/35) = (0, 544; 0, 171; 0, 285) ,цена игры v = 2, 514. ◮q ∗ = (9/35; 14/35; 12/35) = (0, 257; 0, 400; 0, 343)258

ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ 8, 9, 10Тема: Решение матричных игр в смешанных стратегиях: сведениематричной игры к задаче линейного программирования, графическимметодом и приближенным методом.Цель: Закрепление решения матричных игр в смешанных стратегияхпутем сведения к задаче линейного программирования, графическим иприближенным методом на компьютере.Задача 1. Решить следующую матричную игру в MS Excel, используянадстройку «Поиск решения»⎡ ⎤3 1 5 4⎢ 6 6 2 0⎥⎣ 4 2 7 6 ⎦ .5 3 5 5Для решения матричной игры (находим стратегии p i ) в MS Excelнеобходимо использовать надстройку «Поиск решения», которая находитсяв закладке «Данные». Для этого необходимо записать математическуюмодель игры: ее целевую функцию и ограничения (рисунок 1).Далее, используя надстройку «Поиск решения», вводим сведения обцелевой функции (ее значение и направление оптимизации). Задаем изменяемыеячейки (оптимальное решение задачи), которые в процессепросчета компьютером будут изменяться, а также задаем ограничения259

Рисунок 1. – Математическая модель матричной игры для стратегий p iна соответствующие переменные (на рисунке 2 обведены замкнутымикривыми).Рисунок 2. – Ввод сведений об ограничениях и целевой функции для стратегий p i260

После ввода данных нажимаем на кнопку «Выполнить» (на рисунке2 выделено замкнутыми кривыми) и получаем решение наше задачи.Оптимальное решение задачи выделено голубым цветом, а значение целевойфункции – желтым (рисунок 3).Рисунок 3. – Оптимальное решение матричной игры для стратегий p iДля проверки решения задачи мы суммируем все стратегии p i , которые,по определению, должны равняться единице, что видно на рисунке3.261

Рисунок 4. – Математическая модель матричной игры для стратегий q jРисунок 5. – Ввод сведений о целевой функции и об ограничениях для стратегий q j262

Аналогично находятся стратегии q j , которые более наглядно можнопросмотреть на рисунках 4–6.Рисунок 6. – Оптимальное решение матричной игры для стратегий q j263

ЛЕКЦИЯ 19Модели сетевого планирования и управления. Сетевыеграфики19.1. Правила построения сетевых графиковВ практике управления большими системами широко применяетсяметод сетевого планирования и управления (СПУ). Методы СПУ былипредложены сравнительно недавно. Так как они разрабатывались в разныхстранах, возникло несколько их разновидностей: СПУ – в СССР,PERT и СРМ – в США и др.Метод PERT применяется в планировании научно-исследовательскихи опытно-конструкторских разработок, для которых характерна неопределенностьв оценке затрат времени, необходимого для выполнения отдельныхопераций (работ). Метод СРМ применяется тогда, когда оценкивремени операций детерминированные.Основой метода СПУ является сетевой график (сетевая модель), отражающий(ая)логическую взаимосвязь и взаимообусловленность входящихв него элементарных операций (работ).Сетевые графики представляют собой ориентированные графы (орграфы)без контуров, дугам или вершинам которых приписаны некоторыечисловые значения.264

В системах СПУ используются следующие наиболее распространенныеспособы построения сетевых графиков:1) сетевые графики в терминах "дуги-операции" (под операцией понимаетсякакая-то работа). В таких графиках вершины, называемые событиями,соответствуют моментам времени начала или окончания однойили нескольких операций, а дуги — операциям;2) сетевые графики в терминах "дуги-связи" , в которых операцииизображаются вершинами сети, а дуги показывают порядок выполнения(взаимосвязь) отдельных операций.Каждый из способов построения сетевых графиков имеет как преимущества,так и недостатки. Учитывая, что первый способ получилбольшее практическое применение в нашей стране, в дальнейшем сетевыеграфики будем рассматривать в терминах "дуги-операции".В сетевом графике различают три вида событий: исходное, завершающееи промежуточное. Исходное — это такое событие, с которого начинаетсявыполнение комплекса операций. Завершающее соответствуетдостижению конечной цели, т.е. завершению комплекса операций. Сетевыеграфики с несколькими завершающими событиями называютсямногоцелевыми. К промежуточным относятся все прочие события.События обозначаются кружками или другими геометрическими фигурами.Предполагается, что события не имеют продолжительности инаступают как бы мгновенно.265

Моментом свершения события считается момент окончания выполнениявсех входящих в это событие операций. Пока не выполнены всевходящие в событие операции, не может свершиться само событие, а,следовательно, не может быть начата ни одна из непосредственно следующихза ним операций.Различают три вида операций:1) действительная операция ( ) — процесс, требующий затратвремени и ресурсов (разработка проекта, подвоз материалов, выполнениемонтажных работ и т.д.);2) операция-ожидание ( ) — процесс, требующий только затратвремени (затвердение бетона, естественная сушка штукатурки перед началомотделочных работ, рост растений и т.д.);3) фиктивная операция ( ), или логическая зависимость, отражаеттехнологическую или ресурсную зависимость в выполнении некоторыхопераций.При построении сетевых графиков необходимо соблюдать определенныеправила:1) в сети не должно быть событий (кроме исходного), в которые невходит ни одна дуга;2) не должно быть событий (кроме завершающего), из которых невыходит ни одной дуги;3) сеть не должна содержать контуров;266

4) любая пара событий сетевого графика может быть соединена неболее чем одной дугой. Если изобразить одновременно (параллельно)выполняемые три различные операции b, c и d с общими начальным иконечным событиями (рисунок 19.1), то возникает путаница из-за того,что различные операции имеют одно и то же обозначение. В этомслучае рекомендуется ввести дополнительные события и соединить их споследующими фиктивными операциями (рисунок 19.2);5) номер начального события любой операции должен быть меньшеномера ее конечного события;6) если какие-либо операции могут быть начаты до полного окончаниянепосредственно предшествующей им операции, то последнюю целесообразнопредставить как ряд последовательно выполняемых операций,завершающихся определенными событиями. Например, если операцииc и d могут быть начаты до полного окончания операции, то операциюрекомендуется разбить на элементарные операции b 1 b 2 и b 3 ипредставить выполнение всех операций в виде графика, изображенногона рисунке 19.3.Для отражения технологической или ресурсной зависимости в выполненииопераций применяют фиктивные операции. Предположим, чтооперация может выполняться после завершения операций a и b, а операцияd – только после завершения операции b. Эта зависимость представленана рисунке 19.4, из которого видно, что операция c следуетза операцией a и фиктивной операцией (2, 3). В свою очередь операция267

2c5dРисунок 19.1. – Операции b, c и d с общими начальным и конечным событиямиb3c2 5d4Рисунок 19.2. – Соединение дополнительных событий с фиктивными операциями(2, 3) следует за операцией b. Тогда в силу транзитивности выполнениеоперации b предшествует выполнению операции c.Построение сетевого графика начинается с составления списка операций(работ), подлежащих выполнению. Последовательность операцийв списке произвольная. Порядок нумерации операций осуществляется в268

1b 12b23b36cd4 5Рисунок 19.3. – Разбиение операций на элементарные3ac14b2dРисунок 19.4. – Технологическая или ресурсная зависимость в выполнении операцийсоответствии с последовательностью их записи в списке. Перечень операцийтщательно продумывается и в зависимости от конкретных условийс какой-то степенью детализируется. Операции, включенные в список,характеризуются определенной продолжительностью, которая устанавливаетсяна основе действующих нормативов или по аналогии с ранеевыполнявшимися операциями. Такие временные оценки называются де-269

терминированными. Если же нормативные данные временных оценокопераций отсутствуют, то определяются вероятностные оценки.После составления списка операций приступают к процедуре построениясети.Пример 19.1. Необходимо построить укрупненный сетевой графиквыполнения комплекса операций по реконструкции цеха. Список операцийпредставлен в таблице 19.1. Сетевой график комплекса операцийизображен на рисунке 19.4.Все операции графика, за исключением фиктивных операций (2, 3) и(5, 6) являются действительными. Числа в скобках, приписанные дугам,означают продолжительность выполнения соответствующих операций.Операции a 1 и a 2 не опираются ни на какие операции, следовательно, награфике они изображаются дугами, выходящими из исходного события(7), означающего момент начала выполнения комплекса операций. Операцииa 3 , a 5 и a 6 опираются на операцию a 1 , поэтому на графике дугиa 3 , a 5 и a 6 непосредственно следуют за дугой a 1 . Событие (2) означаетмомент окончания операции a 1 и начала операций, представленныхдугами, выходящими из этого события. Операция a 4 опирается на операцииa 1 и a 2 . Графически это условие отражено посредством последовательногоизображения операций (1, 3) и (3, 4) и введения фиктивнойоперации (2, 3). Событие (3) инцидентно операциям (1, 3) и (2, 3), следовательно,моментом свершения события (3) является такой момент,270

к которому будут выполнены все входящие в это событие операции иможет быть начата операция, отраженная дугой, выходящей из него.Аналогично, с учетом технологии выполнения, изображены на графикеостальные операции. Завершающее событие (9) означает момент окончаниявыполнения всего комплекса операций по реконструкции цеха.Шифры операций (таблица 19.1) состоят из номеров начального и конечногособытий и практически в список заносятся после составленияграфика.События построенного сетевого графика (рисунок 19.5) имеют упорядоченнуюнумерацию. Практически же в исходном сетевом графикеэлементы, как правило, имеют неупорядоченную нумерацию. Поэтомупосле построения графика рекомендуется перенумеровать его элементы.a (5) 1 32a (30)61a (3) 3a (8)2 10 a (10) a (12)5 6 a (16) 44 a (8) 5a (2)7 a (6)8 a (1)7 8 9 11 9Рисунок 19.5. – Сетевой график комплекса операций271

ОперацияШифроперацииa 1 (1,2)a 2 (1,3)a 3 (2,6)a 4 (3,4)a 5 (2,4)a 6 (2,5)a 7 (4,5)a 8 (5,7)a 9 (7,8)a 10 (6,8)a 11 (8,9)Таблица 19.1.Наименование операцииПодготовительныеработыДемонтаж старогооборудованияРемонтные строительномонтажныеработыПодготовка фундаментапод новое оборудованиеПодготовка к монтажунового оборудованияЭлектрическиеработыМонтаж новогооборудованияПодготовка оборудованияк электросетиНаладка и технологическиеиспытания оборудованияОтделочныеработыПриемка цехав эксплуатациюОпираетсяна операцииПродолжительность,дни− 5− 3a 1 30a 1 , a 2 16a 1 10a 1 12a 4 , a 5 8a 6 , a 7 2a 8 6a 3 , a 6 , a 7 8a 9 , a 10 1Построение сетевых графиков скоротечных комплексов операций, когдаиз-за недостатка времени нет возможности производить оптимизационныерасчеты, осуществляется с учетом технологических и ресурсныхограничений. Построение графиков нескоротечных комплексов операций,когда достаточно времени для их исследования, выполняется лишьс учетом технологических ограничений. Такой подход обеспечивает ми-272

нимальную продолжительность выполнения комплекса операций. Послепостроения графика рассчитываются его временные параметры и производитсяоптимизация по ресурсам или другим показателям, для чегоиспользуются формальные методы оптимизации.Для разного уровня руководства составляются графики различнойстепени детализации. Так, например, на рисунке 19.5 изображен укрупненныйсетевой график реконструкции цеха. Для конкретных исполнителейсоставляются частные сетевые графики с большей степенью детализации.19.2. Вопросы для самоконтроля1. Какие Вы знаете способы построения сетевых графиков?2. Какие виды операций в сетевом планировани и управлении Вызнаете?3. Какие правила надо соблюдать при построении сетевых графиков?273

ЛЕКЦИЯ 20Модели сетевого планирования и управления. Временныепараметры сетевого графика20.1. Расчет временных параметров графикаДля управления ходом выполнения комплекса операций, представленногосетевой моделью, оперирующая сторона должна располагатьколичественными параметрами элементов сети. К таким параметрамотносятся: продолжительность выполнения всего комплекса операций,сроки выполнения отдельных операций и их резервы времени. Важнейшимпараметром сетевого графика является также критический путь.Различают следующие виды путей: полный, предшествующий событию,следующий за событием.Путь сетевого графика называется полным, если его начальная вершинасовпадает с исходным событием, а конечная – с завершающим.Предшествующий событию путь – это путь от исходного события доданного.Следующий за событием путь есть путь от данного события до завершающего.Критическим называется полный путь, имеющий наибольшую продолжительностьво времени. Операции и события, принадлежащие критическомупути, называются соответственно критическими операциями274

и критическими событиями. Суммарная продолжительность операций,принадлежащих критическому пути, составляет критическое время t крвыполнения комплекса операций в целом. На графике критический путь,как правило, выделяется жирной линией.Расчет параметров сетевого графика может осуществляться различнымиметодами. Рассмотрим один из них.Предположим, что продолжительности t ij , i, j = 1, n, выполненияопераций (i, j) известны и обозначены у соответствующих дуг графика(рисунок 20.1).8(8)0(0)122(2)21342(2)635311(11)7324 14165(10)4(5)Рисунок 20.1. – Продолжительности выполнения операций сетевого графикаОпределим, прежде всего, ожидаемые (ранние) сроки t i свершениясобытий (i) сетевого графика. Исходное событие означает момент началавыполнения комплекса операций, следовательно, t 1 = 0. Событие275

(2) свершится, очевидно, спустя 2 единицы времени после свершениясобытия (1), так как время выполнения операции (1, 2) равно 2. Следовательно,t 2 = t 1 + t 12 = 0 + 2 = 2. Событию (3) предшествуют двапути: µ 1 = (1 − 3) и µ 2 = (1 − 2 − 3). Продолжительность первого путиравна 1 единице времени, а второго – 2 единицам времени, так какt 12 + t 23 = 2 + 0 = 2. Продолжительность второго пути можно найтидобавлением к ожидаемому сроку свершения события (2) времени выполненияоперации (2, 3), т.е. t 2 + t 23 = 2 + 0 = 2. Поскольку событие (3)может свершиться не раньше момента окончания всех входящих в негоопераций, тоt 3 = max(t 1 + t 13 ; t 2 + t 23 ) = max(0 + 1; 2 + 0) = 2.В событие (4) входят две дуги, исходящие из событий (1) и (3), длякоторых ожидаемые сроки свершения найдены. Следовательно, ожидаемыйсрок свершения события (4)t 4 = max(t 1 + t 14 ; t 3 + t 34 ) = max(0 + 3; 2 + 2) = 4.Аналогично находятся ожидаемые сроки свершения событий (5), (6) и(7). Значения t i , i = 1, 7, приписаны соответствующим событиям на рисунке20.1.Общую формулу для нахождения ожидаемых сроков свершения событийможно записать так:t 1 = 0,276

t j = max(t i + t ij ), j = 2, 3, ..., n,>{(i,j)}где>{(i, j)} – подмножество дуг сети, входящих в событие (j).Ожидаемый срок свершения события (7) t 7 = 11 совпадает с критическимвременем (суммарной продолжительностью операций, принадлежащихкритическому пути). Возвращаясь теперь от завершающегособытия к исходному, выделим операции, принадлежащие критическомупути. Из трех операций, входящих в событие (7), t кр = 1 определилаоперация (5, 7), выполнение которой начинается после свершения события(5) и продолжается 3 единицы времени (t 5 + t 57 = 8 + 3 = 11).Момент свершения события (5) определила операция (3, 5), таккак t 2 + t 35 = 2 + 6 = 8. В свою очередь момент свершения события(3, 5) определила операция (2, 3), а события (2) – операция (1, 2). Этиоперации на рисунке 20.1 выделены жирной линией. Таким образом,критический путь µ 2 = (1 − 2 − 3 − 5 − 7). Увеличение времени выполнениялюбой операции, принадлежащей критическому пути, ведет кувеличению времени выполнения комплекса операций. Увеличение жевремени выполнения или задержка с выполнением некритических операцийможет не отразиться на сроке свершения завершающего события.Например, время выполнения операции (4, 5) может быть увеличено,или начало ее выполнения может быть отсрочено на 1 единицу времени,277

и это не отразится на сроке свершения события (5), а следовательно, ивсего комплекса операций.Начало выполнения операции (4, 7) может быть отсрочено на 3 единицывремени. Отсюда следует, что для события (4), не лежащего накритическом пути, существует предельный (поздний) срок свершения.Обозначим предельный срок свершения любого события сетевого графикачерез t ∗ i , i = 1, n. Примем, что ожидаемый и предельный срокисвершения завершающего события (n) совпадают (t n = t ∗ n), тогда предельныйсрок свершения любого события сетевого графика равен минимальнойразности между предельными сроками окончания операций,исходящих из данного события, и временем выполнения соответствующихопераций. Нахождение предельного срока осуществляется по формулеt ∗ n = t n ,t ∗ i = min (t ∗ j + t ij ), i = 1, n − 1,

Аналогично находим, что t ∗ 3 = 2, t ∗ 2 = 2, t ∗ 1 = 0 (на рисунке 20.1 предельныесроки свершения событий указаны в скобках). Для критическихсобытий эти сроки совпадают с ожидаемыми.Некритические события имеют резервы времени, которые показывают,на какой предельно допустимый срок может задержаться свершениесобытий без изменения срока свершения завершающего события. Резерввремени R i события (i) равен разности между предельным и ожидаемымсроками его свершения:R i = t ∗ i − t i .Ожидаемые и предельные сроки свершения событий находятся в диалектическомединстве со сроками начала и окончания операций: раннийсрок начала выполнения операции (i, j) равен ожидаемому сроку свершениясобытия (i) (t р.н.ij = t i ); поздний срок окончания операции совпадаетс поздним сроком свершения ее конечного события (t п.о.ij = t ∗ j ),поздний срок начала выполнения операции равен разности между предельнымсроком свершения ее конечного события и продолжительностью(t п.н.ij = t ∗ j − t ij); ранний срок окончания операции равен суммеожидаемого срока свершения ее начального события и продолжительности(t р.о.ij = t i + t ij ).Сроки выполнения операций находятся в границах, определяемых параметрамиt р.н.ij , t п.н.ij , t р.о.ij , t п.о.ij . Следовательно, операции, как и события,могут иметь некоторый резерв времени. Различают четыре разновид-279

ности резервов времени операций: полный, свободный, частный первоговида и частный второго вида.Полный резерв времени операции Rij п показывает, на сколько можносдвинуть начало выполнения операции или увеличить ее продолжительность,не изменяя ожидаемого срока свершения начального события,при условии, что конечное для данной операции событие свершится непозднее своего предельного срока. Величина полного резерва временивычисляется по формулеR п ij = t ∗ j − (t i + t ij ) = t ∗ j − t р.о.ij .Свободный резерв времени операции Rij с показывает, на сколько можноувеличить продолжительность или отсрочить начало выполнения операции(i, j), при условии, что начальное и конечное ее события свершаютсяв ожидаемое время:R с ij = t j − (t i + t ij ) = t j − t р.о.ij .Частный резерв времени первого вида R ij ′ – это запас времени, которымможно располагать при выполнении операции в предположении,что начальное и конечное ее события свершаются в предельные сроки:R ′ ij = t ∗ j − (t ∗ i + t ij ) = t п.н.ij − t ∗ i .Частный резерв времени второго вида R ij ′′ – это запас времени, которымможно располагать при выполнении операции (i, j) в предположении,что ее начальное событие свершится в предельное, а конечное –280

в ожидаемое время. Для некоторых операций интервал времени междупредельным сроком свершения начального события и ожидаемым срокомсвершения конечного события может быть меньше их продолжительности.В этом случае R ij ′′ принимается равным нулю. Определяетсячастный резерв времени второго вида по формулеR ′′ij = max(t j − t ∗ i − t ij ; 0).Найдем резервы времени операции (4,6) сетевого графика (рисунке20.1:R g 46 = t∗ 6 − (t 4 + t 46 ) = 10 − (4 + 1) = 5;R c 46 = t 6 − (t 4 + t 46 ) = 5 − (4 + 1) = 0;R ′ 46 = t ∗ 6 − (t ∗ 4 + t 46 ) = 10 − (5 + 1) = 4;R ′′46 = max(t 6 − t ∗ 4 − t 46 ; 0) = max(5 − 5 − 1; 0) = 0.20.2. Вопросы для самоконтроля1. Какой путь сетевого графика называется полным?2. Какой путь сетевого графика называется критическим?3. Какие временные параметры сетевого графика Вы знеаете?281

ЛЕКЦИЯ 21Модели сетевого планирования и управления. Оптимизациясетевых графиков по времени.21.1. Постановка задачи. Алгоритм оптимизации сетевыхграфиков по времениОптимизация по времени комплекса операций, представленного сетевымграфиком, сводится к сокращению продолжительности критическогопути. Такая задача возникает тогда, когда критическое времявыполнения комплекса операций превосходит срок T о , заданный оперирующейстороной. Естественно предположить, что сокращение временивыполнения комплекса операций требует осуществления определенныхмероприятий или вложения каких-то средств.В некоторых случаях сокращение может быть достигнуто за счет перепланировкисетевого проекта (изменения топологии сети). Так, например,одновременно выполняемые операции, не лежащие на критическомпути с большими резервами времени, целесообразно выполнять последовательно,если такое выполнение допускается технологией. Освободившиесяпри этом ресурсы можно использовать на критических операциях,что приведет к ускорению их выполнения. Сокращение времени выполненияопераций возможно также за счет автоматизации и механизации282

производственных процессов, улучшения организации работ, примененияпередовой технологии и других мероприятий.Задачи оптимизации комплекса операций по времени решаются с привлечениемдополнительных средств и с использованием внутренних резервов.Рассмотрим две постановки задачи оптимизации с использованиемдополнительных средств.I. Задан сетевой график G(E, −→ e ) выполнения комплекса операций,где E – множество событий графика, −→ e – множество операций. Времявыполнения каждой операции (i, j) равно t ij . Известно, что вложение x ijдополнительных средств в операцию (i, j) сокращает время выполненияс t ij до t ′ ij = f ij(x ij ) < t ij . Следует, однако, иметь в виду, что насыщениекритических операций ресурсами не беспредельно. Для каждой операциисуществует минимально возможное время ее выполнения, равноеd ij . Требуется определить время начала Tij н и окончания T ij о выполненияопераций, а также размер дополнительно вложенных средств x ij в каждуюиз операций (i, j), чтобы общее время выполнения комплекса операцийбыло минимальным; сумма вложенных дополнительных средств непревышала заданной величины B; время выполнения каждой операциибыло не меньше минимально возможного времени d ij .Математически условия задачи можно записать следующим образом:t кр = T о n−1,n → min; (21.1)283

∑(i,j)∈ −→ ex ij ≤ B; (21.2)T оij − T нij ≥ d ij для всех (i, j) ∈ −→ e ; (21.3)t ij (x ij ) = T оij − T yij для всех (i, j) ∈ −→ e ; (21.4)T н jr ≥ T оij для всех i, j, r ∈ E; (21.5)T нij ≥ 0, T оij ≥ 0, x ij ≥ 0, для всех (i, j) ∈ −→ e . (21.6)Добавив при необходимости фиктивную операцию, выходящую из последнегособытия, целевую функцию любого графика можно записать ввиде выражения (21.1).Ограничения-равенства (21.4) показывают зависимость продолжительностивыполнения операций от вложенных средств. Ограничения (21.5)обеспечивают выполнение условий предшествования операций в соответствиис топологией сети (время начала выполнения каждой операциидолжно быть не меньше времени окончания непосредственно предшествующейей операции).Критический путь µ кр в данной задаче является функцией от объемовдополнительно вкладываемых средств x ij .284

Сформулированная задача относится к классу оптимизационных задачи может быть решена методами линейной или нелинейной оптимизациив зависимости от вида функций f ij (x ij ).II. Постановка этой задачи отличается от предыдущей тем, что в нейналожено ограничение на общее время выполнения комплекса операций,которое не должно превышать величину T о (директивное время).Ставится задача определить значения неизвестных величин x ij (объемыдополнительно вкладываемых средств в операции (i, j) таким образом,чтобы:– суммарное количество дополнительно привлекаемых средств быломинимальным, т.е.f(x) =∑x ij → min;(i,j)∈ −→ e– время завершения комплекса операций было не выше заданногосрока T о , а время выполнения каждой операции (i, j) ∈ −→ e – не меньшеминимально возможного времени d ij , что выражается соотношениями:T о n−1,n ≤ T о ;T оij − T нij ≥ d ij для всех (i, j) ∈ −→ e ;а зависимость продолжительности выполнения операций от вложенныхсредств выражается соотношениями:T оij − T нij = f ij (x ij ) для всех (i, j) ∈ −→ e ;285

– время окончания любой операции (i, j) сетевого графика было небольше времени начала непосредственно следующей за ней операции(j, r), т.е. для любых смежных операций сети (i, j) и (j, r) должно выполнятьсяусловиеT оij ≤ T н jr;– соблюдалось условие неотрицательности переменныхT нij ≥ 0, T оij ≥ 0, x ij ≥ 0, для всех (i, j) ∈ −→ e .21.2. Вопросы для самоконтроля1. Сформулируйте математическую модель оптимизационной задачисетевого планирования и управления по времени.2. Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального решения задачисетевого планирования и управления по времени.286

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 11Тема: Модели сетевого планирования и управления. Постановка задачии алгоритм оптимизации сетевых графиков по времениЦель: Практическое закрепление алгоритма оптимизации сетевыхграфиков по времениЗадание 1. Комплекс операций представлен сетевым графиком (рисунок1). Цифры, приписанные дугам, означают соответственно продолжительностьt ij , и минимально возможное время d ij выполнения операций(дней).Продолжительность выполнения операций зависит линейно от дополнительновложенных средств и выражается соотношениемt ′ ij = t ij (1 − k ij x ij ), где k 12 = 0, 01; k 13 = 0, 02;k 23 = 0, 05; k 24 = 0, 03; k 35 = 0, 04; k 45 = 0, 02.Требуется оптимизировать сетевой график по времени, т.е. определитьвремя выполнения каждой операции сетевого графика таким образом,чтобы время выполнения комплекса операций было минимальным,а сумма вложенных средств B не превышала 12 единиц.◭ Добавив на сетевом графике фиктивную операцию (5,6), запишемцелевую функцию в виде:t кр = T о 56 → min .287

20;1210;612;51 2 316;10514;646;4Рисунок 1. – Оптимизация по времени с учетом дополнительных средств задания 1Запишем ограничения задачи:– сумма вложенных средств не должна превышать наличного их количества:x 12 + x 13 + x 23 + x 24 + x 35 + x 45 ≤ 12;– время выполнения каждой операции должно быть не меньше минимальновозможного времени:T о 12 − T н 12 ≥ 6; T о 13 − T н 13 ≥ 12; T о 23 − T н 23 ≥ 5;T о 24 − T н 24 ≥ 6; T о 34 − T н 34 ≥ 0; T о 35 − T н 35 = 10;T о 45 − T н 45 ≥ 4; T о 56 − T н 56 ≥ 0;– зависимость продолжительностей операций от вложенных средствв виде ограничений-равенств:T о 12 − T н 12 = 10(1 − 0, 01x 12 ); T о 13 − T н 13 = 20(1 − 0, 02x 13 );288

T о 23 − T н 23 = 12(1 − 0, 05x 23 ); T о 24 − T н 24 = 14(1 − 0, 03x 24 );T о 35 − T н 35 = 16(1 − 0, 04x 35 ); T о 45 − T н 45 = 6(1 − 0, 02x 45 );– время начала выполнения каждой операции должно быть не меньшевремени окончания непосредственно предшествующей ей операции(моменты времени T н 12 = T н 13 = 0):T н 23 ≥ T о 12; T н 24 ≥ T о 12; T н 35 ≥ T о 13; T н 35 ≥ T о 23;T н 34 ≥ T о 13; T н 34 ≥ T о 23; T н 45 ≥ T о 24; T н 45 ≥ T о 34;T н 56 ≥ T о 35; T н 56 ≥ T о 45;– условие неотрицательности неизвестных: T нij ≥ 0, T >ij ≥ 0, x ij ≥ 0,для всех дуг сетевого графика.После решения данной задачи симплексным методом получаем следующиерезультаты:t кр = 30, 425; T о 12 = 10; T о 13 = 20; T н 23 = 10; T о 23 = 20, 425;T н 24 = 10, 425; T о 24 = 24, 425; T н 34 = 20, 425; T о 34 = 24, 425;T н 35 = 20, 425; T о 35 = 30, 425; T н 45 = 24, 425; T о 45 = 30, 425;T н 56 = T о 56 = 30, 425; x 12 = 0; x 13 = 0; x 23 = 2, 625; x 24 = 0;x 35 = 9, 375; x 45 = 0.289

Таким образом, чтобы выполнить комплекс операций за 30,425 дня,необходимо вложить в операцию (2,3) 2,625 единицы подвижных средстви в операцию (3,5) – 9,375 единицы, при этом время выполнения операции(2,3) равно 10,425 дня и операции (3,5) – 10 дням. ◮Задание 2. Комплекс операций представлен сетевым графиком (рисунок2). Цифры, приписанные дугам графика, означают соответственнопродолжительность t ij и минимально возможное время d ij выполненияопераций.10;614;8 4;31 25;34 520;12312;7Рисунок 2. – Оптимизация по времени с учетом дополнительных средств задания 2Требуется определить, сколько вложить дополнительно средств в каждуюоперацию, чтобы время завершения комплекса операций не превосходилоT о = 26, время выполнения каждой операции было не меньшеминимально возможного времени d ij и суммарное количество дополнительновкладываемых средств было минимальным, в предположении,290

что продолжительность выполнения операций линейно зависит от дополнительновложенных средств и выражается соотношением:t ′ ij = t ij − k ij x ij , где k 12 = 0, 15; k 13 = 0, 3; k 14 = 0, 1;k 24 = 0, 5; k 34 = 0, 3; k 45 = 0, 25.◭ Целевая функция задачи имеет видf(x) = x 12 + x 13 + x 14 + x 24 + x 34 + x 45 → min .Запишем ограничения задачи:– время завершения комплекса операций не должно превышать директивноевремя:T о 45 ≤ 26;– время выполнения каждой операции должно быть не меньше минимальновозможного времени:T о 12 − T н 12 ≥ 8; T о 13 − T н 13 ≥ 12; T о 14 − T н 14 ≥ 6;T о 23 − T н 23 ≥ 0; T о 24 − T н 24 ≥ 3; T о 34 − T н 34 ≥ 7;T о 45 − T н 45 ≥ 3;– зависимость продолжительности каждой операции от вложенныхсредств (ограничения-равенства):T о 12 − T н 12 = 14 − 0, 15x 12 ; T о 13 − T н 13 = 20 − 0, 3x 13 ;291

T о 14 − T н 14 = 10 − 0, 1x 14 ; T о 24 − T н 24 = 4 − 0, 5x 24 ;T о 34 − T н 34 = 12 − 0, 3x 34 ; T о 45 − T 45 = 5 − 0, 25x 45 ;– время начала выполнения каждой операции должно быть не меньшевремени окончания непосредственно предшествующей ей операции(моменты времени T н 12 = T н 13 = T о 14 = 0):T н 23 ≥ T о 12; T н 24 ≥ T о 12; T н 34 ≥ T о 13; T н 34 ≥ T о 23;T н 45 ≥ T о 14; T н 45 ≥ T о 24; T н 45 ≥ T о 34;– условие неотрицательности неизвестных: T нij ≥ 0, T оij ≥ 0, x ij ≥ 0,для всех дуг сетевого графика.После решения данной задачи симплексным методом получаем следующиерезультаты:x 12 = 0; x 13 = 20; x 14 = 0; x 24 = 0; x 34 = 16, 667; x 45 = 0;T о 12 = 14; T о 13 = 14; T о 14 = 10; T н 23 = 14; T о 23 = 14;T н 24 = 14; T о 24 = 21; T н 34 = 14; T о 13 = 21; T н 45 = 21; T о 45 = 26;f min (x) = 36, 667.Таким образом, чтобы выполнить комплекс операций за директивноевремя T о = 26, необходимо дополнительно 36,667 единицы средств.При этом время выполнения операции (1, 3) сократилось на 6 единиц иоперации (3, 4) – на 5 единиц. ◮

ЛЕКЦИЯ 22Модели сетевого планирования и управления. Оптимизациясетевых графиков по ресурсам.22.1. Постановка задачи. Алгоритм оптимизации сетевыхграфиков по ресурсамРассмотрим частный случай оптимизации комплекса операций по стоимости.Будем предполагать, что затраты на выполнение отдельных операцийнаходятся в обратной зависимости от продолжительности их выполнения.При этой зависимости коэффициент дополнительных затрат(КДЗ) k ij для операции (i, j) вычисляется по формулеk ij = c′ ij − c′′ ij, (22.1)t ′′ij − t′ ijгде t ′ ij – срочный режим выполнения операции (наименьшая продолжительность),которому соответствуют наибольшие затраты c ′ ij ; t′′ ij –нормальный режим выполнения операции (наибольшая продолжительность),которому соответствуют минимальные затраты c ′′ij .КДЗ показывает, насколько увеличится стоимость операции при увеличениипродолжительности на единицу времени.В случае оптимизации при нефиксированной величине критическогопути предполагаем, что сетевой график комплекса операций построен.Для каждой операции установлены оценки на уровне наибольших293

продолжительностей t ′′ijи минимальных затрат c′′ ij . Следовательно, продолжительностькритического пути будет наибольшей, а стоимость выполнениякомплекса операций – наименьшей (минимальной). Необходимосократить критический путь до некоторого минимально возможногозначения при минимальном возрастании стоимости выполнения комплексаопераций.В общем случае сетевой график может содержать несколько критическихпутей, взаимосвязь между операциями которых может быть довольносложной. Не ограничивая общности изложения сущности подходак решению задачи, рассмотрим более простой случай, а именно: будемполагать, что если график содержит несколько критических путей, тоили они не имеют общих операций, или же имеется одна либо несколькообщих операций для всех критических путей.При этом предположении алгоритм оптимизации комплекса операцийпо стоимости сводится к следующему.Предварительный шаг. Определяем коэффициенты дополнительныхзатрат. Используя продолжительность операций t ′′ij , находим критическийпуть, длину критического пути t кр , полные резервы времени операцийRij п сетевого графика и затраты на реализацию комплекса операцийC.Общий шаг.1. Среди критических находим операцию, для которой КДЗ наименьший.Если найденная операция является общей для всех критических294

путей или если критический путь один, то она и подлежит сокращению.Если же найденная операция не является для критических путейобщей, однако пути имеют одну или несколько общих операций, то накаждом из них находим операцию с наименьшим КДЗ, суммируем КДЗэтих операций и сравниваем с КДЗ той из общих операций, для которойон наименьший. Если сумма КДЗ операций меньше КДЗ общей операциикритических путей, то все эти операции подлежат сокращению.Если же, наоборот, сумма КДЗ операций больше КДЗ общей операции,то сокращению подлежит общая для критических путей операция. Есликритические пути не имеют общих операций, то на каждом из нихнаходится операция с наименьшим КДЗ.2. Производим сокращение продолжительности этой операции (этихопераций) до тех пор, пока она (они) не достигнет (не достигнут) минимальнойпродолжительности t ′ ij или не образуется новый критическийпуть (полный резерв одной из некритических операций сети будет равеннулю).3. Для данного варианта сетевого графика определяем критическийпуть, t кр , Rij п и C.4. Проверяем, все ли операции критического пути достигли минимальнойпродолжительности. Если достигли, действие алгоритма закончено,так как сокращение продолжительности некритических операцийувеличивает стоимость выполнения всего комплекса, не влияя на длинукритического пути. Если же не достигли, переходим к пункту 1.295

22.2. Вопросы для самоконтроля1. Сформулируйте математическую модель оптимизационной задачисетевого планирования и управления по ресурсам.2. Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального решения задачисетевого планирования и управления по ресурсам.296

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 12Тема: Модели сетевого планирования и управления. Постановка задачии алгоритм оптимизации сетевых графиков по ресурсамЦель: Практическое закрепление алгоритма оптимизации сетевыхграфиков по ресурсамЗадание 1. Комплекс операций представлен сетевым графиком (рисунок1). Цифры, приписанные дугам графика, означают продолжительностивыполнения операций в нормальном и срочном режимах соответственно.Прямые затраты на выполнение операций следующие:c ′′12 = 160; c ′ 12 = 190; c ′′13 = 120; c ′ 13 = 176; c ′′24 = 35; c ′ 24 = 95;c ′′25 = 60; c ′ 25 = 84; c ′′34 = 72; c ′ 34 = 112; c ′′45 = 100; c ′ 45 = 144.Требуется максимально сократить критический путь при минимальномвозрастании стоимости выполнения операций.◭ Предварительный шаг.Определяем КДЗ операций по формуле (22.1):k 12 = 5; k 13 = 7; k 24 = 10; k 25 = 6; k 34 = 8; k 45 = 17.Находим, что при наибольшей продолжительности операций t ′′ij критическийпуть µ кр = (1 − 3 − 4 − 5), t кр = 38, резервы времени некритическихопераций R п 12 = 4, R п 24 = 4, R п 25 = 14; R п 23 = 6 и стоимость297

выполнения комплекса операций C = 557. Результаты расчетов заносимв таблице 1.10;614;81 214;86;44 520;12312;7Рисунок 1. – Оптимизация комплекса операций по ресурсамПервый шаг.1. Среди критических операций наименьший КДЗ имеет операция(1,3): k 13 = 7. Так как критический путь один, то она и подлежитсокращению.2. Сокращаем время выполнения операции (1,3) на величину, равнуюmin(t ′′13 − t ′ 13; R п 12) = min(20 − 12; 4) = 4.3. В результате сокращения операции (1,3) образовалось два критическихпути: µ ′ = (1 − 2 − 4 − 5) и µ ′′ = (1 − 3 − 4 − 5) c общей операцией(4,5). Продолжительность критического пути уменьшилась на 4 единицы:t (1)кр = 34. Резервы времени некритических операций составляют:298

R п 23 = 2, R п 25 = 10 Стоимость выполнения комплекса операций C = 536(данные занесены в соответствующие строки таблица 1). M ′ – достаточнобольшое число, практически можно взять равное бесконечности.Таблица 1.ПараметрыОперации (i, j)(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (4,5)t ′′ij 14 20 0 14 10 12 6t ′ ij 8 12 0 8 6 7 4k ij 5 7 M’ 10 6 8 17Продолжительностькритического пути, tкрСтоимость, Ct ijR п ijШагоптимизацииШагоптимизацииПредв. 14 20 0 14 10 12 6 38 5571 14 16 0 14 10 12 6 34 5852 10 12 0 14 10 12 6 30 6333 10 12 0 14 10 12 4 28 6674 10 12 0 9 10 7 4 23 757Предв. 4 6 6 4 14 0 01 0 0 2 0 10 0 02 0 0 2 0 10 0 03 0 0 2 0 8 0 04 0 0 2 0 3 0 0Сокращениевремени, ∆tПриращениестоимости, ∆C4 8 0 5 0 5 220 56 0 50 0 40 34299

t ′ ij4. Так как критические операции выполняются за время, большее чем, то переходим ко второму шагу оптимизации.Второй шаг.1. Из критических операций операция (4,5) является общей для критическихпутей µ ′ и µ ′′ , а операции (1,2) и (2,4) выполняются параллельнос операциями (1,3) и (3,4). Наименьший КДЗ, равный 5, имеетоперация (1, 2) ∈ µ ′ , а на пути µ ′′ наименьший КДЗ, равный 7, имеетоперация (1,3). Сумма КДЗ этих операций равна 12, что меньше КДЗоперации (4,5), которая является общей для путей µ ′ и µ ′′ . Следовательно,сокращению подлежат операции (1,2) и (1,3).2. Операции (1,2) и (1,3) сокращаем на 4 единицы, так как наименьшаяпродолжительность операции (1,3) равна 12 и дальнейшее сокращениеее невозможно.3. Рассчитываем параметры сетевого графика и заносим их в соответствующиестроки таблицы 1. Значение продолжительности операции(1,3) t 13 = 12 выделяем. Критические пути после сокращения операцийсохранились: µ ′ = (1 − 2 − 4 − 5) и µ ′′ = (1 − 3 − 4 − 5).4. Учитывая, что не все критические операции выполняются в срочномрежиме, переходим к выполнению третьего шага.Третий шаг.1. Из оставшихся критических операций наименьший КДЗ имеет операция(1,2). Однако сокращать ее не имеет смысла, потому что умень-300

