Piccole e grandi differenze tra numeri primi consecutivi - atuttoportale

Piccole e grandi differenze tra numeriprimi consecutiviEventuali e possibili relazioni con l’ipotesi di RiemannA cura diProf. Annarita Tulumello(http://www.gruppoeratostene.com/)Con la collaborazione diEugenio Amitrano(http://www.atuttoportale.it/)Contenuti dell’articolo:Titolo‣ Abstract . . . . . . . . . 2‣ Sommario . . . . . . . . . 2‣ Piccole e grandi differenze . . . . . . 2‣ Connessioni con la RH e la GRH . . . . . 6‣ Conclusioni . . . . . . . . . 8‣ Riferimenti . . . . . . . . . 9Pag.

AbstractIn this paper we show some results on short and large differences betweenconsecutive prime numbers.SommarioIn questo lavoro tratteremo le piccole e le grandi differenze tra i numeri primiconsecutivi, sulla base di vari risultati (Goldson, Pintz e Yldirim), corredati daapposite tabelle e con accenno ad alcuni nostri risultati sui numeri primi gemelli e lacongettura di Cramer-Shank (Rif. 1 / Rif. 2).Piccole e grandi differenzeCirca le piccole differenze tra due numeri primi consecutivi ci sono già i noti recentiteoremi: Teorema di Goldstone, Pintz e Yldirim, che brevemente riassumiamo inseguito; invece, circa le grandi differenze tra due numeri primi consecutivi, oltre alnostro lavoro “Connessione Goldbach – gemelli – Polignac”, già reperibile sul sitohttp://xoomer.alice.it/stringtheory e un nostro recente articolo “Proposta didimostrazione Congettura di Cramer-Shank” (Rif. 1), vorremmo qui aggiungerebrevemente qualcosa riguardante la cosiddetta “Large primes gap conjecture”, ossia“Differenze tra grandi numeri primi”, specie quando la differenza tra due numeriprimi successivi è notevolmente superiore alla frequenza media locale.I teoremi di Pintz e Yldirim riguardano invece le piccole differenze, quelle inferiorialla frequenza media, ma diamo prima un’occhiata all’articolo “Piccole differenze tranumeri primi consecutivi” di BM & L, sul sito http://www.brainmindlife.org/,citando soltanto le possibili connessioni con l’ipotesi di Riemann e con l’ipotesigeneralizzata di Riemann (in breve RH e GRH):Primi gemelliScheda TecnicaDue numeri primi, pne pn1, si dicono gemelli se la loro differenza è 2 , ovvero seper essi sussiste la relazione:Congettura dei primi gemellipn1 pn 2La congettura asserisce che esistono infinite coppie di primi gemelli, ovvero cheesistono infiniti n tali che:pn1 pn 22

dovensuccessivo.p en1p sono rispettivamente l’ennesimo numero primo e il numero primoTeoremi fondamentali per lo studio della distribuzione dei primi1) La media (statistica) di pn pn1ènlog p (Teorema dei Numeri Primi)2) In virtù del Teorema dei Numeri Primi vale la seguente disuguaglianza: lim infnpn1 plog pnn 13) Se vale l’Ipotesi Generalizzata di Riemann, detto il limite inferiore definitoal punto (2), si ha:23 (Hardy e Littlewood nel 1926)35 (Rankin successivamente)4) Senza far ricorso all’Ipotesi Generalizzata di Riemann, o a qualsiasi altraasserzione non dimostrata, in virtù del Teorema di Bombieri-Vinogradov si ha:12 (Bombieri e Davenport nel 1966) 0,44254... (Huxley nel 1977) 0,2486... (Maier nel 1986)Risultati dimostrati da Goldson e Yildirim:5) Detto il limite definito al punto 2), vale la seguente relazione: 06) Detti pne pn1rispettivamente l’n-esimo e l’(n+1)-esimo numero primo, perinfiniti valori di ‘n’ sussiste la seguente relazione:pn 1 p n log p n893

