აქედან

s a r C e v iSesavali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5erovnuli saswavlo gegma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6wlis bolos misaRwevi Sedegebi da maTi indikatorebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Sinaarsisa da miznebis ruka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12moswavlis Sefasebis sistema.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16gTavazobT ramdenime gakveTilis sanimuSo scenars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I Tavi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231. funqcia. funqciis Tvisebebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232. wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263. kvadratuli funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264. kvadratuli funqciis udidesi da umciresi mniSvneloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275. uban-uban wrfivi funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296. y= xk funqcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307. funqciis grafikis zogierTi gardaqmna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318. ukeTesi variantis arCeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32II Tavi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351. geometriuli gardaqmnebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352. paraleluri gadatana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373. centruli simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384. mobruneba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405. msgavsebis gardaqmna. homoTetia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426. stereometriis aqsiomebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437. aqsiomebis Sedegebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448. wrfeTa paraleluroba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459. wertilis koordinatebi sivrceSi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45II Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46III Tavi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471. parametrebis Semcveli gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472. modulis Semcveli gantolebisa da utolobis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483. maRali xarisxis gantolebis amoxsna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494. iracionaluri gantoleba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515. utoloba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526. parametris Semcveli utolobebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527. utolobis amoxsna intervalTa meTodiT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III Tavis damatebiTi savarjiSoebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54IV Tavi .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571. kosinusebis Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572. kosinusebis Teoremis Sedegebi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583. sinusebis Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584. samkuTxedis biseqtrisis sigrZisa da farTobis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 3 04.07.2012 17:39:04

წლის ბოლოს მისაღწევი შედეგები და მათი ინდიკატორებიმიმართულება: რიცხვები და მოქმედებებიX.1. მოსწავლეს შეუძლია ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის ქვესისტემების ერთმანეთისაგანგანსხვავება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• განასხვავებს რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვებს (მათ შორის, როგორცპერიოდულ და არაპერიოდულ ათწილადებს); ასაბუთებს რიცხვის ირაციონალურობას /რაციონალურობას და ახდენს ირაციონალურობის / რაციონალურობის დემონსტრირებასმოდელის გამოყენებით; ახდენს ირაციონალური რიცხვის რაციონალური რიცხვებისმიმდევრობით მიახლოების დემონსტრირებას მოდელის გამოყენებით;• მოცემული სიზუსტით ამრგვალებს ნამდვილ რიცხვებს; განასხვავებს უსასრულოპერიოდული ათწილადის შემოკლებით ჩაწერას დამრგვალებისაგან;• ორი მოცემული ნამდვილი რიცხვისათვის ასახელებს მათ შორის მოთავსებულრაციონალურ რიცხვს;• ახდენს ნამდვილი რიცხვის ათობითი პოზიციური სისტემით ჩაწერის ინტერპრეტაციასდა/ან მის დემონსტრირებას მოდელის გამოყენებით (მაგალითად, ახდენს 1-ზე ნაკლებიდადებითი ნამდვილი რიცხვის მიახლოებას [0, 1] მონაკვეთის თანმიმდევრულიდანაწილებით).X.2. მოსწავლეს შეუძლია სხვადასხვა პოზიციური სისტემების/ნამდვილ რიცხვთაქვესისტემების ერთმანეთთან დაკავშირება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• ადარებს სხვადასხვა პოზიციურ სისტემებს ერთმანეთს; მსჯელობს თითოეულისუპირატესობაზე სხვადასხვა შემთხვევებში;• აკავშირებს ნამდვილ რიცხვთა ქვესიმრავლეებს ერთმანეთთან სიმრავლეთა თეორიისენის გამოყენებით (ქვესიმრავლე, სიმრავლეთა თანაკვეთა, გაერთიანება, სხვაობა,დამატება; ამ მიმართებების გამოსახვა სხვადასხვა ხერხით);• სხვადასხვა ფორმით გამოსახავს ნამდვილ რიცხვებს (მაგალითად, პერიოდულ ათწილადსჩაწერს წილადის სახით); ადარებს და ალაგებს სხვადასხვა ფორმით ჩაწერილ ნამდვილრიცხვებს (ათწილადი, წილადი; ერთი და იგივე მთელის ნაწილი და პროცენტი; რიცხვისსტანდარტული ფორმა, ათობითი და ორობითი პოზიციური სისტემა; რიცხვის ხარისხიდა ირაციონალური გამოსახულება).X.3. მოსწავლეს შეუძლია ნამდვილ რიცხვებზე მოქმედებების შესრულება და მოქმედებებისშედეგის შეფასება.შედეგი თვალსაჩინოა, თუ მოსწავლე:• ამარტივებს ნამდვილ რიცხვებზე მოქმედებების (აგრეთვე მოდულის) შემცველგამოსახულებას მოქმედებათა თვისებების, მოქმედებების შესრულების თანმიმდევრობისადა მათ შორის კავშირის გამოყენებით;• ახდენს წილადი მაჩვენებლის მქონე ხარისხის ინტერპრეტაციას და მისი თვისებებისდემონსტრირებას; ადარებს და ალაგებს ერთი და იგივე ფუძის მქონე ხარისხებს;• ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით ირჩევს რა უფრო მიზანშეწონილია –მოქმედებათა შედეგის შეფასება, თუ მისი ზუსტი მნიშვნელობის პოვნა; იყენებსშეფასებას ნამდვილ რიცხვებზე შესრულებული გამოთვლების შედეგის შესამოწმებლად;• ერთი არითმეტიკული მოქმედების შემცველ გამოსახულებაში ამრგვალებს წევრებს(ნამდვილი რიცხვებს) და პოულობს მოქმედებებათა შედეგის მიახლოებით7mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 7 02.07.2012 13:30:56

V Tavinamdvili ricxvebi.iracionaluri gamosaxulebisgamar tiveba.gamosaxulebis gamartiveba.gamosaxulebis gamartiveba.Tvlis sistemebi.1 2 3მოსწავლეს შეუძლია დისკრეტულიმათემატიკის ელემენტების გამოყენებაპრობლემის გადაჭრისას.მოსწავლეს შეუძლია ნამდვილრიცხვთა სიმრავლის ქვესისტემებისერთმანეთისაგან განსხვავება.მოსწავლეს შეუძლია სხვადასხვაპოზიციური სისტემების/ნამდვილრიცხვთა ქვესისტემების ერთმანეთთანდაკავშირება.მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების სხვადასხვა ხერხისგამოყენება.მოსწავლეს შეუძლია ნამდვილრიცხვთა სიმრავლის ქვესისტემებისერთმანეთისაგან განსხვავება.მოსწავლეს შეუძლია ნამდვილრიცხვებზე მოქმედებების შესრულება დამოქმედებების შედეგის შეფასება.11 sTsakontrolo wera №5VI Taviwesieri mravalkuTxedebi.kuTxis radianuli zoma.segmenti, segmentis farTobi.viTamaSoT.მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიულფიგურათა წარმოდგენისა დადებულებათა ფორმულირების ხერხებისგამოყენება.მოსწავლეს შეუძლია გეომეტრიულიდებულებების დასაბუთება.მოსწავლეს შეუძლია ობიექტთა ზომებისადა ობიექტთა შორის მანძილების მოძებნა.მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების სხვადასხვა ხერხისგამოყენება.1 sT15 sTsakontrolo wera №61 sT14mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 14 02.07.2012 13:30:57

VII Tavilogikuri msjeloba.operaciebi gamonaTqvamebze.implikacia. ekvivalencia.amocanebi albaTobaTaTeoriidan.statistikis elementebi.1 2 3მოსწავლეს შეუძლია ამოცანისამოსახსნელად საჭირო თვისობრივი დარაოდენობრივი მონაცემების მოპოვება.მოსწავლეს შეუძლია თვისობრივ დარაოდენობრივ მონაცემთა მოწესრიგებადა წარმოდგენა ამოცანის ამოსახსნელადხელსაყრელი ფორმით.მოსწავლეს შეუძლია შემთხვევითობისალბათური მოდელების საშუალებითაღწერა.მოსწავლეს შეუძლია სტატისტიკური დაალბათური ცნებებისა და პროცედურებისგამოყენება ყოველდღიურ ვითარებაში.მოსწავლეს შეუძლია პრაქტიკულისაქმიანობიდან მომდინარე ამოცანებისამოხსნა.მოსწავლეს შეუძლია სხვადასხვაპოზიციური სისტემების/ნამდვილრიცხვთა ქვესისტემების ერთმანეთთანდაკავშირება.13 sTsakontrolo wera №5VIII Taviperioduli funqcia.sinusisa da kosinusis ganmarteba.sinus da kosinus funqciiszogierTi Tviseba.tgα da ctgα funqciebi da maTiTvisebebi.ricxviTi argumentistrigonometriuli funqciebi.trigonometriuli gantoleba.1. sin x = a2. cos x = a3. tg x = aმოსწავლეს შეუძლია ფუნქციისთვისებების კვლევა და მათი თვისებებისგამოყენება სიდიდეებს შორისდამოკიდებულების შესასწავლად.მოსწავლეს შეუძლია მსჯელობა-დასაბუთების სხვადასხვა ხერხისგამოყენება.მოსწავლეს შეუძლია ნამდვილრიცხვებზე მოქმედებების შესრულება დამოქმედებების შედეგის შეფასება.1 sT18 sTsakontrolo wera №61 sT15mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 15 02.07.2012 13:30:57

