confronto fattorizzazioni - Università degli studi di Cagliari.
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calcolata come prodotto <strong>di</strong> matrici <strong>di</strong> Householder P (1) ...P (n-2) .In ogni passo k-esimo si trasforma A per similitu<strong>di</strong>ne, attraverso la matrice <strong>di</strong>Householder P k , alla quale fa in modo <strong>di</strong> annullare gli elementi in posizione k+2,...ndella colonna k-esima della matrice per k=1,...,(n-2).Il passaggio in forma <strong>di</strong> Hessenberg richiede un costo computazionale dell'or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong>n 3 flops.La procedura può essere così schematizzata:[• • • •• • •• • •• • • • • • • • • • • •• • • • (1)→[• P0 • • • (2)→[• 0 • • •• • • •]→P0 • • •]→0 0 • •]dove gli elementi in<strong>di</strong>cati con il simbolo • sono gli elementi non nulli della matrice.Partendo dalla con<strong>di</strong>zione A=A(0) si genera la successione:P T(k )A (k−1) P (k)=(P (1)...P (k )) T A (P (1)... P (k))=Q T (k)AQ (k)k⩾1.L'operazione P T (k)A (k −1) lascia invariate le prime k righe <strong>di</strong> A (k-1) , mentrel'operazione P T (k )A (k−1) P (k) lascia invariate le prime k colonne. Dopo n-2 iterazionisi arriva alla matrice à in forma <strong>di</strong> Hessenberg superiore.1.6 FATTORIZZAZIONE QR DI UNA MATRICE INFORMA DI HESSENBERGIl vantaggio <strong>di</strong> utilizzare la matrice <strong>di</strong> Hessenberg, oltre a quello già citatodell'accelerazione della convergenza è legato al metodo <strong>di</strong> Givens. Infatti per34