Esercizi di Matematica per biologia - Matematica e Applicazioni

Esercizi su limiti, derivate e studi di funzioneEsercitatori: Dott. Alessandro Ottazzi e Dott.ssa Maria Vallarino.Esercizio 1. Calcolare, se esistono, i seguenti limiti:(i) lim x→+∞x 2 +1x( √ 3+x 2 −1) ;(ii) lim x→−∞3 x +2x 10x 10 +e x ;(iii) lim x→+∞3 x −x 25 x +ln x ;(iv) lim x→0 + ln xx 5 ;(v) lim x→1e x−1x−1 ;(vi) lim x→1 + ex−1x−1 ;(vii) lim x→1 − ex−1x−1 .Esercizio 2. Calcolare i seguenti limiti applicando la regola di de l’Hopital:1 cos(2x)−1(i) lim x→0 ;3 x 2(ii) lim x→0 + x 2 ln x;()π(iii) lim x→+∞ x − arctan x .2Esercizio 3. Data la funzione f(x) = x2ln x discuterne:a) dominio e segno;b) limiti e asintoti;(c) eventuali massimi e minimi;(d) concavità e convessitaà .Tracciare un grafico qualitativo della funzione.Esercizio 4. Considerata la funzionef(x) = e 1/|x| ,1

studiarne il dominio, i limiti e gli asintoti (orizzontali, verticali, obliqui).Stabilire in quali intervalli la funzione f è crescente e decrescente, concava econvessa. Disegnare un grafico qualitativo della funzione.Esercizio 5. Data la funzionef(x) = xe 1/|x| ,studiarne il dominio e il segno. Studiarne inoltre i limiti e gli asintoti (orizzontali,verticali, obliqui). Stabilire in quali intervalli la funzione f è crescentee decrescente, concava e convessa. Disegnare un grafico qualitativo dellafunzione.Esercizio 6. Supponiamo che la numerosità di una popolazione al tempot > 0 sia descritta dalla leggep(t) = 2 π arctan(3t) + 2 + t1 + t ,Qual è il destino finale della popolazione?Esercizio 7. Supponiamo che la quantità d’acqua presente in un bacinoartificiale al tempo t > 0 sia descritta, rispetto a un’opportuna unità dimisura, dalla leggeq(t) = ln(t 2 + 1) + arctan t + 10,Sapendo che la capienza massima del bacino è uguale a 100, determinare sel’acqua tracimerà.Esercizio 8. Sia c(t) la concentrazione al tempo t di una sostanza inquinantenell’atmosfera. Una disposizione di legge impone il blocco del traffico nel casoin cui c(t) superi il valore 3. Lo scorso anno la concentrazione di tale sostanza,rilevata sperimentalmente, è risultata la seguentec(t) =t21 + t e−t/2 0 ≤ t ≤ 365.È stato ordinato durante l’anno il blocco del traffico? La qualità dell’aria èrisultata migliore all’inizio o alla fine dell’anno?Esercizio 9. Abbiamo ricevuto l’incarico di scegliere l’appezzamento diterreno in cui iniziare la coltura di un cereale. Sappiamo che la produttività2

Esercizio 8. Poiché c(0) = 0 e c(365) > 0 si ha che la qualità dell’aria èrisultata migliore a inizio anno.La derivata prima della funzione c èc ′ (t) = − 1 2 e−t/2 t(t2 − t − 4)(1 + t) 2 .Tale derivata è positiva sen e solo se t ∈ [0, 1+√ 17]. Il punto 1+√ 17è minore2 2di 365 ed è un punto di massimo della funzione c. Si ha che c( 1+√ 17) < 3 .2Pertanto non è mai stato ordinato il blocco del traffico durante l’anno.Esercizio 9. Si ha cheq ′ (t) = t2 + 3t + 2 + a(t + 2)(t + 1) ,che è sempre positiva (per tempi positivi). Quindi va bene qualunque sceltadi a.Esercizio 10. Il virus ha uno sviluppo epidemico per R > 1.Supponendo che R = 1.5 = 3 e che N(0) = 2 102 , si ha che l’intera popolazionesarà infetta dopo un tempo t ≥ log 3 (3 · 10 4 ).24