22 Coniche proiettive

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-giu-06 97(22.10) Nota. Se T è una matrice in GL(3, K), segue dalla dimostrazione della proposizioneprecedente che le coniche di equazionisono proiettivamente equivalenti.t xAx = 0 t x t T AT x = 0Ricordiamo ora alcuni teoremi relativi alle matrici simmetriche con coefficienti in K (formebilineari simmetriche):(22.11) Ogni forma bilineare simmetrica A su K n è diagonalizzabile, cioè se A è una matricen × n simmetrica allora esiste una matrice M ∈ GL(n, K) tale che t MAM è diagonale.(22.12) Se K è algebricamente chiuso (per esempio K = C), per ogni forma bilineare simmetricaA esiste M ∈ GL(n, K) tale che t MAM è diagonale e gli elementi della diagonalesono tutti 1 oppure 0, cioè[ ]t Ir 0MAM =0 0dove I r è la matrice identica r × r e il resto della matrice ha coefficienti nulli (r è il rango diA).(22.13) (Sylvester) Se K = R, per ogni forma bilineare simmetrica A esiste M ∈ GL(n, K)tale che t MAM è diagonale e gli elementi della diagonale sono tutti ±1 oppure 0, cioè⎡I p 0⎤0t MAM = ⎣ 0 −I r−p 0⎦0 0 0dove I p è la matrice identica p × p, I r−p analoga e il resto della matrice ha coefficienti nulli.22.1 Classificazione proiettiva delle coniche(22.14) Teorema (Forme canoniche su R). Consideriamo le seguenti equazioni di conichein P 2 (R):(i) x 2 0 + x 2 1 + x 2 2 = 0 (conica senza punti reali: ∅).(ii) x 2 0 + x 2 1 − x 2 2 = 0 (conica non degenere).(iii) x 2 0 + x 2 1 = 0 (conica degenere: un punto [0 : 0 : 1]).(iv) x 2 0 − x 2 1 = 0 (conica degenere: due rette x 0 = x 1 , x 0 = −x 1 ).(v) x 2 0 = 0 (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti x 0 = 0, x 0 = 0).Ogni conica C ⊂ P 2 (R) è proiettivamente equivalente ad una e una sola delle coniche 1, 2, 3,4. 5.Dimostrazione. Abbiamo visto sopra che ogni conica nel piano proiettivo può essere riscritta,mediante una proiettività, come una delle coniche dell’elenco. Dobbiamo mostrare che nonsono proiettivamente equivalenti per stabilire l’unicità della forma canonica. È chiaro che la3 non è equivalente alle altre, dato che è formata da solo un punto mentre le altre hannoD.L. Ferrario 2006-giu-06 97

98 2006-giu-06 Geometria e Topologia I (U1-4)infiniti punti. Dato che una proiettività porta rette in rette, 4 e 5 non sono equivalenti: altrimentila proiettività trasformerebbe una retta nell’unione di due rette distinte, cioè unaretta coinciderebbe con l’unione di due rette distinte. Per concludere la dimostrazione dobbiamodimostrare che la conica generica non è proiettivamente equivalente né ad una rettané all’unione di due rette (cioè che l’insieme delle soluzioni di una equazione con matrice nonsingolare non può essere proiettivamente equivalente all’insieme di soluzioni di una equazionecon matrice singolare). Mostriamo a questo scopo che l’intersezione di una retta con unaconica non degenere ha sempre solo al massimo un numero finito di punti. A meno di uncambio di coordinate x = x 0 + x 1 , y = x 0 − x 1 e z = x 2 possiamo supporre che l’equazionedella conica sia xy − z 2 = 0. L’equazione di una retta generica l in coordinate omogenee èax + by + cz = 0. Consideriamo la carta affine di coordinate [x : y : 1]. Se la retta l coincidecon la retta all’infinito (di equazione z = 0), allora le intersezioni sono i due punti [0 : 1 : 0]e [1 : 0 : 0]. Altrimenti, se assumiamo che l’intersezione tra la conica e la retta è compostada infiniti punti, allora ce ne sono infiniti nella parte affine dell’intersezione, dal momento chel’intersezione della conica con l e con la retta all’infinito è contenuta nell’intersezione di l conla retta all’infinito, che ha un punto solo. Ma nella carta affine le intersezioni sono le soluzionidel sistema di equazioni {xy = 1ax + by + c = 0con a oppure b diversi da zero. Questo può avere infinite soluzioni soltanto per a = b = c = 0,contro l’ipotesi.q.e.d.