ქულები10987654321შეფასების დონეებიმაღალისაშუალოზე მაღალისაშუალოსაშუალოზე დაბალიდაბალისაგნის სემესტრული ქულის შემადგენელი კომპონენტები1. სემესტრის მანძილზე მოსწავლეები ფასდებიან შემდეგი სამი კომპონენტის მიხედვით:ა) საშინაო დავალება;ბ) საკლასო დავალება;გ) შემაჯამებელი დავალება.2. შეფასების სამივე კომპონენტს ერთნაირი წონა აქვს.3. საშინაო და საკლასო დავალებათა კომპონენტებში გამოიყენება როგორც განმსაზღვრელი,ასევე განმავითარებელი შეფასება.4. შემაჯამებელი დავალების კომპონენტში აუცილებელია განმსაზღვრელი შეფასებისგამოყენება.5. ეროვნული სასწავლო გეგმა თითოეული საგნისათვის განსაზღვრავს სემესტრის განმავლობაშიჩასატარებელი შემაჯამებელი დავალებების სავალდებულო მინიმალურ რაოდენობას. ამკომპონენტით შეფასებისას:ა) სტანდარტის მოთხოვნათა დასაკმაყოფილებლად, აუცილებელია შემაჯამებელი დავალებისმრავალგვარი ფორმის გამოყენება (თხზულება, მოხსენება, რეფერატი, პროექტი, საველე-გასვლითი სამუშაო, ლაბორატორიული კვლევა, სახვითი და გამოყენებითი ხელოვნებისნიმუში და სხვ.);ბ) მოსწავლე ვალდებულია შეასრულოს კლასში ჩატარებული ყველა შემაჯამებელი დავალება(ეროვნული სასწავლო გეგმით დადგენილი სავალდებულო მინიმუმი და სკოლის მიერდამატებით დადგენილი, ამ უკანასკნელის არსებობის შემთხვევაში);გ) თუ მოსწავლე არ შეასრულებს რომელიმე შემაჯამებელ სამუშაოს გაცდენის გამო, სკოლავალდებულია, მისცეს მას გაცდენილი შემაჯამებელი დავალებების აღდგენის საშუალება.შემაჯამებელი აღდგენითი სამუშაოს ვადები და მისი ჩატარების ფორმა განისაზღვრებასასკოლო სასწავლო გეგმით.განმსაზღვრელი შეფასების ქულათა სახეობებიზოგადსაგანმანათლებლო სისტემაში გამოიყენება განმსაზღვრელი შეფასების შემდეგისახეობები:ა) საგნის მიმდინარე და შემაჯამებელი ქულები – საშინაო, საკლასო და შემაჯამებელიკომპონენტის ქულები, რომლებსაც მოსწავლე იღებს სემესტრის განმავლობაში;ბ) საგნის სემესტრული ქულა – საგანში მიღებული შეფასება თითოეულ სემესტრში (სემესტრულიგამოცდის ჩაბარების შემთხვევაში, გამოითვლება მისი გათვალისწინებით);17mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 17 02.07.2012 13:30:57

eziume:I Tavi1. funqcia. funqciis Tvisebebi1.1. Sesavaliparagrafi iwyeba wyvilebisTvis gankuTvnili savarjiSoTi. sasurvelia, sanam maswavlebelidaavalebs moswavleebs, rom ifiqron savarjiSoze, gavimeoroT funqciisganmarteba wrfivi funqcia da misi Tvisebebi.amoxsnebi, miTiTebebi:3. S(x)=50(x–150)–800.4.S -2 2( x)= x ⋅ 4RxSABC x5. SMNK= =4 46. mocemuli Sesabamisoba cxadia, funqciaa, misi gansazRvrisarea R , mniSvnelobaTa simravle [0;1), xolo grafikia:7. gansazRvris area N , mniSvnelobaTa simravle { 0 ;1;2;3;4 }.8.SAKN2x $ 4y = S =8 S5x$ 9y453 4 12SKBN=$S = S5 $ 11 557 5 35SMNC=$S = S11 $ 9 999. jer vnaxoT ra proporciiT unda SevurioT I da II balonebidan xsnarebi, rom miviRoT12%-iani xsnari.I- m litri, II- n litri, miviReT toloba 10m+15n=12(m+n); 2 m = 3nm 3e.i. = , e.i. undan 2miviRoT 3:2 SefardebiT xsnari da aviRoT misi 1 l. I balonidan 3 litriani WurWliTaviRoT 3l 10%-iani xsnari da CavasxaT 4 litrian WurWelSi. GavavsoT 5 l-iani 15%-ianixsnariT da gadmoviRoT 3 litrianSi, 5 litrianSi darCa 2 l xsnari, davumatoT masukve gadmosxmuli 3 l 10%-iani, miviReT 5 l 12%-iani xsnari. GavavsoT 4 l-iani WurWelida dagvrCeba 1l 12%-iani.B10. S =4S =2S5 5D4xExACBED ABD ABCS = S =8S10SEDC BED ABC=4S =440=32.5 5BEC ABC $23mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 23 02.07.2012 13:30:58

1.2 luwi da kenti funqciebireziume:sasurvelia gavixsenoT centruli da RerZuli simetria, davxazoT centrulsimetriulida RerZulsimetriuli figurebi. vTxovoT moswavleebs daxazon figura, romelsacaqvs simetriis RerZi da mere am RerZze gadakecon da darwmundnen, rom figuris orivenawili erTmaneTs SeuTavsdeba. Semdeg vavalebT paragrafis dasawyisSi mocemul individualursamuSaos.amoxsnebi, miTiTebebi:5. magaliTis amoxsnamde SevadginoT luwi da kenti funqciebis kombinaciebis cxrilil ± l _ ll ± k _ arc luwi, arc kentik + k _ kl× l _ lk× k _ ll× k _ k.6. moswavleebma Camoayalibon rogoria luwi da kenti funqciebis grafikebi, amisSemdeg Seasrulon amocanaSi mocemuli davaleba.7. SeuZlebelia, imitom rom Tu funqcia kentia da mis gansazRvris areSi Sedis wertili0, maSin f(0)=0.8. ix. 5.9. y-k+b funqcia kentia, Tu b=0 da luwia Tu k=0.10. a) f (- x)= f ( x), ϕ (- x)= ϕ(x); f (- x)+ ϕ (-x)= f ( x)+ ϕ(x).d) f (- x)= - f ( x), ϕ (- x)= ϕ(x); f (- x)+ ϕ (-x)= - f ( x)+ ϕ(x)arc kentia, arc luwi.SACD 11. =AD=1 AD, e.i. S ABC AB 3 DB=1.212. moc. (O 1;R), (O 2;R), (O;r) wrewirebi.u.v. SABC. ∆AOC~∆O 2OO 1.ACO O1 2=1, e.i. AC =3. OB= 16 - 9 = 7 .42AOC samkuTxedis simaRle tolia1 3 3 9 7S ABC= $ $ 7 = .2 2 4 167 3e.i. ∆ABC-s simaRle 744.24mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 24 02.07.2012 13:30:59

