confronto fattorizzazioni - UniversitÃ degli studi di Cagliari.

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calcolare la fattorizzazione QR di una matrice in forma di Hessenberg è possibileapplicare (n-1) trasformazioni di Givens che annullano gli elementi sottodiagonali.Partiamo da una matrice in forma di Hessenberg T(0)=H(0).Per ogni k>=1 si calcola la fattorizzazione QR di H(k-1) con n-1 rotazioni di Givens(Q (k ) ) T H (k −1) (k)=(G n−1) T ...(G (k) 1) T H (k−1) =R (k ) ,che richiede 3n 2 flops.Il passo successivo consiste nel completare la trasformazione per similitudineortogonaleH (k) =R (k) Q (k) = R (k) (G (k) (k1...G ) n −1),che richiede 3n 2 operazioni.La matrice Q (k) =(G (k) 1...G (k) n−1) è ortogonale ed è in forma di Hessenberg superiore.Si ha infatti cheQ (k) =G 1(k)G 2(k) =[ • • 0• • 01][ 1 0 00 • •0 0•] [ • • •= • • •0 •0 • •]In tutto dunque si ha un costo pari a 6n 2 flops.A questo punto, se proviamo ad applicare le fattorizzazioni QR di Givens e QR diHouseholder questa volta a una matrice in forma di Hessenberg, abbiamo che lafattorizzazione di Givens è più efficiente, anche al crescere delle dimensioni dellamatrice.In matlab la matrice di Hessenberg si ottiene mediante il comandohess(A);35
Facendo una valutazione sui tempi di elaborazione, che mettono in risalto ledifferenze computazionali tra gli algoritmi, otteniamo i seguenti risultati al variare din:36
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