(22.15) Teorema (Forme canoniche su C). Consideriamo le seguenti equazioni di conichein P 2 (C):(i) x 2 0 + x 2 1 + x 2 2 = 0 (conica generica non degenere).(ii) x 2 0 + x 2 1 = 0 (conica degenere: due rette).(iii) x 2 0 = 0 (conica doppiamente degenere: due rette coincidenti x 0 = 0, x 0 = 0).Ogni conica C ⊂ P 2 (C) è proiettivamente equivalente ad una e una sola delle coniche 1, 2, 3.Dimostrazione. Dato che C è algebricamente chiuso, si può usare la classificazione delle formebilineari simmetriche su C di (22.12) per vedere che ogni conica di P 2 (C) è proiettivamenteequivalente ad una delle tre coniche dell’elenco (in funzione del rango della matrice associata).Poi si prosegue come nella dimostrazione della proposizione precedente (vedi anche esercizio(14.9)). q.e.d.98 2006-giu-06 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-giu-07 9923 Coniche affini e coniche euclideeSe C ⊂ P 2 (K) è una conica proiettiva (dove K = R oppure K = C) e A 2 0(K) è una cartaaffine di P 2 (K), allora l’intersezione C ∩ A 2 0(K) si dice conica affine, o anche parte affine (alfinito) della conica C. Se K = R e A 2 0(K) è anche euclideo, allora l’intersezione si dice conicaeuclidea. Il problema della classificazione è analogo a quello della classificazione proiettiva:diciamo che due coniche affini Γ e Γ ′ sono affinemente equivalenti (oppure, equivalenti dalpunto di vista affine) se esiste una affinità T : A 2 0(K) → A 2 0(K) tale che T (Γ) = Γ ′ .(23.1) Se T : A 2 0(K) → A 2 0(K) è una affinità, allora esiste una proiettività f : P 2 (K) → P 2 (K)che manda A 2 0(K) in A 2 0(K) (e la retta all’infinito nella retta all’infinito) tale che per ognix = (x 1 , x 2 ) ∈ A 2 0(K) si ha T (x) = f([1 : x 1 : x 2 ]). Viceversa, ogni proiettività che manda lacarta affine in sé induce (nello stesso modo) una affinità sulla carta affine.Dimostrazione. La trasformazione affine si scrive come[ ] [ ] [ ]x1 a1,1 a↦→1,2 x1+x 2 a 2,2 x 2a 2,1per certi coefficienti a i,j e b i . Ma questo si può scrivere, aggiungendo la terza coordinatax 0 = 1, anche come⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤1 1 0 0 1⎣x 1⎦ ↦→ ⎣b 1 a 1,1 a 1,2⎦ ⎣x 1⎦x 2 b 2 a 2,1 a 2,2 x 2⎡⎤1 0 0Se M è la matrice ⎣b 1 a 1,1 a 1,2⎦, si vede subito che è invertibile se e solo se A è invertibile, perb 2 a 2,1 a 2,2cui la matrice M induce una proiettività M : P 2 (K) → P 2 (K), che manda la retta all’infinito(di equazione x 0 = 0) in se stessa, e il piano A 2 0(K) = {[x 0 : x 1 : x 2 ] : x 0 ≠ 0} in sé. Viceversa,è facile vedere che una proiettività che manda la retta all’infinito in sé, in particolare devemandare i punti [0 : 1 : 0] e [0 : 0 : 1] nella retta all’infinito, per cui la matrice di unaproiettività di questo tipo si scrive come⎡⎤m 1,1 0 0⎣m 2,1 a 2,2 a 2,3⎦m 3,1 a 3,2 a 3,3Ma m 1,1 ≠ 0, altrimenti la matrice è singolare, e dato che la proiettività è definita a menodi una costante, si può supporre (dividendo per m 1,1 tutti i coefficienti m i,j ) senza perdere ingeneralità che m 1,1 = 1.q.e.d.(23.2) Teorema (Forme canoniche su affini reali). Consideriamo le seguenti equazionidi coniche in A 2 (R):(i) x 2 + y 2 − 1 = 0 (ellisse/circonferenza).(ii) x 2 − y 2 = 1 (iperbole).(iii) y − x 2 = 0 (parabola).(iv) x 2 − y 2 = 0 (iperbole degenere: due rette secanti).D.L. Ferrario 2006-giu-07 99[b1b 2]