1.4 funqciis nulebi. niSanmudmivobis Sualedebimaswavlebeli dafaze xazavs funqciis grafiks da moswavleebs sTxovs, romSeamowmon: abscisaTa RerZis mimarT zeda (qveda) naxevarsibrtyeSi mdebare grafikiswertilebis koordinatebis niSnis dadgena. mere sTxovs gamoTqvan varaudi.amoxsnebi, miTiTebebi:4. ganvixiloT naxazi 1.a) D(y)=[–4;4]; b) E(y)=[–2;5]; g) (–4;0); (3;0); (0;2); d) funqcia zrdadia x ∈[ -4;-2], funqciaklebadia (-2,-1) ∪ (2;4) ; Tu x ∈[-1;2]funqcia mudmivia. e) y>0, roca x ∈ (-4;3)y1 x∈(–3,6; 2,5), f(x) x1)⇒ y2> y1. ganvixiloT y = f ( f ( x))funqciay 2= f ( x 2) ; y 1= f ( x 1) ; y2- y1> 0 ; e.i. f ( y2 ) - f ( y1)> 0 .b) ganvixiloT SemTxveva, rodesac f(x) klebadia. ( x2> x1) ⇒ y2< y1, radgan f klebadiaf y ) > f ( ) e.i. f ( f ( x))funqcia zrdadia.(2y1reziume:262. wrfivi funqciasanam uSualod savarjiSoebze gadavidodeT, moswavleebs gavaxsenoT zogadad wrfivifunqcia, misi grafiki. ganvixiloT y=kx+b funqciis yvela kerZo SemTxveva. davsvaTkiTxvebi funqciis grafikis mdebareobis Sesaxeb sakoordinato meoTxedebSi, funqciiszrdadoba-klebadobaze, RerZebTan kveTis wertilebze. SevecadoT moswavleebmaCaataron wrfivi funqciis gamokvleva.mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 26 02.07.2012 13:30:59

amoxsnebi, miTiTebebi:8. a) ganvixiloT naxazze gamuqebuli samkuTxedi, romlis kaTetebia: |y 2–y 1| da |x 2–x 1|.b) a)-s gaTvaliswinebiT erTmaneTs gavutoloT k-s Sesabamisi gamosaxulebebi.9. a) k 1=k 2; b 1≠b 2; b) k 1≠k 2; b 1=b 2; g) k 1=k 2; b 1=b 2.y = 2x+ 111. amovxsnaT sistema: ) (–3;–5).y = 5x+ 1013. mocemuli funqciaa y =-5x + 5, saZiebeli funqciis k =-5, e.i. y =-5x + b da333gadis (1;1) wertilze, e.i. b =8.314. 7n 3 +5n=6n 3 +6n+n 3 –n=6n(n 2 +1)+n(n–1)(n+1). sami momdevno mTeli ricxvis namravli yovelTvisiyofa 6-ze, SeiZleba gakeTdes naSTebiTac.15. nebismieri 10 naturaluri ricxvidan oris 9-ze gayofis naSTi mainc emTxveva erTmaneTs.16. 3(2y 2 –x 2 )=5 marjvena mxare ar iyofa 3-ze.17. d) x = 2 x - 3=x = 3 - 2xx = 3= .x = 1reziume:4. kvadratuli funqciis udidesi da umciresi mniSvnelobaam paragrafis Seswavlis Semdeg SesaZlebelia davavaloT moswavleebs Tavad dasvancxovrebiseuli amocana, sadac gamoviyenebT Seswavlil masalas. magaliTad asaSenebelia100 m 2 farTobis marTkuTxedis formis iatakis mqone Senoba. daadgineT marTkuTxedisgverdebis Sefardeba, romlis drosac daixarjeba minimaluri raodenobismasala (simaRle mudmivia).amoxsnebi, miTiTebebi:-18 1. S = a(18- a)= -a2 + 18audidesia, roca a = = 9 , e.i. marTkuTxedi kvadratia.- 22. y = x(x - 2) = x2 - 2xfunqcia umcires mniSvnelobas Rebulobs, roca x=1.4. y = x(20- x)= -x2 + 20xx=10.22 25. y = x + (10 - x)= 2x- 20x+ 100 x=5.9. g) y=x 2 +6x–4 x∈[–2;2) x 0=–3, e.i. ymin(-2)= -12. udidesi ar aris .d) umciresi –18 udidesi ar aris.e) x 0=–2∈[–4;–1], e.i. funqciis udidesia y(02)=11; umciresi, roca x=1, y=2.27mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 27 02.07.2012 13:31:00

13.SAKP1⋅3= S5 ⋅8ABC=12340SABCD=380SABCD15. P 2 P = 42 .ABC=APQ17. a) x–3=2 x=5b) x+1=2 x=118. a ∈ (-∞;0)— arc erTi amonaxsni;1a ∈ ( 6 ; ∞)an a=0 — ori amonaxsni;41a = 6 — sami amonaxsni;41a ∈ (0;6 ) — oTxi amonaxsni.48. ukeTesi variantis arCevaamoxsnebi, miTiTebebi:1. davdoT ori katleti, 5 wT-Si erTi gadavabrunoT, meore gadmoviRoT da tafaze davdoTmesame. 5 wT-Si pirveli katleti Seiwveba da davdoT meore. sul dagvWirdeba 15 wT.2. AMKB texilis sigrZea AM+MK+KB. radgan MK mudmivia, umciresiunda iyos AM+KB. b wrfis paralelurad aviRoT BP=a monakveTi. bwrfis mimarT avagoT P wertilis simetriuli wertili. M wertiladaviRoT b wrfisa da AB 1monakveTis kveTis wertili.3. AA1= CC = 12 ⋅ x p 211002+ AA =pAA1= 50 - x .2p 2 p p 2S = x + x(50- x)= - x + 50x.42 432x = 1000p .4. vTqvaT unda gaiafdes 0,1x lariT, maSin 1 detalis Rirebuleba iqneba (10–0,1x) lari.am SemTxvevaSi gaiyideba (1000+20x) detali. e.i. sul Semosavali Tanxa iqneba (1000+20x)(10–0,1x), e.i. unda vipovoT x-is mniSvneloba, romlisTvisac y=(1000+20x)(10–0,1x). funqciamiiRebs udides mniSvnelobas. y=–2x 2 +100x–10000, saidanac x=25, e.i. a) detali undagaiafdes 2,5 lariT; b) firma gayidda 1000+20·25=1500 detals.mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 32 02.07.2012 13:31:01

- 305. I. S = x(30- 2x)= -2x2 + 30x. x0= = 7, 5 marTkuTxedis- 4225zomebi iqneba 7,5; 15;II. S = .2II. S = x( 15 2 - x), saidanac x = 15 2250S = .2 2orive SemTxvevaSi farTobi erTi da igivea.7. ABO marTkuTxa samkuTxedSi OK=R simaRlea. AK≡x; BK=8–x; miviReT R 2 =x(8–x).2pRp2S = = (8x- x ) udidesi iqneba, roca x=4 da R=4.2 2I Tavis damatebiTi savarjiSoebi8. f(x) — luwi; g(x) — kenti.a) y(x)=f(x+g(x)) y(–x)=f(–x–g(x))=f(x+g(x)) luwia.b) y(x)=g(f(x) g(–x)=g(f(–x)=g(f(x)) luwi.g) y(x)=xf(x)+g(x) y(–x)=–xf(–x)+g(–x)=–xf(x)–g(x)=–(xf(x)+g(x)) kenti.d) y(x)=x(f(x)+g(x)) arc luwia, arc kenti.9. a) y=ax+b Tu a=0 luwia, Tu b=0 kenti.b) y=ax 2 +c Tu b=0 luwia, kenti arasdros ar iqneba.10. f(x)+x 2 kentia, e.i.f(–3)+(–3) 2 =–(f(3)+3 2 )f(–3)+9=–2–9, saidanac f(–3)=–20.11. (x+1)f(x) luwia, e.i.(–x+1)f(–x)=(x+1)f(x)5·f(–x)=–3·9 f(–x)= -27.512. a) x 2>x 1y=f(x) da y=φ(x) zrdadia.ganvixiloT (f(x 2)+φ (x 2))–(f(x 1)+φ(x 1))=(f(x 2)–f(x 1)+φ(x 2)–φ(x 1))>0;b) analogiuria;g) ar aris WeSmariti, magaliTad SeiZleba moviyvanoT ori zrdadi wrfiv funqciaTanamravli.13. [–1;2).14. a) udidesi 2, umciresi ar arsebobs;2xb) cnobilia, rom 1+x 2 ≥2x;2 funqcia kentia, e.i. umciresi mniSvneloba toli1 + xiqneba –1-is.g) 2+x-x 2 ≥0 (gansazRvris are)x 2 –x–2≤0 e.i. x∈[–1;2].umciresi y(–1)=y(2)=0, udidesi wveroze y(0,5)=1,5.d) umciresi y( 1, 5) = y( - 1, 5) = 2,5 . udidesi ar arsebobs.33mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 33 02.07.2012 13:31:01