шение ее продолжительности не повлияет на длину критического пути,а лишь увеличит стоимость выполнения комплекса операций. Изоставшихся критических операций наименьший КДЗ имеет операция(2,4), которая выполняется параллельно с операцией (3,4). Посколькуk 45 = 17 < k 24 + k 34 , то операция (4,5) подлежит сокращению.2. Операцию (4,5) сокращаем на 2 единицы, так какmin(t ′′45 − t ′ 45; R п 25) = min(6 − 4; 10) = 2.Дальнейшее сокращение операции (4,5) невозможно, поэтому при занесенииданных в таблицу значение t 45 , равное 4, отмечаем.3. Рассчитываем параметры сетевого графика и заносим в соответствующиестроки таблицы 1. Критические пути снова остались прежними.Переходим к четвертому шагу оптимизации.Четвертый шаг.1. Дальнейшему сокращению подлежат операции (2,4) и (3,4), принадлежащиесоответственно путям µ ′ и µ ′′ .2. Сокращаем продолжительности операций (2,4) и (3,4) на 5 единиц,так какmin(t ′′24 − t ′ 24; t ′′34 − t ′ 34; R п 25) = min(14 − 8; 12 − 7; 8) = 5.3. Рассчитываем параметры сетевого графика и заносим их в таблицу1. Дальнейшее сокращение операции (3,4) невозможно, поэтомузначение t 34 = t ′ 34 = 7 выделяем.301

4. Все операции критического пути (1–3–4–5) сокращены до минимальныхпродолжительностей. Следовательно, выполнение алгоритмазакончено. ◮302

ЛЕКЦИЯ 23Модели сетевого планирования и управления. Оптимизациясетевых графиков по стоимости.23.1. Постановка задачи. Алгоритм оптимизации сетевыхграфиков по стоимостиКомплекс операций представлен сетевым графиком G(E, −→ e ). Оперирующаясторона для выполнения комплекса операций располагает m видамиресурсов в количествах R s (s = 1, m). Каждая операция комплексахарактеризуется продолжительностью выполнения t ij и интенсивностью. Под интенсивностью операции (i, j) будем понимать требуемое количестворесурсов для ее выполнения в течение времени t ij , например,требуемое количество рабочих или механизмов. Топологически сетевойграфик удовлетворяет технологическим ограничениям (ресурсные ограниченияпри составлении сетевого графика не принимались во внимание).Поэтому, прежде чем приступить к выполнению операций сетевогографика, необходимо определить потребное количество ресурсов покалендарным срокам и сравнить его с наличными ресурсами. Если окажется,что в отдельные промежутки времени наличного количества ресурсовнедостаточно для удовлетворения потребности в них, то ставитсязадача: найти такие календарные сроки начала и окончания операцийсетевого трафика, при которых в любой момент планируемого перио-r (s)ij303

да было бы достаточно ресурсов для выполнения операций и время завершениякомплекса было бы минимальным. Для простоты изложенияалгоритма решения задачи рассмотрим случай, когда интенсивности постоянныеи используется один вид ресурсов. Отметим, что приведенныйниже алгоритм не всегда позволяет найти оптимальное решение задачи,однако часто дает хорошее приближение к нему.Алгоритм решения задачиПредварительный шаг.Составляем линейную диаграмму (график Ганта) выполнения комплексаопераций. На диаграмме каждая операция (i, j) изображаетсягоризонтальным отрезком, длина которого в соответствующем масштаберавна времени ее выполнения. Начало каждой операции совпадаетс ожидаемым сроком свершения ее начального события. Определяемпо диаграмме критическое время выполнения комплекса операций t кр икритический путь.Первый шаг.1. Проецируем на ось времени начало и конец каждой операции иобозначаем проекцию, выходящую из начала координат, через τ 0 , а следующуюза ней — через τ 1 .2. Определяем полные резервы времени Rij п операций, расположенныхнад промежутком (τ 0 , τ 1 ). Нумеруем эти операции в порядке возрастанияих полных резервов. Операции с одинаковыми полными резервамивремени нумеруем в порядке убывания интенсивностей.304

3. Суммируем последовательно значения интенсивностей операций,расположенных над промежутком (τ 0 , τ 1 ) в порядке возрастания их номеров,и сравниваем полученные суммы с заданной величиной ресурсовR. Все операции, сумма интенсивностей которых не превосходит R,оставляем в первоначальном положении. Если после прибавления величиныинтенсивности какой-нибудь операции окажется, что суммарноепотребление ресурсов больше R, то эту операцию сдвигаем вправо навеличину рассматриваемого промежутка, переходим к добавлению величиныинтенсивности следующей операции и так продолжаем до техпор, пока не будут просмотрены все операции, расположенные над промежутком(τ 0 , τ 1 ).Результатом выполнения этого действия является новая линейнаядиаграмма, момент τ 1 которой считаем началом оставшейся части комплексаопераций. Операции (i, j), расположенные над промежутком(τ 1 , τ кр ), изображаем так, чтобы их начала совпали с новымиожидаемыми сроками свершения событий.Общий шаг.Предположим, что выполнено k шагов алгоритма и получена линейнаядиаграмма, момент τ кр которой является началом оставшейся частикомплекса операций.1. Проецируем на ось времени начало и конец каждой операции, расположеннойнад промежутком (τ k , τ кр ), и обозначаем проекцию, бли-305

жайшую к τ k , через τ k+1 . Таким образом, выделен новый промежуток(τ k , τ k+1 ).2. Определяем полные резервы времени Rij п операций, расположенныхнад промежутком (τ k , τ k+1 ), и нумеруем их. При этом в зависимостиот постановки задачи возможны два случая: 1) операции не допускаютперерыва в выполнении; 2) операции допускают перерывы в их выполнении.В первом случае сначала нумеруем операции (i, j), начатые левеемомента τ k , согласно возрастанию разностей между полными резервамиэтих операций и длительностями от начала момента до момента τ k+1(длительности операций обозначим через l ij ). Операции с одинаковымиразностями нумеруем в порядке убывания интенсивностей. Все остальныеоперации нумеруем в порядке возрастания их полных резервов, а содинаковыми резервами — в порядке убывания интенсивностей. Во второмслучае все операции нумеруются согласно предписаниям пункта 2первого шага.3. Выполняем то же, что и в пункте 3 первого шага. Однако следуетиметь в виду, что если сдвигу подлежит операция (i, j) начатая левееτ k , то в первом случае сдвигаем всю операцию, т.е. начало этой операцииустанавливаем в момент τ k+1 , а во втором случае операцию делимна части и первую часть операции — отрезок продолжительностью отначала до τ k — оставляем на месте, а вторую часть — от τ k до конца —сдвигаем вправо на величину промежутка (τ k , τ k+1 ). Части разделенной306

операции в дальнейшем рассматриваем как самостоятельные операциии присваиваем им соответствующие номера событий.4. Проверяем, все ли операции комплекса просмотрены. Если все, решениезакончено, если нет, то переходим к пункту 1 общего повторяющегосяшага.23.2. Вопросы для самоконтроля1. Сформулируйте математическую модель оптимизационной задачисетевого планирования и управления по стоимости.2. Сформулируйте алгоритм нахождения оптимального решения задачисетевого планирования и управления по стоимости.307

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 13Тема: Модели сетевого планирования и управления. Постановка задачии алгоритм оптимизации сетевых графиков по стоимостиЦель: Практическое закрепление алгоритма оптимизации сетевыхграфиков по стоимостиЗадание 1. Для выполнения комплекса операций, представленногосетевым графиком (рисунок 1), выделено 10 единиц возобновляемыхресурсов (R = 10). Каждой дуге графика приписаны два числа: первое— время выполнения операции в днях; второе — требуемое количестворесурсов. Необходимо определить сроки выполнения операций таким образом,чтобы завершить весь комплекс за минимальное время. Операциине допускают перерыва в выполнении.◭ Предварительный шаг. Составляем линейную диаграмму (графикГанта) комплекса операций (рисунок 2, а). Построим эпюру потребленияресурса без учета его ограниченности (рисунок 2, б). Из эпюры видно,что в первые четыре дня потребность ресурсов превышает наличное количествона 2 единицы, в 5-й и 6-й день имеется в избытке 3 единицыресурса, в 7-й и 8-й день снова превышается потребность на 2 единицы,в 9-й день спрос равен 10 единицам, а в последующее время имеется визбытке 8 единиц ресурса.Найдем на диаграмме критический путь: операция (3,5) заканчиваетсяпозже всех операций в момент времени t 5 = 12. Следователь-308

но, она критическая и t кр = 12. Так как операция (3,5) начинаетсяво время t 3 = 8, то найдем операцию с конечным событием (3), котораязаканчивается в это же время. Такой операцией является операция(2,3). Следовательно, (2,3) также критическая. Операции (2,3) непосредственнопредшествует критическая операция (1,2). Таким образом,µ кр = (1 − 2 − 3 − 5).6;423;32;44;54;21 3 56;343;5Рисунок 1. – Оптмизация комплекса операций по стоимостиПервый шаг.1. Проецируем на ось времени начала и концы операций комплекса.Ближайшая проекция к началу координат τ 1 = 4. Рассматриваем промежуток(τ 0 , τ 1 ), где τ 0 = 0.2. Над промежутком (τ 0 , τ 1 ) расположены операции (1, 2), (1, 3) и(1, 4). Полные резервы этих операций равны: R п 12 = 0, R п 13 = 4, R п 14 = 3.Нумеруем эти операции по возрастанию полных резервов времени. Опе-309

рация (1, 2) имеет номер 1, (1,4) – номер 2, и операция (1,3) с наибольшимрезервом – номер 3.3. Суммируем последовательно величины интенсивности операций,расположенных над промежутком (τ 0 , τ 1 ) в порядке возрастания их номеров,и сравниваем полученные суммы с заданной величиной ресурсаR. Так как интенсивность r 12 = 4 < R = 10, то операцию (1,2) оставляемна месте. Суммируя величины интенсивности операций (1,2) и (1,4),имеем r 12 + r 14 = 4 + 3 = 7 < 10. Следовательно, операция (1,4) тожеостается на месте. Добавив к сумме величину интенсивности операции(1,3), имеем r 12 + r 14 + r 13 = 4 + 3 + 5 = 12 > 10. Так как для выполненияоперации (1,3) на промежутке (τ 0 , τ 1 ) не хватает 2 единиц ресурса,то операцию (1,3) сдвигаем вправо на величину отрезка (τ 0 , τ 1 ), т.е. началооперации (1,3) устанавливаем в момент τ 1 = 4. Результаты сдвигаотражены на новой линейной диаграмме (рисунок 2, в).4. Так как не все операции комплекса просмотрены, то переходим ковторому шагу.Второй шаг.1. Начало нового промежутка совпадает с τ 1 = 4, а конец τ 2 = 6 — смоментом окончания операций (1,2) и (1,4).2. Операции (1,2) и (1,4) начинаются левее момента τ 1 поэтому нумеруемих в первую очередь согласно возрастанию разностейR п 12 −l 12 = 0−6 = −6 и R п 14 −l 14 = 3−6 = −3. Таким образом, операция310

(1,2) имеет номер 1, операция (1,4) — номер 2 и операция (1,3) — номер3.3. Суммируя величины интенсивности операций согласно их нумерациии сравнивая с R, получаем, что сдвигу вправо на 2 единицы подлежитоперация (1,3). В результате сдвига получаем новую линейнуюдиаграмму (рисунок 2, г). Время выполнения операций по сравнению сисходным вариантом увеличилось на 2 дня: τ 5 = 14.4. Решение не закончено, переходим к третьему шагу.Третий шаг.1. Новый промежуток (τ 2 , τ 3 ). Момент τ 3 = 8.2. Над промежутком (τ 2 , τ 3 ) операций, начатых левее момента τ 2 , нет,следовательно, нумеруем операции, лежащие над промежутком по возрастаниюполных резервов: (1,3) – номер 1, так как R13 п = 0; (2,3) –номер 2, так как R23п = 2; (4,5) – номер 3, (2,5) – номер 4, так какR45 п = R25 п = 5, r 45 = 5 > r 25 = 3. (Нумерация операций (2,5) и (4,5)произведена по убыванию их интенсивностей.)3. Так как r 13 = 5 < 10 и r 13 + r 23 = 5 + 4 = 9 < 10, то эти операциине сдвигаются. Операции (4,5) и (2,5) сдвигаем вправо на 2 единицы, потомучто добавление величины интенсивности приводит к превышениюR = 10. Новая диаграмма приведена на рисунке 2, д.4. Переходим к четвертому шагу.311

Четвертый шаг.1. Момент τ 4 = 10.2. Операция (1,3) имеет номер 1, как начатая левее момента τ 3 = 8.Операции (4,5) приписываем номер 2, операции (2,5) – номер 3, так какR п 45 = R п 25 = 3, а r 45 = 5 > r 25 = 3.3. Операции (1,3) и (4,5) не сдвигаются, так как r 13 = 5 < 10 иr 13 + r 45 = 10 = R, а операция (2,5) сдвигается вправо на 2 единицы.Новая диаграмма изображена на рисунке 2, е.4. Переходим к пятому шагу.Пятый шаг.1. Новый промежуток (τ 4 , τ 5 ), τ 5 = 11.2. Номера операций: (4,5) – номер 1, как начатая левее, (3,5) – номер2, так как R п 35 = 0; (2,5) – номер 3, так как R п 25 = 1.3. Все операции, лежащие над промежутком (τ 4 , τ 5 ), остаются на месте,потому что r 45 + r 35 + r 25 = 5 + 2 + 3 = 10 = R.4. Так как конец рассмотренного промежутка τ 5 = 11 меньшеt 5 = 14, то переходим к следующему шагу.Шестой и седьмой шаг.Выполнив последовательно все действия этих шагов, убедимся, чтоколичество требуемых ресурсов на промежутках (τ 5 , τ 6 ) и (τ 6 , τ 7 ) не превосходитимеющихся в распоряжении, таким образом, линейная диа-312

Îïåðàöèè54 5 23 3 52 543 2 314513412t2 4 6 8Î10 12 140 1aR1210963ÎáR 102 4 6 8 10 12 14tÎïåðàöèè11Î23554 532 543 2 3414532t2 4 6 81 210 12 14âÎïåðàöèè11Î23 554 532 524 334 51342t2 4 6 8 10 12 142 3ãÎïåðàöèè11Î23554 532 543 2 3451 342t2 4 6 8 10 12 143 4äR109Îïåðàöèè11Î32554 532 543 2 3451342t2 4 6 8 10 12 145 64e7R 1063Î2 4 6 8 10 12 14ætРисунок 2. – Линейная диаграмма (график Ганта)313

грамма (рисунок 2, е) является решением задачи, время окончания выполнениякомплекса операций равно 14. Из эпюры потребления ресурса(рисунок 2, ж) видно, что на всем протяжении выполнения комплексаопераций количество используемых ресурсов не превосходит имеющихсяв распоряжении. ◮314

ЛЕКЦИЯ 24Модель межотраслевого баланса (МОБ) в натуральномвыражении. Вычисление коэффициентов прямых и полныхпроизводственных затрат. Факторная стоимость24.1. Модель межотраслевого балансаИмеется n отраслей производства. Согласно статистическим даннымизвестно, сколько продукции каждой отрасли используется в других отрасляхв качестве исходных материалов или комплектующих, а также,сколько этой продукции остается для конечного использования. Все этиданные записываются в виде таблицы, в которой:– каждая строка таблицы соответствует одной из отраслей, выступающейкак производитель определенного вида продукции. Для простотыпредполагается, что каждая отрасль производит только один вид продукции.Поскольку в реальной жизни такая ситуация встречается довольноредко, поэтому при составлении баланса осуществляют переходот хозяйственных отраслей к так называемым чистым отраслям. Этаоперация называется "очищением отраслей";– первые n столбцов таблицы соответствуют тем же отраслям, которыетеперь уже выступают в роли потребителей продукции другихотраслей, используемой для организации своего производства (промежуточноепотребление);315

– в предпоследнем столбце таблицы содержится информация о тойчасти продукции отрасли, которая осталась для конечного использования(информацию этого столбца в балансе часто расшифровывают иприводят не только общий объем потребления, но и данные по видампотребителей: домашние хозяйства, государственные учреждения, накопление,экспорт и т.д.);– в последнем столбце таблицы записывается общий объем всей произведеннойотраслью продукции (валовой объем), равный сумме промежуточногои конечного потребления.Обозначим через Π матрицу промежуточного потребления, состоящуюиз первых n столбцов нашей таблицы, Y – столбец конечного использования,X – столбец валового выпуска. Тогда:X i – валовой выпуск в i-й отрасли;Y i – объем конечного потребления в i-й отрасли;Π ij – объем продукции i-й отрасли, использованной в j-й отрасли.Базисным в теории межотраслевого баланса является следующее предположение:величинаA ij = Π/X j , (24.1)равная объему продукции i-й отрасли, который используется в j-й отраслидля производства единицы продукции, не зависит от объема производстваX i , а обусловлен технологическими особенностями. Другимисловами, промежуточное потребление Π i в j-й отрасли линейно зависит316

Таблица 24.1.№ отраслиПотребителиКонечный Валовый(промежуточное потребление)спрос объем1 . . . j . . . n1 Π 11 . . . Π 1j . . . Π 1n Y 1 X 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i Π i1 . . . Π ij . . . Π in Y i X i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n Π n1 . . . Π nj . . . Π nn Y n X nот валового выпуска X i в этой отрасли:Π j = AX j . (24.2)При этом матрица A называется матрицей прямых производственныхзатрат.Используя операции над матрицами и введенные обозначения, можнозаписать основное балансовое равенство, состоящее в том, что валовойобъем равен сумме промежуточного и конечного потребления:X = AX + Y, или Y = X − AX = (E − A)X. (24.3)Полученное равенство позволяет решать задачи планирования следующегохарактера: известно, что в следующем году структура конечногоспроса Y изменится. Предполагая, что технологии производства оста-317

нутся прежними (т.е. матрица A не изменится), необходимо найти планвалового выпуска по отраслям.С точки зрения алгебры эта задача решается просто, если известно,что у матрицы (E − A) существует обратная: B = (E − A) −1 (вопросо том, когда существует эта матрица, будет обсужден позже). В этомслучае решение поставленной задачи находится по формуле:X = (E − A) −1 · Y = BY. (24.4)Матрица B называется матрицей полных затрат. Ее элементы B ijпоказывают, какое потребуется изменение объема валового выпуска продукциив i-й отрасли, обеспечения увеличения конечного спроса j-й отраслина единицу.Матрицей полных производственных затрат называют матрицуB полн = B − E. Из (24.4) получаемB полн Y = BY − Y = X − Y = AX.Таким образом, элементы B полн i,j матрицы B полн показывают, какиенеобходимы затраты продукции i-й отрасли для обеспечения единичногоконечного спроса в j-й отрасли.Из тождестваполучаем равенство(E − A 2 )B = (E + A)(E − A)(E − A) −1 = (E + A)B = E + A + A 2 B = E + A + A 2 (E − A) −1 ,318

откудаB полн = B − E = A + A 2 B = A + A 2 (E − A) −1 . (24.5)Матрица A 2 (E − A) −1 называется матрицей косвенных производственныхзатрат. Таким образом, согласно (24.5), полные производственныезатраты равны сумме прямых и косвенных затрат.Заметим, что до сих пор нам было безразлично, в каких единицахизмерялись объемы продукции в каждой отрасли. Во всем вышеизложенномможно предполагать, что в каждой отрасли существует свояединица измерения, возможно, никак не связанная с другими отраслями.Поэтому баланс, записанный в таблице 24.1, называют балансом внатуральной форме.24.2. Вопросы для самоконтроля1. Что называется матрицей прямых производственных затрат?2. Что называется матрицей полных производственных затрат?3. Что называется матрицей косвенных производственных затрат?319

ЛЕКЦИЯ 25МОБ в стоимостной форме. Основные балансовые равенства25.1. Межотраслевой баланс в стоимостной формеВ каждой отрасли кроме сырья и исходных материалов для организациипроизводства расходуются и другие ресурсы: изнашивается оборудование,оплачивается труд работников, делаются налоговые отчисления.Все эти и некоторые другие расходы (к которым относят и прибыль, иполученные субсидии (со знаком минус)) образуют добавленную стоимость,которая обычно выражается в общих для всех отраслей денежныхединицах.Причину отнесения прибыли к расходам можно прокомментироватьследующим образом. По известной формулеполучаем, чтоПрибыль = Доходы − Расходы.Доходы = Прибыль + Расходы.Следовательно, наше предположение о том, что прибыль входит однимиз слагаемых в расходы не нарушает основного баланса.Добавленная стоимость компенсируется производителям путем оплатыпотребителями стоимости продукции по определенным ценам. Посколькуздесь имеется ввиду только конечный спрос, то суммарную добавленнуюстоимость L записывают не в последний столбец (в который320

Таблица 25.1.№ отраслиПотребителиКонечный Валовый(промежуточное потребление)спрос объем1 . . . j . . . n1 A 11 X 1 . . . A 1j X j . . . A 1n X n Y 1 X 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i A i1 X 1 . . . A ij X j . . . A in X n Y i X i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n A n1 X 1 . . . A nj X j . . . A nn X n Y n X nДобавочнаястоимостьL 1 = l 1 x 1 . . . L j = l j x j . . . L n = l n x n L = ∑ L jзаписывалась сумма по всем предыдущим строкам), а в столбец конечногоспроса.Зная величину L j добавленной стоимости в j-й отрасли, определимL j = l j x j – добавленную стоимость единицы продукции (l 1 измеряетсяв денежных единицах за единицу продукции j-й отрасли).Обозначим через p i стоимость продукции в i-й отрасли. Умноживданные в i-й строке на соответствующую стоимость p i , получим балансв стоимостной форме (все данные в этой таблице 25.2 выражаются вобщей для всех отраслей денежной форме).Оказывается, если добавленная стоимость во всех отраслях известна,то величины p i определяются однозначно (исходя из требования оравенстве доходов и расходов всех отраслей).321

Действительно, сумма доходов i-й отрасли, полученных от промежуточногои конечного использования ее продукции, равна p i X i . Расходыэтой же отрасли можно вычислить, найдя сумму по j-му столбцу таблицы25.1. Приравняем найденные величины (напомним, что прибыльучитывается в числе расходов в составе добавленной стоимости). Получим:∑p k A ki X i + l i X i = p i X i , или ∑ p k A ki + l i = p i для всех i = 1, n.kkТаблица 25.2.№ отраслиПотребителиКонечный Валовый(промежуточное потребление)спрос объем1 . . . j . . . n1 p 1 A 11 X 1 . . . p 1 A 1j X j . . . p 1 A 1n X n p 1 Y 1 p 1 X 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .i p i A i1 X 1 . . . p i A ij X j . . . p i A in X n p i Y i p i X i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n p n A n1 X 1 . . . p n A nj X j . . . p n A nn X n p n Y n p n X nДобавочнаястоимостьL 1 = l 1 x 1 . . . L j = l j x j . . . L n = l n x n L = ∑ L jp 1 X 1 . . . p j X j . . . p n X nВ матричном виде эти равенства можно записать в виде:A T p + l = p. (25.1)322

Если вектор l считается известным, вектор стоимостей p можно найтипо формуле:p = (E − A T ) −1 · l. (25.2)Матрица (E − A T ) получается из матрицы (E − A) транспонированием,поэтому обратные матрицы для них существуют одновременно иеслиB = (E − A) −1 , то (E − A T ) −1 = B T .Из формулы (25.1) получим, чтоследовательно,l = p − A T p, откуда l T = p T − p T A,L = ∑ L i = ∑ l i X i = l T · X = (p T − p T A)X == p T (X − AX) = p T Y = ∑ p i Y i .Таким образом, совокупная добавленная стоимость равна совокупномуконечному спросу в стоимостной форме. Для таблицы 25.1 это означает,что L является не только суммой всех чисел в строке добавленнойстоимости, но и суммой всех чисел в столбце конечного спроса.Формально баланс в стоимостной форме отличается от баланса в натуральномвыражении только тем, что в первом случае все данные вбалансе выражаются в одних и тех же единицах измерения, тогда как323

во втором случае в каждой строке баланса может быть своя единица измеренияколичества продукции. Поэтому над данными баланса в стоимостнойформе мы можем совершать те же операции, что и над даннымибаланса в натуральной форме.Пусть Xi ∗ = p i X i — валовый выпуск в i-й отрасли в стоимостной форме;Yi∗ = p i Y i — объем конечного потребления в i-й отрасли в стоимостнойформе; Π ∗ ij = p iΠ ij — объем продукции i-й отрасли, использованнойв j-й отрасли, в стоимостной форме.Тогда элементы матрицы прямых производственных затрат в стоимостнойформе будут вычисляться по формуле:A ∗ ij = Π ∗ ij/X ∗ i = p i Π ij /p i X i = p i A ij /p j . (25.3)Определим l ∗ i = L i/X ∗ i = l i /p i — добавленную стоимость единицы (встоимостном смысле) продукции j-й отрасли.Аналогично формуле (25.1) получаем:∑p k A ∗ kiXi ∗ + li ∗ Xi ∗ = Xi ∗ , или ∑kkp k A ∗ ki + l ∗ i = 1 для всех i = 1, n.В частности, если предположить, что во всех отраслях есть дополнительныерасходы, т.е. все li ∗ > 0, то получаем, что0 < ∑ kA ∗ ki < 1 для всех i = 1, n. (25.4)324

Рассмотренная модель межотраслевого баланса носит название моделиЛеонтьева.25.2. Вопросы для самоконтроля1. Что такое валовый выпуск?2. Что такое конечный спрос?3. Что такое добавленная стоимость?4. Какая модель межотраслевого баланса называется моделью Леонтьева?325

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 14Тема: Построение межотраслевого баланса в натуральной форме.Вычисление коэффициентов прямых и полных производственных затрат.Построение межотраслевого баланса в стоимостной форме.Цель: Закрепление понятия межотраслевого баланса в натуральнойи стоимостной форме на примерах и задачах.Задание 1. Дан межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 1740 2300 168402 1620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 1500 2100 159503 1410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 1050 2100 155404 1140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 1660 2500 156005 1560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 1780 2200 169106 1510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 1360 2000 154507 1310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 1050 2000 156908 1170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 1350 2100 167309 1680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 1650 2300 1644010 1710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200 2100 15430Доб.стоим.1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 225316840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430Необходимо вычислить матрицы прямых производственных и полныхзатрат, найти величину добавленной стоимости на единицу продукциии расчитать факторную стоимость единицы продукции в каждой отрасли.Записать баланс в стоимостном выражении, проверить основныебалансовые равенства и вычислить матрицы прямых производственныхи полных затрат в стоимостном выражении.326

◭ Найдем матрицу прямых производственных затрат. Для этого воспользуемсяформулой (24.1) где Π ij в нашем случае — это есть матрица1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 17401620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 15001410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 10501140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 16601560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 17801510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 13601310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 10501170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 13501680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 16501710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200В результате получим следующую матрицу прямых производственныхзатрат:0,082 0,089 0,068 0,110 0,077 0,075 0,096 0,094 0,085 0,1020,096 0,065 0,079 0,075 0,080 0,087 0,087 0,080 0,097 0,0870,091 0,074 0,112 0,074 0,118 0,103 0,093 0,080 0,070 0,0670,071 0,119 0,066 0,084 0,086 0,093 0,064 0,069 0,080 0,1020,088 0,089 0,096 0,060 0,099 0,063 0,082 0,069 0,103 0,0990,096 0,116 0,091 0,099 0,079 0,073 0,063 0,087 0,079 0,0850,086 0,074 0,086 0,105 0,116 0,118 0,090 0,087 0,089 0,0680,070 0,092 0,102 0,099 0,107 0,097 0,103 0,062 0,075 0,0790,095 0,091 0,070 0,085 0,063 0,070 0,056 0,097 0,092 0,0910,113 0,079 0,097 0,078 0,070 0,078 0,108 0,116 0,075 0,078Для вычисления матрицы полных затрат воспользуемся формулойB = (E − A) −1 . В результате получим следующую матрицу327

1,658 0,665 0,684 0,708 0,627 0,674 0,713 0,641 0,602 0,7320,646 1,614 0,668 0,645 0,604 0,658 0,674 0,603 0,590 0,6870,617 0,601 1,679 0,620 0,618 0,650 0,656 0,579 0,545 0,6410,589 0,632 0,619 1,617 0,576 0,628 0,614 0,560 0,544 0,6660,678 0,674 0,728 0,665 1,660 0,670 0,710 0,628 0,632 0,7420,623 0,641 0,658 0,646 0,583 1,622 0,626 0,587 0,554 0,6620,620 0,611 0,660 0,658 0,622 0,671 1,659 0,593 0,568 0,6520,650 0,672 0,726 0,699 0,660 0,701 0,723 1,612 0,597 0,7110,660 0,656 0,674 0,671 0,601 0,655 0,656 0,635 1,600 0,7100,629 0,599 0,656 0,619 0,569 0,621 0,665 0,606 0,542 1,645Для вычисления величины добавленной стоимости можно воспользоватьсяформулой l ∗ i = L i/X ∗ i , где L i — это есть строка1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 2253а X ∗ i— это есть строка16840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430В результате получим вектор l0,105 0,103 0,133 0,127 0,093 0,140 0,160 0,146 0,135 0,146Теперь вычислим факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли по формуле (25.2). Ее можно записать в виде p = B T · l, гдетранспонированная матрица полных затрат будет иметь вид1,658 0,646 0,617 0,589 0,678 0,623 0,620 0,650 0,660 0,6290,665 1,614 0,601 0,632 0,674 0,641 0,611 0,672 0,656 0,5990,684 0,668 1,679 0,619 0,728 0,658 0,660 0,726 0,674 0,6560,708 0,645 0,620 1,617 0,665 0,646 0,658 0,699 0,671 0,6190,627 0,604 0,618 0,576 1,660 0,583 0,622 0,660 0,601 0,5690,674 0,658 0,650 0,628 0,670 1,622 0,671 0,701 0,655 0,6210,713 0,674 0,656 0,614 0,710 0,626 1,659 0,723 0,656 0,6650,641 0,603 0,579 0,560 0,628 0,587 0,593 1,612 0,635 0,6060,602 0,590 0,545 0,544 0,632 0,554 0,568 0,597 1,600 0,5420,732 0,687 0,641 0,666 0,742 0,662 0,652 0,711 0,710 1,645328

А вектор l, как уже было получено выше, имеет вид0,105 0,103 0,133 0,127 0,093 0,140 0,160 0,146 0,135 0,146В результате факторная стоимость (или вектор p) примет вид0,921 0,919 1,000 0,968 0,878 0,982 1,019 0,922 0,874 1,022Теперь мы можем записать наш межотраслевой баланс в стоимостнойформе, который будет иметь вид (результаты округлены до десятых)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1271,5 1308,4 1059,6 1658,5 1142,5 1142,5 1538,8 1455,8 1216,2 1603,2 2119,2 15516,42 1489,5 956,2 1222,9 1140,1 1186,1 1324,0 1397,6 1241,3 1397,6 1379,2 1930,9 14665,43 1409,3 1079,5 1739,2 1119,5 1749,2 1559,3 1489,3 1229,4 1009,5 1049,5 2099,0 15532,84 1103,8 1742,8 1026,3 1268,4 1278,1 1413,6 1026,3 1065,0 1152,2 1607,2 2420,6 15104,35 1370,1 1299,9 1484,3 904,6 1475,5 948,5 1317,4 1071,5 1484,3 1563,3 1932,2 14851,86 1482,1 1707,9 1413,4 1501,7 1177,8 1109,1 1001,2 1334,9 1138,6 1334,9 1963,0 15164,67 1334,9 1080,1 1334,9 1579,5 1722,1 1783,3 1436,8 1334,9 1273,8 1070,0 2038,0 15988,28 1078,6 1355,2 1585,7 1493,5 1585,7 1475,1 1641,0 949,6 1078,6 1244,6 1936,0 15423,79 1468,3 1337,2 1092,5 1284,8 935,2 1066,3 900,2 1503,3 1328,5 1442,1 2010,2 14368,710 1748,1 1155,2 1513,0 1175,6 1032,5 1185,8 1727,7 1789,0 1073,4 1226,7 2146,8 15773,8ДС15516,4 14665,4 15532,8 15104,3 14851,7 15164,6 15988,2 15423,7 14368,7 15773,81760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 2253Теперь остается нам вычислить матрицу прямых производственных иполных затрат в стоимостной форме. Матрица прямых производственныхзатрат вычисляется по формуле (25.3), где Π ∗ ij — есть промежуточноепотребление в балансе стоимостной формы и имеет вид1271,533 1308,389 1059,611 1658,521 1142,537 1142,537 1538,739 1455,813 1216,249 1603,2371489,529 956,241 1222,885 1140,133 1186,106 1324,025 1397,582 1241,274 1397,582 1379,1931409,345 1079,499 1739,192 1119,480 1749,187 1559,276 1489,308 1229,429 1009,531 1049,5121103,773 1742,799 1026,315 1268,370 1278,053 1413,604 1026,315 1065,044 1152,184 1607,2481370,120 1299,857 1484,296 904,630 1475,513 948,544 1317,423 1071,504 1484,296 1563,3421482,105 1707,856 1413,398 1501,735 1177,832 1109,125 1001,157 1334,876 1138,571 1334,8761334,900 1080,148 1334,900 1579,461 1722,122 1783,263 1436,800 1334,900 1273,759 1069,9581078,645 1355,221 1585,701 1493,509 1585,701 1475,070 1641,016 949,576 1078,645 1244,5911468,335 1337,234 1092,511 1284,793 935,190 1066,291 900,229 1503,295 1328,494 1442,1151748,102 1155,178 1512,977 1175,624 1032,505 1185,847 1727,656 1788,993 1073,396 1226,738329

А Xi∗ — есть валовый выпуск в стоимостной форме, который имеетвид (результаты округлены до десятых)15516,4 14665,4 15532,8 15104,3 14851,7 15164,6 15988,2 15423,7 14368,7 15773,8В результате применения данной формулы получим матрицу прямыхпроизводственных затрат в стоимостной форме0,082 0,089 0,068 0,110 0,077 0,075 0,096 0,094 0,085 0,1020,096 0,065 0,079 0,075 0,080 0,087 0,087 0,080 0,097 0,0870,091 0,074 0,112 0,074 0,118 0,103 0,093 0,080 0,070 0,0670,071 0,119 0,066 0,084 0,086 0,093 0,064 0,069 0,080 0,1020,088 0,089 0,096 0,060 0,099 0,063 0,082 0,069 0,103 0,0990,096 0,116 0,091 0,099 0,079 0,073 0,063 0,087 0,079 0,0850,086 0,074 0,086 0,105 0,116 0,118 0,090 0,087 0,089 0,0680,070 0,092 0,102 0,099 0,107 0,097 0,103 0,062 0,075 0,0790,095 0,091 0,070 0,085 0,063 0,070 0,056 0,097 0,092 0,0910,113 0,079 0,097 0,078 0,070 0,078 0,108 0,116 0,075 0,078Матрица полных затрат определяется по формуле B ∗ = (E − A ∗ ) −1 .В результате вычисления получаем следующий результат1,658 0,666 0,631 0,674 0,658 0,633 0,644 0,641 0,635 0,6600,644 1,614 0,614 0,613 0,632 0,616 0,609 0,601 0,621 0,6180,669 0,653 1,679 0,640 0,703 0,662 0,643 0,628 0,623 0,6270,618 0,665 0,600 1,617 0,635 0,620 0,583 0,588 0,602 0,6310,646 0,644 0,640 0,603 1,660 0,599 0,612 0,598 0,635 0,6380,664 0,685 0,646 0,655 0,651 1,622 0,603 0,625 0,622 0,6350,686 0,677 0,673 0,692 0,722 0,697 1,659 0,655 0,663 0,6500,650 0,674 0,670 0,666 0,693 0,658 0,654 1,612 0,630 0,6410,626 0,624 0,590 0,606 0,598 0,584 0,562 0,602 1,600 0,6070,698 0,665 0,671 0,654 0,663 0,647 0,667 0,672 0,634 1,645.◮330

ЛЕКЦИЯ 26Продуктивность матриц. Свойства продуктивных матриц.Теорема Фробениуса-Перрона. Продуктивность моделиЛеонтьева26.1. Продуктивность балансовой моделиРассмотрим вопрос, который не был изучен в предыдущем параграфе,касающийся существования матрицы (E − A) −1 .Определение 26.1. Если все элементы матрицы A (вектора B) неотрицательны,то матрицу A (вектор B) будем называть неотрицательной(неотрицательным) и обозначать этот факт так: A ≥ 0 (B ≥ 0).Вектор B назовем положительным, если все его координаты положительны.Заметим, что в модели межотраслевого баланса матрица A прямыхпроизводственных затрат по своему экономическому смыслу может бытьтолько неотрицательной.Определение 26.2. Неотрицательную матрицу A назовем продуктивной,если для любого неотрицательного вектора Y найдется неотрицательныйвектор X, для которого справедливо равенство X −AX = Y .Для модели межотраслевого баланса с матрицей A прямых производственныхзатрат это означает, что любой неотрицательный конечный331

спрос может быть удовлетворен (т.е. для него найдется соответствующийплан валового выпуска).Следующая теорема показывает, что продуктивность матрицы A непосредственносвязана с обратимостью матрицы (E − A).Теорема 26.1. (критерий продуктивности) Неотрицательная матрицаA продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (E − A) обратима,причем обратная матрица B = (E − A) −1 неотрицательна.◭ 1) Пусть существует матрица B = (E − A) −1 ≥ 0. Тогда для каждогоY ≥ 0 вектор X = BY — неотрицателен как произведение неотрицательныхматриц и является искомым решением уравненияX − AX = Y . Это и означает продуктивность матрицы A.2) Пусть матрица A продуктивна. Обозначим через Y k вектор, все координатыкоторого равны нулю, за исключением k-й, равной единице.Поскольку для всех k вектор Y k неотрицателен, то по определению продуктивностинайдется вектор X k ≥ 0, такой что (E − A)X k = Y k . Пустьматрица B такова, что для всех k ее k-м столбцом является вектор X k .Тогда по правилам умножения матриц произведение (E − A)B будетматрицей, составленной из векторов-столбцов Y k , т.е. единичной матрицей.Таким образом, матрица B является обратной к матрице (E − A),причем все ее столбцы неотрицательны. ◮Следствие 26.1. Если матрица A продуктивна, то система неравенствX − AX ≥ 0 имеет только неотрицательные решения.332

Следующая теорема играет важную роль в математической экономике.В частности, она оказывается полезной и при исследовании продуктивностиматриц.Теорема 26.2. (Фробениус, Перрон) Пусть A — произвольная неотрицательнаяматрица. Тогда существует собственное значение λ A матрицыA, такое, что для всех собственных значений λ матрицы A выполняетсянеравенство |λ| ≤ λ A . Кроме того, существует неотрицательныйсобственный вектор x A матрицы A, соответствующий значению λ A .Замечание 26.1. Известно, что набор собственных значений у матрицA и A T одинаков, к тому же условие A ≥ 0 равносильно условиюA T ≥ 0. Следовательно, λ AT = λ A . Соответствующий вектор x AT обозначимчерез l A .Определение 26.3. Число λ A называется числом Фробениуса матрицыA.Векторы x A и l A называются, соответственно, правым и левым векторомФробениуса матрицы A.Понятие числа Фробениуса позволяет кратко сформулировать условиепродуктивности матрицы МОБ.Теорема 26.3. Модель Леонтьева с матрицей A продуктивна тогдаи только тогда, когда λ A < 1.333

