Scattering di un'onda piana da cilindro

Scattering di un’onda piana da cilindroFabrizio Frezza16 giugno 20081 Scattering di un’onda piana da un cilindro sottiledi lunghezza finitaPer considerare un esempio più realistico, si prenda nuovamente in esame un’ondapiana uniforme viaggiante nella direzione x e avente il campo elettrico polarizzatolinearmente lungo z:E i = E i z(x) z oconE i z(x) = E o e −jkx = E o e −jkρ cos ϕ (polarizzazione E o TM (z) ) .Si consideri quest’onda incidente su un cilindro sottile (filo) di raggio a piccolo rispettoa λ, tipicamente minore di , e lunghezza finita L, giacente lungo l’asse z. Inλ10questo caso si ha approssimativamente sulla superficie del cilindroE i z(a, ϕ) = E o e −jka cos ϕ ≃ E o .Inoltre, come si è già visto, considerare il cilindro filiforme implica tener conto solodel flusso di corrente nella direzione z (e non di quello trasverso nella direzione ϕ), econsiderare tale corrente longitudinale uniforme all’interno della sezione. In sostanza,allora, l’effetto è lo stesso di una corrente concentrata proprio sull’asse z.Ci si può allora ridurre, per il calcolo del potenziale vettore (che sarà anch’essodiretto lungo z), al calcolo di un integrale unidimensionale nel quale sparisce anchela dipendenza da ϕ∫ LA s e −jkRz(ρ, z) =4πR I(z′ ) dz ′ove nel nostro caso si ha (essendo sull’asse)x ′ = y ′ = 0 ⇒ R =In particolare, sulla superficie del filo si ha:A s z(a, z) =∫ L00√ρ 2 + (z − z ′ ) 2 .K(z − z ′ ) I(z ′ ) dz ′1

avendo posto per il cosiddetto nucleo o kernelK(z − z ′ ) =e−jk √a 2 +(z−z ′ ) 2√= e−jkD4π a 2 + (z − z ′ ) 2 4πD√con D = a 2 + (z − z ′ ) 2 .Per il campo scatterato, si ha (cfr. Campi Elettromagnetici I):E s (ρ, z) = 1 (∇∇ · A + k 2 A ) = 1 { [ ] }∂As∇ z (ρ, z)+ k 2 A sjωεjωε ∂zz(ρ, z) z o == 1 [ ]∂ 2 A s z(ρ, z)ρ o + ∂2 A s z(ρ, z)zjωε ∂ρ ∂z ∂z 2 o + 1jωε k2 A s z(ρ, z) z o .Quest’espressione, presa la componente tangenziale e calcolata per ρ = a, deve esserepari a −E o z o , per la condizione di annullamento del campo tangenziale totale sullasuperficie del filo:cioè1 d 2 A s z(a, z)+ 1jωε dz 2 jωε k2 A s z(a, z) = −E o( ) d2∫ L−jωε E o =dz + 2 k2 K(z − z ′ ) I(z ′ ) dz ′ .Diversi approcci sono stati usati con questa equazione integro-differenziale nell’incognitaI(z). L’approccio diretto è di applicare l’operatore all’integrando edottenere:con−jωε E o =G(z − z ′ ) =∫ L00G(z − z ′ ) I(z ′ ) dz ′( ∂2∂z 2 + k2 )K(z − z ′ ) ,che è una forma della cosiddetta equazione integrale di Pocklington. Eseguendo lederivate si ottiene:( 2jkG(z − z ′ ) = K(z − z ′ )D + 2 + )a2 k 2− 3jka2 − 3a2 ,D 2 D 3 D 4Una forma alternativa si può ottenere dalla∫ L( ) ∂2−jωε E o =∂z + 2 k2 K(z − z ′ ) I(z ′ ) dz ′mediante un’integrazione per parti. Si ha infatti∫ L∂ 2 K(z − z ′ )I(z ′ ) dz ′ = ∂K(z − z′ )I(z ′ )∂z 2 ∂z ′ ∣00L0−∫ L0∂K(z − z ′ )∂z ′ I ′ (z ′ ) dz ′2