15. a) udidesi y` 1j =12 , umciresi y(3)=–4;2 411b) [0;2] SualedSi funqcia klebadia, e.i. udidesi y(0)= , umciresi y(2)=3.33 - xg) y =3= 1 +19[1;4] SualedSi funqcia zrdadia, e.i. udidesi y(4)= ; umciresiy(1)=0.2 - 3x2 - 3x1016. a>0; c>0; b>0.17. naxazidan x 1=1, x 2=6 da c= x 1x 2=6.19. y = -2x2 + 5x-1x ∈[0;3]x = 504; 5 ∈ 4[0;3]5 1e.i. ymax( ) = 24 8 ; ymin(3) = -4.21. a) y = x(x + 25) = x2 + 25xx wv=–12,5.b) y=3x(x+1)=3x 2 +3x x 0=–1,5.Seamowme Seni codna1. b; 2. d; 3. b; 4. a; 5. a; 6. d; 7. a; 8. b; 9. b; 10. a.34mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 34 02.07.2012 13:31:02

eziume:II Tavi1. geometriuli gardaqmnebigavaxsenoT moswavleebs, ras niSnavs sibtryis gardaqmna, romeli gardaqmna inarCunebsor wertilis Soris manZils da romeli ara. rogor figurebSi gadadis figura aRniSnuligardaqmnebiT.amoxsnebi, miTiTebebi:C2. ∠B=β ⇒ ∠C=45°+β45°+b1xavagoT C wertilis simetriuli C 1wertili AKKwrfis mimarT. ACKC 1oTxkuTxedSi AK simetriis45° 2RerZia, e.i. ∠C=∠C 1=45+β. CK=C 1K=1, xolo AC=AC 1.b ∆C 1KB-sTvis ∠KC 1A gare kuTxea, saidanacAx C 1 B 45+β=β+∠C 1KB ⇒ ∠C 1KB=45°. KmiviReT ∆C 1KB, sadac viciT2 gverdi da maT Soris mdebare kuTxe. ricxviTi monacemebidan 45°Cans, rom es aris marTkuTxa tolferda samkuTxedi kaTetiT 1, e.i.C 1B=1. β=45° ⇒ ∠C=90°.maSasadame ∆ACB tolferda marTkuTxa samkuTxedia,e.i. AC=CB= 2 +1.12C 1 1B45°+bB120° 1D1 3120° 60°A B 1C3. avagoT B wertilis simetriuli B 1wertili AD wrfismimarT. miviReT ∆B 1DC, romelic tolgverda samkuTxedisnaxevaria (gverdiT 2), saidanac ∠C=30°.C∆ABC ⇒ ∠BAC=180°–120°=30°. e.i.∆ABC tolferdaa (fuZesTan mdebare 2 30° 2kuTxeebi tolia), e.i. AB=BC= 3 +1.3B 1C=AB 1+B 1C=AB+2=3+ 3 (AB=AB 1).60° 60°B D 1AB 3 C3 232 33B 11D4. avagoT B wertilis simetriuli B 1wertiliAC wrfis mimarT. CB 1=BC= 3 . xolo AB=AB 1=3.B 1D=4–3=1.miviReT ∆B 1CD, sadac viciT 3 gverdi. ricxviTimonacemebidan Cans, rom samkuTxedi marTkuTxaa(2 2 = 3 2 +1 2 ). misi kuTxiT B 1. amasTan B 1D=C321 . CD ⇒ ∠c=30°. ∆AB1 C ⇒ (∠B21=90°) ⇒ AC=2 3 ⇒∠CAB 1=30° ⇒ ∠BAD=60°.B 11D35mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 35 02.07.2012 13:31:02

5. gadavitanoT BD diagonali BC veqtorSi.miviReT BCKD paralelogrami ⇒BD=CK. BC=DK. ∠AOD=∠ACK=90°. e.i. ∆ACKmarTkuTxaa. Tu SemovxazavT wres AK dia-BOCCADKAd 1a+bd 2KmetriT, yvela SesaZlo C wertili iqneba amwertilze. e.i. h-is maqsimumia R= a + b .2pasuxi: 00 da D≤0. WeSmariti SeiZleba iyos g).3. centruli simetria1. avagoT C wertilis simetriuli C 1wertili D centrismimarT. amave centris mimarT A-s simetriulia B wertili.maSasadame, ACBC 1oTxkuTxedi paralelogramia.DC 1=10, C 1B=11. S ∆ABC=S ∆CC1B= 22 $ 2 $ 9 $ 11 =66.pasuxi: S=66sm 2 .AC111013D10C 111B38mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 38 02.07.2012 13:31:03

2. avagoT C wertilis simetriuli C 1wertili D centrismimarT. cxadia, C 1B=6; DC 1=5. miviReT ∆CC 1B 1. gverdebi 6,8 da 10. maSasadame, es samkuTxedi marTkuTxaa ∠CBC 1=90°.saidanac davaskvniT, eom ACBC 1marTkuTxaa, e.i. ∠C=90° daAB=10. marTkuTxa ∆ACB ⇒ h·AB=AC·CB ⇒ 10h=6·8 ⇒ h=4,8.pasuxi: h=4,8.AC658D5CC 16B3. avagoT C wertilis simetriuli C 1wertili D centrismimarT. ACBC 1paralelogramia, e.i.AC = C1B, pirobis Tanaxmad,C1B< BCo &o &AC < BC ganv. 3 CC1B% %C1CB< CC1&+ B % %o & + ACD > + BCD+ CC1B= + ACDADC 1Bpasuxi: + ACD % > + BCD% .4. avagoT C wertilis simetriuli C 1wertili Dcentris mimarT. ACBC 1paralelogramia+ CC1B= 90c⇒ ganv. 3 CC1Bp ⇒ C 1B≡x, maSin CB=2x ⇒+ CC1B = 30c4x 2 =x 2 +(2 3 ) 2 ⇒ 3x 2 =12 ⇒ x=2. e.i. C 1B=2; CB=4.pasuxi: AC=2 da CB=4.AxC30°3D2x3C 1xBB5. cxadia, B da D wertilebi simetriulia O centris mimarT.Tu A da C wertilebic aRmoCndeba simetriuli O centrisA 1mimarT, maSin ABCD iqneba paralelogrami. davuSvaT sawinaaRmdego:vTqvaT A da C wertilebi ar aris simetriuliCA 1O centris mimarT, maSin A wertilis simetriuli wertiliO-s mimarT SeiZleba iyos A 1wertili, romelic mdebareobsADOC sxivze da ar emTxveva C wertils. ABA 1D paralelogrami unda iyos. e.i. ∠A=∠A 1, racewinaaRmdegeba pirobas ∠A=∠C. maSasadame, ABCD paralelogramia.6. avagoT A centris mimarT mcire wrewiris simetriuliwrewiri. amisTvis aviRoT O 1wertilissimetriuli O 2wertili A centris mimarT da gavataroTwrewiri, romelic gadis A wertilzeda romlis centria O 2. vTqvaT am ukanasknelmadidi wrewiri gadakveTa C wertilSi. gavavloTCA wrfe orive wrewirTan gadakveTamde. cxadia,∆CO 2AAA=∆DO 2A. tolferda samkuTxedebi toliagverdiT da fuZesTan mdevare kuTxiT ⇒ CA=AD.CO 2ABO 1D39mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 39 02.07.2012 13:31:04

5. movabrunoT ∆AMC C centris mimarT 90°-ianikuTxiT. cxadia, CM=CM 1≡y, AM=BM 1=2.MM1= y 2ganv. 3 MM1C+ M1MB= 90co & + CM1M= 45cp &o ⇒+ C = 90c+ MM1B= 135c - 45c = 60c+ CMB = 135c⇒ yM1B2 = =11 & y = . CMB 22 +1=4 ⇒ MB= 3 .2A2yMC2yM 121pasuxi: MB= 3 da CM= . 2B6. movabrunoT CM centriT C, 90°-iani kuTxiT.c x a d i a , ∠ M C M 1= 9 0 ° , e . i . M M 1= 2 , x o l o∠M 1MD=105°–45°=60° ⇒ ∆MM 1D tolgverdaa, e.i.M 1D= 2 , e.i. CD aris MM 1monakveTis SuamarTobi.e.i. ∠MDC=30°. da ∠MDA=60°.1 2 $ 3 2^ 3 + 1h AD = CD = CK+KD = + =.2 22DABC ⇒ AC=CD 2 = 3 + 1.BMC1 1105° K2230°M 1pasuxi: AC= 3 + 1; ∠MDC=30°.AD7. a) y 3 –x 3 =7RS y - x = 72 2S)x + xy + y = 1SS y - x = 1) 2 2S x + xy + y = 7SS y - x =- 7) 2 2S x + xy + y =- 1Sy - x =- 1) 2 2S x + xy + y =- 7Tb) xy+3x–5y=–2x(y+3)–5y–15+15=–2x(y+3)–5(y+3)=–17(y+3)(x–5)=–17.RS y + 3 = 1S)x - 5 =- 17SS y + 3 =- 1)S x - 5 = 17SS y + 3 = 17)S x - 5 =- 1Sy + 3 =- 17)S x - 5 = 1TQ(- 2; - 1) ( 1; 2)QQ(- 12; - 2)( 22; - 4)( 4; 14)( 6; - 20)41mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 41 02.07.2012 13:31:05