◭ Необходимость. Пусть матрица A продуктивна и ее правый илевый векторы Фробениуса равны, соответственно, x AT и l A . По критериюпродуктивности у системы уравнений X − AX = l A существуетнеотрицательное решение X 1 ≥ 0.Тогда0 < |l A | 2 = (l A ) T l A = (l A ) T (X 1 − AX 1 ) = (l A ) T X 1 − (l A ) T · AX 1 == (l A ) T X 1 − ( A T · l A) T·X1 = (l A ) T X 1 −(λ A · l A ) T ·X 1 = (1 − λ A ) (l A ) T ·X 1 .Векторы l A и X 1 неотрицательны, поэтому (l A ) T · X 1 ≥ 0. Следовательно,(1 − λ A ) > 0, т.е. λ A < 1.Достаточность. Если λ A < 1, то для всех собственных значений λматрицы A справедливо неравенство λ < 1. ◮Лемма 26.1. Следующие свойства эквивалентны:1) все собственные значения матрицы A по модулю меньше единицы;2) при k → ∞ выполняется условие A k → 0.◭ Если матрица A неотрицательна и выполняется любое из указанныхусловий, то ряд E +A+A 2 +...+A k +... сходится к неотрицательнойматрице B.Поскольку суммой ряда E + A + A 2 + ... + A k + ... является матрицаB = (E − A) −1 , то у матрицы (E − A) существует обратная матрица,являющаяся неотрицательной. Согласно критерию, это доказываетпродуктивность матрицы A. ◮334

Доказанная теорема сводит проверку продуктивности матрицы к нахождениюее числа Фробениуса, т.е. наибольшего по модулю собственногозначения. Если матрица A имеет большие размеры, то эта задачаможет оказаться не очень легкой (собственно, как и нахождение обратнойматрицы для (E − A)).Имеются достаточные условия продуктивности, которые позволяютсильно упростить такую проверку.Теорема 26.4. Если в модели Леонтьева с матрицей A можно удовлетворитьнекоторый строго положительный спрос Y 0 > 0, то A —продуктивная матрица.◭ По условию теоремы существует вектор X 0 ≥ 0, такой чтоX 0 − AX 0 = Y 0 > 0. Аналогично доказательству предыдущей теоремы,для левого вектора Фробениуса l A получаем:(l A ) T · Y 0 = (l A ) T · (X 0 − AX 0 ) = (1 − λ A ) · (l A ) T · X 0 .Поскольку l A ≥ 0, X 0 ≥ 0 и Y 0 > 0, то (l A ) T · Y 0 > 0, (l A ) T · X 0 ≥ 0.В результате получаем, что (1 − λ A ) > 0, или λ A < 1, что и доказываетпродуктивность матрицы A. ◮Существует еще один способ оценить величину числа Фробениусанеотрицательной матрицы.335

Теорема 26.5. Пусть A ≥ 0, r i – сумма i-й строки, c j – сумма j-гостолбца. Тогдаmin r i ≤ λ A ≤ max r i , (26.1)min c j ≤ λ A ≤ max c j . (26.2)◭ Выберем правый вектор Фробениуса x A для матрицы A так, чтобывыполнялось равенство ∑ x i = 1. Тогдаλ A = λ A · ∑ (x A ) i= ∑ (λ A · x A ) i= ∑ · ∑ A ij · (x A ) i== ∑ j(x A ) j · ∑A ij = ∑ij(x A ) j · c jоткуда, в силу ∑ j(x A ) j= 1, немедленно получаем (26.2). Для получения(26.1) аналогичным образом надо использовать левый вектор Фробениуса.◮Следствие 26.2. Если у положительной матрицы сумма по каждомустолбцу меньше единицы, то эта матрица – продуктивная.Таким образом, матрица прямых производственных затрат МОБ, рассчитаннаядля баланса в стоимостной форме, является продуктивной.336

26.2. Вопросы и задания для самоконтроля1. Какая матрица называется продуктивной?2. Сформулируйте критерий продуктивности матрицы.3. Сформулируйте теорему Фробениуса-Перрона.4. Что называется числом и вектором Фробениуса?337

ЛАБОРАТОРНЫЕ ЗАНЯТИЯ 11, 12Тема: Построение межотраслевого баланса в натуральной форме.Вычисление коэффициентов прямых и полных производственных затрат.Построение межотраслевого баланса в стоимостной форме.Цель: Закрепление вычисления коэффициентов прямых и полныхпроизводственных затрат и построения межотраслевого баланса в стоимостнойформе на компьютере.Задача 1. Дан межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 1740 2300 168402 1620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 1500 2100 159503 1410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 1050 2100 155404 1140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 1660 2500 156005 1560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 1780 2200 169106 1510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 1360 2000 154507 1310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 1050 2000 156908 1170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 1350 2100 167309 1680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 1650 2300 1644010 1710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200 2100 15430Доб. ст.1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 225316840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;338

г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для задачи 10;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.Решение пунктов а)–д) с подробными комментариями и вставкой формулдля вычисления представлено на рисунках 1–3 соответственно. Полученныерезультаты в пунктах а)–д) позволяют построить межотраслевойбаланс в стоимостной форме (пункт е)) и проверить основныебалансовые равенства (пункт ж)), проиллюстрированные на рисунке 4.На рисунках 5 и 6 получены результаты пунктов з), и) и к).Рисунки 1–6 позволяют без помощи преподавателя студенту самостоятельнорешить данное задание, учитывая еще и тот факт, что подкаждым заданием на рисунках написаны комментарии и формулы изпроведенных лекционных занятий.339

А B C D E F G H I J K L M N O1 ЗаданМОБ в натуральном выражении2 1. Найтиматрицы коэффициентов прямых и полныхпроизводственных затрат3 2.Рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спроса на продукцию 1-йотрасли на 10%4 3. Выясните,каким должен быть равновесный конечный спрос для увеличении валового выпуска продукции только первой отраслью на 10%.5 4. Найти величинудобавленной стоимости на единицу продукции в каждой отрасли6 5. Рассчитатьфакторную стоимостьединицы продукции в каждой отрасли МОБ в натуральном выражении.78МОБ в натуральномвыражении9Yi Xi101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего11 1 1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 1740 2300 1684012 2 1620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 1500 2100 1595013 3 1410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 1050 2100 1554014 4 1140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 1660 2500 1560015 5 1560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 1780 2200 1691016 6 1510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 1360 2000 1545017 7 1310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 1050 2000 156908 1170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 1350 2100 1673018 9 1680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 1650 2300 1644019 10 1710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200 2100 1543020 Доб стоим 1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 22532116840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 154302223 1. Найти матрицы коэффициентов прямых и полныхпроизводственных затрат2425 1 0,082 0,089 0,074 0,115 0,073 0,080 0,106 0,094 0,080 0,1131,65826 2 0,096 0,065 0,086 0,079 0,076 0,093 0,097 0,081 0,092 0,0970,66527 3 0,084 0,068 0,112 0,072 0,103 0,101 0,095 0,074 0,061 0,068Aij=Пij/Xj0,68428 4 0,068 0,113 0,068 0,084 0,078 0,094 0,068 0,066 0,072 0,1080,70829 5 0,093 0,093 0,109 0,066 0,099 0,070 0,096 0,073 0,103 0,1150,62730 6 0,090 0,109 0,093 0,098 0,071 0,073 0,065 0,081 0,071 0,0880,67431 7 0,078 0,066 0,084 0,099 0,100 0,113 0,090 0,078 0,076 0,0680,71332 8 0,069 0,092 0,111 0,104 0,102 0,104 0,113 0,062 0,071 0,0870,64133 9 0,100 0,096 0,080 0,094 0,063 0,079 0,066 0,103 0,092 0,1070,60234 10 0,102 0,071 0,095 0,074 0,060 0,075 0,108 0,105 0,064 0,0780,7323536матрица Aij прямых производственных затрат3738D0,6461,6140,6680,6450,6040,6580,6740,6030,5900,687Q0,6170,6011,6790,6200,6180,6500,6560,5790,5450,641R0,5890,6320,6191,6170,5760,6280,6140,5600,5440,666S0,6780,6740,7280,6651,6600,6700,7100,6280,6320,742T0,6230,6410,6580,6460,5831,6220,6260,5870,5540,662U0,6200,6110,6600,6580,6220,6711,6590,5930,5680,652V0,6500,6720,7260,6990,6600,7010,7231,6120,5970,711W0,6600,6560,6740,6710,6010,6550,6560,6351,6000,710X0,6290,5990,6560,6190,5690,6210,6650,6060,5421,645Рисунок 1. – Полученные результаты пункта а)38394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677А1234567891012345678910B10000000001,6580,6460,6170,5890,6780,6230,6200,6500,6600,629C01000000000,6651,6140,6010,6320,6740,6410,6110,6720,6560,599D E F00100000000,6840,6681,6790,6190,7280,6580,6600,7260,6740,656матрица B полных затрат00010000000,7080,6450,6201,6170,6650,6460,6580,6990,6710,619G H IE-единичная матрица0 0 00 0 00 0 00 0 01 0 00 1 00 0 10 0 00 0 00 0 00,6270,6040,6180,5761,6600,5830,6220,6600,6010,5690,6740,6580,6500,6280,6701,6220,6710,7010,6550,6210,7130,6740,6560,6140,7100,6261,6590,7230,6560,66500000001000,6410,6030,5790,5600,6280,5870,5931,6120,6350,606J K L00000000100,6020,5900,5450,5440,6320,5540,5680,5971,6000,5422.Рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спроса на продукцию 1-й отрасли на 10%2530210021002500220020002000210023002100Y* -спрос при увеличении спроса на продукцию1 отрасли на 10%17221,34616098,51915681,91115735,36517065,83315593,26615832,67916879,50116591,89615574,77000000000010,7320,6870,6410,6660,7420,6620,6520,7110,7101,645MX*- равновестный валовый выпускX* BY *NB ( E A) ^ 1Рисунок 2. – Полученные результаты пунктов а) и б)340

Рисунок 3. – Полученные результаты пунктов в), г) и д)А B C D E F G H I J K L M1 Задан МОБ в стоимостном выражении2 6. Записать баланс в стоимостном выражении3 7. Проверить основные балансовые равенства.4 8. Записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственных затрат встоимостном выражении5 9.Рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спроса на продукцию 1-йотрасли на 10% в стоимостном выражении6 10. Сравнить последний результат с 10%-ным увеличениемспроса в натуральном выражении78 6. Записать баланс в стоимостном выражении910Yi Xi111 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего12 1 1271,533 1308,389 1059,611 1658,521 1142,537 1142,537 1538,739 1455,813 1216,249 1603,237 2119,221 15516,38513 2 1489,529 956,241 1222,885 1140,133 1186,106 1324,025 1397,582 1241,274 1397,582 1379,193 1930,870 14665,42014 3 1409,345 1079,499 1739,192 1119,480 1749,187 1559,276 1489,308 1229,429 1009,531 1049,512 2099,025 15532,78515 4 1103,773 1742,799 1026,315 1268,370 1278,053 1413,604 1026,315 1065,044 1152,184 1607,248 2420,554 15104,25716 5 1370,120 1299,857 1484,296 904,630 1475,513 948,544 1317,423 1071,504 1484,296 1563,342 1932,220 14851,74517 6 1482,105 1707,856 1413,398 1501,735 1177,832 1109,125 1001,157 1334,876 1138,571 1334,876 1963,053 15164,58118 7 1334,900 1080,148 1334,900 1579,461 1722,122 1783,263 1436,800 1334,900 1273,759 1069,958 2038,015 15988,22519 8 1078,645 1355,221 1585,701 1493,509 1585,701 1475,070 1641,016 949,576 1078,645 1244,591 1936,030 15423,70420 9 1468,335 1337,234 1092,511 1284,793 935,190 1066,291 900,229 1503,295 1328,494 1442,115 2010,220 14368,70621 10 1748,102 1155,178 1512,977 1175,624 1032,505 1185,847 1727,656 1788,993 1073,396 1226,738 2146,792 15773,809221760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 22532315516,385 14665,420 15532,785 15104,257 14851,745 15164,581 15988,225 15423,704 14368,706 15773,809241760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 22532526Баланс в стоимостной форме определяется по формуле: pi*Aij*Xj для каждой ячейки2728 7. Проверить основные балансовые равенства.2930 1 0,9210,92131 2 0,9190,91932 3 1,0001,00033 4 0,9680,96834 5 0,878 проверка основного балансовогоравенства натурального истоимостного по формулеA^(Tрансп)* p+l=p0,87835 6 0,9820,98236 7 1,0191,01937 8 0,9220,92238 9 0,8740,87439 10 1,0221,02240Рисунок 4. – Полученные результаты пункта е), ж)341

40414243444546474849505152535455565758596061626364656667686970717273747576777879808182А B C D E F G H I J K L8.Записать матрицы коэффициентов прямых иполных производственных затрат в стоимостном выражении12345678910123456789100,0820,0960,0910,0710,0880,0960,0860,0700,0950,1131,6580,6440,6690,6180,6460,6640,6860,6500,6260,6982331,1431930,8702099,0252420,5541932,2201963,0532038,0151936,0302010,2202146,7920,0890,0650,0740,1190,0890,1160,0740,0920,0910,0790,6661,6140,6530,6650,6440,6850,6770,6740,6240,6650,0680,0790,1120,0660,0960,0910,0860,1020,0700,0970,6310,6141,6790,6000,6400,6460,6730,6700,5900,6710,1100,0750,0740,0840,0600,0990,1050,0990,0850,0780,6740,6130,6401,6170,6030,6550,6920,6660,6060,6540,0770,0800,1180,0860,0990,0790,1160,1070,0630,0700,6580,6320,7030,6351,6600,6510,7220,6930,5980,6630,0750,0870,1030,0930,0630,0730,1180,0970,0700,0780,6330,6160,6620,6200,5991,6220,6970,6580,5840,6470,0960,0870,0930,0640,0820,0630,0900,1030,0560,1080,6440,6090,6430,5830,6120,6031,6590,6540,5620,6670,0940,0800,0800,0690,0690,0870,0870,0620,0970,116Матрицпрямых производственных затрат в стоимостной форме вычисляется по формуле A*ij=П*ij/X*iМатрица полных затрат в стоимостном выражении получается по формулеB*=(E-A*) ^(-1)0,6410,6010,6280,5880,5980,6250,6551,6120,6020,6720,0850,0970,0700,0800,1030,0790,0890,0750,0920,0750,6350,6210,6230,6020,6350,6220,6630,6301,6000,6349. Рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличенииспроса на продукцию 1-й отрасли на 10% в стоимостном выраженииY**-спрос при увеличении спроса на продукцию 1 отрасли на 10%15867,75814801,97815674,63015235,32014988,61015305,20116133,61615561,53214501,46515921,8050,1020,0870,0670,1020,0990,0850,0680,0790,0910,0780,1020,0870,0670,1020,0990,0850,0680,0790,0910,078X** -равновестный валовый выпускX ** B* Y **Рисунок 5. – Полученные результаты пункта з), и)838485868788899091929394А B C D E F G H I J10. Сравнить последний результат с 10%-ным увеличениемспроса в натуральном выражении1 17221,3762 16098,5193 15681,9114 15735,3655 17065,8336 15593,2667 15832,6798 16873,5019 16591,89610 15574,770делим валовый выпуск в стоимостном выражении с 10%-м увеличениемна факторную стоимость, чтобы привести полученный результат кнатуральному виду, откуда видно, что они совпадают17221,37616098,51915681,91115735,36517065,83315593,26615832,67916873,50116591,89615574,770Рисунок 6. – Полученные результаты пункта к)342

Контрольные вопросы для специальности“Бизнес-администрирование”1. Основные понятия, этапы и методы математического моделированиясоциально-экономических систем.2. Основные понятия и сведения из теории графов. Способы заданияграфов.3. Целочисленное программирование. Метод Гомори решения задачцелочисленного программирования.4. Целочисленное программирование. Метод ветвей и границ решениязадач целочисленного программирования.5. Решение задач о рюкзаке методом ветвей и границ.6. Решение задач коммивояжера методом ветвей и границ7. Параметрическое программирование. Постановка и геометрическаяинтерпретация задачи. Графическое решение задачи.8. Параметрическое программирование. Постановка и геометрическаяинтерпретация задачи. Аналитическое решение задачи.9. Модели теории игр. Основные понятия теории игр. Решение матричныхигр в чистых стратегиях.10. Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стратегияхпутем сведения к задаче линейного программирования.11. Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стратегияхграфическим и приближенным методом.343

12. Модели межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс в натуральнойформе.13. Модели межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс в стоимостнойформе.14. Модели межотраслевого баланса. Продуктивность балансовой модели.344

Контрольные вопросы для специальности “Государственноеуправление и экономика”1. Основные понятия, этапы и методы математического моделированиясоциально-экономических систем.2. Линейное программирование. Геометрическая интерпретация и графическийметод решения задачи линейной оптимизации.3. Линейное программирование. Симплекс метод решения задачи линейнойпрограммирования.4. Линейное программирование. Метод искусственного базиса решениязадачи линейного программирования.5. Теория двойственности в задачах линейного программирования.Алгоритм построения двойственной задачи.6. Теория двойственности в задачах линейного программирования.Двойственный симплекс метод.7. Постановка транспортной задачи. Нахождение опорного плана методомсеверо-западного угла и минимального элемента. Распределительныйметод нахождения оптимального плана.8. Постановка транспортной задачи. Нахождение опорного плана методомсеверо-западного угла и минимального элемента. Метод потенциаловнахождения оптимального плана.9. Решение задачи о рюкзаке методом ветвей и границ.10. Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ.345

11. Модели теории игр. Основные понятия теории игр. Решение матричныхигр в чистых стратегиях.12. Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стратегияхпутем сведения к задаче линейного программирования. Решениематричных игр графическим методом.13. Модели межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс в натуральнойформе.14. Модели межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс в стоимостнойформе.15. Продуктивность балансовой модели.16. Основные понятия сетевого планирования и управления. Правилапостроения сетевых графиков.17. Расчет временных параметров сетевого графика.18. Оптимизация комплекса операций по времени.19. Оптимизация комплекса операций по ресурсам.20. Оптимизация комплекса операций по стоимости.346

Решенный вариант индивидуальной работы дляспециальности “Бизнес-администрирование”Задача 1. Решить задачу целочисленного программирования методомГомори.На производственном участке предприятия необходимо установитьоборудование трех типов. Стоимость единицы оборудования первого типасоставляет 5 млрд. руб., второго — 3 млрд. руб. и третьего — 2 млрд.руб. На закупку оборудования предприятие располагает средствами в 15млрд. руб. Площадь производственного участка для размещения оборудованиясоставляет 25 м 2 . Производительность единицы каждого типаоборудования равна соответственно 1 тыс. единиц, 2 тыс. единиц и 3 тыс.единиц продукции в смену. Требуется определить, сколько оборудованиякаждого типа закупать, чтобы получить максимальную производительностьпроизводственного участка, если известно, что для установкиединицы оборудования первого типа, с учетом проходов, требуется 6 м 2площади, второго — 4 и третьего — 3 м 2 .◭ 1. Обозначим через x 1 , x 2 и x 3 количество закупаемого оборудованиякаждого типа. Тогда математическая модель задачи запишетсяследующим образом:f = x 1 + 2x 2 + 3x 3 → max347

⎧⎨⎩6x 1 + 4x 2 + 3x 3 ≤ 25;5x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≤ 15;x j ≥ 0 ( j = 1, 3 ) и целые.Решаем задачу симплекс-методом без условия целочисленности. Приведемсистему ограничений к каноническому виду. Добавим к левымчастям ограничений неотрицательные дополнительные неизвестные x 4и x 5 :⎧⎨⎩6x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 25;5x 1 + 3x 2 + 2x 3 + x 5 = 15;x j ≥ 0 ( j = 1, 3 ) .Выразим из системы ограничений базисные неизвестные x 4 и x 5 :⎧⎨ x 4 = −6x 1 − 4x 2 − 3x 3 + 25 ≥ 0;x⎩ 5 = −5x 1 − 3x 2 − 2x 3 + 15 ≥ 0;x j ≥ 0 ( j = 1, 3 ) .Занесем коэффициенты системы ограничений и функции в симплекснуютаблицу (таблица 1).Решение в таблице 1 опорное, так как базисные неизвестные принимаютположительные значения. Переходим к поиску оптимальногорешения. В строке функции наибольший по абсолютной величине (средиотрицательных) элемент находится в третьем столбце, поэтому этотстолбец берем за разрешающий. Разрешающую строку находим по наи-348

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 1.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 3 t ≥ 0x 4 = 25 6 4 3 25/3x 5 = 15 5 3 2 15/2f = 0 −1 −2 −3меньшему симплексному отношению( 25t = min3 ; 15 )2= 152 .Наименьшее симплексное отношение соответствует второй строке, следовательно,она будет разрешающей. Выделим в таблице разрешающийэлемент, который находится на пересечении разрешающих строкии столбца.Рассчитаем элементы новой симплексной таблицы (таблице 2).В таблице 2 получено оптимальное решение:x 1 = 0; x 2 = 0; x 3 = 15/2; x 4 = 5/2; x 5 = 0; f = 45/2.Однако это решение не удовлетворяет условию целочисленности, таккак обе базисные переменные получили нецелые значения. Определим349

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 2.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 5x 4 = 5/2 −3/2 −1/2 −3/2x 3 = 15/2 5/2 3/2 1/2f = 45/2 13/2 5/2 3/2из них ту, которая имеет наибольшую дробную часть:{5/2} = 5/2 − [2] = 1/2;{15/2} = 15/2 − [7] = 1/2.Поскольку дробные части у базисных переменных одинаковые, тосформируем правильное отсечение, например, по строке x 4 .2. Правильное отсечение в данном случае имеет вид:{−3/2} x 1 + {1/2} x 2 + {−3/2} x 5 ≥ {5/2} .Находим дробные части:{−3/2} = −3/2 − [−2] = 1/2;{1/2} = 1/2 − [0] = 1/2;{5/2} = 5/2 − [2] = 1/2.350

Правильное отсечение принимает следующий вид:1/2x 1 + 1/2x 2 + 1/2x 5 ≥ 1/2.3. Преобразовываем полученное неравенство в эквивалентное уравнение:1/2x 1 + 1/2x 2 + 1/2x 5 − x 6 = 1/2,илиx 6 = 1/2x 1 + 1/2x 2 + 1/2x 5 − 1/2, (1)где x 6 ≥ 0 и целое.4. На основе таблице 2 составляем таблицу 3 расширенной задачипутем присоединения строки для уравнения (1).❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 3.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 5 t ≥ 0x 4 = 5/2 −3/2 −1/2 −3/2 −x 3 = 15/2 5/2 3/2 1/2 3x 6 = −1/2 −1/2 −1/2 −1/2 1f = 45/2 13/2 5/2 3/25. Решаем расширенную задачу симплекс-методом. Замечаем, что содержавшийсяв таблице 3 план опорным не является (в столбце сво-351

бодных членов имеется отрицательный элемент –1/2). Поэтому, преждевсего, необходимо найти опорный план. Для этого за разрешающий примем,например, первый столбец и найдем в нем минимальное симплексноеотношение:min (15/2 : 5/2; (−1/2) : (−1/2)) = min (3; 1) = 1.Таким образом, разрешающим будет элемент −1/2. Выполним с нимсимплексное преобразование.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 4.С.Ч. −x 6 −x 2 −x 5 t ≥ 0x 4 = 4 −3 1 0 −x 3 = 5 5 1 −2 −x 1 = 1 −2 1 1 1f = 4 13 −4 −5Решение в таблице 4 опорное, переходим к поиску оптимального решения.В строке функции наибольший по абсолютной величине (средиотрицательных) элемент находится в третьем столбце, поэтому этотстолбец берем за разрешающий. Разрешающую строку находим по наименьшемусимплексному отношению, которое соответствует третьей строке.Рассчитываем новую таблицу.352

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 5.С.Ч. −x 6 −x 2 −x 1x 4 = 4x 3 = 7x 5 = 1f = 21 3 1 5✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏В таблице 5 содержится опорный план, оказавшийся одновременно иоптимальным, и целочисленным. Итак, ¯x ∗ F = (0; 0; 7) и f F ∗ = 21. Значит,предприятию надо закупить 7 единиц оборудования третьего типа. Приэтом из денежных средств останется 1 млрд. руб. (x ∗ 5 = 1), а 4 м 2 производственнойплощади не будут использованы (x ∗ 4 = 4). Максимальнаясменная производительность нового участка будет составлять 21 тыс.ед. продукции. ◮Задача 2. Решить задачу целочисленного программирования методомветвей и границ.Найти оптимальное целочисленное решение следующей задачи методомветвей и границf = x 1 + 2x 2 → max353

при ограничениях { 7x1 + 5x 2 ≤ 35,−2x 1 + 3x 2 ≤ 6,x 1 , x 2 ≥ 0, целые.◭ Для наглядности решение осуществим графическим методом. ОДРзадачи является многоугольник OAВС (рисунок 1). В точке В находитсямаксимальное значение функции: f B max = 9, 64 при x 1 = 2, 42 и x 2 = 3, 61.Поскольку значения неизвестных дробные, то разобьем по неизвестнойx 2 ОДР задачи на две части. Одна будет содержать множество точек,у которых x 2 ≤ 3, а вторая – у которых x 2 ≥ 4. В результатеполучаем две новые задачи линейной оптимизации: № 2 и № 3 (исходнаязадача имеет № 1).⎧⎪⎨⎪⎩Задача № 2⎧Задача № 3f = x 1 + 2x 2 → max f = x 1 + 2x 2 → max7x 1 + 5x 2 ≤ 35, ⎪⎨ 7x 1 + 5x 2 ≤ 35,−2x 1 + 3x 2 ≤ 6, −2x 1 + 3x 2 ≤ 6,x 2 ≤ 3,x ⎪⎩ 2 ≥ 4,x 1 , x 2 ≥ 0.x 1 ≥ 0.Из рисунка 2 видно, что ни одна целочисленная точка исходной ОДРне потеряна. ОДР задачи № 2 является многоугольник OADEC. В точкеЕ с координатами x 1 = 2, 86 и x 2 = 3 функция достигает максимальногозначения f E max = 8, 86.354

x 2864B2Af max42OKC0 2 4 6f 0x 1Рисунок 1. – Графический метод решения задачиРешение задачи № 2 не является целочисленным. Что касается задачи№ 3, то ее ОДР пустая. Ограничения этой задачи противоречивы, и онане имеет решения.355

x 28642ADBEx2 4x2 342OC0 2 4 6x 1Рисунок 2. – Промежуточный этап решения задачиПродолжая решение, разобьем ОДР задачи № 2 на два подмножествапо неизвестной x 1 = 2, 86. В результате получим две новые задачи № 4356

и № 5 с соответствующими дополнительными ограничениями x 1 ≤ 2 иx 1 ≥ 3.⎧⎪⎨⎪⎩Задача № 4 Задача № 5⎧f = x 1 + 2x 2 → max f = x 1 + 2x 2 → max7x 1 + 5x 2 ≤ 35, 7x 1 + 5x 2 ≤ 35,⎪⎨−2x 1 + 3x 2 ≤ 6, −2x 1 + 3x 2 ≤ 6,x 2 ≤ 3,x 2 ≤ 3,x 1 ≤ 2,x ⎪⎩ 1 ≥ 3,x 1 , x 2 ≥ 0.x 1 ≥ 0.ОДР этих задач представлены на рисунке 3. ОДР задачи № 4 являетсямногоугольник OADFK. Максимальное значение функции достигаетсяв точке F c координатами x 1 = 2 и x 2 = 3, f F max = 8. Таким образом,получено целочисленное решение задачи № 4.ОДР задачи № 5 является треугольник LMC. Максимальное значениефункция достигает в точке L с координатами x 1 = 3 и x 2 = 2, 8;f L max = 8, 6. Так как значение функции целочисленного решениязадачи № 4 f F max = 8 меньше f L max = 8, 6, то дальнейшему разбиениюна две задачи № 6 и № 7 подлежит задача № 5 по нецелочисленнойнеизвестной x 2 = 2, 8. Не проводя дополнительных построений, отметим,что ОДР задачи № 6 с дополнительным ограничением x 2 ≥ 3 несуществует, а значение функции в оптимальном целочисленном решениизадачи № 7 с дополнительным ограничением x 2 ≤ 2 равно 7, что мень-357

x 28x1 2 x1 36x 042ADBF LEx2 4x2 342OK M C0 2 4 6x 1Рисунок 3. – Оптимальное решение задачи целочисленной оптимизациише f F max = 8. Таким образом, целочисленное решение исходной задачиследующее: x 1 = 2, x 2 = 3, f F max = 8. ◮358

Задача 3. Рассмотрим задачу о рюкзаке, в который нужно положитьнабор из данных 5 предметов минимального веса, стоимостью не менее21 у.е. Данные о весе и стоимости каждого предмета даны в таблице 6.Таблица 6.№, i 1 2 3 4 5Вес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2◭ Для нахождения первоначальной оценки для каждого предметавычислим цену, т.е. стоимость одного кг предмета. При этом мы допускаемвозможность деления предметов на части. При таком допущенииоптимальный способ наполнения рюкзака становится очевидным: сначаланаполняем рюкзак самым ценным предметом (с самой большойценой). Когда он закончится, продолжаем заполнять рюкзак следующимпо цене предметом и т.д. (до тех пор, пока не наберется указаннаястоимость).В таблице 7 указана очередность такой укладки. Величина x i указывает,какую часть предмета мы укладываем в рюкзак. Сначала беремсамый ценный предмет № 4. Он дает 9 у.е. стоимости. Добавляем следующийпо ценности предмет № 2. Суммарная стоимость обоих предметов359

9 + 6 = 15. Нам осталось добавить 21 − 16 = 5 у.е. стоимости. Это составляет6 8= 0, 75 от стоимости следующего по ценности предмета — №5. Поэтому мы объявляем, что условно берем 0, 75 предмета № 5 (весэтой части составляет 4 × 0, 75 = 3) и заканчиваем укладку рюкзака.Мы получили начальную оценку, которая утверждает, что вес рюкзакав наших условиях не может быть меньше 9 кг.Таблица 7.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 2 1 3x i 1 1 0,75Вес взятой части предмета 3 3 3 9Стоимость взятой части 6 9 6 21Берем самый ценный предмет № 4. Он дает 9 у.е. стоимости. Добавляемследующий по ценности предмет № 2. Суммарная стоимость обоихпредметов 9 + 6 = 15. Нам осталось добавить 21 − 16 = 5 у.е. стоимости.Это составляет 6 8= 0, 75 от стоимости следующего по ценности предмета– № 5. Поэтому мы объявляем, что условно берем 0, 75 предмета360

№ 5 (вес этой части составляет 4 × 0, 75 = 3) и заканчиваем укладкурюкзака. Мы получили начальную оценку, которая утверждает, что весрюкзака в наших условиях не может быть меньше 9 кг.Поскольку на самом деле предмет № 5 на части делить нельзя, разделимвсе возможные варианты на два множества, в первом из которыхмы не используем этот предмет, во втором – предмет № 5 обязательнодолжен быть в рюкзаке.1) Не берем предмет № 5. Действуем аналогично предыдущему случаю.Теперь после предметов № 4 и № 2 наибольшую ценность из доступныхпредметов имеет, например, № 3. После его добавления стоимостьрюкзака (9 + 6 + 5 = 20). Недостающая 1 у.е. стоимости может бытьвосполнена за счет 0,5 предмета № 1. Итак, получаем, что при отказеот предмета № 5 вес рюкзака ценностью не менее 21 у.е. не может бытьменьше, чем 12 кг (таблица 8).2) Предмет № 5 берем обязательно. В этом случае укладку рюкзаканачинаем с обязательных предметов, а затем продолжаем по прежнемупринципу максимальной цены.Укладываем 5-й и 4-й предметы. Оставшиеся 4 единицы стоимостивосполняем 2/3 предмета № 2. Получаем, что в нашем случае (когдаобязательно берем предмет 5), вес рюкзака не будет меньше 9 кг (таблица9).Посмотрим на дерево вариантов. Поскольку вариант x 5 = 1 (берем 5-й предмет) имеет наименьшую оценку, рассматриваем в первую очередь361

Таблица 8.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 5 3 4 2 1x i 0,5 1 1 1 0Вес взятой части предмета 1 3 5 3 12Стоимость взятой части 1 6 5 9 21Таблица 9.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 3 2 1x i 2/3 1 1Вес взятой части предмета 2 3 4 9Стоимость взятой части 4 9 8 21362

2) x51991) x5 012Рисунок 4. – Дерево ветвлений для 5-го предметаего. Поскольку при оценке этого варианта нам пришлось делить на части2-й предмет, ставим вопрос именно об этом предмете (рисунок 4).3) Обязательно берем 5-й и 2-й предметы. После 5-го и 2-го предметаостается 7 единиц стоимости, которые заполняем самым ценным предметом№4 (x 4 = 7/9). Оценка данного множества вариантов равна 28/3(таблица 10).Таблица 10.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 2 3 17x i 191Вес взятой части предмета 3 2 1 34 9 1 3Стоимость взятой части 6 7 8 21363

4) Обязательно берем 5-й, но не берем 2-й предмет. После укладки5-го, отбрасывания 2-го и укладки 4-го предметов остатки заполняемчастью предмета № 3. Оценка множества вариантов равна 11 (таблица11). Оценим перспективность вариантов. Из всех актуальных оценок(9 1 3 , 11 и 12) наименьшей является оценка 91 3множества с номером 3,поэтому в первую очередь рассмотрим его (рисунок 5). Напомним, чтов данном случае речь шла о делении на части предмета № 4.Таблица 11.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 2 4 3 1x i 0 4 51 1Вес взятой части предмета 4 3 4 11Стоимость взятой части 4 9 8 215) Берем предметы № 5, 2 и 4. В данном случае стоимость уже составит8 + 6 + 9 = 23. Таким образом, в данном множестве вариантов мынашли точную оценку: берем 2-й, 4-й и 5-й предметы, вес рюкзака приэтом составит 3 + 3 + 4 = 10 кг.364

2) x5159 12x 4) x2 019 3113)2191) x 0Рисунок 5. – Дерево ветвлений для 5-го и 2-го предметов6) Берем предметы № 5, 2, не берем предмет № 4.Таблица 12.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 5 2 4 3 1x i 1 1 1 0 1Вес взятой части предмета 2 3 5 4 14Стоимость взятой части 2 6 5 8 21365

Кроме 2-го все остальные предметы оказываются в рюкзаке целиком,при этом общая стоимость составила ровно 21 у.е. В итоге 14 кг — точнаяоценка данного множества вариантов (таблица 12).У нас появились точные оценки (отмечены звездочками). Теперь мыможем сказать, что вариант укладки рюкзака, полученный во множестве5 (x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 1, x 5 = 1) является наилучшим, таккак оценки всех остальных множеств хуже (рисунок 6).2) x5191) x5 09 123) x214) x2 05) x4119 3116) x4 010* 14*Рисунок 6. – Дерево ветвлений для 5-го, 2-го и 4-го предметов366

Таким образом, минимальный вес рюкзака составляет 10 кг. Для этогов рюкзак нужно положить 2-й, 4-й и 5-й предметы, общая стоимостьрюкзака составит при этом 6 + 9 + 8 = 23 у.е. ◮Задача 4. Матрица расстояний между пятью городами представленав таблице 13. Необходимо найти гамильтонов контур объезда городовминимальной длины.j❅❅i ❅ ❅Таблица 13.1 2 3 4 5 α i1 ∞ 9 8 4 10 42 6 ∞ 4 5 7 43 5 3 ∞ 6 2 24 1 7 2 ∞ 8 15 2 4 5 2 ∞ 2◭ Для нахождения нижней границы множества всех гамильтоновыхконтуров ϕ (R) осуществляем приведение матрицы расстояний. Для этогов дополнительный столбец (таблица 13) запишем константы приведенияa i , i = 1, 5, по строкам. Матрица, приведенная по строкам, представленав таблице 14. В дополнительной строке этой матрицы записаны367

константы приведения по столбцам. Выполнив приведение по столбцам,получим полностью приведенную матрицу (таблица 15).❅ji ❅ ❅❅Таблица 14.1 2 3 4 51 ∞ 5 4 0 62 2 ∞ 0 1 33 3 1 ∞ 4 04 0 6 1 ∞ 75 0 2 3 0 ∞β j 0 1 0 0 0Нижняя граница множества всех гамильтоновых контуров R5∑ 5∑ϕ (R) = γ = α i + β j = 13 + 1 = 14.i=1j=1Найдем дугу, исключение которой максимально увеличило бы нижнююграницу, и разобьем все множество гамильтоновых контуров относительноэтой дуги на два подмножества. Для этого определим суммуконстант приведения для всех клеток матрицы с нулевыми элементами,условно (мысленно) заменяя нули на ∞. Заменим, например, эле-368

❅ji ❅ ❅❅Таблица 15.1 2 3 4 51 ∞ 4 4 0(4) 62 2 ∞ 0(2) 1 33 3 0(1) ∞ 4 0(3)4 0(1) 5 1 ∞ 75 0(0) 1 3 0(0) ∞β j 0 1 0 0 0мент a 14 = 0 на ∞. Тогда константа приведения по 1-й строке равна4 (минимальному элементу этой строки), а по 4-му столбцу — нулю(минимальному элементу этого столбца). Сумма констант приведенияγ (1,4)= α 1 + β 4 = 4 + 0 = 4 записана в скобках в клетке (1,4). Аналогичновычислены все остальные константы и записаны в соответствующиеклетки таблицы. Наибольшая из сумм констант приведения, равная 4,соответствует дуге (1,4). Следовательно, множество R разбивается наподмножества {(1, 4)} и {(1, 4)}. Таким образом, мы приступим к образованиюдерева (рисунок 7).Исключение дуги (1,4) из искомого гамильтонова контура осуществляетсяреальной заменой в матрице из таблицы 15 элемента a 14 = 0 на369

14R1,4 15 17 18 181,4 4,3 18 194,32,1 182,1 2,5 182,53,5 ,5,2 183,2 ,5,1Рисунок 7. – Дерево ветвлений всех маршрутов задачи∞. Такая замена позволяет произвести дополнительное приведение матрицыпутем вычитания из элементов 1-й строки 4 и из элементов 4-гостолбца — 0. В результате приведения матрица расстояний для подмножества{(1, 4)} примет вид, показанный в таблице 16, а нижняя границадлин гамильтоновых контуров этого подмножестваϕ (1,4)= ϕ (R) + γ (1,4)= 14 + 4 = 18.Включение дуги (1,4) в искомый контур ведет к исключению элементов1-й строки и 4-го столбца таблицы 15. Кроме того, элемент a 14 = 0заменяем на ∞, чтобы не допустить образования негамильтонова контура(1–4–1). Сокращенная матрица приведена в таблице 17. Эта матрица370

❅ji ❅ ❅❅Таблица 16.1 2 3 4 51 ∞ 0 0 ∞ 22 2 ∞ 0 1 33 3 0 ∞ 4 04 0 5 1 ∞ 75 0 1 3 0 ∞❅ji ❅ ❅❅Таблица 17.1 2 3 5 α i2 2 ∞ 0 3 03 3 0 ∞ 0 04 ∞ 5 1 7 15 0 1 3 ∞ 0β j 0 0 0 0допускает дополнительное приведение на 1 единицу только по 4-й строке.Константы приведения записаны в столбце α i , и строке β j . Сумма371

констант приведения сокращенной матрицы, полученной в результатевключения дуги (1,4) в искомый контур, составит:γ (1,4) = ∑ iα i + ∑ jβ j = 1 + 0 = 1.Сокращенная матрица имеет вид таблица 18. Нижняя граница длингамильтоновых контуров подмножества {(1, 4)}ϕ (R) + γ (1,4) = 14 + 1 = 15.Так как после сокращения получена матрица 4×4, переходим к сравнениюоценок ϕ (1,4)и ϕ (1,4) . Дальнейшему разбиению (ветвлению) подлежитподмножество {(1, 4)}, так как его нижняя граница меньше.Найдем дугу, исключение которой максимально увеличило бы нижнююграницу. Для этого определим сумму констант приведения длякаждой клетки с нулем (таблица 18). Максимальная сумма константприведенияγ (4,3)= α 4 + β 3 = 4 + 0 = 4соответствует дуге (4, 3). Следовательно, подмножество гамильтоновыхконтуров {(1, 4)}, в свою очередь, разбиваем на два подмножества:{(1,4),(4,3)} и {(1,4),(4, 3)}. После замены элемента a 43 = 0 на ∞(таблица 18) и приведения матрица принимает вид таблицы 19. Нижняяграница длин гамильтоновых контуров подмножества {(1,4),(4, 3)}ϕ [(1,4),(4,3)]= ϕ (1,4) + γ (4,3)= 15 + 4 = 19.372