ove si sono sfruttate le proprietà∂K∂z = −∂K ∂z ′ ,∂ 2 K∂z 2= ∂2 K∂z ′2 .Il primo addendo si elide (la corrente si deve annullare agli estremi del filo). Integrandonuovamente per parti si ottiene∫ L∂K(z − z ′ )−I ′ (z ′ ) dz ′ = −K(z − z ′ ) I ′ (z ′ )0 ∂z ′ ∣⇒ −K(z − L) I ′ (L) + K(z) I ′ (0) +∫ L0L0+∫ L0K(z − z ′ ) I ′′ (z ′ ) dz ′K(z − z ′ ) [ I ′′ (z ′ ) + k 2 I(z ′ ) ] dz ′ = −jωε E oSi può vedere che la corrente è simmetrica (pari) rispetto al punto medio del filo,pertanto si può ridefinire l’origine delle z in modo da averee, per il fatto che I(z) è pari:avendo posto ora−jωε E o =−jωε E o =G e (z, z ′ ) =∫ L2− L 2∫ L20G e (z, z ′ ) I(z ′ ) dz ′G e (z, z ′ ) I(z ′ ) dz ′( ∂2∂z 2 + k2 )[2 K e (z, z ′ )] ,ove ho scomposto K(z − z ′ ), vista come funzione di z ′ , in parte pari (even) e partedispari (odd):K(z − z ′ ) = K(z − z′ ) + K(z + z ′ )2} {{ }pari (even)+ K(z − z′ ) − K(z + z ′ )= K e (z, z ′ ) + K o (z, z ′ ) .} {{ 2 }dispari (odd)La parte dispari, moltiplicata per una funzione pari, dà una funzione dispari, e quindiintegrale nullo. La parte pari produce un fattore 2 che si elide col denominatore.Con questa nuova funzione di Green l’equazione integrale si può risolvere colmetodo dei momenti, mentre in passato venivano utilizzati metodi iterativi. Leintegrazioni richieste per ottenere i coefficienti della matrice devono essere eseguitenumericamente. Utili risultati possono essere ottenuti usando funzioni a impulsounitario come funzioni di base, ma al crescere del loro numero N questi integrali nonconvergono bene e il comportamento della soluzione come funzione di N non è tropporegolare. Migliori risultati si ottengono con funzioni di base che corrispondono aduna più regolare approssimazione per la corrente.3

In alternativa, per migliorare la convergenza, si può usare un approccio alternativonell’equazione iniziale( ) d2∫ L−jωε E o =dz + 2 k2 K(z − z ′ ) I(z ′ ) dz ′ .Invece di portare dentro le derivate, si può pensare di risolvere quest’ultima equazionedifferenziale del secondo ordine non omogenea, ottenendo:∫ L202 K e (z, z ′ ) I(z ′ ) dz ′ = − jωε E ok 20+ A cos(kz) + B sin(kz)che è una forma della cosiddetta equazione integrale di Hallen. Questa equazione puòessere risolta con migliori proprietà di convergenza dell’equazione di Pocklington.Si noti che K e (z, z ′ ) è funzione pari anche di z per come è stata definita, per cuidev’essere B = 0. La rimanente costante A può essere determinata al momento delcalcolo della corrente.Se si usano N − 1 funzioni di base e si impongono N condizioni da soddisfare,la soluzione del sistema di N equazioni porge gli N − 1 parametri che definisconol’approssimazione della corrente. Si può inoltre fare uso del fatto che la corrente ènulla all’estremità del filo.2 Scattering di un’onda piana da un cilindro spessodi lunghezza finitaSe il cilindro è spesso, ossia il suo raggio non è piccolo rispetto alla lunghezza d’ondadell’onda incidente, molte delle approssimazioni fatte non sono più valide. Per primacosa non si può più assumere sulla superficie del cilindro Ez(x) i ≃ E o .Inoltre stavolta la corrente dipende anche dall’azimut ϕ, e si ha:A s z(ρ, ϕ, z) =∫ L ∫ 2π00e −jkR4πR J s z(a, ϕ ′ , z ′ ) a dϕ ′ dz ′in cui a è un coefficiente metrico, ed R = √ ρ 2 + a 2 − 2aρ cos(ϕ − ϕ ′ ) + (z − z ′ ) 2per il teorema del coseno o di Carnot.Il campo elettrico lungo z corrispondente a questo potenziale vettore è:E s z(ρ, ϕ, z) = 1jωε( ∂2∂z 2 + k2 )A s z(ρ, ϕ, z) .Combinando queste equazioni, portando l’operatore all’interno dell’integrale eimponendo la condizione al contorno per ρ = a, si ha la desiderata equazioneintegrale:−E o e −jka cos ϕ =ajωε∫ L ∫ 2π00( ∂2∂z 2 + k2 ) e−jkD4πD J s z(a, ϕ ′ , z ′ ) dϕ ′ dz ′4

yaφ΄ρφRPxFigura 1: Rappresentazione grafica del teorema di Carnot.√che corrisponde all’equazione di Pocklington e dove ora D = 4a 2 sin ( ) 2 ϕ−ϕ ′2 + (z − z′ ) 2 ,avendo utilizzato ora la1 − cos α= sin 2 α 22 .Inoltre, la corrente alle estremità del cilindro, che era stata prima trascurata, oradeve essere inclusa (perché la corrente ora può fare il giro).5