5. msgavsebis gardaqmna. homoTetia1. MBCN~AMNB ⇒ xapasuxi: MN= ab .=x& x = abbMB a CxNA b D2. ∠1=∠2. ∠ADC= AKC (Caxazuli kuTxe).2∠ACB= AKC (mxebiTa da qordiT Sedgenili kuTxe).2e.i. ∠ADC=∠ACB. miviReT ∆ABC~∆CAD ⇒AB⇒ AC=AC⇒ ACDC2 =ab ⇒ AC= ab .D C21A K Bpasuxi:ab =AC.3. gavavloT AC diagonali. cxadia, ∠1=∠2. ∆ADCtolferdaa, e.i. ∠1=∠3. ⇒ ∠2=∠3. ⇒ ∠B=∠β. pirobisTanaxmad, ∠DAC=2β ⇒ ∠1=∠2=∠3=β. maSasadame,∆ACB-c tolferdaa AC=CB=x. amasTan,AD∆ADC~∆ACB ⇒ =AC 1 x& = & x = 3 .AC AB x 33 3∆CKB ⇒ β= : 3 = ⇒ β=60°.2 2pasuxi: ∠ABC=60°; AC= 3 .D 1 C11 x x32A K BBmC4. I. mxI. mxy= ⇒ x=y (ewinaaRmdegeba pirobas).m=m⇒ my2 =xy.amocana davida Semdegze:xMyAmDNA B mAB monakveTi gavyoT iseT or x da y sigrZis minakveTad, rom xy=m 2 . es ukve cnobiliamocanaa.42mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 42 02.07.2012 13:31:05

a6. a wrfe kveTs α sibrtyes A wertilSi. u.d., rom a wrfekveTs β sibrtyes. davuSvaT sawinaaRmdego: a wrfe β sibrtyesar kveTs. avi RoT β sibrtyeze raime B wertilida gavavloT (B;a) sibrtye, romelic cxadia, kveTs α sibrtyes,romelic c wrfeze, ro melic A wertilze gadis daagreTve kveTs β sib rtyes B wertilze ga maval romeliRacd wrfe ze. miviReT (B;a) sibrtyeSi d wrfis paraleluror (a da c) wrfes, romlebic erT, A wertilze gadis, racSeuZlebelia. r.d.g.cdABreziume:8. wrfeTa paralelurobamoswavleebma ician sibrtyeze paralelur wrfeTa ganmarteba. maT unda dainaxon, romori wrfis argadakveTa sivrceSi yovelTvis ar niSnavs wrfeTa paralelobas; ganasxvavonerTmaneTisgan paraleluri da acdenili wrfeebi.amoxsnebi, miTiTebebi:1. aqsioma 3-is ZaliT nebismieri wrfe, romelic or paralelur wrfes gadakveTs erTsibrtyeSi mdebareobs.bcaBC2. ix. amocana 1.B3. arsebiTia imis Cveneba, rom A, C 1da B 1wertilebi erTwrfeze ganTavsdeba (sibrtyeebis gadakveTis wrfe).d) AC=a; BC=b; CC 1=cCu.v. BB 1∆ ACC 1~ABB 1AC CC1= , saidanac BBAB BB11 =c( a + b).aAC 1B 14. d) MM a b1 = + .25. d) AA 1=a, BB 1=a. CavTvaloT, rom b>a. ga vagrZeloT BB 1A 1B 1-is paralelur AB 2-s gada kveTamde. ∆ ABB 2-Si MM 2Suaxazia. BB 2=a+b, e.i., MM 1= a + b , magram M1 M22=aa 1=B 1B 2=a.miviReT: MM 1=MM 2–M 1M 2= a + b b - -aa = .2 2AMBA 1BM 11M 2B 210. cxadia, b=0, e.i. k=-8.545mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 45 02.07.2012 13:31:07

II Tavis damatebiTi savarjiSoebiBα2x1. moc. AC= AB2 . avagoT A wertilis simetriuli A wertili BC1wrfis mimarT. ∆ABA 1tolgverdaa. BC biseqtrisaa, e.i. α=30°.A 1xCxAlAKBB 12. avagoT B wertilis simetriuli B 1wertili l wrfismimarT. A da B 1SevaerToT. cxadia BK=KB 1(∆BKB 1tolferdaa),e.i. AKB texilis sigrZe tolia AKB 1texilis sigrZis(nebismieri k∈l-isTvis). es ukanaskneli ki umciresia, rac A 1Kda B 1erT wrfeze mdebareobs.3. (ixileT naxazi)nAmMA 1B 1B4. gadavitanoT BD diagonali BC veqtorze(BCMD paralelogramia). S ABCD=S ∆ACM.B CADNM5. ixileT amocana 4. 6. ixileT amocana 4.=AMAMAC2 =AB·AC ⇒ AM= AB $ AC . e.i. aseT wertilTa geo-AB7. ∆ABM~∆AMC.AMmetriuli adgilia wrewiri centriT A da radiusiT R=Tis wertilebis garda.MAB $ AC , AB wrfesTan gadakve-A B C8. miTiTeba: ∆BCC 1da ∆HAC 1msgavsia.9. miTiTeba: ∆MAC da ∆MCB msgavsia.46mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 46 02.07.2012 13:31:07

III Tavi1. parametrebis Semcveli gantolebareziume:icodes parametris cneba; unda asxvavebdes erTmaneTisgan ucnob cvladsa da parametrs;esmodes parametris Semcveli amocanis azri.amoxsnebi, miTiTebebi:2a 7 + 4a1. a) x = ; b) x = ; g) Tu a=0, x nebismieria, Tu a≠0 x=1;352d) Tu b=1 x∈∅, Tu b≠1, x = ; e) x(3–b)=3, Tu b≠3, xb - 1= 3 , Tu b=3 x∈∅.3 - ba - 5v) ax–a+5=3x (a–3)x=a–5. Tu a≠3 x = . Tu a=3, x∈∅.a - 3z) (a+2)x=(a–2)(a+2);Tu a≠–2 x=a–2; Tu a=–2 x∈R.T) (b–3)(b+2)x=b+2.1Tu b≠3 da b≠–2; x = . b - 3Tu b=3 x∈∅. Tu b=–2 x∈R.i) a 2 x–a=ax+2a(a–1)x=a+2.a + 2Tu a≠0 da a≠1 x = ;a(a -1)Tu a=0 an a=1 x∈∅;k) x 2 +bx+b–1=0D=b 2 –4b+4=(b–2) 2- b ± ( b - 2) ⎡-1x ==2⎢ ⎣ - b -1l) x 2 +4x–a=0D= 4 + a4Tu a–4 x = -2 ± 4 + a .m) ax 2 +2x+5=0D= 1-5a4.47mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 47 02.07.2012 13:31:07

2b) ( 2x- 3)2=|x–2| ⇒ |2x–3|=|x–2|= x - 3 = x - 2 x = 1>o & > 52x- 3 = 2 - x x =3g) x=7; -1.3d) x 2 –4x+4=2|x–2| ⇒ (x–2) 2 –2|x–2|=0 ⇒ |x–2|(|x–2|–2)=0 ⇒ ( | x = 2x - 2 = 0> & > x = 4.| x - 2 | = 2x = 03. a) x≠0; b) (–∞;–2] [2;∞); g) x=0; d) ∅.1 1 39. SOBAC= SNCA- SNOB= NC ⋅ hNC- ⋅ 2 ⋅ 2 = hNC- 2 . vipovoT A wertilis koordinatebi.MN wrfis gantolebaa: y=–x+2; AM wrfis gantolebaa: y = - x - 1 ; A(6;–4), e.i.2 2 21h 2NC=6. S = 7 .OBAC10.2 1 12 2 2= + . gamartivebiT vRebulobT 2b = a + c .a + c b + c a + b11. 100!=1·2·3······99·100 daviTvaloT am namravlSi ramdeni 5-iania. 1 — 100-mde 5-is jeradia— 20. 25-is jeradi — 4. e.i. sul 24 5-iani, e.i. namravli dabolovdeba 24 nuliT.3. maRali xarisxis gantolebis amoxsnareziume: ganvumartoT moswavleebs, rom maRali xarisxis gantoleba rom amovxsnaT anunda SevarCioT xelsayreli aRniSvna, an marjvena mxares unda davtovoT nuli, xolomarcxena mxare unda davSaloT mamravlebad, an kidev zepirad davinaxoT fesvebi da davamtkicoT,rom mocemul gantolebas meti amonaxseni ara aqvs. ganvmartoT bikvadratuligantoleba; sasurvelia ganvixiloT yvela SemTxveva — rodis da ramdeni amonaxsniaqvs bikvadratul gantolebas.amoxsnebi, miTiTebebi:24 - x 15(24 - x)2. V1= =16 460xV2 = = 15x460xSexvedramde: =15(24 - x)42x= 24 - xx = 824 - x15x. 224x = (24 - x).V = 60km/sT. V = 120km/sT.1249mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 49 02.07.2012 13:31:08