❅ji ❅ ❅❅Таблица 18.1 2 3 52 2 ∞ 0(2) 33 3 0(1) ∞ 0(3)4 ∞ 4 0(4) 65 0(3) 1 3 ∞❅ji ❅ ❅❅Таблица 19.1 2 3 52 2 ∞ 0 33 3 0 ∞ 04 ∞ 0 ∞ 25 0 1 3 ∞Включение дуги (4,3) в гамильтонов контур приводит к исключениюиз него дуг (4,2) и (4,5), т.е. элементов 4-й строки матрицы (таблица18), а также дуг (2,3) и (5,3), т.е. элементов 3-го столбца. Кроме того,исключаем из контура дугу (3,1), чтобы не допустить образования373

негамильтонова контура (1–4–3–1). Сокращенная матрица (таблица 20)допускает приведение по 2-й строке на 2 единицы. После приведения этаматрица имеет вид таблица 21.Сумма констант приведенияγ (4,3) = ∑ iα i + ∑ jβ j = 2 + 0 = 2,а нижняя граница гамильтоновых контуров {(1,4),(4,3)}ϕ [(1,4),(4,3)] = ϕ (1,4) + γ (4,3) = 15 + 2 = 17.❅ij❅❅ ❅Таблица 20.1 2 5 α i2 2 ∞ 3 23 ∞ 0 0 05 0 1 ∞ 0β j 0 0 0Так какϕ [(1,4),(4,3)] = 17 < ϕ [(1,4),(4,3)]= 19,374

❅ji ❅ ❅❅Таблица 21.1 2 52 0(1) ∞ 13 ∞ 0(1) 0(1)5 0(1) 1 ∞дальнейшему ветвлению подлежит подмножество {(1,4),(4,3)}. Все суммыконстант приведения для клеток с нулями (таблица 21) равны, поэтомувыбираем любую из дуг, например (2,1), и разбиваем подмножество{(1,4),(4,3)} на два новых подмножества {(1,4),(4,3),(2, 1)} и{(1,4),(4,3),(2,1)}. После исключения дуги (2,1) и приведения матрицырасстояний получим новую матрицу (таблица 22), для которой γ (2,1)= 1.j❅❅i ❅ ❅Таблица 22.1 2 52 ∞ ∞ 0(∞)3 ∞ 0(1) 0(0)5 0(∞) 1 ∞375

Нижняя граница подмножества {(1,4),(4,3),(2, 1)}ϕ [(1,4),(4,3),(2,1)]= ϕ [(1,4),(4,3)] + γ (2,1)= 17 + 1 = 18.Включение дуги (2,1) в контур приводит к исключению 2-й строкии 1-го столбца таблица 21, а также дуги (3,2). Сокращенная матрицаимеет вид таблица 23. Сумма констант приведения этой матрицыγ (2,1) = 1. Приведенная матрица представлена в таблице 24. Нижняяграница подмножества контуров {(1,4),(4,3),(2,1)}ϕ [(1,4),(4,3),(2,1)] = ϕ [(1,4),(4,3)] + γ (2,1) = 17 + 1 = 18.Таблица 23.j❅❅i ❅ ❅2 53 ∞ 05 1 ∞Так как в результате сокращения получена матрица 2 × 2 (таблица24), то в искомый гамильтонов контур включаем дуги (3,5) и (5,2),соответствующие нулевым элементам этой матрицы. Сумма константприведения таблица 24 равна нулю. Следовательно, длина гамильтонова376

❅Таблица 24.ji ❅ ❅❅2 53 ∞ 05 0 ∞контура совпадает с нижней границей подмножества {(1,4),(4,3),(2,1)} иравна 18.В соответствии с деревом ветвлений (рисунок 7) гамильтонов контуробразуют дуги (1,4), (4,3), (2,1), (3,5), (5,2). Расположим их, начиная сгорода 1 так, чтобы конец одной совпадал с началом другой. Получимгамильтонов контур, соответствующий последовательности объезда городовкоммивояжером µ = (1 − 4 − 3 − 5 − 2 − 1).Длина найденного маршрута объезда городов не превышает нижнихграниц оборванных ветвей, следовательно, она является оптимальной.Однако возможно, что гамильтонов контур µ не единственный, так какимеются подмножества контуров {(1,4),(4,3),(2, 1)} и {(1, 4)}, нижниеграницы которых также равны 18.Продолжим ветвление подмножества {(1,4),(4,3),(2, 1)}. Следуя алгоритму,найдем сумму констант приведения для каждой клетки с нулемтаблица 22. Максимальная сумма, равная ∞, приходится на две клетки:377

(2,5) и (5,1). Выбираем любую дугу, например (2,5), и разбиваем подмножество{(1,4),(4,3),(2, 1)} на два подмножества {(1,4),(4,3),(2, 1),(2, 5)} и{(1,4),(4,3),(2, 1),(2,5)}. Нижние границы подмножеств:ϕ [(1,4),(4,3),(2,1),(2,5)]= 18 + ∞ = ∞;ϕ [(1,4),(4,3),(2,1),(2,5)]= 18 + 0 = 18.Продолжив решение, найдем второй оптимальный гамильтонов контурµ = (1 − 4 − 3 − 2 − 5 − 1).Можно найти еще один оптимальный гамильтонов контур, продолжаяразвитие ветви, соответствующей подмножеству контуров {(1, 4)}.Применять алгоритм в этом случае следует к матрице, приведенной втаблице 16. ◮Задача 5. Решить графическим методом следующую задачу параметрическогопрограммирования.Определить интервал изменения параметра t и найти значения переменныхx 1 и x 2 , при которых максимум линейной функцииf t = 4x 1 + (2 + t) x 2 , t ∈ [0; 8] достигается в одной и той же вершинеобласти допустимых решений системы ограничений⎧2x 1 − 5x 2 ≤ 10;⎪⎨ x 1 + x 2 ≥ 5;−x 1 + x 2 ≤ 4;4x ⎪⎩ 1 + 5x 2 ≤ 40;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.378

◭ Находим область допустимых решений системы ограничений. Этомногоугольник ABCD (рисунок 8). Придадим параметру самое малоезначение t = 0, тогда получим функцию с постоянными коэффициентамиf 0 = 4x 1 + 2x 2 .Максимальное значение этой функции достигается в вершине C.x 2f0 0f3 0ABf 0maxf 8maxf8 0CОDf 3maxx 1Рисунок 8. – Область допустимых решений задачи379

Далее приравняем f t нулю и найдем уравнение разрешающей прямойпри любом t:x 2 = − 42 + t x 1.Запишем угловой коэффициент k f этой прямой и исследуем его поведениепри изменении параметра t:k f = − 42 + t .При t = 0 его начальное значение k f = −2.Найдем производную углового коэффициента по параметру t:((k f ) ′ t = − 4)′=2 + tt4(2 + t) 2.Очевидно, что при любом t производная положительна, а угловойкоэффициент при увеличении t возрастает. Найдем предел его возрастания:(lim k f = lim − 4 )= −0.t→+∞ t→+∞ 2 + tТак как при t → +∞ угловой коэффициент k f приближается к нулюсо стороны отрицательных значений, то разрешающая прямая поворачиваетсяпротив часовой стрелки до предельного горизонтальногоположения. (Напомним, что при вертикальном положении прямой угловойкоэффициент как функция терпит разрыв. При вращении прямой380

против часовой стрелки от оси абсцисс до вертикального положения угловойкоэффициент возрастает от 0 до +∞, при дальнейшем вращениипрямой он возрастает от −∞ до 0.)В рассматриваемом примере при изменении параметра t от нуля донекоторого значения максимум функции будет в вершине C. Далее внекоторый фиксированный момент времени оптимум будет достигатьсяна отрезке BC, а затем он перейдет в точку B и останется в ней длявсех больших значений t.Определим значение параметра t, при котором решение задачи окажетсяна отрезке BC. Поскольку в этот момент прямая BC и разрешающаяпрямая должны быть параллельны, приравняем их угловыекоэффициенты. Угловой коэффициент прямой BC k BC = −4/5, следовательно,− 42+t = −4 5, откуда t = 3.Итак, при 0 ≤ t < 3 оптимальное решение задачи будет в вершинеC (8, 3; 1, 3), при t = 3 оно достигается на всем отрезке BC, апри 3 < t ≤ 8 – в точке B (2, 2; 6, 2) . ◮Задача 6. Решить аналитическим методом следующую задачу параметрическогопрограммирования.Найти решение задачи 5 при изменении параметра t на отрезке [0; 12].◭ Полагаем t = 0. Тогдаf 0 = 4x 1 + 2x 2 → max .381

Заносим условие задачи в таблицу 25 и решаем ее симплекс-методом.Опуская подробности, приведем оптимальное решение (таблица 26):x 1 = 25/3, x 2 = 4/3.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 25.С.Ч. −x 1 −x 2x 3 = 10 2 −5x 4 = −5 −1 −1x 5 = 4 −1 1x 6 = 40 4 5f 0 = 0 −4 −2f t =0 −4 −20 0 −1Определим значения параметра t, при которых оптимальное решениебудет в той же вершине, что и при t = 0.Так как в последней строке элемент q 1 = −2/15 < 0, аэлемент q 2 = 1/15 > 0, то для определения значений t, при которыхмаксимум будет достигаться в найденной вершине, подставим соответ-382

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 26.С.Ч. −x 3 −x 6x 4 = 14/3 1/30 7/30x 1 = 25/3 1/6 1/6x 5 = 11 3/10 1/10x 2 = 4/3 −2/15 1/15f 0 = 36 2/5 4/5f t =36 2/5 4/54/3 −2/15 1/15ствующие значения в соотношение (14.3). Получим(−12 = − 4/5 ) (≤ t ≤ − 2/5 )= 3.1/15−2/15Здесь α 1 = −12, α 2 = 3. Полученный интервал меньше заданного[0; 12], поэтому исключаем его из дальнейшего рассмотрения и решаемзадачу для оставшегося интервала [3; 12]. Для этого даем t значениеt = 3 и вычисляем для него строку f 3 .Занесем элементы f 3 -строки в таблицу 27. Все прочие элементы таблицыоставляем без изменений.383

В первом столбце и f 3 -строке таблицы 27 находится нуль, поэтомуэтот столбец принимаем за разрешающий (при t > 3 на месте нуля первымпоявится отрицательное число, и план перестанет быть оптимальным).Находим разрешающий элемент по наименьшему симплексномуотношению и переходим к новой таблице (таблица 28).❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 27.С.Ч. −x 3 −x 6x 4 = 14/3 1/30 7/30x 1 = 25/3 1/6 1/6x 5 = 11 3/10 1/10x 2 = 4/3 −2/15 1/15f 3 = 40 0 1f t =36 2/5 4/54/3 −2/15 1/15План x 1 = 20/9, x 2 = 56/9 в таблице 28 оптимален, так как всеэлементы f 3 -строки неотрицательны. В последней строке все элементыq j > 0, следовательно, применяем соответствующую формулу и опреде-384

ляем, что(α 2 = max − −4/2 )4/9 ; −2/3 ≤ t < +∞ = α 3 ,1/9т.е. 3 ≤ t < +∞. Так как значение α 3 > β, то задача решена.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 28.С.Ч. −x 5 −x 6x 4 = 31/9x 1 = 20/9x 3 = 110/3x 2 = 56/9f 3 = 40 0 1f t =✟ ✟✟✟✟✟ ✟64/3 −4/3 2/356/9 4/9 1/9Итак, при 0 ≤ t ≤ +∞ максимальное значение функции достигаетсяв вершине C (25/3; 4/3), при 3 ≤ t ≤ 12 максимальное значениефункции достигается в вершине B (20/9; 56/9) (смотри рисунок 8). Призначении t = 3 оптимум достигается в вершинах B и C, а также в ихвыпуклой линейной комбинации. ◮385

Задача 7. Решить игру с платежной матрицей⎡ ⎤2 1 0⎣ 3 0 1 ⎦ ,1 2 4сведя ее к задаче линейного программирования.◭ Прежде всего, проверим, не имеет ли игра седловой точки. Находим:α = max min a ij = 1; β = min max a ij = 2.i j i jТак как α ≠ β, решением игры будут смешанные стратегии, а ценаигры заключена в пределах 1 ≤ ν ≤ 2. Доминирования стратегий, каквидно по матрице, в данной игре нет, и все элементы платежной матрицынеотрицательны. Так что упрощать матрицу не приходится.Составляем по матрице игры задачи:f = x 1 + x 2 + x 3 → min;⎧2x 1 + 3x 2 + x 3 ≥ 1;⎪⎨x 1 + 2x 3 ≥ 1;x ⎪⎩ 2 + 4x 3 ≥ 1;x i ≥ 0 (i = 1, 3);(2)386

ϕ = y 1 + y 2 + y 3 → max;⎧2y 1 + y 2 ≤ 1;⎪⎨3y 1 + y 3 ≤ 1;y ⎪⎩ 1 + 2y 2 + 4y 3 ≤ 1;y i ≥ 0 (j = 1, 3).(3)Решим, например, задачу (3). После приведения модели к каноническомувиду дополнительные переменные y 4 , y 5 , y 6 составят начальныйбазис, а основные переменные y 1 , y 2 , y 3 будут свободными. В результатерешения задачи симплексным методом приходим к таблице 29, содержащейкомпоненты оптимального планаy ∗ = (y ∗ 1; y ∗ 2; y ∗ 3; y ∗ 4; y ∗ 5; y ∗ 6) = (1/3; 1/3; 0; 0; 0; 0) и ϕ max = 2/3.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 29.С.Ч. −y 3 −y 4 −y 6y 2 = 1/3y 1 = 1/3y 5 = 0ϕ = 2/3 1/3 1/3 1/3✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏387

Находим цену игры ν = 1/ϕ max = 3/2 и компоненты q ∗ j оптимальнойсмешанной стратегии q ∗ игрока B:q ∗ 1 = νy ∗ 1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, q ∗ 2 = 1/2, q ∗ 3 = 0.Найдем теперь оптимальную смешанную стратегию p ∗ игрока A. Введемдополнительные переменные x 4 , x 5 и x 6 в ограничения задачи (2).Эти переменные составят начальный базис, а переменные x 1 , x 2 и x 3будут свободными. Запишем соответствие между переменными каноническихформ рассматриваемых двойственных задач:свободные{ }} {x 1 x 2 x 3y 4}y 5{{y 6}базисные{базисные}} {x 4 x 5 x 6y 1}y 2{{y 3}свободныеУчитывая это соответствие, выписываем из строки целевой функцииϕ таблицы 29 значения компонент оптимального вектора задачи(2): x ∗ 1 = 1/3, x ∗ 2 = 0, x ∗ 3 = 1/3. Находим компоненты p ∗ i оптимальнойсмешанной стратегии p ∗ игрока A:p ∗ 1 = νx ∗ 1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, p ∗ 2 = 0, p ∗ 3 = 1/2.Итак, решение игры найдено:p ∗ = (1/2; 0; 1/2), q ∗ = (1/2; 1/2; 0), ν = 3/2. ◮388

Задача 8. Решить игру с платежной матрицей⎡⎣3 812 1⎤⎦9 6графическим методом.◭ В данном случае α = 6, β = 8, т.е. α ≠ β, а поэтому для определенияоптимальных смешанных стратегий игроков составляем задачи:f = x 1 + x 2 + x 3 → min,{ 3x1 + 12x 2 + 9x 3 ≥ 1,8x 1 + x 2 + 6x 3 ≥ 1,x i ≥ 0 (i = 1, 3),ϕ = y 1 + y 2 → max,⎧⎨ 3y 1 + 8y 2 ≤ 1,12y⎩ 1 + y 2 ≤ 1,9y 1 + 6y 2 ≤ 1,y i ≥ 0 (j = 1, 2).Поскольку задача (5) содержит две переменные, то, решая ее графически(рисунок 9), находим: y ∗ 1 = 1/27, y ∗ 2 = 1/9, ϕ max = 4/27. Вычисляемν = 1/ϕ max = 27/4, q ∗ 1 = νy ∗ 1 = 1/4, q ∗ 2 = 3/4.(4)(5)389

y 2 01 9ОA max1 270,1 cmax 4 27y 1Рисунок 9. – Графический метод решения матричной игрыДля того чтобы определить оптимальную смешанную стратегиюp ∗ = (p ∗ 1; p ∗ 2; p ∗ 3), найдем сначала решение двойственной задачи (4).В оптимальном плане задачи (5) y ∗ 1 > 0 и y ∗ 2 > 0, поэтому оба ограничениядвойственной задачи (4) ее оптимальным планом x ∗ = (x ∗ 1; x ∗ 2; x ∗ 3)обращаются в равенства. Кроме того, значениями y ∗ 1 и y ∗ 2 второе ограничениезадачи (5) обращается в строгое неравенство. Следовательно, воптимальном плане задачи (4) соответствующая ему вторая переменнаяравна нулю, т.е. x ∗ 2 = 0. Учитывая сказанное, для определения x ∗ 1 и x ∗ 3получаем уравнения 3x 1 + 9x 3 = 1 и 8x 1 + 6x 2 = 1, совместное решениекоторых дает x ∗ 1 = 3/54, x ∗ 3 = 5/54. Вычисляем: p ∗ 1 = 3/8, p ∗ 2 = 0,p ∗ 3 = 5/8.390

Итак, решение игры найдено:p ∗ = (3/8; 0; 5/8); q ∗ = (1/4; 3/4); ν = 27/4. ◮Задача 9. Решить матричную игру, используя приближенный метод.В матричной игре (таблица 30) получить приближения цены игры иоптимальных смешанных стратегий, выполнив 20 итераций.Таблица 30.❍ ❍❍❍❍❍ B jA i ❍B 1 B 2 B 3A 1 4 2 2A 2 2 5 0A 3 0 2 5◭ Поскольку α = 2, β = 4 и, следовательно, α ≠ β, то игра не имеетседловой точки, а потому ищем решение игры в области смешанныхстратегий.Пусть в первой партии игрок А избрал стратегию A 1 . Выигрышиего при различных стратегиях игрока B будут равны соответственно 4,2 или 2. Запишем их в первую строку таблице 31. Игроку B в первойпартии выгоднее использовать либо вторую, либо третью стратегию, таккак в обоих случаях его проигрыш будет наименьшим и равняется двум.391

Таблица 31.Игрок AИгрок BНомерПриближенныеНакопленныйНакопленныйпартиизначения ценывыигрыш припроигрыш приСтратегияразличныхразличныхСтратегиястратегияхстратегияхигрока Bигрока AB 1 B 2 B 3 A 1 A 2 A m v ′ h v ′′h v срh1 A 1 4 2 2 B 2 2 5 2 2 5 7/22 A 2 6 7 2 B 3 4 5 7 1 7/2 9/43 A 3 6 9 7 B 1 8 7 7 2 8/3 7/34 A 1 10 11 9 B 3 10 7 12 9/4 3 21/85 A 3 10 13 14 B 1 14 9 12 2 14/5 12/56 A 1 10 15 16 B 1 18 11 12 7/3 9/3 8/37 A 1 18 17 18 B 2 20 16 14 17/7 20/7 37/148 A 1 22 19 20 B 2 22 21 16 19/8 11/4 41/169 A 1 26 21 22 B 2 24 26 18 7/3 26/9 47/1810 A 2 28 26 22 B 3 26 26 23 11/5 13/5 12/511 A 1 32 28 24 B 3 28 26 28 24/11 28/11 26/1112 A 1 36 30 26 B 3 30 26 33 13/6 33/12 59/2413 A 3 36 32 31 B 3 32 26 28 31/13 38/13 69/2614 A 3 36 34 36 B 2 34 31 40 17/7 20/7 37/1415 A 3 36 36 41 B 1 38 33 40 12/5 40/15 38/1516 A 3 36 38 46 B 1 42 35 40 9/4 21/8 39/1617 A 1 40 40 48 B 1 46 37 40 40/17 46/17 43/1718 A 1 44 42 42 B 2 48 42 42 7/3 8/3 5/219 A 1 48 44 52 B 2 50 47 44 44/19 50/19 47/1920 A 1 52 46 54 B 2 52 52 46 23/10 13/5 49/20Условимся в случае равенства выигрышей (проигрышей) при несколькихстратегиях брать стратегию с меньшим индексом. Итак, игрок Bвыберет стратегию B 2 , при которой он проиграет либо 2, либо 5, либо 2в зависимости от выбора игроком А своей чистой стратегии (смотри таблицу30). Внесем эти значения в первую строку таблицы 31 и заполним392

строку до конца:v ′ 1 = 2/1 = 2, v ′′1 = 5/1 = 5, v ср1 = (2 + 5)/2 = 7/2.Переходим ко второй партии. Предполагая, что игрок B и во второйпартии может воспользоваться стратегией B 2 , игрок A выберет стратегиюA 2 , при которой его выигрыш является наибольшим и равняется5. При стратегии A 2 игрок А может выиграть либо 2, либо 5, либо 0.Во вторую строку таблицы 31 записываем выигрыши игрока A в двухпартиях, т.е. 4 + 2 = 6, 2 + 5 = 7, 2 + 0 = 2. Игроку B в данной ситуациивыгоднее всего применить стратегию B 3 , соответствующую наименьшемупроигрышу, равному 2. Записываем во вторую строку его суммарныепроигрыши в двух первых партиях: 2 + 2 = 4, 5 + 0 = 5, 2 + 5 = 7. Впоследние три столбца записываем:v ′ 2 = 2/2 = 1, v ′′2 = 7/2, v ср2 = (1 + 7/2)/2 = 9/4.В третьей партии игроку A выгоднее всего применить стратегию A 3 ,а игроку B после этого лучше использовать стратегию B 1 и т.д. После20 итераций подсчитываем, сколько раз игроки использовали каждую изсвоих чистых стратегий. Получаем m(A 1 ) = 12, m(A 2 ) = 2, m(A 3 ) = 6,m(B 1 ) = 6, m(B 2 ) = 8, m(B 3 ) = 6. После этого определяем вероятностиприменения игроками своих чистых стратегий:p ∗ 1 = 12/20 = 0, 6; p ∗ 2 = 2/20 = 0, 1; p ∗ 3 = 6/20 = 0, 3;393

q ∗ 1 = 6/20 = 0, 3; q ∗ 2 = 8/20 = 0, 4; q ∗ 3 = 6/20 = 0, 3.Таким образом, приближенными оптимальными смешанными стратегиямиигроков будут:p ∗ = (0, 6; 0, 1; 0, 3) , q ∗ = (0, 3; 0, 4; 0, 3) ,а приближенное значение цены игры( )v ≈ v ср20 = v ′ 20 + v ′′20 /2 = 2, 45.Для сравнения приведем точное решение игры:p ∗ = (19/35; 6/35; 10/35) = (0, 544; 0, 171; 0, 285) ,цена игры v = 2, 514. ◮q ∗ = (9/35; 14/35; 12/35) = (0, 257; 0, 400; 0, 343)Задача 10. Дан межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 1740 2300 168402 1620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 1500 2100 159503 1410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 1050 2100 155404 1140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 1660 2500 156005 1560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 1780 2200 169106 1510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 1360 2000 154507 1310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 1050 2000 156908 1170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 1350 2100 167309 1680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 1650 2300 1644010 1710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200 2100 15430Доб.стоим.1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 225316840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430394

Необходимо вычислить матрицы прямых производственных и полныхзатрат, найти величину добавленной стоимости на единицу продукциии расчитать факторную стоимость единицы продукции в каждой отрасли.Записать баланс в стоимостном выражении, проверить основныебалансовые равенства и вычислить матрицы прямых производственныхи полных затрат в стоимостном выражении.◭ Найдем матрицу прямых производственных затрат. Для этого воспользуемсяформулой (24.1) где Π ij в нашем случае — это есть матрица1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 17401620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 15001410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 10501140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 16601560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 17801510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 13601310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 10501170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 13501680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 16501710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200В результате получим следующую матрицу прямых производственныхзатрат:0,082 0,089 0,068 0,110 0,077 0,075 0,096 0,094 0,085 0,1020,096 0,065 0,079 0,075 0,080 0,087 0,087 0,080 0,097 0,0870,091 0,074 0,112 0,074 0,118 0,103 0,093 0,080 0,070 0,0670,071 0,119 0,066 0,084 0,086 0,093 0,064 0,069 0,080 0,1020,088 0,089 0,096 0,060 0,099 0,063 0,082 0,069 0,103 0,0990,096 0,116 0,091 0,099 0,079 0,073 0,063 0,087 0,079 0,0850,086 0,074 0,086 0,105 0,116 0,118 0,090 0,087 0,089 0,0680,070 0,092 0,102 0,099 0,107 0,097 0,103 0,062 0,075 0,0790,095 0,091 0,070 0,085 0,063 0,070 0,056 0,097 0,092 0,0910,113 0,079 0,097 0,078 0,070 0,078 0,108 0,116 0,075 0,078395

Для вычисления матрицы полных затрат воспользуемся формулойB = (E − A) −1 . В результате получим следующую матрицу1,658 0,665 0,684 0,708 0,627 0,674 0,713 0,641 0,602 0,7320,646 1,614 0,668 0,645 0,604 0,658 0,674 0,603 0,590 0,6870,617 0,601 1,679 0,620 0,618 0,650 0,656 0,579 0,545 0,6410,589 0,632 0,619 1,617 0,576 0,628 0,614 0,560 0,544 0,6660,678 0,674 0,728 0,665 1,660 0,670 0,710 0,628 0,632 0,7420,623 0,641 0,658 0,646 0,583 1,622 0,626 0,587 0,554 0,6620,620 0,611 0,660 0,658 0,622 0,671 1,659 0,593 0,568 0,6520,650 0,672 0,726 0,699 0,660 0,701 0,723 1,612 0,597 0,7110,660 0,656 0,674 0,671 0,601 0,655 0,656 0,635 1,600 0,7100,629 0,599 0,656 0,619 0,569 0,621 0,665 0,606 0,542 1,645Для вычисления величины добавленной стоимости можно воспользоватьсяформулой l ∗ i = L i/X ∗ i , где L i — это есть строка1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 2253а X ∗ i— это есть строка16840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430В результате получим вектор l0,105 0,103 0,133 0,127 0,093 0,140 0,160 0,146 0,135 0,146Теперь вычислим факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли по формуле (25.2). Ее можно записать в виде p = B T · l, гдетранспонированная матрица полных затрат будет иметь вид396

1,658 0,646 0,617 0,589 0,678 0,623 0,620 0,650 0,660 0,6290,665 1,614 0,601 0,632 0,674 0,641 0,611 0,672 0,656 0,5990,684 0,668 1,679 0,619 0,728 0,658 0,660 0,726 0,674 0,6560,708 0,645 0,620 1,617 0,665 0,646 0,658 0,699 0,671 0,6190,627 0,604 0,618 0,576 1,660 0,583 0,622 0,660 0,601 0,5690,674 0,658 0,650 0,628 0,670 1,622 0,671 0,701 0,655 0,6210,713 0,674 0,656 0,614 0,710 0,626 1,659 0,723 0,656 0,6650,641 0,603 0,579 0,560 0,628 0,587 0,593 1,612 0,635 0,6060,602 0,590 0,545 0,544 0,632 0,554 0,568 0,597 1,600 0,5420,732 0,687 0,641 0,666 0,742 0,662 0,652 0,711 0,710 1,645А вектор l, как уже было получено выше, имеет вид0,105 0,103 0,133 0,127 0,093 0,140 0,160 0,146 0,135 0,146В результате факторная стоимость (или вектор p) примет вид0,921 0,919 1,000 0,968 0,878 0,982 1,019 0,922 0,874 1,022Теперь мы можем записать наш межотраслевой баланс в стоимостнойформе, который будет иметь вид (результаты округлены до десятых)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1271,5 1308,4 1059,6 1658,5 1142,5 1142,5 1538,8 1455,8 1216,2 1603,2 2119,2 15516,42 1489,5 956,2 1222,9 1140,1 1186,1 1324,0 1397,6 1241,3 1397,6 1379,2 1930,9 14665,43 1409,3 1079,5 1739,2 1119,5 1749,2 1559,3 1489,3 1229,4 1009,5 1049,5 2099,0 15532,84 1103,8 1742,8 1026,3 1268,4 1278,1 1413,6 1026,3 1065,0 1152,2 1607,2 2420,6 15104,35 1370,1 1299,9 1484,3 904,6 1475,5 948,5 1317,4 1071,5 1484,3 1563,3 1932,2 14851,86 1482,1 1707,9 1413,4 1501,7 1177,8 1109,1 1001,2 1334,9 1138,6 1334,9 1963,0 15164,67 1334,9 1080,1 1334,9 1579,5 1722,1 1783,3 1436,8 1334,9 1273,8 1070,0 2038,0 15988,28 1078,6 1355,2 1585,7 1493,5 1585,7 1475,1 1641,0 949,6 1078,6 1244,6 1936,0 15423,79 1468,3 1337,2 1092,5 1284,8 935,2 1066,3 900,2 1503,3 1328,5 1442,1 2010,2 14368,710 1748,1 1155,2 1513,0 1175,6 1032,5 1185,8 1727,7 1789,0 1073,4 1226,7 2146,8 15773,8ДС15516,4 14665,4 15532,8 15104,3 14851,7 15164,6 15988,2 15423,7 14368,7 15773,81760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 2253Теперь остается нам вычислить матрицу прямых производственных иполных затрат в стоимостной форме. Матрица прямых производственныхзатрат вычисляется по формуле (25.3), где Π ∗ ij — есть промежуточноепотребление в балансе стоимостной формы и имеет вид397

1271,533 1308,389 1059,611 1658,521 1142,537 1142,537 1538,739 1455,813 1216,249 1603,2371489,529 956,241 1222,885 1140,133 1186,106 1324,025 1397,582 1241,274 1397,582 1379,1931409,345 1079,499 1739,192 1119,480 1749,187 1559,276 1489,308 1229,429 1009,531 1049,5121103,773 1742,799 1026,315 1268,370 1278,053 1413,604 1026,315 1065,044 1152,184 1607,2481370,120 1299,857 1484,296 904,630 1475,513 948,544 1317,423 1071,504 1484,296 1563,3421482,105 1707,856 1413,398 1501,735 1177,832 1109,125 1001,157 1334,876 1138,571 1334,8761334,900 1080,148 1334,900 1579,461 1722,122 1783,263 1436,800 1334,900 1273,759 1069,9581078,645 1355,221 1585,701 1493,509 1585,701 1475,070 1641,016 949,576 1078,645 1244,5911468,335 1337,234 1092,511 1284,793 935,190 1066,291 900,229 1503,295 1328,494 1442,1151748,102 1155,178 1512,977 1175,624 1032,505 1185,847 1727,656 1788,993 1073,396 1226,738А Xi∗ — есть валовый выпуск в стоимостной форме, который имеетвид (результаты округлены до десятых)15516,4 14665,4 15532,8 15104,3 14851,7 15164,6 15988,2 15423,7 14368,7 15773,8В результате применения данной формулы получим матрицу прямыхпроизводственных затрат в стоимостной форме0,082 0,089 0,068 0,110 0,077 0,075 0,096 0,094 0,085 0,1020,096 0,065 0,079 0,075 0,080 0,087 0,087 0,080 0,097 0,0870,091 0,074 0,112 0,074 0,118 0,103 0,093 0,080 0,070 0,0670,071 0,119 0,066 0,084 0,086 0,093 0,064 0,069 0,080 0,1020,088 0,089 0,096 0,060 0,099 0,063 0,082 0,069 0,103 0,0990,096 0,116 0,091 0,099 0,079 0,073 0,063 0,087 0,079 0,0850,086 0,074 0,086 0,105 0,116 0,118 0,090 0,087 0,089 0,0680,070 0,092 0,102 0,099 0,107 0,097 0,103 0,062 0,075 0,0790,095 0,091 0,070 0,085 0,063 0,070 0,056 0,097 0,092 0,0910,113 0,079 0,097 0,078 0,070 0,078 0,108 0,116 0,075 0,078Матрица полных затрат определяется по формуле B ∗ = (E − A ∗ ) −1 .В результате вычисления получаем следующий результат398

1,658 0,666 0,631 0,674 0,658 0,633 0,644 0,641 0,635 0,6600,644 1,614 0,614 0,613 0,632 0,616 0,609 0,601 0,621 0,6180,669 0,653 1,679 0,640 0,703 0,662 0,643 0,628 0,623 0,6270,618 0,665 0,600 1,617 0,635 0,620 0,583 0,588 0,602 0,6310,646 0,644 0,640 0,603 1,660 0,599 0,612 0,598 0,635 0,6380,664 0,685 0,646 0,655 0,651 1,622 0,603 0,625 0,622 0,6350,686 0,677 0,673 0,692 0,722 0,697 1,659 0,655 0,663 0,6500,650 0,674 0,670 0,666 0,693 0,658 0,654 1,612 0,630 0,6410,626 0,624 0,590 0,606 0,598 0,584 0,562 0,602 1,600 0,6070,698 0,665 0,671 0,654 0,663 0,647 0,667 0,672 0,634 1,645.◮399

Решенный вариант индивидуальной работы дляспециальности “Государственное управление и экономика”Задача 1. Завод производит два вида продукции: велосипеды и мотоциклы.При этом цех по сборке велосипедов имеет мощность 100 тысячштук в год, цех по сборке мотоциклов — 30 тысяч. Механическиецеха завода оснащены взаимозаменяемым оборудованием, и одна группацехов может производить либо детали для 120 тысяч велосипедов,либо детали для 40 тысяч мотоциклов, либо любую комбинацию деталей,ограниченную этими данными. Другая группа механических цеховможет выпускать детали либо для 80 тысяч велосипедов, либо для 60тысяч мотоциклов, либо любую допустимую их комбинацию. В результатереализации каждой тысячи велосипедов завод получает прибыльв 2 тысячи денежных единиц, а каждой тысячи мотоциклов — 3 тысячиденежных единиц. Найти оптимальный план выпуска велосипедов имотоциклов.◭ В математической записи задача имеет вид:f⎧= 2x 1 + 3x 2 → max,x 1 ≤ 100;⎪⎨ x 2 ≤ 30;1/120x 1 + 1/40x 2 ≤ 1;1/80x ⎪⎩ 1 + 1/60x 2 ≤ 1;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.400

Построим область допустимых решений системы линейных неравенств.В нашем случае такой областью будет многоугольник OABCD (рисунок1). Вектор c имеет координаты c 1 = 2, c 2 = 3 (поскольку векторc нам необходим лишь для выяснения направления, то, сообразуясь смасштабом чертежа, можно для большей наглядности построить векторλc, λ > 0, в данном случае построен вектор 5c).x 260°40° A B30°24° C52f maxDО 40 80y = 0100 120x 1Рисунок 1. – Область допустимых решений системы линейных неравенствПараллельным перемещением вспомогательной прямой f = 0, перпендикулярнойк вектору 5c, находим точку C, в которой функция fдостигает наибольшего значения. Решая совместно уравнения граничныхпрямых BC и CD: x 1 /120 + x 2 /40 = 1 и x 1 /80 + x 2 /60 = 1, находимкоординаты точки C: x ∗ 1 = 48, x ∗ 2 = 24 при этом f max = 168.Итак, выпускать следует 48 тысяч велосипедов и 24 тысячи мотоциклов;максимальная прибыль завода по этим видам продукции составит168 тысяч денежных единиц. ◮401

Задачи со многими переменными. Задачу со многими переменнымиможно решить графически, если в ее канонической записи присутствуетне более двух свободных переменных, т.е. n − r ≤ 2, где n — число переменных,r — ранг матрицы системы ограничительных уравнений задачи.Чтобы решить такую задачу, систему ограничительных уравнений надопреобразовать к разрешенному виду, т.е. выделить некоторый базиспеременных. Затем базисные переменные следует опустить и перейтик эквивалентной системе неравенств. Целевая функция также должнабыть выражена только через свободные переменные. Полученную двухмернуюзадачу решают обычным графическим методом. Найдя две координатыоптимального решения, подставляют их в ограничительныеуравнения исходной задачи и определяют остальные координаты оптимальногорешения.Решая графически полученную двухмерную задачу, следует помнить,что на каждой граничной прямой соответствующее неравенство обращаетсяв равенство, поэтому опущенная при образовании этого неравенствабазисная переменная равна нулю. В связи с этим, в каждой из вершинобласти допустимых решений, по крайней мере две переменные исходнойзадачи принимают нулевые значения.Задача 2. Найти оптимальное сочетание посевов пшеницы и кукурузына участках различного плодородия площадью 100 и 200 гектаров.Данные об урожайности приведены в таблице 1. По плану должно быть402

собрано не менее 1500 центнеров пшеницы и 4500 кукурузы. Цена 1 центнерапшеницы 6 денежных единиц, кукурузы — 4 денежные единицы.Критерий оптимальности — максимум валовой продукции в денежномвыражении.Таблица 1.Урожайность (ц/га)Культура участкаУчасток I Участок IIПшеница 20 15Кукуруза 35 30◭ Обозначим через x 1 площадь, отводимую под посев пшеницы напервом участке, через x 2 — на втором, через x 3 и x 4 — площади, отводимыепод посев кукурузы соответственно на первом и втором участках.Площади выражаются неотрицательными числами, т.е.x j ≥ 0 (j = 1, 4). (1)Так как на первом участке планируется x 1 гектаров засеять пшеницейи x 3 гектаров — кукурузой, то должно выполняться равенствоx 1 + x 3 = 100. (2)403

Для второго участка аналогичное условие запишется так:x 2 + x 4 = 200. (3)С первого участка предполагается собрать 20x 1 , а со второго участка— 15x 2 центнеров пшеницы. Всего же необходимо собрать не менее1500 центнеров. Это требование можно выразить записью20x 1 + 15x 2 ≥ 1500. (4)Аналогичное требование к сбору кукурузы приводит к неравенству35x 3 + 30x 4 ≥ 4500. (5)Стоимость пшеницы, которую предполагается собрать с обоих участков,составит 6(20x 1 + 15x 2 ) денежных единиц, а общая стоимость валовойпродукции выразится суммойf = 120x 1 + 90x 2 + 140x 3 + 120x 4 . (6)Таким образом, задача свелась к нахождению решения (x ∗ 1, x ∗ 2, x ∗ 3, x ∗ 4)системы линейных уравнений и неравенств (1)–(5), максимизирующеголинейную функцию (6).Составим модель задачи в канонической форме:f = 120x 1 + 90x 2 + 140x 3 + 120x 4 + 0x 5 + 0x 6 → max,404

⎧x 1 + x 2 = 100;⎪⎨ x 2 + x 4 = 200;20x 1 + 15x 2 − x 5 = 1500;35x ⎪⎩ 3 + 30x 4 − x 6 = 4500;x j ≥ 0 (j = 1, 6).Теперь в системе ограничительных уравнений выделим какой-либобазис и убедимся, что число свободных переменных не превышает двух.Затем перейдем к эквивалентной системе неравенств. Запишем задачу впреобразованном виде:f = 38000 − 20x 1 − 30x 2 → max,⎧x 3 = 100 − x 1 ;⎪⎨x 4 = 200 − x 2 ;(7)x ⎪⎩ 5 = −1500 + 20x 1 + 15x 2 ;x 6 = 5000 − 35x 1 − 30x 2 .Опуская неотрицательные базисные переменные x 3 , x 4 , x 5 и x 6 , приходимк двухмерной задаче, записанной в симметричной форме:f = −20x 1 − 30x 2 + 38000 → max,⎧x 1 ≤ 100;⎪⎨ x 2 ≤ 200;20x 1 + 15x 2 ≥ 1500;35x ⎪⎩ 1 + 30x 2 ≤ 5000;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.(8)405

