Esercizi sulle derivate (1) Trovare la derivata delle seguenti funzioni ...

Esercizi sulle derivate(1) Trovare la derivata delle seguenti funzioni:(a) sin(x + 3); (b) − cos(x/5); (c) sin(−x/2);(d) sin 5(x − 1); (e) 1/ cos(3x); (f) sin(3x)/ cos(2x);(g) tan( 2x); (h) 3 tan3 (5x); (i) cos 5 ( 4x + 1π);3 2(l) sin(x) − x cos(x); (m) tan(5x + 3); (n) √ 2 + cos(x);(o) sin √ x; (p) sin 3 (x 2 ); (q) 1/ cos 2 (3x) − tan 2 (x).(2) Mostrare (utilizzando la definizione di derivata) che la funzione{x 2 sin(1/x) x ≠ 0f(x) =0 x = 0è derivabile in x = 0.(3) Trovare m e q per i quali la funzione{sin(x) x < πf(x) =mx + q x ≥ πè derivabile in x = π.(4) Determinare (motivando la risposta) se la funzione{1−cos xx = 0f(x) =x0 x = 0è derivabile o meno in x = 0.(5) Utilizzando la regola di derivazione delle funzioni inverse mostrareche:(a) (arctan x) ′ = 1 ; (b) (arccos x) ′ = − 11+x 2 √1−x 2; (c) (arcotanx) ′ = − 1(d) (ln x) ′ = 1; (e) (arcsin x x)′ = √ 11−x 2; (f) (e x ) ′ = e x .(6) Determinare la derivata delle seuguenti funzioni:1+x 2 ;(a) tan(x2 +cos 5 ( √ x)); (b) arctan( x2 −cos 2 x; (c) exp(tan(arcsin √ 1 − xarcsin(x 2 −3) ln(3x 2 ) 2 ));(d) cos 5 1( √1−x 2); (e) tan(arctan(sin(x 2 ))); (f)sin 5 (ln(1+x 3 ))cos(5/x) arctan(1/x 2 ) .(7) (bolla di sapone). Con che rapidità varia il raggio di una bolla disapone sferica quando si soffia aria nella bolla con rapidità (portata involume) di 100 cm 3 /s? (attenzione: esprimere la risposta nella opportunaunità di misura)(8) (recipiente cilindrico). Con che rapidità si abbassa i livello dell’acquaquando un recipiente cilindrico viene svuotato alla rapidità (portata involume) di 3l/s? (attenzione: esprimere la risposta nella opportunaunità di misura)(9) Una scala a pioli lunga 7, 8cm è appoggiata contro una parete verticale.Il piede della scala viene allontanato dalla parete alla velocità1

2(costante) di 1, 2 m/s. Quanto vale la velocità a cui l’estremo superioredella scala scende strisciando lungo il muro nel momento in cui il piededella scala si trova ad una distanza di 3 m dalla parete? (attenzione:esprimere la risposta nella opportuna unità di misura)(10) In un recipiente conico, con il vertice in basso, affluisce dell’acquaalla rapidità di 2 m 3 /min. Il recipiente ha altezza di 10 m e basedi raggio 5 m. Quanto vale la velocità a cui sale il livello dell’acquaquando la sua profondità (distanza vertice-cono dal livello acqua) è di 6m? (attenzione: esprimere la risposta nella opportuna unità di misura)(11) Trovare due numeri positivi a, b la cui somma sia a + b = 20 ed illoro prodotto ab sia il massimo possibile.(12) Un rettangolo deve essere inscritto in un semicerchio di raggio 2cm. Quanto vale l’area massima che il rettangolo può avere? E qualisono le sue dimensioni? (attenzione: esprimere la risposta nella opportunaunità di misura)(13) (la scatola) Una lamina quadrata di latta, di lato 80 cm è usataper costruire una scatola aperta superiormente (senza coperchio)tagliando, parallelamente ai lati della lamina, quattro quadratini daglispigoli e successivamente ripiegando verso l’alto i lati. Quanto devevalere il lato del quadratino affinché la scatola abbia volume massimo?(13) (la lattina di coca-cola) Si deve costruire un recipiente a forma dicilindro circolare retto che contenga 33 cl di coca-cola. Quali devonoessere le dimensioni del recipiente per minimizzare la quantità di alluminioimpiegato per costruirla?(14) Un filo metallico di lunghezza 60 cm deve essere tagliato in duepezzi, uno dei quali viene usato per costruire una circonferenza, l’altroun quadrato. Come si deve tagliare il filo affinché la somma delle areedelle due figure sia massima?(15) Una fabbrica vende x pezzi di un articolo alla settimana ad unprezzo P = (200 − 0, 01 · x) EURO (per ciascun articolo) e sostiene uncosto di produzione C = (50 · x + 20, 000) EURO per produrre x pezzi.Qual è il numero di pezzi da produrre per ottenere il profitto massimo?