y y + 26. a) x 2 –x=y - = 1;y + 2 y - 22b) x + 2x+ 2 ≡ yy -1+yy=y + 176;2x +1g) ≡ yx1y – + = -2,5 ;y2x - 3x+ 6d) ≡ yxe) x - x + 2 ≡ y508y + = 6 ;y2 ( -1)(y + 1) = 3y ;v)22( x + x - 6)( x + x - 2) = -4;x2 ( - 2)( y + 2) ≡ - 4+ x - 4 ≡ yy ;z)2 2 2( x - 6x)- 2( x - 6x+ 9) = 81;2x - 6x≡ y.22 2T) ( x - 5x+ 7) - 2( x - 5x+ 6) = 1 .x2 2- 5x+ 7 ≡ y y - 2( y -1)= 1 .17. a) ( x + )2 = 9 x2 12 1x + 2 + = 9 , saidanac x + = 7 .22xxb) 2 4 2 29x + = (3x+ ) -12= 25 -12= 13 .2x x8. a)2 1 12(x + ) + ( x + ) - 6 = 0 x + 1 = y2x xx1 22y 2 + y – 10 = 02x + = y - 22x5y1 =- , y2= 2, saidanac x=1; – 1 ; –2.22229. a) ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4)= ( x + 5x+ 4)( x + 5x+ 6) = 17 ⋅19= 323 ;b)22( x + 5x+ 4)( x + 5x+ 6) = 360 . x + 5x+ 5 ≡ y( y -1)(y + 1) = 360 .y 2 = 361 y = ± 19x1 = -7 x = 2213. a) (x+5)(x–7)(x+1)(x–a)=0x1 = -5 x = 27 x3 = -1x =4a2 .zustad sami amonaxsni iqneba, roca a romelime sxva fesvs emTxveva e.i. a=–5;7;–1.mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 50 02.07.2012 13:31:09

22b) ( ax + 5x+ 1)( x - x - 2) = 0 ;2( ax + 5x+ 1)( x + 1)( x - 2) = 0 .ori fesvi ukve gvaqvs x 1=–1; x 2=2. zustad sami amonaxseni gveqneba, roca:1) ax 2 +5x+1 samwevris D=0;2) D>0 da erT-erTi fesvia –1 an 2.25 113) a=0. e.i. a = ;4;-; 0 .4 414.⎧2β+ a = 180⎨⎩β= 2aa = 36e.i. 36°; 36°; 108°.reziume:4. iracionaluri gantolebaganvmartoT iracionaluri gantoleba. moswavles unda esmodes, rom iracionalurigantolebis amoxsnis procesSi aris gareSe fesvis gaCenis „saSiSroeba“. mas unda See-Zlos gareSe fesvis dadgena da gantolebis fesvebis dawera (fesvebis Semowmeba).amoxsnebi, miTiTebebi:3. e) (2x–1) x - 2 =0m) ukeTesia fesvis aRniSvna21x= gansazRvris areSi ar Sedis, e.i. x=2.x - 3 x + 5 / y $ 02y 2 +y–12=0, saidanac y=3; x=–1;4.2v) (x–1) x - 4 =0 x±2.6. cxadia, 11 diski TiToeuli 11 larad (121-s sxva gamyofebi garda 1-sa da 121-sa ar aqvs).8. a) |3–5x|=2 x=1 x= 51 ; b) x=–3 y=4;g) x= 23- da y+4x–1=0 e.i. y=7.d) x±1 y±4 gantolebas aqvs amonaxsnTa oTxi wyvili (±1; ±4) (±1; "4).B9.KAB=2; BC=7; AC=8.OA DC∆ABC-Si AD:DC=2:78AD=2x; DC=7x, saidanac 9x=8; x= . 9∆ABD-Si AO biseqtrisaa, AB:AD=BO:OD ⇒ BO:OD=2:2x=1: 98 =9:8.51mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 51 02.07.2012 13:31:10

eziume:5. utolobagavaxsenoT moswavleebs ricxviTi utoloba, misi Tvisebebi, cvladiani utoloba, misiamoxsnis etapebi. wrfivi, kvardatuli utolobebi.amoxsnebi, miTiTebebi:5. amoxseniT sistema:7x- 3 < 5x+ 20a) *7x- 3 > 2x+ 1223*x 36. a) (x+5)(x–2)≥0 x∈(–∞;–5] [2;∞).2x ! 1;2( x - 2)$ 07. a) ) (5;∞); b) ) . (–∞;8]x > 58 - x $ 08. a) 5x 2 –10xy+25y 2 +7=5x 2 –10xy+5y 2 +20y 2 +7=5(x 2 –2xy+y 2 )+20y 2 +7=5(x–y) 2 +20y 2 +7>0;b) x 2 +xy+y 2 =x 2 21 3 1 3 2+xy+ y2 + y2 = `x + yj + y $ 0;4 4 2 4g) ( b)2 b 21 + - 2=1 + b> 0;2 21d) a 2 +b 2 +c 2 2 2 2 12 2 2–ab–ac–bc= ^ 2 a + 2 b + 2 c - 2 ab - 2 ac - 2 bch = (( a - b) + ( a - c) + ( b - c) ) $ 0.229. a) mx 2 –9mx+5m+1>0a > 0Tu m=0 da m>0 D3x–4x–4a(2a+1)>–6a16aTu a > - x > -22a+ 116aTu a < - x < -22a+ 1Tu a =-1x∈∅.252mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 52 02.07.2012 13:31:10

e) x(x–a)0Tu a2–3a(x+1) CavsvaT x 0=1.miviRebT a>0.x $ 53. a) ) a) 5 34. a) ) 1. (3;∞) intervali iqneba, Tu a≤3. 2. [5;∞), Tu a=5.x $ aax < 15. a) ) cxadia, sistemas amonaxsni rom ar qondes, a>0 da pirvel utolobas qondesx > 4a11x < saxe, sadac < 4a.aa1*< 4aaa > 024a> 1)1a > .a > 026. a) a=2 (x–2) 2 ≤0 x=2; b) (ax+2)(3x–6)≥0 a=–1; x=2.7. utolobis amoxsna intervalTa meTodiTreziume:sasurvelia, moswavleebs wina dRes davavaloT, rom amoxsnan mag. (x–1)(x+5)(x–7)(x+2)>0utoloba da daTvalon, Tu ramdeni sistemis amoxsna dasWirdaT imisTvis, rom SeesrulebinaTdavaleba. mere ganumartoT intervalTa meTodis upiratesoba.amoxsnebi, miTiTebebi:2. d) (2x–4x 2 )(x 4 –1)≥02x(2x–1)(x–1)(x+1)(x 2 +1)≤01x ∈[ -1;0]∪[;1]223.(2x-11)(x + 18)d) ≤ 02( x + 15)(2x- 3x+ 2)x2+ 18 >> 02x2 - 3x + 2 >> 0e.i.x ∈ (-15;5,5]53mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 53 02.07.2012 13:31:11

22( x + 7) (3x- 7x)4. a) ≥ 03x ( x + 1)2( x + 7) x(7x- 3)≤ 03x ( x + 1)3x ∈ (-1;0)∪ (0; ] ∪{-7}75. g)1x( x2 - 4) +x - 5⎧x(x - 2)( x + 2) ≥ 0⎨⎩x≠ 5D( y)= [-2;0]∪[2;5)∪ (5; ∞)20 ⋅ 5 + x ⋅ 06. SevadginoT gantoleba saSualos formulis gamoyenebiT = 2 , saidanac x=30.20 + x9. ax 2 –4ax+5–a=0 a≠0.D= 4a42- a(5- a)= 5a2- 5a5 a ( a -1)> 0 a ∈ (-∞;0)∪ (1; ∞).10.1 1 1 1⋅ ⋅ = .4 3 2 24III Tavis damatebiTi savarjiSoebi1. b) 4–5x=|5x–4|44–5x≥0 x ≤5z) |x 2 –5x|=0 x=0; x=5.T) |x 2 –2x|=–5 x∈∅.2. e) (|x|–5)(|x|–7)≤0| x | # 7)| x | $ 5x∈[–7;–5]∪[5;7]23. a)x - 5x+ 6≠ 02x + 4x+ 4x∈R\{2;3;–2};b) x 2 +4x–5≠0 x∈R\{–5;1}.4. d) (|x|–4)(x 2 –2x–3)=0⎡ x = 4⎢2⎢⎣x - 2x- 3 = 06. a) a>5; b)x = ± 2x = 3; x = -1oTxi.5a > - ; g) a ∈ (-∞;-1)∪ (5; ∞); d) a ∈ R .254mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 54 02.07.2012 13:31:12