89Qui ricordiamo che logp nè inferiore a log pn, essendo logp 0, 8nsempre minoredella frequenza media log pnle differenze tra due numeri primi inferiori allafrequenza media si ripetono infinite volte (Rif. 1).Ad esempio, per i due numeri primi successivi 9.999.931 e 9.999.937 la differenza è6, e questo valore è inferiore alla stima (1), uguale a890,80,80,8logp logp log9.999.931 16,37 11, 70nnchiaramente inferiore alla frequenza media 16,37. Questo fenomeno si ripete infinite8,055 8volte al crescere di pnma a partire da: 10 10 10 , cioè per valori di pnprossimi all’ordine di grandezza tra 10 e 100 milioni.7Infatti, per pn 9.999.93110.000.00010, nel centinaio di unità successive, e quindi7tra 10 e 10 7 100 , ci sono solo soltanto due numeri primi, 10 .000. 019 e 10 .000. 079molto distanti tra loro, (d = 60), nonostante la frequenza media locale sia 16,11uguale a quella dei numeri primi precedenti. E qui veniamo alle differenze superiorialla frequenza media locale, che, a differenza di quelle minori, sono rare fino ampn 10 , cioè fino a quando i due numeri sono dello stesso ordine di grandezza, e conmfrequenza media di circa 2m log p n log10. Una volta raggiunto quest’ordine digrandezza, la frequenza superiore a 2 m si ripete infinite volte, mentre prima, comegià accennato, è molto rara.Come si può comprendere dalle seguenti tabelle (premesso che la differenza minimaè 2 per i numeri primi gemelli) per pne pn 2 è dalla formula:16,112dlog pnm senmp 10Ad esempio, anche se in modo approssimativo (un numero decimale leggermentesuperiore a 2), abbiamo:7log1016,1177pn 10 d 2,30 27Vediamo adesso la tabella delle piccole ( d ), medie ( d ') e grandi ( d '') differenze tramdue numeri primi consecutivi prossimi a p 10 :n4

TABELLA n.1p 10mn d 2n110log pn 2,3210log pn 4,6310log pn 6,9410log pn 9,2510log pn11,5710log pn16,1pn 5pn1 7d 2p 101npn1 103d 2p 1019npn1 1021pnd 2 10007pn1 10009pnd 2 100151pn1 100153pnd 2 9999929pn1 9999931d 2d' log pd'' k d'pn 5pn1 7d ' 2 2,3pn 103pn1 107d ' 4 4,6pn 1033pn1 1039d ' 6 6,9pn 10259pn1 10267d ' 8 9,2pn 102397pn1 102407d ' 1011,5pn 9999973pn1 9999991d ' 1816,1pn 7pn1 11d '' 4 4,6pn 89pn1 97d '' 8 9,2pn 1129pn1 1151d '' 22 25,3pn 9973pn1 10007d '' 34 39,1pn 101221pn1 101267d '' 46 52,9pn 10000019pn1 10000079d '' 60 53,6d''k d'… … … … …Le grandi differenze d ''si aggirano mediamente attorno ad un multiplo k , di pocheunità, rispetto a d '. Nella tabella successiva vedremo le differenze minime ( d 2 ),medie ( d ' 4) e grandi ( d'' k d') per numeri primi prossimi a 10 2 100 . La finalità èquella di mostrare come le grandi differenze (6, 8 e 14) sono più rare delle differenzemedie e minime, ricordando che da 2 a 79 ci sono molte differenze d ' 4 e d 2 .TABELLA n.2pnn1p d d 'd '' d '223 ,674 ,254 ,63 ,3373 79 6 > 1,579 83 4 = 183 89 6 > 1,589 97 8 > 297 101 4 = 1101 103 2 < 0,5103 107 4 = 1107 109 2 < 0,5109 113 4 = 1113 127 14 > 3,5127 131 4 = 1k5

Si nota che le grandi differenze 6, 8 e 14 emergono in più o meno forte anticipo2(specialmente 14) rispetto a numeri prossimi a p 10 , infatti, 14 è circa la7differenza o frequenza media per numeri primi prossimi a 10 10 poiché77log10 16,11 14e log1010 7 , con frequenza media 27 14. Raggiunto tale ordinedi grandezza, il numero 14 diventa una nuova frequenza media, e di conseguenzainiziano ad emergere gradualmente differenze maggiori di 14, e cosi via all’infinito.In breve, possiamo dire che un numero pari d :‣ Come differenza di due numeri primi (escluso il numero primo 2) è possibileraramente se esso è superiore al , in quanto il rapporto probabilisticordlog è minore di 1;p nlog pn‣ Diventa esso stesso la frequenza media d ' quando 1nd ''d'r ;log‣ Diventa inferiore alla frequenza media, si ripeterà infinite volte al crescere di pn,così come si ripeterà infinite volte la differenza minima d 2 per i numeri primigemelli già a partire da numeri primi prossimi a 10 1 10 con frequenza media2 2,30 log10, essendo quasi certamente infinite tali coppie di numeri secondo leultime proposte di dimostrazioni, l’ultima da parte di due matematici cinesi.Connessioni con la RH e la GRHCome la congettura dei numeri primi gemelli (con differenza minima d 2 ) è unsottoproblema della GRH, per la loro infinità, così anche la differenza p n p n 0 siripete sicuramente infinite volte, infatti, i numeri i numeri primi sono infiniti e ladifferenza nulla è considerabile un numero pari come tutte le differenze diverse da 2.Questa osservazione, insieme all’altro nostro risultato che un qualsiasi numero pari ddiventa infinite volte la frequenza media a partire da numeri primi di grandezza circad10 2 , potrebbe essere utile a future considerazioni. Anche le grandi differenzepotrebbero essere anch’esse connesse alla GRH e quindi di conseguenza ancheall’ipotesi di Riemann classica (RH).Finora tale problema non è mai stato posto, e su Internet si trova poco materiale.Su Wikipedia, nella voce “Ipotesi di Lindelof” se ne trova un accenno,un’implicazione è stata dimostrata nel 1940 da Albert Ingham:p1n1 pnnp20p n1426