Решение задачи (8) приведено на рисунке 2. Напомним, что на каждойграничной прямой одна из переменных исходной задачи обращаетсяв нуль. Так, неравенству 20x 1 + 15x 2 ≥ 1500 соответствует граничнаяпрямая AB с уравнением 20x 1 + 15x 2 = 1500. Но указанное неравенствообразовано из третьего уравнения системы (7) путем отбрасыванияпеременной x 5 , следовательно, на прямой AB x 5 = 0.x 2x5 0f max*0,5EО*BCx3 0A*DEx1 0x2 0x 1Рисунок 2. – Наибольшее значение функции fИз рисунка 2 видно, что наибольшего значения функция f достигает вточке A пересечения прямых AB и AE (x 2 = 0), поэтому x ∗ 1 = 75, x ∗ 2 = 0.Одновременно в этой вершине x ∗ 5 = 0. Значения других компонентовоптимального плана находим из уравнений (7): x ∗ 3 = 100 − 75 = 25,x ∗ 4 = 200, x ∗ 6 = 2375; при этом f max = 36 500.Итак, пшеницу следует посеять только на первом участке и занятьею площадь в 75 гектаров; кукурузу надо посеять на обоих участках,причем на первом — 25 гектаров, а на втором — 200 гектаров. Тогда406

валовая продукция достигнет (в денежном выражении) максимума исоставит 36500 денежных единиц.Заметим в заключение, что дополнительные переменные x 5 и x 6 , которыев канонической записи задачи соответственно равны:x 5 = (20x 1 + 15x 2 ) − 1500, x 6 = (35x 3 + 30x 4 ) − 4500,имеют определенный экономический смысл: это превышение сбора пшеницыи кукурузы над плановым заданием. При найденном оптимальномсочетании посевов задание по сбору пшеницы будет выполнено (x ∗ 5 = 0),а по кукурузе перевыполнено на 2375 центнеров (x ∗ 6 = 2375). ◮Задача 3. Найти какой-либо опорный план задачи⎧⎪⎨⎪⎩f = 3x 1 − x 2 + 5 → max,x 1 + x 2 − x 3 − x 4 = −4;x 1 − 2x 2 − x 3 − x 5 = −7;2x 1 − x 2 + x 4 + x 5 = 7;x j ≥ 0 (j = 1, 5).◭ Задача записана в канонической форме, но два свободных членаотрицательны, поэтому, перед тем как записать задачу в форме таблицы,умножим первое и второе уравнения на −1. В результате все свободныечлены в исходной симплексной таблице 2 положительны.А теперь будем перебрасывать нули из левого столбца на верх таблицы.Для первого шага жорданова исключения возьмем разрешающим,407

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 2.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 3 −x 4 −x 50 = 4 −1 −1 1 1 00 = 7 −1 2 1 0 10 = 7 2 −1 0 1 1f = 5 −3 1 0 0 0❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 3.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 3 −x 5x 4 = 4 −1 −1 1 00 = 7 −1 2 1 10 = 3 3 0 −1 1f = 5 −1 1 0 0например, четвертый столбец (в нем есть положительные элементы).Разрешающая строка определится по минимальному из отношений: 4/1и 7/1. В данном случае min(4/1; 7/1) = 4/1, что соответствует первойстроке, которая и будет разрешающей. Сделав еще два шага жордановых408

исключений (таблицы 3 и 4), приходим к таблице 5, в левом столбце которойуже нет нулей: базис выделен. Ему соответствует начальный опорныйплан: x 1 = 0, x 2 = 0, x 3 = 2, x 4 = 2, x 5 = 5 или x 0 = (0; 0; 2; 2; 5),f(x 0 ) = 5.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 4.С.Ч. −x 1 −x 2 −x 3x 4 = 4 −1 −1 10 = 4 −4 2 2x 5 = 3 3 0 −1f = 5 −3 1 0❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 5.С.Ч. −x 1 −x 2x 4 = 2 1 −2x 3 = 2 −2 1x 5 = 5 1 1f = 5 −3 1409

Мы нашли опорный план в базисе x 3 , x 4 , x 5 . Если таблицу 2 преобразовыватьс другими разрешающими элементами, то получится другойбазис, а, следовательно, и другой опорный план. ◮Задача 4. Найти оптимальный опорный план задачи 3.◭ Найденный нами в таблице 5 опорный план неоптимален, так какв f-строке присутствует отрицательный элемент (−3). В соответствующемему столбце имеются положительные элементы, поэтому есть возможностьулучшить план. Для получения нового опорного плана преобразуемтаблицу 5 шагом жорданова исключения с первым разрешающимстолбцом. Разрешающей будет первая строка, ибо min(2/1; 5/1) = 2/1соответствует именно ей. В результате получаем таблицу 6, содержащуюновый опорный план x 1 = (2; 0; 6; 0; 3), которому отвечает большее, чемпрежнему, значение целевой функции: f(x 1 ) = 11. Однако и этот планнеоптимален, так как в f-строке присутствует отрицательный элемент(−5). Сделав еще один шаг со вторым разрешающим столбцом, получимтаблицу 7, в f-строке которой нет отрицательных элементов. Признакоптимальности выполнен. Значит, содержащийся в таблице 5 опорныйплан является оптимальным. Итак, x ∗ = (4; 1; 9; 0; 0), f max = 16. Задачарешена.Полезно сопоставить приведенное аналитическое решение задачи сграфическим (рисунок 3). Такое сопоставление позволяет наглядно про-410

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 6.С.Ч. −x 4 −x 2x 1 = 2 1 −2x 3 = 6 2 −3x 5 = 3 −1 3f = 11 3 −5❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 7.С.Ч. −x 1 −x 5x 1 = 4x 3 = 9x 2 = 1f = 16 4/3 5/3✟ ✟✟✟✟✟ ✟следить за поиском оптимального опорного плана и проникнуть в геометрическуюсуть симплекс-процесса.На рисунке 3 начальному опорному плану x 0 = (0; 0; 2; 2; 5) отвечаетточка x 0 пересечения прямых x 1 = 0 и x 2 = 0. Шагу жорданова411

x 2xx5 01 x2 5x1 0x 0Оf 0x3 02x x 2x 11 2Cx2f max xx2 0x 2x 21 2*x4 0x 1Рисунок 3. – Графическое решение задачиисключения, преобразующему таблицу 5 в таблицу 6 и приводящему кновому опорному плану x 1 = (2; 0; 6; 0; 3), соответствует переход в новуювершину x 1 области допустимых решений. При этом мы остаемся напрямой x 2 = 0, но вместо прямой x 1 = 0 попадаем на прямую x 4 = 0. Врезультате следующего шага жорданова исключения получили опорныйплан x 2 = (4; 1; 9; 0; 0), который оказался оптимальным (в f-строке нетотрицательных элементов). Этот же вывод следует и из рисунка 3: прямаяf max параллельная прямой f = 0, пересекает допустимую областьв точке x 2 = x ∗ , в которой f достигает максимума. Процесс улучшенияплана, приведенный в таблицах 5, 6, 7, графически означает движениеиз одной вершины многоугольника решений в другую по направлениюк оптимальной вершине x ∗ : x 0 → x 1 → x ∗ . ◮Задача 5. Полосы листового проката длиной 200 см необходимо разрезатьна заготовки трех типов: А, Б и В длиной соответственно 57, 82412

и 101 см для производства 50 изделий. На каждое изделие требуется по4 заготовки типов А и Б и 5 заготовок типа В. Известны пять способовраскроя одной полосы. Количество заготовок, нарезаемых из одной полосыпри каждом способе раскроя, приведено в таблице 8. Определить,какое количество полос проката нужно разрезать каждым способом дляизготовления 50 изделий, чтобы отходы от раскроя были наименьшими.Таблица 8.Количество заготовокСпособтипараскрояТип А Тип Б Тип ВI 3 − −II 2 1 −III 1 − 1IV − 2 −V − 1 1◭ Обозначим через x i количество полос, раскраиваемых j-м способом(j = 1, 5).Для производства 50 изделий необходимо 4 × 50 = 200 заготовок типаА, 200 — типа Б и 250 — типа В. Если использовать все способыраскроя, то общее количество заготовок типа А при условии, что I способомраскроено x 1 полос, II — x 2 полос и т.д., можно выразить суммой413

3x 1 + 2x 2 + x 3 + 0x 4 + 0x 5 . По условию эта сумма должна равняться 200:3x 1 + 2x 2 + x 3 = 200. (9)Аналогично получаются условия по другим типам заготовок:По смыслу задачиx 2 + 2x 4 + x 5 = 200, (10)x 3 + x 5 = 250. (11)x j ≥ 0 (j = 1, 5). (12)Чтобы составить целевую функцию, выражающую суммарную величинуотходов, подсчитаем сначала величины отходов при раскрое однойполосы по каждому из способов. Отходы от каждой полосы составят приI способе 200 − 57 × 3 = 29 см, при II способе 200 − (57 × 2 + 82) = 4 см,при III, IV и V – соответственно 42, 36 и 17 см.Суммарную величину отходов можно выразить в видеf = 29x 1 + 4x 2 + 42x 3 + 36x 4 + 17x 5 . (13)Итак, задача заключается в нахождении решения (x ∗ 1, x ∗ 2, x ∗ 3, x ∗ 4, x ∗ 5)системы линейных уравнений и неравенств (9) – (13), доставляющегоминимум линейной функции (5).f = 29x 1 + 4x 2 + 42x 3 + 36x 4 + 17x 5 → min,414

⎧⎪⎨⎪⎩3x 1 + 2x 2 + x 3 = 200,x 2 + 2x 4 + x 5 = 200,x 3 + x 5 = 250,x j ≥ 0, (j = 1, 5).Модель имеет каноническую форму, и все свободные члены положительны,поэтому никаких предварительных преобразований не требуется.Записав задачу в симплекс-таблицу типа таблицы 4.1, находим начальныйопорный план (таблица 9). Он неоптимален, так как в f-строкеимеются положительные элементы (напомним, что рассматривается задачаминимизации!). Выберем разрешающим, например, второй столбец.Разрешающим элементом в нем будет 3/2, так как min(200 : 2, 75 :3/2) = 75 : 3/2. После шага жорданова исключения приходим к таблице10, содержащей опорный план x ∗ 1 = (0, 50, 100, 0, 150). Этот планоптимален, ибо в f-строке нет положительных элементов.Но в f-строке присутствует нулевой элемент. Это свидетельствует отом, что существует еще один опорный оптимальный план. Найти егоможно, преобразовав шагом жорданова исключения таблицу 10 с разрешающимстолбцом, содержащим нулевой элемент f-строки. Разрешающаястрока определяется, как обычно, по минимальному симплексномуотношению. Второй опорный оптимальный план (таблица 11) имеет видx ∗ 2 = (50, 0, 50, 0, 200). Но в таком случае любая выпуклая линейная комбинацияопорных планов x ∗ 1 и x ∗ 2:x ∗ = λx ∗ 1 + (1 − λ)x ∗ 2 = λ(0, 50, 100, 0, 150) + (1 − λ)(50, 0, 50, 0, 200) =415

= (50 − 50λ, 50 + 50λ, 0, 200 − 50λ),где 0 ≤ λ ≤ 1, также будет представлять собой оптимальный план.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 9.С.Ч. −x 1 −x 2x 3 = 200 3 2x 4 = 75 3/2 3/2x 5 = 50 −3 −2f 11950 100 100Таблица 10.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍С.Ч. −x 1 −x 4x 3 = 100 1 −4/3x 2 = 50 1 2/3x 5 = 150 −1 4/3f 6950 0 −200/3Наличие не единственного оптимального плана с практической точкизрения очень удобно, так как имеется возможность выбрать параметр λ416

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 11.С.Ч. −x 2 −x 4x 3 = 50x 1 = 50x 5 = 200f 6950 0 −200/3✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏с учетом других показателей, характеризующих план, но не нашедшихотражения в целевой функции. По смыслу нашей задачи компоненты оптимальногоплана должны выражаться целыми числами, и это следуетпомнить при выборе λ. ◮Задача 6. Построить двойственную задачу к следующей задаче, заданнойв общей форме:f = 2x 1 − x 2 + x 3 + x 4 − 5x 5 → min,⎧3x 1 − 2x 2 + x 3 + x 4 − x 5 ≤ 8;⎪⎨ x 1 + 3x 2 + x 3 + 3x 4 − 2x 5 = 6;x 1 + x 2 + x 3 − x 4 ≤ 5;2x ⎪⎩ 1 − 5x 2 + x 4 + 3x 5 ≥ 7;x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 4 ≥ 0.417

◭ Упорядочим запись исходной задачи. Так как требуется найти минимумцелевой функции, то неравенства в системе ограничений должныбыть вида ≥. Умножив первое и третье неравенства на (−1), приведемсистему ограничений к виду⎧⎪⎨⎪⎩−3x 1 + 2x 2 − x 3 − x 4 + x 5 ≥ −8;x 1 + 3x 2 + x 3 + 3x 4 − 2x 5 = 6;−x 1 − x 2 − x 3 + x 4 ≥ −5;2x 1 − 5x 2 + x 4 + 3x 5 ≥ 7.Двойственная задача будет иметь четыре переменные, так как прямаязадача содержит четыре ограничения.В соответствии с указанными выше правилами запишем двойственнуюзадачу:˜f = −8u 1 + 6u 2 − 5u 3 + 7u 4 → max,⎧−3u 1 + u 2 − u 3 + 2u 4 ≤ 2;2u 1 + 3u 2 − u 3 − 5u 4 ≤ −1;⎪⎨−u 1 + u 2 − u 3 = 1;−u 1 + 3u 2 + u 3 + u 4 ≤ 1;u ⎪⎩ 1 − 2u 2 + 3u 4 = −5;u 1 ≥ 0, u 3 ≥ 0, u 4 ≥ 0.Третье и пятое ограничения двойственной задачи записаны в видеравенства, так как на соответствующие им переменные x 3 , x 5 в исходной418

задаче не наложено условие неотрицательности. На переменные u 1 , u 3 иu 4 наложено условие неотрицательности в связи с тем, что в исходнойзадаче им соответствуют ограничения в виде неравенств.◮Задача 7. Найти двойственным симплекс-методом минимум функцииf = 4x 1 − 4x 2при ограничениях⎧⎪⎨⎪⎩x 3 = 2x 1 − 2x 2 + 8 ≥ 0,x 4 = −x 1 + 4x 2 + 10 ≥ 0,x 5 = 2x 1 + 2x 2 − 12 ≥ 0,x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.◭ Занесем условие задачи в таблицу 12. Так как в f-строке имеетсяотрицательный элемент (−4), второй столбец считаем выделенным.В этом столбце находим отрицательное число (−2) и содержащую егопервую строку считаем разрешающей. Вычисляем наименьшее двойственноеотношение:min(4/2, −4/ − 2) = 2.Из двух одинаковых отношений выберем второе. Оно определяет разрешающийэлемент (−2). Делаем один шаг обыкновенных жордановыхисключений и заносим результат в таблицу 13.419

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 12.С.Ч. x 1 x 2x 3 = 8 2 −2x 4 = 10 −1 4x 5 = −12 2 2f = 0 4 −4❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 13.С.Ч. x 1 x 3x 2 = 4 1 −1/2x 4 = 26 3 −2x 5 = −4 4 −1f = −16 0 2В f-строке таблицы 13 все элементы неотрицательные, однако в столбцесвободных членов есть отрицательное число (−4), следовательно,план, записанный в таблице, не является допустимым. Принимаем третьюстроку за разрешающую. Так как в f-строке есть нуль, имеем слу-420

чай вырождения. В столбце над нулем в разрешающей строке находитсяположительный элемент (4), следовательно, разрешающим будет первыйстолбец.С разрешающим элементом (4) делаем следующий шаг. Найденныйновый план (таблица 14) является оптимальным.❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 14.С.Ч. x 5 x 3x 2 = 5x 4 = 29x 1 = 1f = −16 0 2 Значение f(x) min = 16, при x ∗ 1 = 1, x ∗ 2 = 5, x ∗ 3 = x ∗ 5 = 0, x ∗ 4 = 29. ◮Задача 8. В резерве железнодорожных станций А, Б и В находитсясоответственно 100, 150 и 50 порожних вагонов, пригодных для перевозкизерна. Зерно находится в четырех пунктах, которым требуется75, 80, 60 и 85 вагонов соответственно. Стоимость перегона одного вагонасо станции А в указанные пункты составляет 6, 7, 3 и 5 денежныхединиц, со станции Б — 1, 2, 5 и 6 денежных единиц, со станции В —421

3, 10, 20 и 1 денежных единиц соответственно. Составить экономикоматематическуюмодель задачи, пользуясь которой, можно найти оптимальныйплан перегона вагонов со станций в пункты погрузки зерна.◭ Составим начальный опорный план. Сопоставляя резерв вагоновв пункте A 1 (100 единиц) с заявкой пункта B 1 (75 единиц), заключаем,что эту заявку необходимо полностью выполнить за счет пункта A 1 , т.е.“поставка” для клетки (1;1) x 11 = 75 и столбец B 1 закрывается (таблица15). Остающиеся 25 вагонов пункта A 1 придется запланироватьпункту B 2 , т.е. “поставка” для клетки (1;2) x 12 = 25 и первая строказакрывается. Следующую надо загружать клетку (2;2), поскольку заявкапункта B 2 удовлетворена лишь частично. Недостающие 55 вагоновпридется направить из пункта A 2 , так что x 22 = 55 и второй столбец закрывается.Рассуждая аналогично, загружаем клетку (2;3) “поставкой”x 23 = 60 и т.д. Для большей наглядности в таблице 15 индексами при“поставках” указана последовательность заполнения клеток.Таблица 15.B 1 (75) B 2 (80) B 3 (60) B 4 (85)A 1 (100) 756257 3 5A 2 (150)1552605356A 3 (50)3 10 20501422

( 1;2) ® ( 1;3) ® ( 2;3) ® ( 2;2) ® ( 1;2)-+-+ -( 2;1) ® ( 1;1) ® ( 1;2) ® ( 2;2) ® ( 2;1)-+ -( 3;2) ® ( 2;2) ® ( 2;4) ® ( 3;4) ® ( 3;2)-+--++ -( 1;4) ® ( 2;4) ® ( 2;2) ® ( 1;2) ® ( 1;4)+ --+( 3;1) ® ( 1;1) ® ( 1;2) ® ( 2;2) ® ( 2;4) ® ( 3;4) ® ( 3;1)-+-+ -( 3;3) ® ( 2;3) ® ( 2;4) ® ( 3;4) ® ( 3;3)---++ -+Рисунок 4. – Графическое решение задачиИсследуем на оптимальность опорный план, содержащийся в таблице15. Циклы и соответствующие им контуры для всех свободных клетоктаблицы 15 приведены на рисунке 4. Учитывая их, находим:∆ 13 = c 13 − c 23 + c 22 − c 12 = 3 − 5 + 2 − 7 = −7;∆ 14 = c 14 − c 24 + c 22 − c 12 = 5 − 6 + 2 − 7 = −6;∆ 21 = 0; ∆ 31 = 7; ∆ 32 = 13; ∆ 33 = 20.Поскольку оценки свободных клеток (1;3) и (1;4) отрицательны, опорныйплан, содержащийся в таблице 15, не является оптимальным. Дляулучшения плана следует загрузить клетку (1;3) как имеющую наибольшуюпо абсолютной величине отрицательную оценку. В таблице 15 для423

клетки (1;3) построен контур, по которому определяетсяλ min = min x ij = min(60; 25) = 25.четн. четн.Сдвигая по циклу λ = 25, находим новый опорный план (таблица 16).Исследуем полученный план на оптимальность. Находим оценки свободныхклеток, среди которых отрицательной будет только одна:∆ 21 = −7.Таблица 16.75 6 7 25 3 5180 2 35 5 35 63 10 2050 1Таблица 17.40 6 7 60 3 535 1 80 2 5 35 63 10 2050 1Повторяя процедуру загрузки клетки (2;1), находим очередной опорныйплан (таблица 17), который все еще неоптимален (оценка∆ 14 = −6).424

Таблица 18.5 6 7 60 3 35 570 1 80 2 5 63 10 2050 1Заполняя клетку (1; 4) поставкой λ = 35, получаем новый опорныйплан (таблица 18), при котором оценки всех свободных клеток неотрицательны:∆ 12 = 0; ∆ 23 = 7; ∆ 24 = 6; ∆ 31 = 1; ∆ 32 = 7; ∆ 33 = 21.Значит, этот опорный план является оптимальным. Ему соответствуютминимальные транспортные расходы f min = 665 денежных единиц.Итак, по оптимальному плану X ∗ 1 со станции А следует направить 5 вагоновв первый пункт погрузки зерна, 60 вагонов в третий и 35 вагоновв четвертый; со станции Б в первый пункт необходимо направить 70 вагонов,а остальные 80 вагонов — во второй; со станции В все 50 вагоновпридется направить в четвертый пункт.Среди оценок одна (∆ 12 ) оказалась равной нулю. Это свидетельствуето том, что задача имеет неединственный оптимальный план. Чтобы найтиеще один оптимальный опорный план X ∗ 2, надо продолжить решениеи загрузить клетку (1;2) поставкой λ = 5 (см. таблицу 18). В результатеполучим таблицу 19 с оптимальным планом X ∗ 2. Все множество опти-425

Таблица 19.65760 3 35 575 1 75 2 5 63 10 2050 1мальных планов задачи будет представлять собой выпуклую линейнуюкомбинацию планов X ∗ 1 и X ∗ 2:⎡X ∗ = λX1 ∗ + (1 − λ)X2 ∗ = ⎣5λ75 − 5λ05 − 5λ75 + 5λ0600035050⎤⎦ ,где 0 ≤ λ ≤ 1. ◮Задача 9. Рассмотрим задачу о рюкзаке, в который нужно положитьнабор из данных 5 предметов минимального веса, стоимостью не менее21 у.е. Данные о весе и стоимости каждого предмета даны в таблице 20.◭ Для нахождения первоначальной оценки для каждого предметавычислим цену, т.е. стоимость одного кг предмета. При этом мы допускаемвозможность деления предметов на части. При таком допущенииоптимальный способ наполнения рюкзака становится очевидным: сначаланаполняем рюкзак самым ценным предметом (с самой большой426

Таблица 20.№, i 1 2 3 4 5Вес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2ценой). Когда он закончится, продолжаем заполнять рюкзак следующимпо цене предметом и т.д. (до тех пор, пока не наберется указаннаястоимость).В таблице 21 указана очередность такой укладки. Величина x i указывает,какую часть предмета мы укладываем в рюкзак. Сначала беремсамый ценный предмет № 4. Он дает 9 у.е. стоимости. Добавляем следующийпо ценности предмет № 2. Суммарная стоимость обоих предметов9 + 6 = 15. Нам осталось добавить 21 − 16 = 5 у.е. стоимости. Это составляет6 8= 0, 75 от стоимости следующего по ценности предмета — №5. Поэтому мы объявляем, что условно берем 0, 75 предмета № 5 (весэтой части составляет 4 × 0, 75 = 3) и заканчиваем укладку рюкзака.Мы получили начальную оценку, которая утверждает, что вес рюкзакав наших условиях не может быть меньше 9 кг.Берем самый ценный предмет № 4. Он дает 9 у.е. стоимости. Добавляемследующий по ценности предмет № 2. Суммарная стоимость обоих427

Таблица 21.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 2 1 3x i 1 1 0,75Вес взятой части предмета 3 3 3 9Стоимость взятой части 6 9 6 21предметов 9 + 6 = 15. Нам осталось добавить 21 − 16 = 5 у.е. стоимости.Это составляет 6 8= 0, 75 от стоимости следующего по ценности предмета— № 5. Поэтому мы объявляем, что условно берем 0, 75 предмета№ 5 (вес этой части составляет 4 × 0, 75 = 3) и заканчиваем укладкурюкзака. Мы получили начальную оценку, которая утверждает, что весрюкзака в наших условиях не может быть меньше 9 кг.Поскольку на самом деле предмет № 5 на части делить нельзя, разделимвсе возможные варианты на два множества, в первом из которыхмы не используем этот предмет, во втором — предмет № 5 обязательнодолжен быть в рюкзаке.1) Не берем предмет № 5.428

Таблица 22.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 5 3 4 2 1x i 0,5 1 1 1 0Вес взятой части предмета 1 3 5 3 12Стоимость взятой части 1 6 5 9 21Действуем аналогично предыдущему случаю. Теперь после предметов№ 4 и № 2 наибольшую ценность из доступных предметов имеет, например,№ 3. После его добавления стоимость рюкзака (9 + 6 + 5 = 20).Недостающая 1 у.е. стоимости может быть восполнена за счет 0,5 предмета№ 1. Итак, получаем, что при отказе от предмета № 5 вес рюкзакаценностью не менее 21 у.е. не может быть меньше, чем 12 кг (таблица 22).2) Предмет № 5 берем обязательно. В этом случае укладку рюкзаканачинаем с обязательных предметов, а затем продолжаем по прежнемупринципу максимальной цены.Укладываем 5-й и 4-й предметы. Оставшиеся 4 единицы стоимостивосполняем 2/3 предмета № 2. Получаем, что в нашем случае (когда429

Таблица 23.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 3 2 1x i 2/3 1 1Вес взятой части предмета 2 3 4 9Стоимость взятой части 4 9 8 21обязательно берем предмет 5), вес рюкзака не будет меньше 9 кг (таблица23).2) x51991) x5 012Рисунок 5. – Дерево ветвлений для 5-го предметаПосмотрим на дерево вариантов. Поскольку вариант x 5 = 1 (берем5-й предмет) имеет наименьшую оценку, рассматриваем в первую оче-430

редь его. Поскольку при оценке этого варианта нам пришлось делить начасти 2-й предмет, ставим вопрос именно об этом предмете (рисунок 5).3) Обязательно берем 5-й и 2-й предметы.Таблица 24.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 2 3 17x i 191Вес взятой части предмета 3 2 1 34 9 1 3Стоимость взятой части 6 7 8 21После 5-го и 2-го предмета остается 7 единиц стоимости, которыезаполняем самым ценным предметом №4 (x 4 = 7/9). Оценка данногомножества вариантов равна 28/3 (таблица 24).4) Обязательно берем 5-й, но не берем 2-й предмет. После укладки5-го, отбрасывания 2-го и укладки 4-го предметов остатки заполняемчастью предмета № 3. Оценка множества вариантов равна 11 (таблица25). Оценим перспективность вариантов. Из всех актуальных оценок(9 1 3 , 11 и 12) наименьшей является оценка 91 3множества с номером 3,431

поэтому в первую очередь рассмотрим его (рисунок 6). Напомним, чтов данном случае речь шла о делении на части предмета № 4.Таблица 25.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 2 4 3 1x i 0 4 51 1Вес взятой части предмета 4 3 4 11Стоимость взятой части 4 9 8 2191) x 02) x5159 12x 4) x2 019 3113)21Рисунок 6. – Дерево ветвлений для 5-го и 2-го предметов432

5) Берем предметы № 5, 2 и 4. В данном случае стоимость уже составит8 + 6 + 9 = 23. Таким образом, в данном множестве вариантов мынашли точную оценку: берем 2-й, 4-й и 5-й предметы, вес рюкзака приэтом составит 3 + 3 + 4 = 10 кг.6) Берем предметы № 5, 2, не берем предмет № 4.Таблица 26.№, i 1 2 3 4 5 ИтогоВес, p i (кг) 2 3 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 2 6 5 9 8Цена, c i /p i (у.е./кг) 1 2 1 3 2Очередность укладки 5 2 4 3 1x i 1 1 1 0 1Вес взятой части предмета 2 3 5 4 14Стоимость взятой части 2 6 5 8 21Кроме 2-го все остальные предметы оказываются в рюкзаке целиком,при этом общая стоимость составила ровно 21 у.е. В итоге 14 кг – точнаяоценка данного множества вариантов (таблица 26).У нас появились точные оценки (отмечены звездочками). Теперь мыможем сказать, что вариант укладки рюкзака, полученный во множе-433

стве 5 (x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 0, x 4 = 1, x 5 = 1) является наилучшим, таккак оценки всех остальных множеств хуже.2) x5191) x5 09 123) x214) x2 05) x4119 3116) x4 010* 14*Рисунок 7. – Дерево ветвлений для 5-го, 2-го и 4-го предметовТаким образом, минимальный вес рюкзака составляет 10 кг. Для этогов рюкзак нужно положить 2-й, 4-й и 5-й предметы, общая стоимостьрюкзака составит при этом 6 + 9 + 8 = 23 у.е. ◮Задача 10. Матрица расстояний между пятью городами представленав таблице 27. Необходимо найти гамильтонов контур объезда городовминимальной длины.434

❅ji ❅ ❅❅Таблица 27.1 2 3 4 5 α i1 ∞ 9 8 4 10 42 6 ∞ 4 5 7 43 5 3 ∞ 6 2 24 1 7 2 ∞ 8 15 2 4 5 2 ∞ 2◭ Для нахождения нижней границы множества всех гамильтоновыхконтуров ϕ (R) осуществляем приведение матрицы расстояний. Для этогов дополнительный столбец (таблица 27) запишем константы приведенияa i , i = 1, 5, по строкам. Матрица, приведенная по строкам, представленав таблице 28. В дополнительной строке этой матрицы записаныконстанты приведения по столбцам. Выполнив приведение по столбцам,получим полностью приведенную матрицу (таблица 29).Нижняя граница множества всех гамильтоновых контуров Rϕ (R) = γ =5∑α i +i=15∑β j = 13 + 1 = 14.j=1435

❅ji ❅ ❅❅Таблица 28.1 2 3 4 51 ∞ 5 4 0 62 2 ∞ 0 1 33 3 1 ∞ 4 04 0 6 1 ∞ 75 0 2 3 0 ∞β j 0 1 0 0 0Найдем дугу, исключение которой максимально увеличило бы нижнююграницу, и разобьем все множество гамильтоновых контуров относительноэтой дуги на два подмножества. Для этого определим суммуконстант приведения для всех клеток матрицы с нулевыми элементами,условно (мысленно) заменяя нули на ∞. Заменим, например, элементa 14 = 0 на ∞. Тогда константа приведения по 1-й строке равна4 (минимальному элементу этой строки), а по 4-му столбцу — нулю(минимальному элементу этого столбца). Сумма констант приведенияγ (1,4)= α 1 + β 4 = 4 + 0 = 4 записана в скобках в клетке (1,4). Аналогичновычислены все остальные константы и записаны в соответствующиеклетки таблицы. Наибольшая из сумм констант приведения, равная 4,436

соответствует дуге (1,4). Следовательно, множество R разбивается наподмножества {(1, 4)} и {(1, 4)}. Таким образом, мы приступим к образованиюдерева (рисунок 8). 14R1,4 15 17 18 181,4 4,3 18 194,32,1 182,1 2,5 182,53,5 ,5,2 183,2 ,5,1Рисунок 8. – Дерево ветвлений всех маршрутов задачиИсключение дуги (1,4) из искомого гамильтонова контура осуществляетсяреальной заменой в матрице из таблицы 29 элемента a 14 = 0 на∞. Такая замена позволяет произвести дополнительное приведение матрицыпутем вычитания из элементов 1-й строки 4 и из элементов 4-гостолбца – 0. В результате приведения матрица расстояний для подмножества{(1, 4)} примет вид, показанный в таблице 30, а нижняя граница437

❅ji ❅ ❅❅Таблица 29.1 2 3 4 51 ∞ 4 4 0(4) 62 2 ∞ 0(2) 1 33 3 0(1) ∞ 4 0(3)4 0(1) 5 1 ∞ 75 0(0) 1 3 0(0) ∞β j 0 1 0 0 0длин гамильтоновых контуров этого подмножестваϕ (1,4)= ϕ (R) + γ (1,4)= 14 + 4 = 18.Включение дуги (1,4) в искомый контур ведет к исключению элементов1-й строки и 4-го столбца таблицы 29. Кроме того, элемент a 14 = 0заменяем на ∞, чтобы не допустить образования негамильтонова контура(1–4–1). Сокращенная матрица приведена в таблице 31. Эта матрицадопускает дополнительное приведение на 1 единицу только по 4-й строке.Константы приведения записаны в столбце α i , и строке β j . Суммаконстант приведения сокращенной матрицы, полученной в результате438

❅ji ❅ ❅❅Таблица 30.1 2 3 4 51 ∞ 0 0 ∞ 22 2 ∞ 0 1 33 3 0 ∞ 4 04 0 5 1 ∞ 75 0 1 3 0 ∞j❅❅i ❅ ❅Таблица 31.1 2 3 5 α i2 2 ∞ 0 3 03 3 0 ∞ 0 04 ∞ 5 1 7 15 0 1 3 ∞ 0β j 0 0 0 0включения дуги (1,4) в искомый контур, составит:γ (1,4) = ∑ α i + ∑ β j = 1 + 0 = 1.i j439

Сокращенная матрица имеет вид таблица 32. Нижняя граница длингамильтоновых контуров подмножества {(1, 4)}ϕ (R) + γ (1,4) = 14 + 1 = 15.Так как после сокращения получена матрица 4×4, переходим к сравнениюоценок ϕ (1,4)и ϕ (1,4) . Дальнейшему разбиению (ветвлению) подлежитподмножество {(1, 4)}, так как его нижняя граница меньше.j❅❅i ❅ ❅Таблица 32.1 2 3 52 2 ∞ 0(2) 33 3 0(1) ∞ 0(3)4 ∞ 4 0(4) 65 0(3) 1 3 ∞Найдем дугу, исключение которой максимально увеличило бы нижнююграницу. Для этого определим сумму констант приведения длякаждой клетки с нулем (таблица 32). Максимальная сумма константприведения γ (4,3)= α 4 + β 3 = 4 + 0 = 4 соответствует дуге (4, 3). Следовательно,подмножество гамильтоновых контуров {(1, 4)}, в свою очередь,разбиваем на два подмножества: {(1,4),(4,3)} и {(1,4),(4, 3)}. После440

замены элемента a 43 = 0 на ∞ (таблица 32) и приведения матрица принимаетвид таблицы 33. Нижняя граница длин гамильтоновых контуровподмножества {(1,4),(4,3)}ϕ [(1,4),(4,3)]= ϕ (1,4) + γ (4,3)= 15 + 4 = 19.❅ji ❅ ❅❅Таблица 33.1 2 3 52 2 ∞ 0 33 3 0 ∞ 04 ∞ 0 ∞ 25 0 1 3 ∞Включение дуги (4,3) в гамильтонов контур приводит к исключениюиз него дуг (4,2) и (4,5), т.е. элементов 4-й строки матрицы (таблица 31),а также дуг (2,3) и (5,3), т.е. элементов 3-го столбца. Кроме того, исключаемиз контура дугу (3,1), чтобы не допустить образования негамильтоноваконтура (1–4–3–1). Сокращенная матрица (таблица 34) допускаетприведение по 2-й строке на 2 единицы. После приведения эта матрицаимеет вид таблица 35.441

Сумма констант приведенияγ (4,3) = ∑ iα i + ∑ jβ j = 2 + 0 = 2,а нижняя граница гамильтоновых контуров {(1,4),(4,3)}ϕ [(1,4),(4,3)] = ϕ (1,4) + γ (4,3) = 15 + 2 = 17.❅ij❅❅ ❅Таблица 34.1 2 5 α i2 2 ∞ 3 23 ∞ 0 0 05 0 1 ∞ 0β j 0 0 0Так какϕ [(1,4),(4,3)] = 17 < ϕ [(1,4),(4,3)]= 19,дальнейшему ветвлению подлежит подмножество {(1,4),(4,3)}. Все суммыконстант приведения для клеток с нулями (таблица 35) равны, поэтомувыбираем любую из дуг, например (2,1), и разбиваем подмножество{(1,4),(4,3)} на два новых подмножества {(1,4),(4,3),(2, 1)} и442

❅ji ❅ ❅❅Таблица 35.1 2 52 0(1) ∞ 13 ∞ 0(1) 0(1)5 0(1) 1 ∞{(1,4),(4,3),(2,1)}. После исключения дуги (2,1) и приведения матрицырасстояний получим новую матрицу (таблица 36), для которой γ (2,1)= 1.j❅❅i ❅ ❅Таблица 36.1 2 52 ∞ ∞ 0(∞)3 ∞ 0(1) 0(0)5 0(∞) 1 ∞Нижняя граница подмножества {(1,4),(4,3),(2, 1)}ϕ [(1,4),(4,3),(2,1)]= ϕ [(1,4),(4,3)] + γ (2,1)= 17 + 1 = 18.443

Включение дуги (2,1) в контур приводит к исключению 2-й строкии 1-го столбца таблица 35, а также дуги (3,2). Сокращенная матрицаимеет вид таблица 37. Сумма констант приведения этой матрицыγ (2,1) = 1. Приведенная матрица представлена в таблице 37. Нижняяграница подмножества контуров {(1,4),(4,3),(2,1)}ϕ [(1,4),(4,3),(2,1)] = ϕ [(1,4),(4,3)] + γ (2,1) = 17 + 1 = 18.❅Таблица 37.ji ❅ ❅❅2 53 ∞ 05 1 ∞Так как в результате сокращения получена матрица 2 × 2 (таблица38), то в искомый гамильтонов контур включаем дуги (3,5) и (5,2),соответствующие нулевым элементам этой матрицы. Сумма константприведения таблица 38 равна нулю. Следовательно, длина гамильтоноваконтура совпадает с нижней границей подмножества {(1,4),(4,3),(2,1)} иравна 18.В соответствии с деревом ветвлений (рисунок 8) гамильтонов контуробразуют дуги (1,4), (4,3), (2,1), (3,5), (5,2). Расположим их, начиная с444

❅Таблица 38.ji ❅ ❅❅2 53 ∞ 05 0 ∞города 1 так, чтобы конец одной совпадал с началом другой. Получимгамильтонов контур, соответствующий последовательности объезда городовкоммивояжером µ = (1 − 4 − 3 − 5 − 2 − 1).Длина найденного маршрута объезда городов не превышает нижнихграниц оборванных ветвей, следовательно, она является оптимальной.Однако возможно, что гамильтонов контур µ не единственный, так какимеются подмножества контуров {(1,4),(4,3),(2, 1)} и {(1, 4)}, нижниеграницы которых также равны 18.Продолжим ветвление подмножества {(1,4),(4,3),(2, 1)}. Следуя алгоритму,найдем сумму констант приведения для каждой клетки с нулемтаблица 36. Максимальная сумма, равная ∞, приходится на две клетки:(2,5) и (5,1). Выбираем любую дугу, например (2,5), и разбиваем подмножество{(1,4),(4,3),(2, 1)} на два подмножества {(1,4),(4,3),(2, 1),(2, 5)} и{(1,4),(4,3),(2, 1),(2,5)}. Нижние границы подмножеств:ϕ [(1,4),(4,3),(2,1),(2,5)]= 18 + ∞ = ∞;445

ϕ [(1,4),(4,3),(2,1),(2,5)]= 18 + 0 = 18.Продолжив решение, найдем второй оптимальный гамильтонов контурµ = (1 − 4 − 3 − 2 − 5 − 1).Можно найти еще один оптимальный гамильтонов контур, продолжаяразвитие ветви, соответствующей подмножеству контуров {(1, 4)}.Применять алгоритм в этом случае следует к матрице, приведенной втаблице 30. ◮Задача 11. Решить игру с платежной матрицей⎡ ⎤2 1 0⎣ 3 0 1 ⎦ ,1 2 4сведя ее к задаче линейного программирования.◭ Прежде всего, проверим, не имеет ли игра седловой точки. Находим:α = max min a ij = 1; β = min max a ij = 2.i j i jТак как α ≠ β, решением игры будут смешанные стратегии, а ценаигры заключена в пределах 1 ≤ ν ≤ 2. Доминирования стратегий, каквидно по матрице, в данной игре нет, и все элементы платежной матрицынеотрицательны. Так что упрощать матрицу не приходится.446