9. a) c > 0= (Tu fesvebi gaaCnia xD < 02 -is mimarT, isini uaryofiTia). miviRebT: C>0;b) D4.10. a) oTxi amonaxsni gvaqvs, Tu D>0 da a>0.⎧a> 0e.i. ⎨⎩169- 4a> 01690 < a < .4b) ori amonaxsni, roca D=0 an D>0 da a0a > 0)D < 0* a > 0`-41;ja∈ `0 ; 4j.3314. CavsvaT x=–1–5+3+4+2a=02a=–2a=–1.55mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 55 02.07.2012 13:31:12

2x ( x - 1)+ x - 115. a)# 0x + 82( x - 1)( x + 1)# 0 x∈(–8;1].x + 82x + 2e) c m - 9 # 0x - 4x + 2 x + c - 23 mc+ 3 m # 0x - 4 x - 4( x - 7)( 2x- 5)c2 m $ 0( x - 4)+x∈ `5-3; B j [ 7; 3)252– – +4 717. a) y =x229 - x- 5x- 629 - x $ 0) 2x - 5x- 6 2 0( x - 3)( x + 3)# 0) x∈(–3;–2)( x - 6)( x + 1)2 0Seamowme Seni codna1. b; 2. g; 3. b; 4. g; 5. d; 6. g; 7. b; 8. b; 9. a; 10. d; 11. b; 12. a; 13. g; 14. d; 15. b; 16. b; 17. a) ∅; b) 1;2; g) ± 5 ; ±1; d) 0; ± 6 ; 18. g.56mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 56 02.07.2012 13:31:13

eziume:IV Tavi1. kosinusebis TeoremavTxovoT moswavleebs daafiqsiron samuTxedis ori gverdi da cvalon maT Soris kuTxe(marTi, blagvi, maxvili) TiToeul SemTxvevaSi gazomon mesame gverdis sigrZe, gamoTqvanvaraudi.amoxsnebi, miTiTebebi:5. a=12, b=13.a) I samkuTxedi marTkuTxa II maxvilkuTxa III blagvkuTxac = 144 + 169 = 313 12 13 < c < 313 . 313 < c < 25.b) Tu c udidesi ar aris, udidesia b=13.I marTkuTxa II maxvilkuTxaa, roca III blagvkuTxaa, sadacc = 169 -144= 5 . 2 2 2(13 < c + 12 ) ⇒ 5 < c < 13 . 2 2 213 > c +12 , e.i. 1

eziume:2. kosinusebis Teoremis SedegebivTxovoT moswavleebs daafiqsiron paralelogramis diagonalebi da cvalon maT SoriskuTxe. TiToeuli SemTxvevisaTvis gazomon miRebuli paralelogramis gverdebi dagamoTvalon maTi kvadratebis jami. Sedegebi Seadaron, gamoTqvan varaudi.amoxsnebi, miTiTebebi:1. 4x 2 +9x 2 +2(121+529) x=10.3 . 2((x+4) 2 +x 2 )=144+196 x=7.5. amocana SeiZleba gakeTdes medianis formuliT, magramSeiZleba gakeTdes piTagoras Teoremis gamoyenebiT.2 10100AP = AK = e.i. OP =3 39BO = 2 7 BC = 28 + 8 = 6 .- 8 =2 7310.2AO = ⋅15= 10 CO=15.3111∆AOC-Si . OM = 200 + 450 - 529 = .22BM=3OM=16,5.12.585x+ 3 a(x + 2) + b(x - 5)=.( x - 5)( x + 2) ( x + 2)( x - 5)5x+3=(a+b)x+2a–5b toloba rom Sesruldes nebismieri x-Tvis ⎨ ⎧ a + b = 5, a=4 b=1.⎩ 2a- 5b= 313. P — filosofosebis raodenobam — maTematikosebis raodenobareziume:mp7=9, e.i. metia filosofosebi.3. sinusebis TeoremavTxovoT moswavleebs daxazon wrewiri da gaavlon qorda. daxazon am qordaze dayrdnobiliCaxazuli kuTxeebi (orive rkalze). SekiTxvebi:1) daasaxeleT toli kuTxeebi;2) ramdeni gansxvavebuli kuTxe miiReT;mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 58 02.07.2012 13:31:13

a, Tu wrewiris ra-sina3) SeadareT gansxvavebuli kuTxeebis sinusebi.4) miRebuli samkuTxedebidan amoarCieT marTkuTxa da ipoveTdiusia R.amoxsnebi, miTiTebebi:AB5. = 2Rsin aR=15.6.16 3= 32 β=30° an 150°.sin β17. K(1;2) KN=3. e.i. SOKN= ⋅ 2 ⋅ 3 = 3 .28. 5·5 dafis farTobia 25, xolo dominos qvis 2. ar SeiZleba.9. aseTi ricxvis cifrTa jami iqneba 300. 300 iyofa 3-ze da ar iyofa 9-ze. e.i. es ricxviver iqneba sruli kvadrati.10. 2003≡1(mod7)2004≡2(mod7)2005≡3(mod7)2006 3 ≡1(mod7)2003·2004·2005+2006 3 ≡(6+1)(mod7) e.i. unaSTod iyofa 7-ze.reziume:4. samkuTxedis biseqtrisis sigrZisa da farTobisgamosaTvleli formulebimoswavleebs gavaxsenoT samkuTxedis biseqtrisis Tviseba, vTxovoT CamoTvalon samkuTxedisfarTobis gamosaTvleli maTTvis cnobili formulebi, daaxasiaTon isini, anuCamoTvalon, Tu ra monacemebi unda hqondeT, rom SeZlon am formulebis gamoyenebiTsamkuTxedis farTobis gamoTvla.amoxsnebi, miTiTebebi:2.AD AB = e.i. BC=10.DC BC4. AB≡3x AC=5x8x+8=32, x=3 AC=15.6 65. I = . KC=9 miviReT BC=15. ar SeiZleba.9 KCII. 3x=6 BC=10.59mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 59 02.07.2012 13:31:14

2AK = AB ⋅ AC - BK ⋅ KC = 100 3 - x 3 = .100 3 - 25(4 - 2 3) 3 =150.6. BB 1=5 AA 1=7 CC 1=10.1420AO = CO =33OB = 513 medianis formulas vwerT AOC samkuTxedSi AC-ssapovnelad.IV Tavis damatebiTi savarjiSoebiB1. NK||AB; MP||BC. e.i. AK=MN=KP=PC=6, miviReT AC=18. amis SemdegganvixiloT msgavseba ∆AMP~∆ABC,MPBC2=3, MP=10, analogiurad2 22 2NK=6. NK + MP = 2( MN + MK ) , saidanac MK = 4 2 .AMKNPC2. cxadia, AM aris A kuTxis biseqtrisa.3. aK=10 KC=8.KOABAKBC= KC3=2.x2Kx2 9P5x1x1 17BCaCNaAD6. ∆AOK ⇒ OK=30.B∆BO 1K ⇒ O1K= 18 , e.i. OO = 112 .CBCx 8a2 Ky MB CAD 4 O1O2OABC ADK7. ganv. ∆CODK∠ADCOO∠ ODC = = 30 .2AD ∠COD=90° (Siga calmxriv mdebare kuTxeebis biseqtrisebsSoris)< e.i. CD=2OC=20. OK=OCsin60°=5 3 . OK warmoadgens wrewiris radiuss.AB=2r=10 3 . P = 2 ( AB + CD)= 2(20 + 10 3) = 20( 3 + 2 ) .ABCD61mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 61 02.07.2012 13:31:14