Ancora su Wikipedia, nella voce “Congettura di Cramer”, si trova che la differenzatra un numero primo e il successivo è:pn1 pnOpnlog pQuesta ipotesi fu dimostrata da Cramer assumendo la validità della RH.Come abbiamo visto prima, le grandi differenze tra numeri primi sono stimate inpiccoli multipli k di log pn, che con ulteriori ricerche più accurate potrebberoraggiungere il valore di d'' k logp log log log 2n pn pn pnse si pone k log pn. Ad7esempio, nel caso di pn 10 avremo 16,11 16,11 259,53 260 numero intero e pari7più vicino. In questo caso ( pn 10 vedi Tabella 1), abbiamo trovato una grandedifferenza d '' 60, che pur essendo circa quattro volte la frequenza media per numeri7prossimi a p 10 , è anche molto inferiore a 260.nNel seguente grafico, vedremo la relazione tranmm10 e 2m log p n log10 .14d 2m 'Emerge raramente12108642d'2mSi ripete infinite volte10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7Questo grafico indica che il caso dei numeri gemelli con differenza d q p 2rientra in uno degli infiniti casi d' q p 2m, e quindi se sono infinite le coppie deinumeri primi gemelli, lo sono anche le coppie con differenza 2 m , anche se tale7

mdifferenza si ripete infinitamente dopo 10 (area arancione del grafico), ed emergemraramente fino a 10 (area azzurra del grafico).mPer i numeri gemelli, la differenza 2 significa 2 m di 10 con m 1, quindi d 21 21che si verifica già due volte entro 10 (con le coppie di gemelli 3-5 e 5-7), poi, dopo110 si ripete infinite volte, confermando la congettura dei numeri primi gemelliinfiniti, ed è estensibile alla nostra congettura di due numeri primi consecutivi(coppie di Polignac) con differenza 2 m infiniti, vedi “Connessione Goldbach –gemelli – Polignac” citato all’inizio.ConclusioniSe i numeri gemelli sono un sottoproblema della GRH (ipotesi generalizzata diRiemann), e a parte i risultati sopra citati di Hardy e Littlewood ecc., anche le coppiedi numeri primi consecutivi con differenza 2 m lo sono; e una soluzione positiva dellacongettura dei numeri gemelli (una nostra proposta Rif. 2) sarà valida anche per lesuddette altre coppie di Polignac, con differenza 2 m .Quindi, quanto sopra esposto è utile alla dimostrazione sia della congettura deinumeri gemelli, sia della congettura dei numeri di Polignac e infine sia della GRH (edi conseguenza anche dell’ipotesi di Riemann classica). Ricordiamo che le coppie diPolignac sono un sottoproblema della RH, come il Teorema dei numeri Primi (giàdimostrato da Hadamard e da De la Valle–Poussin), o il teorema di Miller–Rabin suun test di primalità (anche questo dimostrato), la congettura debole di Goldbach diabbiamo proposto una soluzione (vedi lavori su Goldbach pubblicati sul sito delgruppo Eratostene e sul sito http://xoomer.alice.it/string/teory, da vedere anche“Possibili relazioni tra le sei congetture principali sui numeri primi” nella rubrica“Non solo stringhe” del suddetto sito).Questo lavoro sui numeri gemelli e di Polignac è un altro piccolo contributoall’eventuale futura dimostrazione della congettura di Riemann tramite i suoisottoproblemi dei numeri gemelli, di Polignac e generalizzazione dei numeri gemelli.Altri nostri contributi sono invece basati sulla dimostrazione della variante diLagarias RH1 = RH (Nardelli / Di Noto), anch’essi pubblicato sul sito del GruppoEratostene, oltre che su un sito dell’Università inglese di Exeter, insieme ad altrilavori su altre proposte di dimostrazioni dell’ipotesi di Riemann, a cura delmatematico Prof. Mattew Atkins:1. http://www.secamlocal.ex.ac/uk/people/staff/mrwatkin/zeta/Rh proofs/htm2. http://www.xoomer.alice.it/stringtheory8

Riferimenti1. “Proposta di dimostrazione della Congettura di Cramer-Shank” –R.Turco, M.Colonnese, M.Nardelli, G.Di Maria, F.Di Noto, A.Tulumello –Gruppo Eratostene, “Articoli sulla teoria dei numeri”2. “I numeri primi gemelli e l’ipotesi di Riemann generalizzata con accennoal problema P = NP” – F.Di Noto, A.Tulumello, M.Nardelli, G.Di Maria, –Gruppo Eratostene, “Articoli su Riemann”9