Составляем по матрице игры задачи:f = x 1 + x 2 + x 3 → min;⎧2x 1 + 3x 2 + x 3 ≥ 1;⎪⎨x 1 + 2x 3 ≥ 1;x ⎪⎩ 2 + 4x 3 ≥ 1;x i ≥ 0, (i = 1, 3);ϕ = y 1 + y 2 + y 3 → max;⎧2y 1 + y 2 ≤ 1;⎪⎨3y 1 + y 3 ≤ 1;y ⎪⎩ 1 + 2y 2 + 4y 3 ≤ 1;y i ≥ 0, (j = 1, 3).(14)(15)Решим, например, задачу (15). После приведения модели к каноническомувиду дополнительные переменные y 4 , y 5 , y 6 составят начальныйбазис, а основные переменные y 1 , y 2 , y 3 будут свободными. В результатерешения задачи симплексным методом приходим к таблице 39, содержащейкомпоненты оптимального планаy ∗ = (y ∗ 1; y ∗ 2; y ∗ 3; y ∗ 4; y ∗ 5; y ∗ 6) = (1/3; 1/3; 0; 0; 0; 0) и ϕ max = 2/3.Находим цену игры ν = 1/ϕ max = 3/2 и компоненты q ∗ j оптимальнойсмешанной стратегии q ∗ игрока B:q ∗ 1 = νy ∗ 1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, q ∗ 2 = 1/2, q ∗ 3 = 0.447

❍ ❍❍❍❍❍ С.П.Б.П. ❍Таблица 39.С.Ч. −y 3 −y 4 −y 6y 2 = 1/3y 1 = 1/3y 5 = 0ϕ = 2/3 1/3 1/3 1/3✏ ✏✏✏✏✏✏✏✏✏✏Найдем теперь оптимальную смешанную стратегию p ∗ игрока A. Введемдополнительные переменные x 4 , x 5 и x 6 в ограничения задачи (14).Эти переменные составят начальный базис, а переменные x 1 , x 2 и x 3будут свободными. Запишем соответствие между переменными каноническихформ рассматриваемых двойственных задач:свободные{ }} {x 1 x 2 x 3y 4}y 5{{y 6}базисные{базисные}} {x 4 x 5 x 6y 1}y 2{{y 3}свободныеУчитывая это соответствие, выписываем из строки целевой функцииϕ таблицы 29 значения компонент оптимального вектора задачи (14):x ∗ 1 = 1/3, x ∗ 2 = 0, x ∗ 3 = 1/3. Находим компоненты p ∗ i оптимальной сме-448

шанной стратегии p ∗ игрока A:p ∗ 1 = νx ∗ 1 = 3/2 · 1/3 = 1/2, p ∗ 2 = 0, p ∗ 3 = 1/2.Итак, решение игры найдено:p ∗ = (1/2; 0; 1/2), q ∗ = (1/2; 1/2; 0), ν = 3/2. ◮Задача 12. Решить игру с платежной матрицейграфическим методом.⎡⎣3 812 19 6◭ В данном случае α = 6, β = 8, т.е. α ≠ β, а поэтому для определенияоптимальных смешанных стратегий игроков составляем задачи:⎤⎦f = x 1 + x 2 + x 3 → min,{ 3x1 + 12x 2 + 9x 3 ≥ 1,8x 1 + x 2 + 6x 3 ≥ 1,(16)x i ≥ 0 (i = 1, 3),449

ϕ = y 1 + y 2 → max,⎧⎨ 3y 1 + 8y 2 ≤ 1,12y 1 + y 2 ≤ 1,⎩9y 1 + 6y 2 ≤ 1,y i ≥ 0 (j = 1, 2).(17)Поскольку задача (17) содержит две переменные, то, решая ее графически(рисунок 9), находим: y ∗ 1 = 1/27, y ∗ 2 = 1/9, ϕ max = 4/27. Вычисляемν = 1/ϕ max = 27/4, q ∗ 1 = νy ∗ 1 = 1/4, q ∗ 2 = 3/4.y 2 01 9ОA max1 270,1 cmax 4 27y 1Рисунок 9. – Графический метод решения матричной игрыДля того чтобы определить оптимальную смешанную стратегиюp ∗ = (p ∗ 1; p ∗ 2; p ∗ 3), найдем сначала решение двойственной задачи(16). В оптимальном плане задачи (17) y1 ∗ > 0 и y2 ∗ > 0, поэтому оба450

ограничения двойственной задачи (3) ее оптимальным планомx ∗ = (x ∗ 1; x ∗ 2; x ∗ 3) обращаются в равенства. Кроме того, значениями y ∗ 1 иy ∗ 2 второе ограничение задачи (17) обращается в строгое неравенство.Следовательно, в оптимальном плане задачи (16) соответствующая емувторая переменная равна нулю, т.е. x ∗ 2 = 0. Учитывая сказанное, дляопределения x ∗ 1 и x ∗ 3 получаем уравнения 3x 1 + 9x 3 = 1 и 8x 1 + 6x 2 = 1,совместное решение которых дает x ∗ 1 = 3/54, x ∗ 3 = 5/54. Вычисляем:p ∗ 1 = 3/8, p ∗ 2 = 0, p ∗ 3 = 5/8.Итак, решение игры найдено:p ∗ = (3/8; 0; 5/8); q ∗ = (1/4; 3/4); ν = 27/4. ◮Задача 13. Комплекс операций представлен сетевым графиком (рисунок10). Цифры, приписанные дугам, означают соответственно продолжительностьt ij , и минимально возможное время d ij выполнения операций(дней). Продолжительность выполнения операций зависит линейноот дополнительно вложенных средств и выражается соотношениемt ′ ij = t ij (1 − k ij x ij ), где k 12 = 0, 01; k 13 = 0, 02;k 23 = 0, 05; k 24 = 0, 03; k 35 = 0, 04; k 45 = 0, 02.Требуется оптимизировать сетевой график по времени, т.е. определитьвремя выполнения каждой операции сетевого графика таким образом,чтобы время выполнения комплекса операций было минимальным,а сумма вложенных средств B не превышала 12 единиц.451

20;1210;612;51 2 316;10514;646;4Рисунок 10. – График оптbмизации комплекса операций по времени◭ Добавив на сетевом графике фиктивную операцию (5,6), запишемцелевую функцию в виде:t кр = T о 56 → min .Запишем ограничения задачи:– сумма вложенных средств не должна превышать наличного их количества:x 12 + x 13 + x 23 + x 24 + x 35 + x 45 ≤ 12;– время выполнения каждой операции должно быть не меньше минимальновозможного времени:T о 12 − T н 12 ≥ 6; T о 13 − T н 13 ≥ 12; T о 23 − T н 23 ≥ 5;T о 24 − T н 24 ≥ 6; T о 34 − T н 34 ≥ 0; T о 35 − T н 35 = 10;452

T о 45 − T н 45 ≥ 4; T о 56 − T н 56 ≥ 0;– зависимость продолжительностей операций от вложенных средствв виде ограничений-равенств:T о 12 − T н 12 = 10(1 − 0, 01x 12 ); T о 13 − T н 13 = 20(1 − 0, 02x 13 );T о 23 − T н 23 = 12(1 − 0, 05x 23 ); T о 24 − T н 24 = 14(1 − 0, 03x 24 );T о 35 − T н 35 = 16(1 − 0, 04x 35 ); T о 45 − T н 45 = 6(1 − 0, 02x 45 );– время начала выполнения каждой операции должно быть не меньшевремени окончания непосредственно предшествующей ей операции(моменты времени T н 12 = T н 13 = 0):T н 23 ≥ T о 12; T н 24 ≥ T о 12; T н 35 ≥ T о 13; T н 35 ≥ T о 23;T н 34 ≥ T о 13; T н 34 ≥ T о 23; T н 45 ≥ T о 24; T н 45 ≥ T о 34;T н 56 ≥ T о 35; T н 56 ≥ T о 45;– условие неотрицательности неизвестных: T нij ≥ 0, T >ij ≥ 0, x ij ≥ 0,для всех дуг сетевого графика.После решения данной задачи симплексным методом получаем следующиерезультаты:t кр = 30, 425; T о 12 = 10; T о 13 = 20; T н 23 = 10; T о 23 = 20, 425;T н 24 = 10, 425; T о 24 = 24, 425; T н 34 = 20, 425; T о 34 = 24, 425;453

T н 35 = 20, 425; T о 35 = 30, 425; T н 45 = 24, 425; T о 45 = 30, 425;T н 56 = T о 56 = 30, 425; x 12 = 0; x 13 = 0; x 23 = 2, 625; x 24 = 0;x 35 = 9, 375; x 45 = 0.Таким образом, чтобы выполнить комплекс операций за 30,425 дня,необходимо вложить в операцию (2,3) 2,625 единицы подвижных средстви в операцию (3,5) — 9,375 единицы, при этом время выполнения операции(2,3) равно 10,425 дня и операции (3,5) — 10 дням. ◮Задача 14. Сетевой график комплекса операций изображен на рисунке11. Цифры, приписанные дугам графика, означают продолжительностивыполнения операций в нормальном и срочном режимах соответственно.10;614;6 4;3 5;31 24 520;12 12;53Рисунок 11. – График комплекса операцийПрямые затраты на выполнение операций следующие:c ′′12 = 150; c ′ 12 = 190; c ′′13 = 111; c ′ 13 = 175; c ′′14 = 30; c ′ 14 = 90;454

c ′′23 = 66; c ′ 23 = 87; c ′′24 = 72; c ′ 24 = 112; c ′′45 = 89; c ′ 45 = 123.Требуется сократить критический путь при минимальном возрастаниистоимости выполнения комплекса операций.◭ Предварительный шаг. Определяем коэффициенты дополнительныхзатрат по формуле:k ij = c′ ij − c′′ ij, k 12 = 5; k 13 = 8; k 14 = 15; k 23 = 3; k 24 = 40; k 45 = 17.t ′′ij − t′ ijНаходим, что при наибольшей продолжительности операций t ′′ij критическийпуть µ кр = (1 − 2 − 3 − 4 − 5), t кр = 31, резервы временинекритических операций R13 п = 6, R14 п = 16, R24 п = 8 и стоимость выполнениякомплекса операций = 518. Результаты расчетов заносим втаблицу 40.Первый шаг.1. Среди критических операций наименьший коэффициент дополнительныхзатрат имеет операция (2,3): k 23 = 3.2. Сокращаем время выполнения операции (2,3) на величину, равнуюmin(t ′′23 − t ′ 23; R п 13; R п 14; R п 24) = min(7; 6; 16; 8) = 6.3. В результате сокращения операции (2,3) образовались два критическихпути: µ ′ кр = (1 − 2 − 3 − 4 − 5) и µ ′′кр = (1 − 3 − 4 − 5) с общимиоперациями (3,4) и (4,5). Продолжительность критического путиуменьшилась на 6 единиц: t (1)кр= 25. Резервы времени некритических455

операций составляют: R п 14 = 10, R п 24 = 2, а критических — равны нулю.Стоимость выполнения комплекса операций C = 536 (данные занесеныв таблицу 40).t ′ ij4. Так как критические операции выполняются за время, большее чем, то переходим ко второму шагу оптимизации.Второй шаг.1. Критической операцией с наименьшим коэффициентом дополнительныхзатрат является операция (2,3), для которой k 23 = 3. Но этаоперация принадлежит только пути µ ′ , и уменьшение ее продолжительностине дает желаемого результата. Поэтому на пути µ ′′ находим операциюс наименьшим коэффициентом дополнительных затрат, которая выполняетсяпараллельно операции (2,3). Такой операцией является единственнаяоперация (1,3), для которой k 13 = 8. Сумма коэффициентовдополнительных затрат k 13 + k 23 = 11, что меньше k 34 = ∞ и k 45 = 17,следовательно, сокращению подлежат операции (1,3) и (2,3).2. Операции (1,3) и (2,3) сокращаем на 1 единицу, так как наименьшаяпродолжительность операции (1,3) равна 5 и дальнейшее сокращение ееневозможно.3. Рассчитываем параметры сетевого графика и заносим их в строкитаблицы 40. Значение продолжительности операции (2,3) t 23 = t ′ 23 = 5выделяем (шрифтом). Критические пути после сокращения операцийсохранились: µ ′ = (1 − 2 − 3 − 4 − 5) и µ ′′ = (1 − 3 − 4 − 5).456

4. Учитывая, что не все критические операции выполняются в срочномрежиме, переходим к выполнению третьего шага.Третий шаг.1. Из оставшихся критических операций наименьший коэффициентдополнительных затрат имеет операция (1,2), принадлежащая пути µ ′ ,для которой k 12 = 5. Из пути µ ′′ выбираем операцию (1,3), котораявыполняется параллельно операции (1,2). Сумма k 12 + k 23 = 13, чтоменьше k 34 = ∞ и k 45 = 17. Следовательно, сокращению подлежатоперации (1,2) и (1,3).2. Сокращаем продолжительности операций (1,2) и (1,3) на 7 единиц,так как min(t ′′12 − t ′ 12; t ′′13 − t ′ 13) = min(14 − 6; 19 − 12) = 7 и эта величинаменьше полного резерва некритической операции (1,4). Заносим продолжительностиопераций в строку третьего шага оптимизации. Дальнейшеесокращение продолжительности критической операции (1,3) невозможно,поэтому значение t 13 = 12 выделяем жирным шрифтом в таблице40.3. Рассчитываем параметры сетевого графика и заносим в соответствующиестроки таблицы 40. Критические пути остались прежними:µ ′ = (1 − 2 − 3 − 4 − 5) и µ ′′ = (1 − 3 − 4 − 5).4. Переходим к четвертому шагу оптимизации.Четвертый шаг.1. Из оставшихся критических операций наименьший коэффициентдополнительных затрат имеет операция (1,2). Однако сокращать ее не457

t ijR п ijПараметрыШагоптимизацииШагоптимизацииТаблица 40.Операции (i, j)(1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) (4,5)t ′′ij 14 20 10 12 4 0 5t ′ ij 6 12 6 5 3 0 3k ij 5 8 15 3 40 ∞ 17Сокращениевремени, ∆tПриращениестоимости, ∆CПродолжительностькритического пути, tкрПредв. 14 20 10 12 4 0 5 31 5181 14 20 10 6 4 0 5 25 5362 14 19 10 5 4 0 5 24 5473 7 12 10 5 4 0 5 17 6384 7 12 10 5 4 0 3 15 672Предв. 0 6 16 0 8 0 01 0 0 10 0 2 0 02 0 0 9 0 1 0 03 0 0 2 0 1 0 04 0 0 2 0 1 0 07 8 0 7 0 0 235 64 0 21 0 0 34Стоимость, Cимеет смысла, потому что уменьшение ее продолжительности не повлияетна длину критического пути, а лишь увеличит стоимость выпол-458

нения комплекса операций. Поэтому сокращению подлежит операция(4,5), для которой k 45 = 17.2. Операцию (4,5), принадлежащую обоим критическим путям, сокращаемна 2 единицы времени.3. Рассчитываем параметры сети и заносим их в таблицу. Дальнейшеесокращение операции (4,5) невозможно, поэтому значение t 45 = t ′ 45 = 3выделяем жирным шрифтом в таблице 40.4. Все продолжительности операций критического пути (1–3–4–5)уменьшены до минимальных. Следовательно, выполнение алгоритма закончено.◮Задача 15. Для выполнения комплекса операций по ремонту технологическогооборудования химического предприятия, представленногоследующим сетевым графиком (рисунок 12).123;4 4;42;35;5 4;13 47;2Рисунок 12. – График комплекса операцийв первые три дня выделено 7 единиц ресурсов, в четвертый и пятыйдень – 6 единиц, а в последующее время – 8 единиц. Каждой дуге гра-459

фика приписаны два числа: первое – временная оценка в днях; второе –интенсивность выполнения операции.◭ Необходимо определить сроки выполнения операций таким образом,чтобы завершить весь комплекс за минимальное время. Операциине допускают перерыва в выполнении.Предварительный шаг.Составляем линейную диаграмму комплекса операций (рисунок 13 а).Построим эпюру потребления ресурса без учета его ограниченности (рисунок13 б ). Из эпюры видно, что в первые три дня потребность в ресурсахпревышает наличное количество на 4 единицы, в четвертый и пятыйдень – на 8 единиц, а в последующее время ресурсы имеются в избытке.Покажем как на диаграмме найти критический путь. Операция (3,4)заканчивается позже всех, спустя 9 дней от начала выполнения комплекса.Следовательно, она критическая и t кр = 9. Операция (3,4) начинаетвыполняться в момент времени t 3 = 5. Находим операции с третьим конечнымсобытием, которые заканчиваются в это же время. Таких операциидве: (1,3) и (2,3). Следовательно, они также критические. Операции(2,3) непосредственно предшествует критическая операция (1,2). Такимобразом, µ 1 кр = (1 − 2 − 3 − 4) и µ 2 кр = (1 − 3 − 4).Первый шаг.1. Проецируем на ось времени начала и концы операций комплекса.Определяем, что τ 0 = 0 и τ 1 = 3.460

RОперации1213 432231 1 5 4431 2244О 0214 6 8 10at108642О2 4 6 8 10б12 14tОперации3 1 423231 1 5 44311 2О 2 4 6 8 10 1212t ОвR10183 424 643223 411543421 2О 2 4 6 8 10 12 14 О t4 5 6дОперацииОперации32432235 1341 22 4 6 8 10 3 4г2 4 6 8 10е144412 14 t12 14tРисунок 13. – График комплекса операций461

2. Над промежутком (τ 0 , τ 1 ) расположены операции (1,2), (1,3) и (1,4).Полные резервы операций (1,2) и (1,3) равны нулю (R п 12 = 0 иR п 13 = 0), а R п 14 = 2, так как разность между ожидаемым сроком свершениясобытия (4) t 4 = 9 и сроком окончания операции (1,4) равна двумдням. Операции (1,2) и (1,3) имеют одинаковые полные резервы, но таккак r 13 = 5 > r 12 = 4, то операции (1,3) присваиваем номер 1, операции(1,2) – номер 2 и операции (1,4) с наибольшим полным резервом — номер3.Так как интенсивность r 13 = 5 < R = 7, то операцию (1,3) оставляемв первоначальном положении. Сумма интенсивностей операций (1,3) и(1,2) r 13 + r 12 = 5 + 4 = 9 > R = 7. Следовательно, операцию (1,2)сдвигаем вправо на величину промежутка (τ 0 , τ 1 ). Сдвиг операции (1,2)влечет за собой сдвиг операций (2,3), (2,4) и (3,4). Результаты сдвигаотражены на новой линейной диаграмме (рисунок 13 в). Операцию (1,4)оставляем в первоначальном положении, так как r 13 + r 14 = 7 = R.Второй шаг.1. Начало нового промежутка совпадает с τ 1 = 3, а конец τ 2 = 5 — смоментом окончания операции (1,3).2. Операции (1,3) и (1,4) начинаются левее момента τ 1 поэтому нумеруемих в первую очередь согласно возрастанию разностейR п 13 − l 13 = 3 − 5 = −2 и R п 14 − l 14 = 5 − 5 = 0.462

Таким образом, операция (7,3) имеет номер 1, операция (1,4) – номер2 и операция (1,2) – номер 3.3. На промежутке (τ 1 , τ 2 ) R = 6, поэтому, суммируя интенсивностиопераций и сравнивая с R, получаем, что сдвигу подлежат операции(7,2) и (7,4). В результате сдвига получаем новую линейную диаграмму(рисунок 13 г). Время выполнения операции по сравнению с исходнымвариантом увеличилось на 5 дней: τ 4 = 14.4. Решение не закончено, переходим к третьему шагу.Третий шаг.1. Новый промежуток (τ 2 , τ 3 ). Момент τ 3 = 8.2. Критическая операция (1,2) получает номер 1, операция (1,4) сR п 14 = 2 – номер 2.3. Сумма r 12 + r 14 = 6 < R = 8, следовательно, операции не сдвигаются.4. Так как не все операции просмотрены, то переходим к следующемушагу.Четвертый шаг.1. На той же диаграмме (рисунок 13 г) выделяем новый промежуток(τ 3 , τ 4 ).2. Операция (1,4), начатая левее момента τ 3 , получает номер 1, критическаяоперация (2,3) – номер 2 и операция (2,4) – номер 3, так какR п 24 = 2.463

3. Сдвигу подлежит операция (2,4), начало которой устанавливаем вмомент τ 4 (рисунок 13 д).4. Переходим к выполнению пятого шага.Пятый шаг.1. Проекции нового промежутка приходятся на моменты τ 4 = 10 иτ 5 = 12.2. Операция (1,4) имеет номер 1, (2,4) – номер 2, (3,4) – номер 3.3. Сумма интенсивностей операций r 14 + r 24 + r 34 = 7 < R = 8, следовательно,оставляем их в первоначальном положении. Выполнив ещеодин шаг алгоритма, убедимся, что на оставшемся промежутке (τ 5 , τ 6 )достаточно ресурса для выполнения расположенных над ним операций.Таким образом, линейная диаграмма (рисунок 13 д) является решениемзадачи, время окончания комплекса операции равно 14. Из эпюрыпотребления ресурса (рисунок 13 е) видно, что на всем протяжениивыполнения комплекса операций количество используемых ресурсов непревосходит имеющихся в распоряжении.Задача 16. Дан межотраслевой баланс в натуральном выражении.Необходимо вычислить матрицы прямых производственных и полныхзатрат, найти величину добавленной стоимости на единицу продукциии расчитать факторную стоимость единицы продукции в каждой отрасли.Записать баланс в стоимостном выражении, проверить основныебалансовые равенства и вычислить матрицы прямых производственныхи полных затрат в стоимостном выражении.464

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 1740 2300 168402 1620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 1500 2100 159503 1410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 1050 2100 155404 1140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 1660 2500 156005 1560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 1780 2200 169106 1510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 1360 2000 154507 1310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 1050 2000 156908 1170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 1350 2100 167309 1680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 1650 2300 1644010 1710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200 2100 15430Доб.стоим.1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 225316840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430◭ Найдем матрицу прямых производственных затрат. Для этого воспользуемсяформулой (24.1) где Π ij в нашем случае — это есть матрица1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 17401620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 15001410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 10501140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 16601560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 17801510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 13601310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 10501170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 13501680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 16501710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200В результате получим следующую матрицу прямых производственныхзатрат:465

0,082 0,089 0,068 0,110 0,077 0,075 0,096 0,094 0,085 0,1020,096 0,065 0,079 0,075 0,080 0,087 0,087 0,080 0,097 0,0870,091 0,074 0,112 0,074 0,118 0,103 0,093 0,080 0,070 0,0670,071 0,119 0,066 0,084 0,086 0,093 0,064 0,069 0,080 0,1020,088 0,089 0,096 0,060 0,099 0,063 0,082 0,069 0,103 0,0990,096 0,116 0,091 0,099 0,079 0,073 0,063 0,087 0,079 0,0850,086 0,074 0,086 0,105 0,116 0,118 0,090 0,087 0,089 0,0680,070 0,092 0,102 0,099 0,107 0,097 0,103 0,062 0,075 0,0790,095 0,091 0,070 0,085 0,063 0,070 0,056 0,097 0,092 0,0910,113 0,079 0,097 0,078 0,070 0,078 0,108 0,116 0,075 0,078Для вычисления матрицы полных затрат воспользуемся формулойB = (E − A) −1 . В результате получим следующую матрицу1,658 0,665 0,684 0,708 0,627 0,674 0,713 0,641 0,602 0,7320,646 1,614 0,668 0,645 0,604 0,658 0,674 0,603 0,590 0,6870,617 0,601 1,679 0,620 0,618 0,650 0,656 0,579 0,545 0,6410,589 0,632 0,619 1,617 0,576 0,628 0,614 0,560 0,544 0,6660,678 0,674 0,728 0,665 1,660 0,670 0,710 0,628 0,632 0,7420,623 0,641 0,658 0,646 0,583 1,622 0,626 0,587 0,554 0,6620,620 0,611 0,660 0,658 0,622 0,671 1,659 0,593 0,568 0,6520,650 0,672 0,726 0,699 0,660 0,701 0,723 1,612 0,597 0,7110,660 0,656 0,674 0,671 0,601 0,655 0,656 0,635 1,600 0,7100,629 0,599 0,656 0,619 0,569 0,621 0,665 0,606 0,542 1,645Для вычисления величины добавленной стоимости можно воспользоватьсяформулой l ∗ i = L i/X ∗ i , где L i — это есть строка1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 2253а X ∗ i— это есть строка16840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430В результате получим вектор l466

0,105 0,103 0,133 0,127 0,093 0,140 0,160 0,146 0,135 0,146Теперь вычислим факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли по формуле (25.2). Ее можно записать в виде p = B T · l, гдетранспонированная матрица полных затрат будет иметь вид1,658 0,646 0,617 0,589 0,678 0,623 0,620 0,650 0,660 0,6290,665 1,614 0,601 0,632 0,674 0,641 0,611 0,672 0,656 0,5990,684 0,668 1,679 0,619 0,728 0,658 0,660 0,726 0,674 0,6560,708 0,645 0,620 1,617 0,665 0,646 0,658 0,699 0,671 0,6190,627 0,604 0,618 0,576 1,660 0,583 0,622 0,660 0,601 0,5690,674 0,658 0,650 0,628 0,670 1,622 0,671 0,701 0,655 0,6210,713 0,674 0,656 0,614 0,710 0,626 1,659 0,723 0,656 0,6650,641 0,603 0,579 0,560 0,628 0,587 0,593 1,612 0,635 0,6060,602 0,590 0,545 0,544 0,632 0,554 0,568 0,597 1,600 0,5420,732 0,687 0,641 0,666 0,742 0,662 0,652 0,711 0,710 1,645А вектор l, как уже было получено выше, имеет вид0,105 0,103 0,133 0,127 0,093 0,140 0,160 0,146 0,135 0,146В результате факторная стоимость (или вектор p) примет вид0,921 0,919 1,000 0,968 0,878 0,982 1,019 0,922 0,874 1,022Теперь мы можем записать наш межотраслевой баланс в стоимостнойформе, который будет иметь вид (результаты округлены до десятых)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1271,5 1308,4 1059,6 1658,5 1142,5 1142,5 1538,8 1455,8 1216,2 1603,2 2119,2 15516,42 1489,5 956,2 1222,9 1140,1 1186,1 1324,0 1397,6 1241,3 1397,6 1379,2 1930,9 14665,43 1409,3 1079,5 1739,2 1119,5 1749,2 1559,3 1489,3 1229,4 1009,5 1049,5 2099,0 15532,84 1103,8 1742,8 1026,3 1268,4 1278,1 1413,6 1026,3 1065,0 1152,2 1607,2 2420,6 15104,35 1370,1 1299,9 1484,3 904,6 1475,5 948,5 1317,4 1071,5 1484,3 1563,3 1932,2 14851,86 1482,1 1707,9 1413,4 1501,7 1177,8 1109,1 1001,2 1334,9 1138,6 1334,9 1963,0 15164,67 1334,9 1080,1 1334,9 1579,5 1722,1 1783,3 1436,8 1334,9 1273,8 1070,0 2038,0 15988,28 1078,6 1355,2 1585,7 1493,5 1585,7 1475,1 1641,0 949,6 1078,6 1244,6 1936,0 15423,79 1468,3 1337,2 1092,5 1284,8 935,2 1066,3 900,2 1503,3 1328,5 1442,1 2010,2 14368,710 1748,1 1155,2 1513,0 1175,6 1032,5 1185,8 1727,7 1789,0 1073,4 1226,7 2146,8 15773,8ДС15516,4 14665,4 15532,8 15104,3 14851,7 15164,6 15988,2 15423,7 14368,7 15773,81760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 2253467

Теперь остается нам вычислить матрицу прямых производственных иполных затрат в стоимостной форме. Матрица прямых производственныхзатрат вычисляется по формуле (25.3), где Π ∗ ij — есть промежуточноепотребление в балансе стоимостной формы и имеет вид1271,533 1308,389 1059,611 1658,521 1142,537 1142,537 1538,739 1455,813 1216,249 1603,2371489,529 956,241 1222,885 1140,133 1186,106 1324,025 1397,582 1241,274 1397,582 1379,1931409,345 1079,499 1739,192 1119,480 1749,187 1559,276 1489,308 1229,429 1009,531 1049,5121103,773 1742,799 1026,315 1268,370 1278,053 1413,604 1026,315 1065,044 1152,184 1607,2481370,120 1299,857 1484,296 904,630 1475,513 948,544 1317,423 1071,504 1484,296 1563,3421482,105 1707,856 1413,398 1501,735 1177,832 1109,125 1001,157 1334,876 1138,571 1334,8761334,900 1080,148 1334,900 1579,461 1722,122 1783,263 1436,800 1334,900 1273,759 1069,9581078,645 1355,221 1585,701 1493,509 1585,701 1475,070 1641,016 949,576 1078,645 1244,5911468,335 1337,234 1092,511 1284,793 935,190 1066,291 900,229 1503,295 1328,494 1442,1151748,102 1155,178 1512,977 1175,624 1032,505 1185,847 1727,656 1788,993 1073,396 1226,738А Xi∗ — есть валовый выпуск в стоимостной форме, который имеетвид (результаты округлены до десятых)15516,4 14665,4 15532,8 15104,3 14851,7 15164,6 15988,2 15423,7 14368,7 15773,8В результате применения данной формулы получим матрицу прямыхпроизводственных затрат в стоимостной форме0,082 0,089 0,068 0,110 0,077 0,075 0,096 0,094 0,085 0,1020,096 0,065 0,079 0,075 0,080 0,087 0,087 0,080 0,097 0,0870,091 0,074 0,112 0,074 0,118 0,103 0,093 0,080 0,070 0,0670,071 0,119 0,066 0,084 0,086 0,093 0,064 0,069 0,080 0,1020,088 0,089 0,096 0,060 0,099 0,063 0,082 0,069 0,103 0,0990,096 0,116 0,091 0,099 0,079 0,073 0,063 0,087 0,079 0,0850,086 0,074 0,086 0,105 0,116 0,118 0,090 0,087 0,089 0,0680,070 0,092 0,102 0,099 0,107 0,097 0,103 0,062 0,075 0,0790,095 0,091 0,070 0,085 0,063 0,070 0,056 0,097 0,092 0,0910,113 0,079 0,097 0,078 0,070 0,078 0,108 0,116 0,075 0,078468

Матрица полных затрат определяется по формуле B ∗ = (E − A ∗ ) −1 .В результате вычисления получаем следующий результат1,658 0,666 0,631 0,674 0,658 0,633 0,644 0,641 0,635 0,6600,644 1,614 0,614 0,613 0,632 0,616 0,609 0,601 0,621 0,6180,669 0,653 1,679 0,640 0,703 0,662 0,643 0,628 0,623 0,6270,618 0,665 0,600 1,617 0,635 0,620 0,583 0,588 0,602 0,6310,646 0,644 0,640 0,603 1,660 0,599 0,612 0,598 0,635 0,6380,664 0,685 0,646 0,655 0,651 1,622 0,603 0,625 0,622 0,6350,686 0,677 0,673 0,692 0,722 0,697 1,659 0,655 0,663 0,6500,650 0,674 0,670 0,666 0,693 0,658 0,654 1,612 0,630 0,6410,626 0,624 0,590 0,606 0,598 0,584 0,562 0,602 1,600 0,6070,698 0,665 0,671 0,654 0,663 0,647 0,667 0,672 0,634 1,645.◮469

Индивидуальные работы для специальности “Бизнесадминистрирование”Вариант 11. Решить задачу целочисленного программирования методом Гомори⎧f = x 1 + 2x 2 + 3x 3 → max⎨ 6x 1 + 2x 2 + 3x 3 ≤ 25;5x⎩ 1 + 3x 2 + 2x 3 ≤ 15;x j ≥ 0 j = 1, 3 и целые.2. Решить задачу целочисленного программирования методом ветвейи границf = x 1 + 2x 2 + x 3 → min⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 3;2x 1 + x 2 ≥ 1;2x 2 + 3x 3 ≥ 4;x j ≥ 0 j = 1, 3 и целые.3. Решить следующую задачу о рюкзаке:№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 2 4 3 4 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 5 1 7 6 2 4 2470

Ценность не менее 15.4. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ji ❅ ❅❅1 2 3 4 51 ∞ 2 8 4 32 6 ∞ 5 1 33 5 2 ∞ 2 54 1 1 2 ∞ 35 3 6 4 2 ∞5. Решить следующую задачу параметрического программированияграфическим методомf t = (2 + 2t)x⎧ 1 + (4 − 2t)x 2 → max, t ∈ [1; 15]x 1 + x 2 ≤ 6;⎪⎨x 2 ≤ 4;2x ⎪⎩ 1 + x 2 ≤ 10;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.6. Решить следующую задачу параметрического программированияаналитическим методом471

f t = (3 + 2t)x 1 + (4⎧+ t)x 2 + (1 − t)x 3 → max, t ∈ [1; 5] ;2x 1 + x 2 ≤ 500;⎪⎨x 2 + x 3 ≤ 55;x ⎪⎩ 2 ≤ 200;x j ≥ 0, j = 1, 3.7. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей, сведяих к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎣1 4 67 2 05 3 28. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣⎤⎦ .−3 2 36 −5 23 0 52 −1 49. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр:⎡ ⎤1 4 6⎣ 7 2 0 ⎦ .5 3 2⎤⎥⎦ .472

10. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1710 1500 1680 1290 1150 1320 1780 1660 1000 1500 2300 168902 1710 1540 1750 1030 1780 1180 1150 1230 1370 1130 2200 160703 1430 1650 1170 1380 1220 1560 1030 1730 1440 1340 2200 161504 1730 1350 1550 1190 1320 1270 1640 1050 1290 1250 2400 160405 1040 1340 1280 1680 1800 1390 1830 1170 1500 1040 2100 161706 1340 1650 1730 1000 1050 1120 1730 1550 1710 1130 2100 161107 1600 1500 1570 1790 1240 1330 1350 1500 1170 1790 2200 170408 1670 1450 1140 1330 1500 1040 1730 1030 1420 1330 2400 160409 1320 1260 1020 1440 1720 1560 1580 1080 1120 1610 2200 1591010 1130 1340 1420 1640 1290 1050 1040 1760 1200 1500 2400 15770Доб.стоим.1962 2089 2635 2067 1816 2235 1861 2232 2267 254216890 16070 16150 16040 16170 16110 17040 16040 15910 15770а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;473

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.474

Вариант 21. Решить задачу целочисленного программирования методом Гомориf⎧= x 1 − x 2 → max⎨ x 1 − 2x 2 + x 3 = 1;x⎩ 1 + 3x 2 + x 4 = 3;x j ≥ 0 j = 1, 4 и целые.2. Решить задачу целочисленного программирования методом ветвейи границf = 4x 1 + 3x 2 → max⎧⎪⎨⎪⎩8x 1 + 2x 2 ≤ 88;x 1 ≤ 22;5x 2 ≤ 90;x j ≥ 0, j = 1, 2 и целые.3. Решить следующую задачу о рюкзаке:№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 4 3 4 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 6 2 7 6 2 4 2Ценность не менее 14.475

4. Решить следующую задачу коммивояжера:j❅❅i ❅ ❅1 2 3 4 51 ∞ 3 8 4 32 4 ∞ 5 2 33 5 2 ∞ 2 54 1 2 3 ∞ 45 3 6 4 2 ∞5. Решить следующую задачу параметрического программированияграфическим методомf t = tx 1 +⎧(1 + t)x 2 → max, t ∈ [1; 7] ;⎨ −3x 1 + 4x 2 ≤ 12;4x⎩ 1 + x 2 ≤ 8;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.6. Решить следующую задачу параметрического программированияаналитическим методомf t = (1 + t)x 1 + (2 − t)x⎧ 2 + (2 − 3t)x 3 + (1 − 2t)x 4 → max, t ∈ [1; 20] ;x 1 + 2x 2 + x 3 − x 4 ≤ 5;⎪⎨x 1 + 2x 2 + x 4 ≤ 7;x ⎪⎩ 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 3;x j ≥ 0, j = 1, 4.476

7. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей, сведяих к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎢⎣3 5 0 31 3 3 66 3 3 −13 0 7 3⎤⎥⎦ .8. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣3 1 9 51 5 7 00 4 5 −11 5 7 0⎤⎥⎦ .9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр:⎡⎣3 5 0 31 3 3 66 3 3 −1⎤⎦ .477

10. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1710 1030 1300 1310 1230 1180 1200 1550 1250 1600 2300 156602 1390 1700 1180 1450 1170 1180 1760 1660 1600 1420 2500 170103 1040 1540 1370 1590 1640 1630 1440 1110 1540 1770 2100 167704 1490 1100 1010 1720 1480 1730 1140 1610 1500 1490 2100 163705 1680 1340 1660 1230 1030 1620 1730 1190 1360 1480 2500 168206 1030 1770 1110 1720 1240 1540 1260 1440 1160 1730 2400 164007 1060 1770 1470 1740 1010 1800 1190 1750 1390 1340 2100 166208 1370 1350 1680 1620 1660 1480 1710 1810 1360 1770 2400 182109 1180 1800 1480 1820 1400 1450 1010 1840 1640 1260 2500 1738010 1540 1730 1480 1520 1110 1240 1450 1080 1250 1650 2100 16150Доб.стоим.4422 3854 4696 4097 4050 4454 3806 4443 4299 370815660 17010 16770 16370 16820 16400 16620 18210 17380 16150а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;478

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.479

Вариант 31. Решить задачу целочисленного программирования методом Гомориf⎧= x 4 − x 5 → minx 1 + x 4 − x 5 = 1;⎪⎨x 2 − 2x 4 + x 5 = 2;x ⎪⎩ 3 + 3x 4 + x 5 = 3;x j ≥ 0, j = 1, 5 и целые.2. Решить задачу целочисленного программирования методом ветвейи границf = 70x⎧ 1 + 80x 2 + 110x 3 + 60x 4 → maxx 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 ≤ 30;⎪⎨ x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 ≤ 28;2x 1 + 3x 2 + 5x 3 + x 4 ≤ 50;3x ⎪⎩ 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ 45;x j ≥ 0, j = 1, 4 и целые.3. Решить следующую задачу о рюкзаке:Ценность не менее 15.№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 3 4 5 6 3 4Стоимость, c i (у.е.) 5 2 8 6 2 4 1480

4. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ji ❅ ❅❅1 2 3 4 51 ∞ 3 6 4 42 4 ∞ 5 3 33 5 1 ∞ 3 64 2 2 3 ∞ 45 3 6 4 2 ∞5. Решить следующую задачу параметрического программированияграфическим методомf t = (2 + 2t)x 1⎧+ (4 − 2t)x 2 → max, t ∈ [1; 15];x 1 + x 2 ≤ 6;⎪⎨x 2 ≤ 4;2x ⎪⎩ 1 + x 2 ≤ 10;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.6. Решить следующую задачу параметрического программированияаналитическим методомf t = (10 + 10t)x 1 +⎧(9 + t)x 2 + (7 − 2t)x 3 → max, t ∈ [1; 10];x 1 + x 2 ≤ 5;⎪⎨2x 1 + x 3 ≤ 17;x ⎪⎩ 1 + 2x 2 + 3x 3 ≤ 40;x j ≥ 0, j = 1, 3.481

7. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей, сведяих к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎣−4 −8 −4−6 0 0−5 −5 0⎤⎦ .8. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎣5 2 0 3 41 4 6 2 50 4 3 1 2⎤⎦ .9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр:⎡⎣−4 −8 −4−6 0 0−5 −5 0⎤⎦ .482

10. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1780 1660 1670 1810 1450 1500 1660 1530 1180 1210 2400 178502 1660 1500 1350 1120 1350 1410 1560 1460 1130 1550 2100 161903 1660 1550 1500 1220 1450 1460 1710 1590 1230 1120 2400 168904 1640 1510 1190 1460 1170 1460 1520 1460 1320 1320 2400 164505 1170 1750 1430 1350 1410 1340 1730 1270 1360 1050 2500 163606 1020 1140 1600 1130 1410 1530 1790 1330 1760 1280 2100 160907 1820 1020 1130 1620 1530 1480 1330 1610 1050 1460 2100 161508 1620 1180 1700 1700 1780 1380 1710 1680 1370 1080 2100 173009 1110 1790 1620 1700 1010 1610 1570 1280 1720 1680 2500 1759010 1120 1730 1350 1060 1390 1410 1370 1270 1630 1760 2300 16390Доб.стоим.4079 4128 3779 3498 4314 4146 4192 3445 4117 398717850 16190 16890 16450 16360 16090 16150 17300 17590 16390а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;483

