confronto fattorizzazioni - UniversitÃ degli studi di Cagliari.

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in cui la parte sottostante una diagonale a blocchi, i cui blocchi sono di dimensione 1e di dimensione 2, è composta da zeri . Gli autovalori dei blocchi diagonali superstiticonvergono agli autovalori di A. Il limite non può essere sempre una matricetriangolare superiore perché, nel caso di matrici reali, le trasformazioni diHouseholder e quindi le fattorizzazioni QR e i prodotti RQ sono ancora reali ad ognipasso della successione. Non si potrebbero quindi trovare gli eventuali autovaloricomplessi di A. In presenza di coppie di autovalori complessi coniugati non e infattiverificata l'ipotesi. In tal caso compaiono dei blocchi diagonali a coefficienti reali didimensione 2, i cui autovalori complessi coniugati approssimano quelli di A.2Il costo computazionale del metodo QR e notevolmente alto:3 n3 per ognifattorizzazione QR eogni iterazione.n 32per ogni prodotto RQ, complessivamente76 n3 perMostro ora un esempio del modo in cui funziona l'algoritmo QR, attraverso l'uso deicomandi di matlab.Supponiamo di avere una generica matrice A 5x5:A =2.2362 1.7520 1.4943 1.0274 1.04671.7520 1.6695 1.1969 0.6517 0.76811.4943 1.1969 1.7012 0.5591 1.26951.0274 0.6517 0.5591 0.7690 0.58431.0467 0.7681 1.2695 0.5843 1.1218calcoliamo gli autovalori con il comando eig di matlab:>> eig(A)ans =0.00190.11050.49920.90395.982229
Applico ora l'algoritmo QR, attraverso la funzione “algqr”, che prende in ingresso lamatrice A e un generico numero di iterazioni che stabilisco a piacere, e calcola inuscita la matrice T, nella cui diagonale compaiono gli autovalori di A, e le matrici Qed R in cui la matrice A viene fattorizzata.[T,Q,R]=algqr(A,niter)T =5.9822 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000-0.0000 0.9039 -0.0000 -0.0000 -0.00000.0000 -0.0000 0.4992 0.0000 -0.00000.0000 -0.0000 -0.0000 0.1105 0.00000.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 0.0019Q =1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000-0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -0.00000.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.00000.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 -0.00000.0000 -0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000R =5.9822 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000-0.0000 0.9039 -0.0000 -0.0000 -0.0000-0.0000 0 0.4992 0.0000 -0.00000.0000 0 0 0.1105 0.0000-0.0000 0 0 0.0000 0.001930
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