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.484

Вариант 41. Решить задачу целочисленного программирования методом Гомориf⎧= 3x 1 − 2x 2 + 3x 3 → minx 1 + 3x 2 − x 3 ≥ 10;⎪⎨2x 1 + 4x 3 ≥ 14;2x ⎪⎩ 2 + x 3 ≥ 7;x j ≥ 0, j = 1, 3 и целые.2. Решить задачу целочисленного программирования методом ветвейи границf = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 → min⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + 2x 2 + x 3 ≥ 20;2x 1 + 3x 2 + 5x 3 ≥ 50;x 1 + 3x 2 + 5x 3 ≥ 50;x j ≥ 0, j = 1, 3 и целые.3. Решить следующую задачу о рюкзаке:№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 4 3 4 5 4 4Стоимость, c i (у.е.) 6 2 7 6 2 5 3485

Ценность не менее 17.4. Решить следующую задачу коммивояжера:j❅❅i ❅ ❅1 2 3 4 51 ∞ 2 4 5 42 5 ∞ 5 3 33 5 1 ∞ 3 64 1 2 4 ∞ 45 3 6 4 2 ∞5. Решить следующую задачу параметрического программированияграфическим методомf t = tx 1⎧+ (1 + t)x 2 → max, t ∈ [1; 7];⎨ −3x 1 + 4x 2 ≤ 12;4x⎩ 1 + x 2 ≤ 8;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.6. Решить следующую задачу параметрического программированияаналитическим методомf t = (3 + 2t)x 1 + (4⎧+ t)x 2 + (1 − t)x 3 → max, t ∈ [1; 5];2x 1 + x 2 ≤ 500;⎪⎨x 2 + x 3 ≤ 55;x ⎪⎩ 2 ≤ 200;x j ≥ 0, j = 1, 3.486

7. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей, сведяих к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎢⎣6 5 7 107 2 6 42 0 6 89 7 10 5⎤⎥⎦ .8. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣3 1 5 46 6 2 04 2 7 65 3 5 5⎤⎥⎦ .9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр:⎡⎢⎣6 5 7 107 2 6 42 0 6 89 7 10 5⎤⎥⎦ .487

10. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 1740 2300 168402 1620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 1500 2100 159503 1410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 1050 2100 155404 1140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 1660 2500 156005 1560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 1780 2200 169106 1510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 1360 2000 154507 1310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 1050 2000 156908 1170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 1350 2100 167309 1680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 1650 2300 1644010 1710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200 2100 15430Доб.стоим.1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 225316840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;488

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.489

Вариант 51. Решить задачу целочисленного программирования методом Гомориf⎧= 2x 1 + x 2 + x 3 → maxx 1 + 2x 2 + 2x 3 = 16;⎪⎨x 1 + x 2 ≤ 7;3x ⎪⎩ 1 + 2x 3 ≥ 18;x j ≥ 0, j = 1, 3 и целые.2. Решить задачу целочисленного программирования методом ветвейи границf = 20x 1 + 25x 2 + 30x 3 + 15x 4 → max⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 ≥ 18;2x 1 + 3x 2 + 5x 3 + x 4 ≤ 40;x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 ≤ 60;x j ≥ 0, j = 1, 4 и целые.3. Решить следующую задачу о рюкзаке:Ценность не менее 16.№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 3 4 3 2 3 1Стоимость, c i (у.е.) 6 2 7 6 2 4 2490

4. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ji ❅ ❅❅1 2 3 4 51 ∞ 1 2 5 32 1 ∞ 5 3 33 5 1 ∞ 3 74 1 2 5 ∞ 45 3 6 3 1 ∞5. Решить следующую задачу параметрического программированияграфическим методомf t = (2 + 2t)x 1⎧+ (4 − 2t)x 2 → max, t ∈ [1; 15];x 1 + x 2 ≤ 6;⎪⎨x 2 ≤ 4;2x ⎪⎩ 1 + x 2 ≤ 10;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.6. Решить следующую задачу параметрического программированияаналитическим методомf t = (3 + 2t)x 1 + (4⎧+ t)x 2 + (1 − t)x 3 → max, t ∈ [1; 5];2x 1 + x 2 ≤ 500;⎪⎨x 2 + x 3 ≤ 55;x ⎪⎩ 2 ≤ 200;x j ≥ 0, j = 1, 3.491

7. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей, сведяих к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎣2 0 00 3 −2−2 0 3⎤⎦ .8. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣9 9 2 17 8 9 63 5 7 75 7 1 04 4 5 3⎤⎥⎦ .9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр:⎡⎣2 0 00 3 −2−2 0 3⎤⎦ .492

10. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 10790 10680 10590 10550 10500 10490 10700 10300 10730 10180 2100 1076102 10670 10800 10690 10040 10800 10220 10660 10660 10360 10610 2300 1078103 10350 10760 10500 10290 10810 10020 10100 10320 10480 10090 2400 1061204 10030 10770 10340 10000 10160 10080 10130 10690 10790 10650 2100 1057405 10180 10740 10570 10070 10140 10050 10480 10730 10050 10330 2300 1056406 10220 10500 10810 10380 10120 10470 10440 10460 10400 10210 2400 1064107 10180 10340 10780 10220 10250 10350 10720 10160 10810 10590 2400 1068008 10040 10180 10650 10290 10620 10170 10110 10180 10470 10530 2400 1056409 10450 10350 10460 10510 10580 10040 10020 10690 10130 10250 2500 10598010 10790 10510 10210 10590 10130 10210 10360 10100 10200 10690 2200 105990Доб.стоим.1866 2096 1723 1834 2074 2603 2235 1721 2397 1996107610 107810 106120 105740 105640 106410 106800 105640 105980 105990а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;493

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.494

Вариант 61. Решить задачу целочисленного программирования методом Гомориf⎧= x 1 + 2x 2 + 3x 3 → max⎨ 6x 1 + 2x 2 + 3x 3 ≤ 25;5x⎩ 1 + 3x 2 + 2x 3 ≤ 15;x j ≥ 0, j = 1, 3 и целые.2. Решить задачу целочисленного программирования методом ветвейи границf = x 1 + 2x 2 + x 3 → min⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 3;2x 1 + x 2 ≥ 1;2x 2 + 3x 3 ≥ 4;x j ≥ 0, j = 1, 3 и целые.3. Решить следующую задачу о рюкзаке:Ценность не менее 15.№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 2 2 3 7 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 6 2 7 5 3 4 2495

4. Решить следующую задачу коммивояжера:j❅❅i ❅ ❅1 2 3 4 51 ∞ 3 3 4 32 5 ∞ 3 2 23 5 2 ∞ 1 64 1 2 4 ∞ 45 2 6 4 1 ∞5. Решить следующую задачу параметрического программированияграфическим методомf t = tx 1⎧+ (1 + t)x 2 → max, t ∈ [1; 7];⎨ −3x 1 + 4x 2 ≤ 12;4x⎩ 1 + x 2 ≤ 8;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.6. Решить следующую задачу параметрического программированияаналитическим методомf t = (1 + t)x 1 + (2 − t)x⎧ 2 + (2 − 3t)x 3 + (1 − 2t)x 4 → max, t ∈ [1; 20];x 1 + 2x 2 + x 3 − x 4 ≤ 5;⎪⎨x 1 + 2x 2 + x 4 ≤ 7;x ⎪⎩ 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 3;x j ≥ 0, j = 1, 4.496

7. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей, сведяих к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎣1 0 −12 −1 00 1 3⎤⎦ .8. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣1 0 8 62 2 7 55 3 1 15 5 2 0⎤⎥⎦ .9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр:⎡⎣1 4 67 2 05 3 2⎤⎦ .497

10. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1600 1820 1340 1410 1590 1570 1170 1140 1670 1530 2300 171402 1350 1410 1590 1020 1000 1400 1410 1090 1140 1280 2000 146903 1370 1790 1240 1800 1660 1540 1020 1070 1460 1380 2300 166304 1610 1780 1270 1260 1170 1240 1610 1350 1210 1200 2400 161005 1080 1350 1830 1810 1540 1030 1700 1440 1170 1650 2500 171006 1290 1190 1840 1350 1300 1600 1490 1240 1150 1820 2500 167707 1440 1130 1340 1830 1810 1670 1050 1670 1160 1170 2000 162708 1660 1740 1000 1450 1680 1530 1410 1230 1140 1000 2100 159409 1430 1610 1150 1050 1670 1310 1780 1170 1520 1360 2200 1625010 1280 1170 1390 1020 1160 1040 1650 1420 1160 1680 2400 15370Доб.стоим.2139 1925 1949 2277 2498 2210 2485 1891 1874 187917140 14690 16630 16100 17100 16770 16270 15940 16250 15370а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;498

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.499

Вариант 71. Решить задачу целочисленного программирования методом Гомориf⎧= x 1 − x 2 → max⎨ x 1 − 2x 2 + x 3 = 1;x⎩ 1 + 3x 2 + x 4 = 3;x j ≥ 0, j = 1, 4 и целые.2. Решить задачу целочисленного программирования методом ветвейи границf = 4x 1 + 3x 2 → max⎧⎪⎨⎪⎩8x 1 + 2x 2 ≤ 88;x 1 ≤ 22;5x 2 ≤ 90;x j ≥ 0, j = 1, 2 и целые.3. Решить следующую задачу о рюкзаке:Ценность не менее 13.№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 4 4 4 5 2 4Стоимость, c i (у.е.) 5 2 6 6 2 4 3500

4. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ji ❅ ❅❅1 2 3 4 51 ∞ 3 2 4 32 1 ∞ 3 2 13 5 2 ∞ 2 64 1 2 4 ∞ 45 2 6 4 1 ∞5. Решить следующую задачу параметрического программированияграфическим методомf t = (2 + 2t)x 1⎧+ (4 − 2t)x 2 → max, t ∈ [1; 15];x 1 + x 2 ≤ 6;⎪⎨x 2 ≤ 4;2x ⎪⎩ 1 + x 2 ≤ 10;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.6. Решить следующую задачу параметрического программированияаналитическим методомf t = (10 + 10t)x 1 +⎧(9 + t)x 2 + (7 − 2t)x 3 → max, t ∈ [1; 10];x 1 + x 2 ≤ 5;⎪⎨2x 1 + x 3 ≤ 17;x ⎪⎩ 1 + 2x 2 + 3x 3 ≤ 40;x j ≥ 0, j = 1, 3.501

7. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей, сведяих к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎣−4 −8 −4−6 0 0−5 −5 0⎤⎦ .8. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣−3 2 36 −5 23 0 52 −1 4⎤⎥⎦ .9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр:⎡⎣3 5 0 31 3 3 66 3 3 −1⎤⎦ .502

10. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1760 1410 1610 1700 1460 1370 1100 1220 1550 1750 2200 171302 1270 1150 1390 1260 1600 1580 1260 1750 1340 1770 2300 166703 1510 1240 1820 1210 1450 1670 1670 1730 1590 1200 2400 174904 1580 1470 1480 1480 1070 1660 1650 1150 1420 1670 2000 166305 1300 1290 1590 1370 1230 1450 1320 1510 1290 1070 2300 157206 1130 1280 1170 1020 1370 1540 1840 1520 1150 1310 2000 153307 1310 1800 1720 1720 1780 1430 1190 1460 1410 1470 2300 175908 1400 1550 1200 1790 1690 1570 1460 1620 1350 1800 2300 177309 1720 1840 1290 1290 1750 1330 1530 1630 1630 1310 2000 1732010 1650 1240 1350 1100 1230 1650 1520 1310 1610 1790 2100 16550Доб.стоим.2125 1773 1713 1359 1433 1278 1229 1475 1955 128317130 16670 17490 16630 15720 15330 17590 17730 17320 16550а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;503

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.504

Вариант 81. Решить задачу целочисленного программирования методом Гомориf⎧= x 4 − x 5 → minx 1 + x 4 − x 5 = 1;⎪⎨x 2 − 2x 4 + x 5 = 2;x ⎪⎩ 3 + 3x 4 + x 5 = 3;x j ≥ 0, j = 1, 5 и целые.2. Решить задачу целочисленного программирования методом ветвейи границf = 70x⎧ 1 + 80x 2 + 110x 3 + 60x 4 → maxx 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 ≤ 30;⎪⎨ x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 ≤ 28;2x 1 + 3x 2 + 5x 3 + x 4 ≤ 50;3x ⎪⎩ 1 + x 2 + x 3 + x 4 ≤ 45;x j ≥ 0, j = 1, 4 и целые.3. Решить следующую задачу о рюкзаке:№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 4 3 4 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 6 2 7 6 2 4 2505

Ценность не менее 15.4. Решить следующую задачу коммивояжера:j❅❅i ❅ ❅1 2 3 4 51 ∞ 2 2 4 32 1 ∞ 3 3 13 5 2 ∞ 2 64 1 2 4 ∞ 45 1 6 3 2 ∞5. Решить следующую задачу параметрического программированияграфическим методомf t = tx 1⎧+ (1 + t)x 2 → max, t ∈ [1; 7];⎨ −3x 1 + 4x 2 ≤ 12;4x⎩ 1 + x 2 ≤ 8;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.6. Решить следующую задачу параметрического программированияаналитическим методомf t = (3 + 2t)x 1 + (4⎧+ t)x 2 + (1 − t)x 3 → max, t ∈ [1; 5];2x 1 + x 2 ≤ 500;⎪⎨x 2 + x 3 ≤ 55;x ⎪⎩ 2 ≤ 200;x j ≥ 0, j = 1, 3.506

7. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей, сведяих к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎣1 0 1 −10 1 3 2−1 2 −2 0⎤⎦ .8. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣3 1 9 51 5 7 00 4 5 −11 5 7 0⎤⎥⎦ .9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр:⎡⎣−4 −8 −4−6 0 0−5 −5 0⎤⎦ .507

10. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 2560 2360 2730 2600 2600 2400 2350 2360 2540 2280 2900 276802 2380 2070 2290 2140 2680 2590 2580 2010 2310 2260 3300 266103 2600 2170 2010 2190 2180 2250 2390 2450 2530 2830 3700 273004 2040 2090 2050 2190 2330 2770 2620 2410 2660 2030 2900 260905 2690 2570 2230 2000 2210 2370 2300 2320 2610 2470 3100 268706 2480 2110 2200 2420 2370 2560 2820 2740 2750 2190 2900 275407 2520 2730 2500 2220 2520 2330 2710 2760 2260 2610 3900 290608 2420 2560 2790 2580 2780 2260 2330 2420 2510 2370 3100 281209 2300 2280 2630 2170 2680 2350 2340 2660 2140 2370 2800 2672010 2100 2320 2320 2110 2130 2580 2810 2230 2640 2030 2900 26170Доб.стоим.2194 1999 1799 2357 2179 2471 2530 1892 1940 245827680 26610 27300 26090 26870 27540 29060 28120 26720 26170а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;508

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.509

Вариант 91. Решить задачу целочисленного программирования методом Гомориf⎧= 3x 1 − 2x 2 + 3x 3 → minx 1 + 3x 2 − x 3 ≥ 10;⎪⎨2x 1 + 4x 3 ≥ 14;2x ⎪⎩ 2 + x 3 ≥ 7;x j ≥ 0, j = 1, 3 и целые.2. Решить задачу целочисленного программирования методом ветвейи границf = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 → min⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + 2x 2 + x 3 ≥ 20;2x 1 + 3x 2 + 5x 3 ≥ 50;x 1 + 3x 2 + 5x 3 ≥ 50;x j ≥ 0, j = 1, 3 и целые.3. Решить следующую задачу о рюкзаке:Ценность не менее 14.№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 4 4 5 4 3 3 4Стоимость, c i (у.е.) 7 2 3 6 2 4 2510

4. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ji ❅ ❅❅1 2 3 4 51 ∞ 1 2 3 42 1 ∞ 2 3 13 4 2 ∞ 2 64 1 2 4 ∞ 45 2 6 3 2 ∞5. Решить следующую задачу параметрического программированияграфическим методомf t = (2 + 2t)x 1⎧+ (4 − 2t)x 2 → max, t ∈ [1; 15];x 1 + x 2 ≤ 6;⎪⎨x 2 ≤ 4;2x ⎪⎩ 1 + x 2 ≤ 10;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.6. Решить следующую задачу параметрического программированияаналитическим методомf t = (3 + 2t)x 1 + (4⎧+ t)x 2 + (1 − t)x 3 → max, t ∈ [1; 5];2x 1 + x 2 ≤ 500;⎪⎨x 2 + x 3 ≤ 55;x ⎪⎩ 2 ≤ 200;x j ≥ 0, j = 1, 3.511

7. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей, сведяих к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎣4 1 00 1 40 3 0⎤⎦ .8. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎣5 2 0 3 41 4 6 2 50 4 3 1 2⎤⎦ .9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр:⎡⎢⎣6 5 7 107 2 6 42 0 6 89 7 10 5⎤⎥⎦ .512

10. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1730 1700 1360 1290 1510 1710 1260 1250 1610 1400 2000 168202 1220 1310 1660 1450 1180 1640 1420 1460 1540 1000 2100 159803 1200 1190 1330 1640 1770 1720 1580 1240 1400 1110 2500 166804 1700 1470 1410 1060 1490 1660 1660 1600 1160 1120 2400 167305 1310 1030 1550 1550 1410 1110 1000 1330 1200 1820 2100 154106 1380 1070 1390 1740 1310 1440 1490 1430 1770 1700 2300 170207 1360 1220 1420 1210 1120 1300 1130 1330 1620 1650 2300 156608 1410 1690 1080 1840 1760 1450 1800 1440 1630 1220 2400 177209 1520 1520 1380 1050 1710 1170 1440 1350 1390 1270 2000 1580010 1720 1670 1740 1180 1030 1680 1380 1060 1290 1470 2300 16520Доб.стоим.2500 2930 2607 2831 2210 2998 2370 2285 2011 286316820 15980 16680 16730 15410 17020 15660 17720 15800 16520а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;513

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.514

Вариант 101. Решить задачу целочисленного программирования методом Гомориf⎧= 2x 1 + x 2 + x 3 → maxx 1 + 2x 2 + 2x 3 = 16;⎪⎨x 1 + x 2 ≤ 7;3x ⎪⎩ 1 + 2x 3 ≥ 18;x j ≥ 0, j = 1, 3 и целые.2. Решить задачу целочисленного программирования методом ветвейи границf = 20x 1 + 25x 2 + 30x 3 + 15x 4 → max⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + x 2 + x 3 + 2x 4 ≥ 18;2x 1 + 3x 2 + 5x 3 + x 4 ≤ 40;x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 5x 4 ≤ 60;x j ≥ 0, j = 1, 4 и целые.3. Решить следующую задачу о рюкзаке:№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 4 3 3 5 3 2Стоимость, c i (у.е.) 3 2 6 6 2 5 2515

Ценность не менее 13.4. Решить следующую задачу коммивояжера:j❅❅i ❅ ❅1 2 3 4 51 ∞ 1 2 3 42 2 ∞ 1 2 13 4 2 ∞ 2 64 4 2 3 ∞ 45 1 5 3 2 ∞5. Решить следующую задачу параметрического программированияграфическим методомf t = tx 1⎧+ (1 + t)x 2 → max, t ∈ [1; 7];⎨ −3x 1 + 4x 2 ≤ 12;4x⎩ 1 + x 2 ≤ 8;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.6. Решить следующую задачу параметрического программированияаналитическим методомf t = (1 + t)x 1 + (2 − t)x⎧ 2 + (2 − 3t)x 3 + (1 − 2t)x 4 → max, t ∈ [1; 20];x 1 + 2x 2 + x 3 − x 4 ≤ 5;⎪⎨x 1 + 2x 2 + x 4 ≤ 7;x ⎪⎩ 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 3;x j ≥ 0, j = 1, 4.516

7. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей, сведяих к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎣1 4 67 2 05 3 2⎤⎦ .8. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣3 1 5 46 6 2 04 2 7 65 3 5 5⎤⎥⎦ .9. Выполнив двадцать итераций, найти приближенное решение игр:⎡⎣2 0 00 3 −2−2 0 3⎤⎦ .517

10. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1220 1650 1190 1340 1060 1760 1570 1170 1360 1450 2000 157702 1700 1770 1150 1810 1510 1370 1390 1760 1470 1330 2500 177603 1480 1700 1220 1340 1240 1700 1630 1640 1200 1550 2400 171004 1610 1340 1690 1310 1540 1470 1120 1290 1300 1130 2500 163005 1100 1080 1560 1480 1150 1440 1210 1710 1310 1180 2000 152206 1500 1430 1560 1240 1590 1310 1330 1580 1140 1710 2300 166907 1060 1290 1550 1750 1220 1530 1530 1170 1340 1000 2300 157408 1220 1550 1500 1100 1470 1790 1030 1670 1670 1420 2300 167209 1100 1830 1020 1120 1510 1020 1260 1120 1270 1150 2400 1480010 1500 1520 1210 1590 1370 1830 1020 1090 1690 1490 2300 16610Доб.стоим.2265 2396 2240 2641 2290 2715 2585 2337 2662 209715770 17760 17100 16300 15220 16690 15740 16720 14800 16610а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;518

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.519

Индивидуальные работы для специальности “Государственноеуправление и экономика”Вариант 11. Решить графическим методом следующую задачу линейного программированияf(x) = 1 4 x 1 + x 2 → min,⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + 2x 2 ≥ 5;5x 1 + x 2 ≥ 9;3x 1 + 2x 2 ≥ 11;x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.2. Предприятие производит продукцию двух видов: P 1 и P 2 . Объемсбыта продукции P 1 составляет не менее 60% общего объема реализациипродукции обоих видов. Для изготовления продукции P 1 и P 2 используетсяодно и то же сырье, суточный запас которого равен 100 кг. Расходсырья на единицу продукции P 1 равен 2 кг, а на единицу продукции P 2 —4 кг. Цены продукции P 1 и P 2 — 25 и 30 ден. ед. соответственно. Определитьоптимальное распределение сырья для изготовления продукцииP 1 и P 2 .3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.f(x) = 2x 1 + x 2 − x 3 − x 4 → min;520

⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + x 2 + 2x 3 − x 4 = 2;2x 1 + x 2 − 3x 3 + x 4 = 6;x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 7;x j ≥ 0, j = 1, 4.4. Цех выпускает три вида изделий. Суточный плановый выпуск: 90ед. изделия I, 70 ед. изделия II и 60 ед. изделия III. Суточные ресурсы:780 ед. производственного оборудования (станки, машины и т.п.), 850ед. сырья (металл и т.п.) и 790 ед. электроэнергии. Их расход на одноизделие указан в таблице.РесурсыРасход ресурсов на изделиеИзделие I Изделие II Изделие IIIОборудование 2 3 4Сырье 1 4 5Электроэнергия 3 4 2Стоимость изделия I — 7 ден. ед., изделия II — 5 ден. ед., изделияIII — 6 ден. ед. Сколько надо производить изделий каждого вида, чтобыстоимость продукции, выпущенной сверх плана, была максимальной?5. Построить двойственную задачу к следующей задаче линейногопрограммированияf(x) = 2x 1 + 10x 2 − 2x 3 → max;521

⎧⎨⎩x 1 + 2x 2 − x 3 ≥ 1;2x 1 − x 2 + 2x 3 ≤ 3;x j ≥ 0, j = 1, 3.6. Решить двойственным симплекс-методом следующую задачу линейногопрограммированияf(x) = x 1 + x 2 → min;⎧x 1 + x 2 ≥ 1;⎪⎨−x 1 + x 2 ≥ 2;−x ⎪⎩ 1 + x 2 ≥ −3;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.7. Найти оптимальные планы перевозок транспортной задачи, условиекоторой дано в таблице:ПоставщикиПотребители ЗапасB 1 B 2 B 3 B 4 груза a iA 1 4 3 6 8 40A 2 7 6 4 5 120Потребностьв грузе b j30 50 45 35 160522

8. Решить следующую задачу о рюкзаке:Ценность не менее 15.№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 2 4 3 4 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 5 1 7 6 2 4 29. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ij❅❅ ❅1 2 3 4 51 ∞ 2 8 4 32 6 ∞ 5 1 33 5 2 ∞ 2 54 1 1 2 ∞ 35 3 6 4 2 ∞10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎣1 4 67 2 05 3 2⎤⎦ .523

11. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣−3 2 36 −5 23 0 52 −1 412. Необходимо осуществить оптимизацию сетевого графика (рисунок1) по времени. Найдите критический путь на сетевом графике до ипосле оптимизации и сравните результаты.⎤⎥⎦ .ПоказателиОперации(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,5)t ij 10 20 12 14 0 16 6d ij 6 12 5 6 0 10 4k ij 0,05 0,01 0,02 0,03 − 0,01 0,04Дополнительноеколичествоподвижныхсредств (B)1013. Оптимизировать сетевой график по стоимости при известных параметрахопераций, заданных в таблице524

ПараметрыОперации(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (2,5) (3,4) (4,5)t ′′ij 14 20 0 14 10 12 6t ′ ij 8 10 0 9 6 6 4c ′′ij 160 120 − 35 60 72 110c ′ ij 190 160 − 95 84 114 14410;614;8 14;8 6;41 24 520;12312;714. Произвести оптимизацию сетевого графика по ресурсам. Перваяцифра, приписанная дуге графика, означает время выполнения операции(работы), а вторая — требуемое количество ресурса для выполненияоперации. Операции не допускают перерыва в их выполнении.6;425;314;37;64 56;534;4R 10525

15. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1710 1500 1680 1290 1150 1320 1780 1660 1000 1500 2300 168902 1710 1540 1750 1030 1780 1180 1150 1230 1370 1130 2200 160703 1430 1650 1170 1380 1220 1560 1030 1730 1440 1340 2200 161504 1730 1350 1550 1190 1320 1270 1640 1050 1290 1250 2400 160405 1040 1340 1280 1680 1800 1390 1830 1170 1500 1040 2100 161706 1340 1650 1730 1000 1050 1120 1730 1550 1710 1130 2100 161107 1600 1500 1570 1790 1240 1330 1350 1500 1170 1790 2200 170408 1670 1450 1140 1330 1500 1040 1730 1030 1420 1330 2400 160409 1320 1260 1020 1440 1720 1560 1580 1080 1120 1610 2200 1591010 1130 1340 1420 1640 1290 1050 1040 1760 1200 1500 2400 15770Доб.стоим.1962 2089 2635 2067 1816 2235 1861 2232 2267 254216890 16070 16150 16040 16170 16110 17040 16040 15910 15770а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;526

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.527

Вариант 21. Решить графическим методом следующую задачу линейного программирования:f(x) = 5 4 x 1 + x 2 → min;⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + x 2 ≥ 4;2x 1 + x 2 ≥ 6;3x 1 + 2x 2 ≥ 11;x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.2. Процесс изготовления промышленных изделий двух видов P 1 и P 2состоит в последовательной обработке каждого из них на трех станках.Время использования этих станков для производства данных изделийограничено 10 часами в сутки. Время обработки одного изделия (в минутах)и прибыль от продажи одного изделия каждого вида указаны втаблице.Выпускаемая продукцияИзделие P 1 Изделие P 2I 10 5 10II 6 20 10III 8 15 10СтанокУдельнаяприбыль200 300Лимитвремени528

Найти оптимальные объемы производства изделий каждого вида, максимизирующиеприбыль.3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.f(x) = 2x 1 − 6x 2 + 3x 5 → max;⎧⎪⎨⎪⎩−2x 1 + x 2 + x 3 + x 5 = 20;−x 1 − 2x 2 + x 4 + 3x 5 = 24;3x 1 − x 2 − 12x 5 + x 6 = 18;x j ≥ 0, j = 1, 6.4. При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед.белков, 8 ед. углеводов и 11 ед. протеина. Для составления рациона используюттри вида корма, представленных в следующей таблице:Количество единиц питательныхвеществ на 1 кг.Корма 1 Корма 2 Корма 3белки 3 1 1Питательныевеществауглеводы 1 2 1протеин 1 6 4529

Стоимость 1 кг корма первого вида — 4 д.е., второго — 6 д.е., третьего— 5 д.е. Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальнуюстоимость и найдите оптимальное решение.5. Построить двойственную задачу к следующей задаче линейногопрограммирования:f(x) = 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 → min;⎧⎪⎨⎪⎩2x 1 + x 2 − x 3 ≥ 7;3x 1 + 2x 2 + 3x 3 ≥ 9;x 1 − 2x 2 − x 3 ≤ 5;x j ≥ 0, j = 1, 3.6. Решить двойственным симплекс-методом следующую задачу линейногопрограммирования:f(x) = 16x 1 + 9x 2 + 4x 3 + 6x 4 → max;⎧⎨⎩4x 1 + x 2 + 3x 4 ≤ 2;2x 1 + 3x 2 + 4x 3 ≤ 3;x j ≥ 0, (j = 1, 4).7. Найти оптимальные планы перевозок транспортной задачи, условиекоторой дано в таблице:530

ПоставщикиПотребители ЗапасB 1 B 2 B 3 B 4 груза a iA 1 6 4 2 7 40A 2 8 10 14 12 36A 3 16 12 6 13 24Потребностьв грузе b j24 20 30 26 1008. Решить следующую задачу о рюкзаке:№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 4 3 4 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 6 2 7 6 2 4 2Ценность не менее 14.9. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ji ❅ ❅❅1 2 3 4 51 ∞ 3 8 4 32 4 ∞ 5 2 33 5 2 ∞ 2 54 1 2 3 ∞ 45 3 6 4 2 ∞531

10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎢⎣3 5 0 31 3 3 66 3 3 −13 0 7 3⎤⎥⎦ .11. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣3 1 9 51 5 7 00 4 5 −11 5 7 0⎤⎥⎦ .12. Необходимо осуществить оптимизацию сетевого графика (рисунок1) по времени. Найдите критический путь на сетевом графике до ипосле оптимизации и сравните результаты.532

ПоказателиОперации(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,5)t ij 6 10 12 8 0 6 10d ij 4 6 5 4 0 3 7k ij 0,02 0,04 0,01 0,06 − 0,02 0,05Дополнительноеколичествоподвижныхсредств (B)1213. Оптимизировать сетевой график по стоимости при известных параметрахопераций, заданных в таблице.ПараметрыОперации(1,2) (1,3) (1,4) (2,4) (2,5) (3,5) (4,5)t ′′ij 6 4 2 2 6 5 4t ′ ij 3 2 1 2 4 4 3c ′′ij 300 160 70 90 270 260 150c ′ ij 345 180 90 90 320 290 160214 53533

14. Произвести оптимизацию сетевого графика по ресурсам. Перваяцифра, приписанная дуге графика, означает время выполнения операции(работы), а вторая — требуемое количество ресурса для выполненияоперации. Операции не допускают перерыва в их выполнении.R 103;633;42;32;41 24;455;342;315. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1710 1030 1300 1310 1230 1180 1200 1550 1250 1600 2300 156602 1390 1700 1180 1450 1170 1180 1760 1660 1600 1420 2500 170103 1040 1540 1370 1590 1640 1630 1440 1110 1540 1770 2100 167704 1490 1100 1010 1720 1480 1730 1140 1610 1500 1490 2100 163705 1680 1340 1660 1230 1030 1620 1730 1190 1360 1480 2500 168206 1030 1770 1110 1720 1240 1540 1260 1440 1160 1730 2400 164007 1060 1770 1470 1740 1010 1800 1190 1750 1390 1340 2100 166208 1370 1350 1680 1620 1660 1480 1710 1810 1360 1770 2400 182109 1180 1800 1480 1820 1400 1450 1010 1840 1640 1260 2500 1738010 1540 1730 1480 1520 1110 1240 1450 1080 1250 1650 2100 16150Доб.стоим.4422 3854 4696 4097 4050 4454 3806 4443 4299 370815660 17010 16770 16370 16820 16400 16620 18210 17380 16150а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;534

б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.535

Вариант 31. Решить графическим методом следующую задачу линейного программирования:f(x) = 6x 1 − 2x 2 → max;⎧⎨⎩x 1 − x 2 ≤ 1;3x 1 − x 2 ≤ 6;x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.2. Предприятие изготавливает два вида продукции — P 1 и P 2 , котораяпоступает в оптовую продажу. Для производства продукции используютсядва вида сырья — A и B. Максимально возможные запасы сырьяв сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицупродукции вида P 1 и вида P 2 дан в таблице.СырьеРасход сырья на единицуЗапаспродукциисырья, ед.Продукция P 1 Продукция P 2A 2 3 9B 3 2 13Опыт работы показал, что суточный спрос на продукцию P 1 никогдане превышает спроса на продукцию P 2 более чем на 1 ед. Кроме того, известно,что спрос на продукцию P 2 никогда не превышает 2 ед. в сутки.Оптовые цены единицы продукции равны: 3 д.е. для P 1 и 4 д.е. для P 2 .536

Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие,чтобы доход от реализация продукции был максимальным?3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.f(x) = 2x 1 + 8x 2 − 5x 3 + 15x 4 → max;⎧⎪⎨⎪⎩3x 1 − x 2 + x 3 + 10x 4 ≤ 25;x 1 + 2x 2 + x 3 + 5x 4 ≤ 10;2x 1 + 10x 2 + 2x 3 − 5x 4 ≤ 26;x j ≥ 0, j = 1, 4.4. Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь — 100 ед.,труд — 120 ед., тяга — 80 ед. Хозяйство производит четыре вида продукции:Π 1 , Π 2 , Π 3 и Π 4 . Организация производства характеризуетсяследующей таблицей:Продукциязатраты наединицу продукцииДоход отединицыпродукцииплощадь труд тягаΠ 1 2 2 2 1Π 2 3 1 3 4Π 3 4 2 1 3Π 4 5 4 1 5537

Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий хозяйству максимальнуюприбыль и найдите оптимальное решение.5. Построить двойственную задачу к следующей задаче линейногопрограммирования:f(x) = x 1 + x 2 + 2x 3 → max;⎧3x 1 + 4x 2 − x 3 = 4;⎪⎨x 1 − x 2 + 2x 3 = 6;2x ⎪⎩ 1 + x 3 = 5;x j ≥ 0, j = 1, 3.6. Решить двойственным симплекс-методом следующую задачу линейногопрограммирования:f(x) = 88x 1 + 80x 2 + 148x 3 → max;⎧⎨ 3x 1 + 4x 2 + 3x 3 ≤ 12;2x⎩ 1 + x 2 + 5x 3 ≤ 10;x j ≥ 0, j = 1, 3.7. Найти оптимальные планы перевозок транспортной задачи, условиякоторой даны в таблице:538

ПоставщикиПотребители ЗапасB 1 B 2 B 3 B 4 груза a iA 1 8 4 6 2 40A 2 4 10 5 6 25A 3 6 7 8 5 28A 4 10 12 8 9 32Потребностьв грузе b j28 32 20 45 1258. Решить следующую задачу о рюкзаке:№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 3 4 5 6 3 4Стоимость, c i (у.е.) 5 2 8 6 2 4 1Ценность не менее 15.9. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ji ❅ ❅❅1 2 3 4 51 ∞ 3 6 4 42 4 ∞ 5 3 33 5 1 ∞ 3 64 2 2 3 ∞ 45 3 6 4 2 ∞539

10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎤−4 −8 −4⎣ −6 0 0 ⎦ .−5 −5 011. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎣5 2 0 3 41 4 6 2 50 4 3 1 212. Необходимо осуществить оптимизацию сетевого графика (рисунок1) по времени. Найдите критический путь на сетевом графике до ипосле оптимизации и сравните результаты.⎤⎦ .ПоказателиОперации(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,5)t ij 8 4 3 4 0 7 7d ij 6 3 1 2 0 4 5k ij 0,04 0,03 0,02 0,06 − 0,05 0,01Дополнительноеколичествоподвижныхсредств (B)8540

13. Оптимизировать сетевой график по стоимости при известных параметрахопераций, заданных в таблице.ПараметрыОперации(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (4,5)t ′′ij 6 3 5 2 9 6t ′ ij 4 2 2 1 6 4c ′′ij 1 3 1 3 1 2c ′ ij 3 5 10 8 4 6214 5314. Произвести оптимизацию сетевого графика по ресурсам. Перваяцифра, приписанная дуге графика, означает время выполнения операции(работы), а вторая — требуемое количество ресурса для выполненияоперации. Операции не допускают перерыва в их выполнении.R 203;623;44;516;8 4;3 5;64 5 65;533;46;5541

15. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1780 1660 1670 1810 1450 1500 1660 1530 1180 1210 2400 178502 1660 1500 1350 1120 1350 1410 1560 1460 1130 1550 2100 161903 1660 1550 1500 1220 1450 1460 1710 1590 1230 1120 2400 168904 1640 1510 1190 1460 1170 1460 1520 1460 1320 1320 2400 164505 1170 1750 1430 1350 1410 1340 1730 1270 1360 1050 2500 163606 1020 1140 1600 1130 1410 1530 1790 1330 1760 1280 2100 160907 1820 1020 1130 1620 1530 1480 1330 1610 1050 1460 2100 161508 1620 1180 1700 1700 1780 1380 1710 1680 1370 1080 2100 173009 1110 1790 1620 1700 1010 1610 1570 1280 1720 1680 2500 1759010 1120 1730 1350 1060 1390 1410 1370 1270 1630 1760 2300 16390Доб.стоим.4079 4128 3779 3498 4314 4146 4192 3445 4117 398717850 16190 16890 16450 16360 16090 16150 17300 17590 16390а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;542

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.543

Вариант 41. Решить графическим методом следующую задачу линейного программирования:f(x) = 4x 1 + 7x 2 → max;⎧⎨⎩2x 1 + 7x 2 ≤ 21;7x 1 + 2x 2 ≤ 49;x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.2. Предприятие выпускает продукцию двух видов: P 1 и P 2 . Используютсятри вида ресурсов: оборудование, сырье и электроэнергия. Нормырасхода, лимиты ресурсов и прибыль от единицы продукции представленыв таблице:Норма расхода на единицуРесурсыпродукцииПродукция P 1 Продукция P 2Оборудование 2 3 30Сырье 2 1 18Электроэнергия 2 1 20Прибыльна единицупродукции30 20Найти оптимальный план выпуска продукции.Имеющийся объемресурса544

3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.f(x) = x 1 + x 2 − x 3 − 2x 5 → min;⎧x 1 − 2x 2 + x 4 = −3;⎪⎨ x 3 − 2x 4 = 2;3x 2 − x 4 + x 5 ≤ 5;x ⎪⎩ 2 + x 5 ≥ −3;x j ≥ 0, j = 1, 5.4. Изделия трех видов (А, B, C ) вырезаются из стальных листов.Предприятие имеет 150 стальных листов. Каждый лист можно раскроитьодним из трех способов. Количество изделий, получаемых из одноголиста, и величины отходов для каждого способа раскроя приведены втаблице.Количество Способы раскрояизделий Способ I Способ II Способ IIIA 4 5 2B 1 1 4C 2 1 1Отходы, см 2 20 25 17Предприятию необходимо раскроить листы таким образом, чтобы отходыбыли минимальны. При этом необходимо выпустить не менее 400545

изделий A, не менее 250 изделий B и не более 300 изделий C (последнеетребование связано с тем, что спрос на изделия C ограничен).5. Построить двойственную задачу к следующей задаче линейногопрограммирования:f(x) = 2x 1 + 3x 2 − x 3 + 5x 4 → min;⎧⎨⎩5x 1 + 4x 2 + 3x 3 − x 4 = 7;x 1 + 2x 2 − x 3 = 3;3x 2 − x 4 + x 5 = 8.6. Решить двойственным симплекс-методом следующую задачу линейногопрограммирования:f(x) = 270x 1 + 300x 2 + 320x 3 → min;⎧⎨⎩3x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≥ 4;2x 1 + 3x 2 + 5x 3 ≥ 5;x j ≥ 0, (j = 1, 3).7. Найти оптимальные планы перевозок транспортной задачи, условиякоторой даны в таблице:546

ПоставщикиПотребители ЗапасB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 груза a iA 1 9 6 8 11 10 100A 2 6 9 13 15 12 80A 3 8 7 12 5 9 40Потребность вгрузе b j60 50 40 35 35 2208. Решить следующую задачу о рюкзаке:№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 4 3 4 5 4 4Стоимость, c i (у.е.) 6 2 7 6 2 5 3Ценность не менее 17.9. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ji ❅ ❅❅1 2 3 4 51 ∞ 2 4 5 42 5 ∞ 5 3 33 5 1 ∞ 3 64 1 2 4 ∞ 45 3 6 4 2 ∞547

10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎢⎣6 5 7 107 2 6 42 0 6 89 7 10 5⎤⎥⎦ .11. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣3 1 5 46 6 2 04 2 7 65 3 5 5⎤⎥⎦ .12. Необходимо осуществить оптимизацию сетевого графика (рисунок1) по времени. Найдите критический путь на сетевом графике до ипосле оптимизации и сравните результаты.548

ПоказателиОперации(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,5)t ij 16 12 10 8 0 3 2d ij 10 7 6 5 0 2 1k ij 0,02 0,01 0,06 0,03 − 0,01 0,04Дополнительноеколичествоподвижныхсредств (B)613. Оптимизировать сетевой график по стоимости при известных параметрахопераций, заданных в таблице.ПараметрыОперации(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (2,5) (3,5) (4,5)t ′′ij 6 11 4 7 9 3 8t ′ ij 2 6 1 3 4 1 3c ′′ij 6 2 4 3 2 5 1c ′ ij 14 17 13 19 27 7 3124135549

14. Произвести оптимизацию сетевого графика по ресурсам. Перваяцифра, приписанная дуге графика, означает время выполнения операции(работы), а вторая — требуемое количество ресурса для выполненияоперации. Операции не допускают перерыва в их выполнении.R 203;623;44;516;8 4;3 5;64 5 65;533;46;515. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1380 1420 1150 1800 1240 1240 1670 1580 1320 1740 2300 168402 1620 1040 1330 1240 1290 1440 1520 1350 1520 1500 2100 159503 1410 1080 1740 1120 1750 1560 1490 1230 1010 1050 2100 155404 1140 1800 1060 1310 1320 1460 1060 1100 1190 1660 2500 156005 1560 1480 1690 1030 1680 1080 1500 1220 1690 1780 2200 169106 1510 1740 1440 1530 1200 1130 1020 1360 1160 1360 2000 154507 1310 1060 1310 1550 1690 1750 1410 1310 1250 1050 2000 156908 1170 1470 1720 1620 1720 1600 1780 1030 1170 1350 2100 167309 1680 1530 1250 1470 1070 1220 1030 1720 1520 1650 2300 1644010 1710 1130 1480 1150 1010 1160 1690 1750 1050 1200 2100 15430Доб.стоим.1760 1643 2061 1978 1567 2157 2512 2449 2216 225316840 15950 15540 15600 16910 15450 15690 16730 16440 15430а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;550

б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.551

Вариант 51. Решить графическим методом следующую задачу линейного программирования:f(x) = 3x 1 + 2x 2 → max;⎧⎨⎩2x 1 + x 2 ≤ 2;3x 1 + 4x 2 ≥ 12;x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.2. Для производства двух видов изделий A и B используется токарное,фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат временикаждого из типов оборудования на одно изделие данного вида приведеныв таблице. В ней же указан общий фонд рабочего времени каждогоиз типов оборудования, а также прибыль от реализации одного изделия.ТипоборудованияЗатраты времени(станко-часов) наобработку одного изделияОбщий фонд полезногорабочего времениоборудования (ч)Изделие A Изделие BФрезерное 10 8 168Токарное 5 10 180Шлифовальное 6 12 144Прибыль отреализации одногоизделия (руб.)14 18552

Найти план выпуска изделий A и B, обеспечивающий максимальнуюприбыль от их реализации.3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.f(x) = x 1 − 2x 2 + 4x 3 → min;⎧x 1 + x 3 + x 4 = 1;⎪⎨2x 2 + 4x 3 + 4x 4 = 2;x ⎪⎩ 3 − x 4 = 1;x j ≥ 0, j = 1, 4.4. Из трех продуктов — I, II, III — составляется смесь. В состав смесидолжно входить не менее 6 ед. химического вещества А, 8 ед. — веществаВ и не менее 12 ед. вещества С. Структура химических веществприведена в следующей таблице:ПродуктСодержание химического веществав единице продукцииСтоимостьединицыпродукцииВещество A Вещество B Вещество CI 2 1 3 2II 1 2 4 3III 3 1,5 2 2,5Составьте математическую модель приготовления наиболее дешевойсмеси и найдите оптимальное решение.553

5. Построить двойственную задачу к следующей задаче линейногопрограммирования:f(x) = 2x 1 − x 2 + x 3 − 3x 4 + x 5 → max;⎧x 1 − 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 5;⎪⎨ 2x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 − x 5 ≤ 8;x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 + 2x 5 ≤ 9;−x ⎪⎩ 1 − 2x 2 + x 3 − 3x 4 − x 5 ≥ 4;x 1 ≥ 0, x 3 ≥ 0.6. Решить двойственным симплекс-методом следующую задачу линейногопрограммирования:f(x) = 2x 1 + x 2 − x 3 − x 4 → max;⎧x 1 + x 2 + 2x 3 − x 4 ≤ 5;⎪⎨x 1 + 2x 2 + x 4 ≤ 7;x ⎪⎩ 1 + x 3 + 2x 4 ≤ 3;x j ≥ 0, (j = 1, 4).7. Найти оптимальные планы перевозок транспортной задачи, условиякоторой даны в таблице:554

ПоставщикиПотребители ЗапасB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 груза a iA 1 9 3 4 8 10 12 36A 2 4 6 7 11 13 9 34A 3 5 8 8 4 12 10 32A 4 6 12 15 9 6 8 30Потребностьв грузе b j20 15 25 27 30 15 1328. Решить следующую задачу о рюкзаке:№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 3 4 3 2 3 1Стоимость, c i (у.е.) 6 2 7 6 2 4 2Ценность не менее 16.9. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ji ❅ ❅❅1 2 3 4 51 ∞ 1 2 5 32 1 ∞ 5 3 33 5 1 ∞ 3 74 1 2 5 ∞ 45 3 6 3 1 ∞555

10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎣2 0 00 3 −2−2 0 3⎤⎦ .11. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣9 9 2 17 8 9 63 5 7 75 7 1 04 4 5 3⎤⎥⎦ .12. Необходимо осуществить оптимизацию сетевого графика (рисунок1) по времени. Найдите критический путь на сетевом графике до ипосле оптимизации и сравните результаты.556

ПоказателиОперации(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,5)t ij 6 18 10 8 0 10 7d ij 4 12 6 5 0 7 4k ij 0,04 0,03 0,01 0,05 − 0,05 0,02Дополнительноеколичествоподвижныхсредств (B)1413. Оптимизировать сетевой график по стоимости при известных параметрахопераций, заданных в таблице.ПараметрыОперации(1,2) (1,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,6) (5,6)t ′′ij 9 4 6 8 10 11 10t ′ ij 7 3 4 6 6 5 7c ′′ij 3 3 1 8 5 5 6c ′ ij 11 9 9 28 37 35 33351624557

14. Произвести оптимизацию сетевого графика по ресурсам. Перваяцифра, приписанная дуге графика, означает время выполнения операции(работы), а вторая — требуемое количество ресурса для выполненияоперации. Операции не допускают перерыва в их выполнении.R 154;721;48;410,344;417;333,762,52,535;615. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 10790 10680 10590 10550 10500 10490 10700 10300 10730 10180 2100 1076102 10670 10800 10690 10040 10800 10220 10660 10660 10360 10610 2300 1078103 10350 10760 10500 10290 10810 10020 10100 10320 10480 10090 2400 1061204 10030 10770 10340 10000 10160 10080 10130 10690 10790 10650 2100 1057405 10180 10740 10570 10070 10140 10050 10480 10730 10050 10330 2300 1056406 10220 10500 10810 10380 10120 10470 10440 10460 10400 10210 2400 1064107 10180 10340 10780 10220 10250 10350 10720 10160 10810 10590 2400 1068008 10040 10180 10650 10290 10620 10170 10110 10180 10470 10530 2400 1056409 10450 10350 10460 10510 10580 10040 10020 10690 10130 10250 2500 10598010 10790 10510 10210 10590 10130 10210 10360 10100 10200 10690 2200 105990Доб.стоим.1866 2096 1723 1834 2074 2603 2235 1721 2397 1996107610 107810 106120 105740 105640 106410 106800 105640 105980 105990а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;558

в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.559

Вариант 61. Решить графическим методом следующую задачу линейного программирования:f(x) = 2x 1 − 6x 2 → min;⎧⎨⎩−x 1 − x 2 ≤ −2;−x 1 + x 2 ≤ 1;x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.2. На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимовырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных24, 31 и 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовкидвумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способераскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов,которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.Количество заготовокВид заготовки при раскрое по способуСпособ 1 Способ 2I 2 6II 5 4III 2 3Величинаотходов (см 2 )12 16560

Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроитьтак, чтобы было получено не меньше нужного количества заготовокпри минимальных отходах.3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.f(x) = −3x 1 + x 2 + 2x 3 → max;⎧⎪⎨⎪⎩2x 1 + 2x 2 + x 3 ≥ 7;−x 1 + 3x 3 ≤ 2;4x 1 + x 2 − 2x 3 ≥ 4;x j ≥ 0, j = 1, 3.4. Для производства трех видов продукции используются три видасырья. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукцииданного вида, запасы сырья, а также прибыль с единицы продукцииприведены в таблице.Продукция видаСырьё A Сырьё B Сырьё CI − 2 − 10II − 5 3 30III 1 1 1 8СырьеПрибыль,ден. ед.1 2 2Запасысырья, ед.561

Определить план выпуска продукции для получения максимальнойприбыли от ее реализации.5. Построить двойственную задачу к следующей задаче линейногопрограммирования:f(x) = 7x 1 + 6x 2 + 3x 3 − x 4 → min;⎧2x 1 − x 2 + 2x 3 − 3x 4 ≥ 12;⎪⎨−x 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 ≤ 10;3x ⎪⎩ 1 + 5x 2 + 4x 4 = 7;x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0.6. Решить двойственным симплекс-методом следующую задачу линейногопрограммирования:f(x) = 2x 1 + 3x 2 → min;⎧⎨ 2x 1 + 2x 2 ≤ 30;x⎩ 1 + 2x 2 ≥ 10;x j ≥ 0, (j = 1, 2).7. Найти оптимальные планы перевозок транспортной задачи, условиякоторой даны в таблице:562

ПоставщикиПотребители ЗапасB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 груза a iA 1 5 10 15 6 14 13 120A 2 14 9 8 12 11 10 60A 3 7 12 13 15 9 14 150Потребностьв грузе b j45 52 48 55 70 60 3308. Решить следующую задачу о рюкзаке:№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 2 2 3 7 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 6 2 7 5 3 4 2Ценность не менее 15.9. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ji ❅ ❅❅1 2 3 4 51 ∞ 3 3 4 32 5 ∞ 3 2 23 5 2 ∞ 1 64 1 2 4 ∞ 45 2 6 4 1 ∞563

10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎤1 0 −1⎣ 2 −1 0 ⎦ .0 1 311. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣1 0 8 62 2 7 55 3 1 15 5 2 012. Необходимо осуществить оптимизацию сетевого графика (рисунок1) по времени. Найдите критический путь на сетевом графике до ипосле оптимизации и сравните результаты.ПоказателиОперации⎤⎥⎦ .(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (4,5)t ij 6 18 10 8 0 6 10d ij 4 14 5 4 0 4 6k ij 0,03 0,05 0,03 0,01 − 0,02 0,04Дополнительноеколичествоподвижныхсредств (B)9564

13. Оптимизировать сетевой график по стоимости при известных параметрахопераций, заданных в таблице.ПараметрыОперации(1,2) (1,3) (2,4) (2,5) (3,4) (4,5) (4,6) (5,6)t ′′ij 5 7 3 6 5 11 5 8t ′ ij 4 3 2 3 3 9 3 6c ′′ij 4 8 8 3 10 10 8 2c ′ ij 5 20 9 12 20 18 12 43 4162514. Произвести оптимизацию сетевого графика по ресурсам. Перваяцифра, приписанная дуге графика, означает время выполнения операции(работы), а вторая — требуемое количество ресурса для выполненияоперации. Операции не допускают перерыва в их выполнении.4;822;19,4111;99,74;84 5 610,533;2R 18565

15. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1600 1820 1340 1410 1590 1570 1170 1140 1670 1530 2300 171402 1350 1410 1590 1020 1000 1400 1410 1090 1140 1280 2000 146903 1370 1790 1240 1800 1660 1540 1020 1070 1460 1380 2300 166304 1610 1780 1270 1260 1170 1240 1610 1350 1210 1200 2400 161005 1080 1350 1830 1810 1540 1030 1700 1440 1170 1650 2500 171006 1290 1190 1840 1350 1300 1600 1490 1240 1150 1820 2500 167707 1440 1130 1340 1830 1810 1670 1050 1670 1160 1170 2000 162708 1660 1740 1000 1450 1680 1530 1410 1230 1140 1000 2100 159409 1430 1610 1150 1050 1670 1310 1780 1170 1520 1360 2200 1625010 1280 1170 1390 1020 1160 1040 1650 1420 1160 1680 2400 15370Доб.стоим.2139 1925 1949 2277 2498 2210 2485 1891 1874 187917140 14690 16630 16100 17100 16770 16270 15940 16250 15370а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;566

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.567

Вариант 71. Решить графическим методом следующую задачу линейного программирования:f(x) = x 1 + x 2 → max;⎧⎨⎩x 1 − x 2 ≥ 1;x 1 − x 2 ≤ −1;x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.2. На звероферме могут выращиваться лисицы и песцы. Для обеспечениянормальных условий их выращивания используется три видакормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневнополучать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общееколичество корма каждого вида, которое может быть использованозверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.Вид кормаКоличество единицкорма для ежедневногопотреблениялисица песецОбщее количествокормаI 2 3 180II 4 1 240III 6 7 426Прибыль отреализации однойшкурки (руб.)16 12568

Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме,чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.f(x) = 2x 1 − 3x 2 + x 5 + 2x 6 → min;⎧x 1 + x 2 − 3x 4 + 2x 6 ≤ 5;⎪⎨2x 1 − 3x 3 + x 4 + x 5 ≤ 4;2x ⎪⎩ 1 − x 2 + 3x 3 − 2x 5 ≥ 3;x j ≥ 0, j = 1, 6.4. Для производства трех видов продукции используются три видасырья. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукцииданного вида, запасы сырья, а также прибыль с единицы продукцииприведены в таблице:Продукция видаСырьё A Сырьё B Сырьё CI − 1 1 8II 1 1 − 5III − 2 1 12СырьеПрибыль,ден. ед.1 5 2Запасысырья, ед.Определить план выпуска продукции для получения максимальнойприбыли от ее реализации.569

5. Построить двойственную задачу к следующей задаче линейногопрограммирования:f(x) = 2, 5x 1 + 2x 2 + 3x 3 → min;⎧x 1 + x 2 + x 3 ≤ 6;⎪⎨2x 1 − x 2 + 3x 3 ≥ 9;3x ⎪⎩ 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 11;x 1 ≥ 0, x 3 ≥ 0.6. Решить двойственным симплекс-методом следующую задачу линейногопрограммирования:f(x) = 5x 1 + 6x 2 → min;⎧⎨ x 1 + x 2 ≥ 2;4x⎩ 1 + x 2 ≥ 4;x j ≥ 0, (j = 1, 2).7. Найти оптимальные планы перевозок транспортной задачи, условиякоторой даны в таблице:ПоставщикиПотребители ЗапасB 1 B 2 B 3 B 4 груза a iA 1 4 3 6 8 40A 2 7 6 4 5 120Потребностьв грузе b j30 50 45 35 160570

8. Решить следующую задачу о рюкзаке:№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 4 4 4 5 2 4Стоимость, c i (у.е.) 5 2 6 6 2 4 3Ценность не менее 13.9. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ij❅❅ ❅1 2 3 4 51 ∞ 3 2 4 32 1 ∞ 3 2 13 5 2 ∞ 2 64 1 2 4 ∞ 45 2 6 4 1 ∞10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎤−4 −8 −4⎣ −6 0 0 ⎦ .−5 −5 011. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задач571

линейного программирования:⎡⎢⎣−3 2 36 −5 23 0 52 −1 412. Необходимо осуществить оптимизацию сетевого графика по времени.⎤⎥⎦ .1 2 3 4Найдите критический путь на сетевом графике до и после оптимизациии сравните результаты.ПоказателиОперации(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4)t ij 14 20 12 16 5d ij 8 12 7 10 3k ij 0,2 0,1 0,4 0,25 0,3Дополнительноеколичествоподвижныхсредств (B)16572

13. Оптимизировать сетевой график по стоимости при известных параметрахопераций, заданных в таблице.ПараметрыОперации(1,2) (1,3) (1,4) (2,4) (2,5) (3,5) (4,5)t ′′ij 6 4 2 2 6 5 4t ′ ij 3 2 1 2 4 4 3c ′′ij 300 160 70 90 270 260 150c ′ ij 345 180 90 90 320 290 160214 5314. Произвести оптимизацию сетевого графика по ресурсам. Перваяцифра, приписанная дуге графика, означает время выполнения операции(работы), а вторая — требуемое количество ресурса для выполненияоперации. Операции не допускают перерыва в их выполнении.12;925;43;63;52;3356;44;664;23;32;14R 15573

15. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1760 1410 1610 1700 1460 1370 1100 1220 1550 1750 2200 171302 1270 1150 1390 1260 1600 1580 1260 1750 1340 1770 2300 166703 1510 1240 1820 1210 1450 1670 1670 1730 1590 1200 2400 174904 1580 1470 1480 1480 1070 1660 1650 1150 1420 1670 2000 166305 1300 1290 1590 1370 1230 1450 1320 1510 1290 1070 2300 157206 1130 1280 1170 1020 1370 1540 1840 1520 1150 1310 2000 153307 1310 1800 1720 1720 1780 1430 1190 1460 1410 1470 2300 175908 1400 1550 1200 1790 1690 1570 1460 1620 1350 1800 2300 177309 1720 1840 1290 1290 1750 1330 1530 1630 1630 1310 2000 1732010 1650 1240 1350 1100 1230 1650 1520 1310 1610 1790 2100 16550Доб.стоим.2125 1773 1713 1359 1433 1278 1229 1475 1955 128317130 16670 17490 16630 15720 15330 17590 17730 17320 16550а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;574

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.575

Вариант 81. Решить графическим методом следующую задачу линейного программирования:f(x) = 1 4 x 1 + x 2 → min;⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + 2x 2 ≥ 5;5x 1 + x 2 ≥ 9;3x 1 + 2x 2 ≥ 11;x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.2. Предприятие электронной промышленности выпускает две моделирадиоприемников. Каждая модель производится на отдельной технологическойлинии. Суточный объем производства первой линии — 60 изделий,второй — 75. На радиоприемник первой модели расходуется 10однотипных элементов электронных схем, второй модели — 8. Наибольшийсуточный запас используемых элементов равен 800 ед. Прибыль отреализации одного радиоприемника первой и второй моделей — соответственно3000 и 2000 ден. ед. Определить оптимальные суточные объемыпроизводства первой и второй моделей.3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.f(x) = 6x 1 + x 3 − 8 → max;576

⎧⎪⎨⎪⎩4x 1 + x 2 + x 3 = 8;2x 1 − x 2 ≤ 2;x 1 + x 2 − x 4 = 2;x j ≥ 0, j = 1, 4.4. Для производства трех видов продукции используются три видасырья. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукцииданного вида, запасы сырья, а также прибыль с единицы продукцииприведены в таблице.Продукция видаСырьё A Сырьё B Сырьё CI 2 1 − 14II 1 1 − 8III − 1 1 3СырьеПрибыль,ден. ед.3 4 1Запасысырья, ед.Определить план выпуска продукции для получения максимальнойприбыли от ее реализации.5. Построить двойственную задачу к следующей задаче линейногопрограммирования:f(x) = 6x 1 + 8x 2 → max;577

⎧⎪⎨⎪⎩2x 1 + x 2 + x 3 = 6;x 1 + 3x 2 + x 4 = 10;x 1 + x 5 = 5;3x 2 + 2x 3 + x 6 = 12;x j ≥ 0, j = 1, 6.6. Решить двойственным симплекс-методом следующую задачу линейногопрограммирования:f(x) = 4x 1 + 2x 2 → min;⎧⎨ x 1 + x 2 = 1;3x 1 − x 2 ≥ 2;⎩x j ≥ 0, (j = 1, 2).7. Найти оптимальные планы перевозок транспортной задачи, условиякоторой даны в таблице:ПоставщикиПотребители ЗапасB 1 B 2 B 3 B 4 груза a iA 1 8 4 6 2 40A 2 4 10 5 6 25A 3 6 7 8 5 28A 4 10 12 8 9 32Потребностьв грузе b j28 32 20 45 125578

8. Решить следующую задачу о рюкзаке:Ценность не менее 15.№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 4 3 4 5 3 4Стоимость, c i (у.е.) 6 2 7 6 2 4 29. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ji ❅ ❅❅1 2 3 4 51 ∞ 2 2 4 32 1 ∞ 3 3 13 5 2 ∞ 2 64 1 2 4 ∞ 45 1 6 3 2 ∞10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования:⎡⎣1 0 1 −10 1 3 2−1 2 −2 0⎤⎦ .579

11. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣3 1 9 51 5 7 00 4 5 −11 5 7 012. Необходимо осуществить оптимизацию сетевого графика (рисунок1) по времени. Найдите критический путь на сетевом графике до ипосле оптимизации и сравните результаты.⎤⎥⎦ .ПоказателиОперации(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4)t ij 10 20 8 16 12d ij 6 14 5 12 7k ij 0,5 0,3 0,6 0,2 0,45Дополнительноеколичествоподвижныхсредств (B)1213. Оптимизировать сетевой график по стоимости при известных параметрахопераций, заданных в таблице.580

ПараметрыОперации(1,2) (1,3) (1,4) (2,4) (2,5) (3,5) (4,5)t ′′ij 6 4 2 2 4 5 4t ′ ij 3 2 1 2 2 3 3c ′′ij 200 160 60 40 270 160 50c ′ ij 236 200 75 40 290 210 68214 5314. Произвести оптимизацию сетевого графика по ресурсам. Перваяцифра, приписанная дуге графика, означает время выполнения операции(работы), а вторая — требуемое количество ресурса для выполненияоперации. Операции не допускают перерыва в их выполнении.33;423;72;54;65;416;5 3;34 5 6R 144;3581

15. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 2560 2360 2730 2600 2600 2400 2350 2360 2540 2280 2900 276802 2380 2070 2290 2140 2680 2590 2580 2010 2310 2260 3300 266103 2600 2170 2010 2190 2180 2250 2390 2450 2530 2830 3700 273004 2040 2090 2050 2190 2330 2770 2620 2410 2660 2030 2900 260905 2690 2570 2230 2000 2210 2370 2300 2320 2610 2470 3100 268706 2480 2110 2200 2420 2370 2560 2820 2740 2750 2190 2900 275407 2520 2730 2500 2220 2520 2330 2710 2760 2260 2610 3900 290608 2420 2560 2790 2580 2780 2260 2330 2420 2510 2370 3100 281209 2300 2280 2630 2170 2680 2350 2340 2660 2140 2370 2800 2672010 2100 2320 2320 2110 2130 2580 2810 2230 2640 2030 2900 26170Доб.стоим.2194 1999 1799 2357 2179 2471 2530 1892 1940 245827680 26610 27300 26090 26870 27540 29060 28120 26720 26170а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;582

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.583

Вариант 91. Решить графическим методом следующую задачу линейного программирования:f(x) = 5 4 x 1 + x 2 → min;⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + x 2 ≥ 4;2x 1 + x 2 ≥ 6;3x 1 + 2x 2 ≥ 11;x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.2. Предприятие выпускае продукцию двух видов: P 1 и P 2 . Используютсятри вида ресурсов: оборудование, сырье и электроэнергия. Нормырасхода, лимиты ресурсов и прибыль от единицы продукции представленыв таблице.Норма расхода на единицуРесурсыпродукцииПродукция P 1 Продукция P 2Оборудование 2 3 31Сырье 1 1 12Электроэнергия 2 1 20Прибыльна единицупродукции40 25Имеющийся объемресурса584

Найти оптимальный план выпуска продукции.3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.f(x) = −2x 1 + 3x 2 − 6x 3 − x 4 → min;⎧2x 1 + x 2 − 2x 3 + x 4 = 24;⎪⎨x 1 + 2x 2 + 4x 3 ≤ 22;x ⎪⎩ 1 − x 2 + 2x 3 ≥ 10;x j ≥ 0, j = 1, 4.4. Для производства трех видов продукции используются три видасырья. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукцииданного вида, запасы сырья, а также прибыль с единицы продукцииприведены в таблице.Продукция видаСырьё A Сырьё B Сырьё CI 3 2 − 18II − 1 1 4III − 2 − 10СырьеПрибыль,ден. ед.2 5 1Запасысырья, ед.Определить план выпуска продукции для получения максимальнойприбыли от ее реализации.585

5. Построить двойственную задачу к следующей задаче линейногопрограммирования:f(x) = x 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 → min;⎧⎪⎨⎪⎩2x 1 + x 2 − 2x 3 + x 4 = 4;x 1 − 2x 2 + x 3 − x 4 ≥ 6;x 1 − x 3 ≤ 8;x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.6. Решить двойственным симплекс-методом следующую задачу линейногопрограммирования:f(x) = 2x 1 + 3x 2 → min;⎧⎨⎩2x 1 + x 2 ≥ 3;x 1 + x 2 = 2;x j ≥ 0, (j = 1, 2).7. Найти оптимальные планы перевозок транспортной задачи, условиякоторой даны в таблице:586

ПоставщикиПотребители ЗапасB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 груза a iA 1 9 6 8 11 10 100A 2 6 9 13 15 12 80A 3 8 7 12 5 9 40Потребность вгрузе b j60 50 40 35 35 2208. Решить следующую задачу о рюкзаке:№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 4 4 5 4 3 3 4Стоимость, c i (у.е.) 7 2 3 6 2 4 2Ценность не менее 14.9. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ji ❅ ❅❅1 2 3 4 51 ∞ 1 2 3 42 1 ∞ 2 3 13 4 2 ∞ 2 64 1 2 4 ∞ 45 2 6 3 2 ∞587

10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования:⎡ ⎤4 1 0⎣ 0 1 4 ⎦ .0 3 011. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎣5 2 0 3 41 4 6 2 50 4 3 1 212. Необходимо осуществить оптимизацию сетевого графика (рисунок1) по времени. Найдите критический путь на сетевом графике до ипосле оптимизации и сравните результаты.⎤⎦ .ПоказателиОперации(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4)t ij 24 18 6 16 8d ij 20 12 4 14 5k ij 0,2 0,4 0,1 0,35 0,5Дополнительноеколичествоподвижныхсредств (B)10588

13. Оптимизировать сетевой график по стоимости при известных параметрахопераций, заданных в таблице.ПараметрыОперации(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (4,5)t ′′ij 6 3 5 2 9 6t ′ ij 4 2 2 1 6 4c ′′ij 1 3 1 3 1 2c ′ ij 3 5 10 8 4 6214 5314. Произвести оптимизацию сетевого графика по ресурсам. Перваяцифра, приписанная дуге графика, означает время выполнения операции(работы), а вторая — требуемое количество ресурса для выполненияоперации. Операции не допускают перерыва в их выполнении.212;66;44;514;36;53;24 5 63;1134;25;7R 16589

15. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1730 1700 1360 1290 1510 1710 1260 1250 1610 1400 2000 168202 1220 1310 1660 1450 1180 1640 1420 1460 1540 1000 2100 159803 1200 1190 1330 1640 1770 1720 1580 1240 1400 1110 2500 166804 1700 1470 1410 1060 1490 1660 1660 1600 1160 1120 2400 167305 1310 1030 1550 1550 1410 1110 1000 1330 1200 1820 2100 154106 1380 1070 1390 1740 1310 1440 1490 1430 1770 1700 2300 170207 1360 1220 1420 1210 1120 1300 1130 1330 1620 1650 2300 156608 1410 1690 1080 1840 1760 1450 1800 1440 1630 1220 2400 177209 1520 1520 1380 1050 1710 1170 1440 1350 1390 1270 2000 1580010 1720 1670 1740 1180 1030 1680 1380 1060 1290 1470 2300 16520Доб.стоим.2500 2930 2607 2831 2210 2998 2370 2285 2011 286316820 15980 16680 16730 15410 17020 15660 17720 15800 16520а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;590

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.591

Вариант 101. Решить графическим методом следующую задачу линейного программирования:f(x) = 9 2 x 1 + x 2 → min;⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + 4x 2 ≥ 7;4x 1 + x 2 ≥ 8;3x 1 + 2x 2 ≥ 11;x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.2. При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед.белков, 8 ед. углеводов и 11 ед. протеина. Для составления рациона используютдва вида корма, представленных в следующей таблице:Количество единицпитательных веществ на 1 кг.Корма 1 Корма 2белки 3 1Питательныевеществауглеводы 1 2протеин 1 6Стоимость 1 кг корма первого вида — 4 д.е., второго — 6 д.е. Необходимосоставить дневной рацион питательности, имеющий минимальнуюстоимость.592

3. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.f(x) = 2x 1 − 3x 2 + 6x 3 + x 4 → max;⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + 2x 2 − 4x 3 ≤ 20;x 1 − x 2 + 2x 3 ≥ 10;2x 1 + x 2 − 2x 3 + x 4 = 24;x j ≥ 0, j = 1, 4.4. Для производства трех видов продукции используются три видасырья. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукцииданного вида, запасы сырья, а также прибыль с единицы продукцииприведены в таблице.Продукция видаСырьё A Сырьё B Сырьё CI 2 1 3 18II 2 − − 10III 4 − 3 24СырьеПрибыль,ден. ед.6 1 9Запасысырья, ед.Определить план выпуска продукции для получения максимальнойприбыли от ее реализации.593

5. Построить двойственную задачу к следующей задаче линейногопрограммирования:f(x) = 2x 1 − x 2 + x 3 − 3x 4 + x 5 → max;⎧⎪⎨⎪⎩x 1 − 3x 2 + x 3 + 2x 4 = 5;2x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 − x 5 ≤ 8;x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 + 2x 5 ≤ 9;−x 1 − 2x 2 + x 3 − 3x 4 − x 5 ≥ 4;x 1 ≥ 0, x 3 ≥ 0.6. Решить двойственным симплекс-методом следующую задачу линейногопрограммирования:f(x) = x 1 + x 2 → min;⎧⎪⎨⎪⎩x 1 + x 2 ≥ 1;−x 1 + x 2 ≥ 2;−x 1 + x 2 ≥ −3;x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0.7. Найти оптимальные планы перевозок транспортной задачи, условиякоторой даны в таблице:594

ПоставщикиПотребители ЗапасB 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 груза a iA 1 9 3 4 8 10 12 36A 2 4 6 7 11 13 9 34A 3 5 8 8 4 12 10 32A 4 6 12 15 9 6 8 30Потребностьв грузе b j20 15 25 27 30 15 1328. Решить следующую задачу о рюкзаке:№, i 1 2 3 4 5 6 7Масса, p i (кг) 3 4 3 3 5 3 2Стоимость, c i (у.е.) 3 2 6 6 2 5 2Ценность не менее 13.9. Решить следующую задачу коммивояжера:❅ji ❅ ❅❅1 2 3 4 51 ∞ 1 2 3 42 2 ∞ 1 2 13 4 2 ∞ 2 64 4 2 3 ∞ 45 1 5 3 2 ∞595

10. Решить матричную игру, заданную ниже платежной матрицей,сведя их к парам двойственных задач линейного программирования:⎡ ⎤1 4 6⎣ 7 2 0 ⎦ .5 3 211. Выполнить возможные упрощения следующей платежной матрицыи найти решение игры, используя графический метод решения задачлинейного программирования:⎡⎢⎣3 1 5 46 6 2 04 2 7 65 3 5 512. Необходимо осуществить оптимизацию сетевого графика (рисунок1) по времени. Найдите критический путь на сетевом графике до ипосле оптимизации и сравните результаты.ПоказателиОперации⎤⎥⎦ .(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4)t ij 6 22 18 14 10d ij 4 16 15 10 6k ij 0,1 0,15 0,3 0,5 0,2Дополнительноеколичествоподвижныхсредств (B)24596

13. Оптимизировать сетевой график по стоимости при известных параметрахопераций, заданных в таблице.ПараметрыОперации(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (2,5) (3,5) (4,5)t ′′ij 6 11 4 7 9 3 8t ′ ij 2 6 1 3 4 1 3c ′′ij 6 2 4 3 2 5 1c ′ ij 14 17 13 19 27 7 312413514. Произвести оптимизацию сетевого графика по ресурсам. Перваяцифра, приписанная дуге графика, означает время выполнения операции(работы), а вторая — требуемое количество ресурса для выполненияоперации. Операции не допускают перерыва в их выполнении.6;425;314;37;64 56;534;4R 10597

15. Межотраслевой баланс в натуральном выражении.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Спрос Всего1 1220 1650 1190 1340 1060 1760 1570 1170 1360 1450 2000 157702 1700 1770 1150 1810 1510 1370 1390 1760 1470 1330 2500 177603 1480 1700 1220 1340 1240 1700 1630 1640 1200 1550 2400 171004 1610 1340 1690 1310 1540 1470 1120 1290 1300 1130 2500 163005 1100 1080 1560 1480 1150 1440 1210 1710 1310 1180 2000 152206 1500 1430 1560 1240 1590 1310 1330 1580 1140 1710 2300 166907 1060 1290 1550 1750 1220 1530 1530 1170 1340 1000 2300 157408 1220 1550 1500 1100 1470 1790 1030 1670 1670 1420 2300 167209 1100 1830 1020 1120 1510 1020 1260 1120 1270 1150 2400 1480010 1500 1520 1210 1590 1370 1830 1020 1090 1690 1490 2300 16610Доб.стоим.2265 2396 2240 2641 2290 2715 2585 2337 2662 209715770 17760 17100 16300 15220 16690 15740 16720 14800 16610а) Найти матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат;б) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;в) выясните, каким должен быть равновесный конечный спрос дляувеличения валового выпуска продукции;г) найти величину добавленной стоимости на единицу продукции вкаждой отрасли;д) рассчитать факторную стоимость единицы продукции в каждойотрасли;е) записать баланс в стоимостном выражении для данной задачи;ж) проверить основные балансовые равенства;з) записать матрицы коэффициентов прямых и полных производственныхзатрат в стоимостном выражении;598

и) рассчитать равновесный валовый выпуск при увеличении спросана продукцию 1-й отрасли на 10%;к) сравнить последний результат с 10%-ным увеличением спроса внатуральном выражении.599

Вопросы и задания, выносимые на экзамен дляспециальности “Бизнес-администрирование”1. Основные понятия, этапы и методы математического моделированиясоциально-экономических систем.2. Основные понятия и сведения из теории графов. Способы заданияграфов.3. Целочисленное программирование. Метод Гомори решения задачцелочисленного программирования.4. Целочисленное программирование. Метод ветвей и границ решениязадач целочисленного программирования.5. Решение задач о рюкзаке методом ветвей и границ.6. Решение задач коммивояжера методом ветвей и границ7. Параметрическое программирование. Постановка и геометрическаяинтерпретация задачи. Графическое решение задачи.8. Параметрическое программирование. Постановка и геометрическаяинтерпретация задачи. Аналитическое решение задачи.9. Модели теории игр. Основные понятия теории игр. Решение матричныхигр в чистых стратегиях.10. Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стратегияхпутем сведения к задаче линейного программирования.11. Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стратегияхграфическим и приближенным методом.600

12. Модели межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс в натуральнойформе.13. Модели межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс в стоимостнойформе.14. Модели межотраслевого баланса. Продуктивность балансовой модели.601

Вопросы и задания, выносимые на экзамен дляспециальности “Государственное управление и экономика”1. Основные понятия, этапы и методы математического моделированиясоциально-экономических систем.2. Линейное программирование. Геометрическая интерпретация и графическийметод решения задачи линейной оптимизации.3. Линейное программирование. Симплекс метод решения задачи линейнойпрограммирования.4. Линейное программирование. Метод искусственного базиса решениязадачи линейного программирования.5. Теория двойственности в задачах линейного программирования.Алгоритм построения двойственной задачи.6. Теория двойственности в задачах линейного программирования.Двойственный симплекс метод.7. Постановка транспортной задачи. Нахождение опорного плана методомсеверо-западного угла и минимального элемента. Распределительныйметод нахождения оптимального плана.8. Постановка транспортной задачи. Нахождение опорного плана методомсеверо-западного угла и минимального элемента. Метод потенциаловнахождения оптимального плана.9. Решение задачи о рюкзаке методом ветвей и границ.10. Решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ.602

11. Модели теории игр. Основные понятия теории игр. Решение матричныхигр в чистых стратегиях.12. Модели теории игр. Решение матричных игр в смешанных стратегияхпутем сведения к задаче линейного программирования. Решениематричных игр графическим методом.13. Модели межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс в натуральнойформе.14. Модели межотраслевого баланса. Межотраслевой баланс в стоимостнойформе.15. Продуктивность балансовой модели.16. Основные понятия сетевого планирования и управления. Правилапостроения сетевых графиков.17. Расчет временных параметров сетевого графика.18. Оптимизация комплекса операций по времени.19. Оптимизация комплекса операций по ресурсам.20. Оптимизация комплекса операций по стоимости.603

Литература1. Акулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах/ И.Л. Акулич. М. 1986. – 319 с.2. Вентцель, Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. – М., 1972.– 552 с.3. Вентцель, Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология/ Е.С. Вентцель. – М., 1988. – 206 с.4. Высшая математика для экономистов / И.В. Гайшун [и др.]. – Минск:БГЭУ, 2005. – 623 с.5. Дегтярев, Ю.И. Исследование операций / Ю.И. Дегтярев. – М.,1986. – 269 с.6. Конюховский, П.В. Математические методы исследования операцийв экономике / П.В. Конюховский. – СПб., М., Харьков, Минск:Питер, 2000. – 208 с.7. Костевич, Л.С. Математическое программирование / Л.С. Костевич.– Минск : Новое знание, 2003. – 424 с.8. Кузнецов, А.В. Высшая математика. Математическое программирование/ А.В. Кузнецов, Н.Н. Холод, Л.С. Костевич; подред. А.В. Кузнецова. – Минск : Вышэйшая школа, 2001. – 351 с.604

9. Кузнецов, А.В. Руководство к решению задач по математическомупрограммированию / А.В. Кузнецов, Н.Н. Холод, Л.С. Костевич;под ред. А.В. Кузнецова – Минск : Вышэйшая школа, 2001. – 448 с.10. Сборник задач и упражнений по высшей математике. Математическоепрограммирование / А.В. Кузнецов [и др.]; под ред. А.В. Кузнецова,Р.А. Рутковского. – Минск : Вышэйшая школа, 2002. – 447 с.11. Кузнецов, А.В. Экономико-математические методы и модели /А.В. Кузнецов. – Минск : БГЭУ, 2000. – 103 с.12. Саати, Т.Л. Математические методы исследования операций /Т.Л. Саати. – М., 1963. – 133 с.13. Таха, Х.А. Введение в исследование операций / Х.А. Таха. – М.,СПб., Киев : Вильямс, 2005. – 912 с.14. Федосеев, В.В. Экономико-математические методы и прикладныемодели / В.В. Федосеев. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 304 с.605