8. ∆ABK-dan AK = 16 32AB ⋅ ACR =14 ⋅ ⋅ BK ⋅ AC2= 989. viciT, rom paralelogramis kuTxe simaRleebs2Soris kuTxis tolia. e.i. ∠A=∠C=α. ∆ABM-dan AB =34∆BCN-dan BC = ; AC vipovoT kosinusebis TeoremiT32ADC samkuTxedidan AC = 4 .712. AK=6 AB=10KD=15 BD=17ABCD trapeciaze Semoxazuli wrewiris radiusi vipovoTrogorc ABD samkuTxedze Semoxazuli wrewiris85radiusi R = .8a16. ganvixiloT ABC samkuTxedis msgavsi samkuTxedi, romlisTvisac a = 1, maSin a3 3b cb1= da c1= . miviRebT⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ ⎛ b c ⎞ ⎛ b ⎞⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1. ⎜ , < 1⎟⇒ ⎜ ⎟a a⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ a a ⎠ ⎝ a ⎠⎛⎜⎝ca⎞⎟⎠3⎛< ⎜⎝ca⎞⎟⎠maxvilkuTxaa.22⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ ⎛ b ⎞⇒ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ > ⎜ ⎟⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠23⎛+ ⎜⎝ca⎞⎟⎠3232⎛ b ⎞< ⎜ ⎟⎝ a ⎠2da1=⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ 2= 1. e.i. ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ > a1⇒ samkuTxedi⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠17. vRebulobT, rom mediana im gverdis naxevaria, romlis mimarTac aris gavlebuli,e.i. samkuTxedi marTkuTxaa.19. AD=AC=1∠D=∠ACD=45°∠BCA=135°AB = 1 + 1-2 ⋅1⋅1⋅cos135 = 2 + 2 .62mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 62 02.07.2012 13:31:15

21. AK = 2BK=12BD = 61 ∆ABD-Si161=16+81–2·4·9·cosA cos A = ∠A=60°.2∠C=60°.IV Tavis testi1 varianti1. ∠A=∠C. 2. Cˆ < Aˆ< Bˆ. 3. ∠C=90°. 4. SABC> S A 1 B 1C. 5. SABC< S1A 1 B 1C.1⎛ BC B1C1⎞⎜ = = 2R⎟6. ⎜ sin A sin A1⎟ ⇒ BC < B1C1. 7. ki. 8. ara. 9. C ˆ < C ˆ1.⎜sinA sin A ⎟⎝ >1 ⎠10. 2 13 sm. 11.1cos a = ;812. gvaqvs ori SemTxveva9cos β = ;16a) b)3cos γ = .4h 2 =100–9=91 h 2 =100–49=512BD = 91 + 49 = 140 = 2 35BD = 51+9 = 2 15 .II varianti1. AB=AC. 2. Aˆ < Cˆ< Bˆ. 3. ∠A=90°. 4. B ˆ < B ˆ . 5. 1SABC< S A 1 B 1C. 6. BC C ˆ1 . 10. 2 37 sm. 11.2 8sin 75= .0γ = 105 - β . 12. 3 3 sm.0sin β63mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 63 02.07.2012 13:31:15

eziume:V Tavi2 . iracionaluri gamosaxulebis gamartivebaSevaxsenoT moswavleebs n-uri xarisxis fesvis Tvisebebi, moqmedebebi maTze. gakveTilifaqtiurad emsaxureba ukve Seswavlili masalis gameorebas. paragrafis magaliTebimoswavleebs ganumtkicebs arsebul codnas da Seamzadebs maT wiladmaCveneblianixarisxebis Semcvel gamosaxulebebze analogiuri moqmedebebis Casatareblad.amoxsnebi, miTiTebebi:3 124 12123 123 44. a) 3 = 81 ; 3 = 27 ; 2 = 64 ; 2 = 16 , e.i. 2 ; 3 ; 2 ; 312. a)635248 5x $ x20x x 403 3e o5 43= 10 = x ; b) a a 5 121160$ $ a = a 30= a .xx13. a) mag. ( 4 - 3) + ( 2 + 3)=6; b) mag. ( 3 - 2)( 3 + 2)=1.1 1 + 4 515. a) = ;1 - 4 5 - 79113 2 1 3 2 1 2 1 3 $ 2g)=21 + 2 + 3 3 + ( 2 + 1) = - - - - ^ + - h= = ;3 - ( 2 + 1)3 - 3 - 2 24v)16. a)13 - 23 33 3 3= 9 + 6 + 4 ; z)12 - 32 + 3=2 - 93 33.( 2 + 3)(4 + 2 9 + 81)=.-13 3 3 3x + 2 + 4 x - 2 - x - 1 + 2 x - 2 = x - 2 + 4 x - 2 + 4 + x - 2 + 2 x - 2 + 1 == ( x - 2 + 2) 2 + ( x - 2 - 1) 2= x - 2 + 2 + x - 2 - 1cxadia, x≥2, Tu x - 1 $ 1 , anu x≥3, maSin miviRebT 2 x - 2 + 1 . Tu 2≤x

4. gamosaxulebis gamartivebaamoxsnebi, miTiTebebi:-11 1-11 1-1 1 1-1 1-1-142. a) 9a 22 222 24 2 44 24b + 6b + a - 9a b + 12b + 4a = 3a b + a - 3a b - 2a =- a.3. g) 5 + 6 14 - 6 5 - 4 = 5 + 6 9 - 6 5 + 5 - 4 = 5 + 6( 3 - 5)- 4 == 5 + 14 - 6 5 = 5 + 3 - 5 = 3141 2141 2^44a + b h + ^a - b h b - 2 ab + a ( 2 a + 2 b)( b - a )5. b)1:= $-1^2b - a h `a + ( ab)j a ( b - a ) a ( a + b)a ( b - aa ( b - a )2= 2;32 -( ) ( 3232323)( )g)33232 $ ( ) ( )3 32 $2$32 -2 ( a1) ( 323 32323a 1)3 a 1 2 ( a 1)4 a 4 a4 a133232 $( )3a 1 ( a 1) 3( a 1)a 13 32 $2$- - + - + - =- + + + a - 1- + - + - 3( )=a - 134 a + 4 a + 4 a + 132(32( a+1))33l23 333a13l a=a 1a1a13 33- - + - = =-- -13 3 32 33 3 338. g) ( 2 + ( 2 - 5) ) = ( 2 + 5 - 2)= 5.reziume:5. Tvlis sistemebiwina klasebidan moswavleebs ukve aqvT warmodgena Tvlis sistemebze. sasurvelia maswavlebelmawina gakveTilze daavalos gadaxedon ukve gavlil masalas.amoxsnebi, miTiTebebi:3. a) 231:5=46(1) a 0=1.46:5=9(1) a 1=1.9:5=1(4) a 2=4.1

6. a) 57+31=110 7+1=10 — rvaobiTSi.b) 125+342=511 5+2=11 — eqvsobiTSi.7. a) ( 12)10- (25)6= (12)10- (17)10< 0 .1( 25) = 2 ⋅ 6 + 5 = (17 .g)6)1010. a) 22222. b) 77777. g) (11111) 2=2 4 +2 3 +2 2 +2+1=16+8+4+2+1=(31) 10.⎛ 2x-1⎞12. f ⎜ ⎟ = 2x+ 1.⎝ x + 3 ⎠⎛ 13 ⎞f ( 4) = 2⎜- ⎟ + 1 = -12.⎝ 2 ⎠2x-113= 4 ⇒ 2x-1= 4x+ 12 ⇒ x = - .x + 32SACF 113. = ⇒ 3·SS 3ACF=S CFB⇒(1)-s gaTvaliswinebiT9S= 2S1⇒CFB⇒ 3(3S+S 1)=S 2+3S 1⇒ 9S 2(1)S4S+ S=+ 2S21SS1110.S ABC= 4S1 + 3S+ S2= 60x= 6 ⇒ x =SBFK+ S = S + 3S1= 29x= 2,9EKC=29e.i.12⇒ S2= 2S.1S = 2x; S = 19xda S = 218x.Seamowme Seni codna1) a; 2) b; 3) b; 4) a; 5) g; 6) g; 7) b; 8) a; 9) a; 10) g.V Tavis damatebiTi savarjiSoebi36. g) ^^1 - 2h h - 5 2 = ^ 2 - 1h - 5 2 =- 7;d) 5 + 6 14 - 6 5 - 4 = 5 + 6( 3 - 5)- 4 = 5 + 14 - 6 5 = 5 + 3 - 5 = 3.2 2367mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 67 02.07.2012 13:31:19

toli qorda da a.S. cxadia A 1da A 2wertilebi erTmaneTs daemTxveva. miRebuli A 1A 2A 3A 4A 5A 6eqvskuTxedi iqneba wesieri.r = m ⎞R - r = m⎞⎟ a 35. ⎟ ⇒ ⎟ ⇒= 2a 3 m = ⇒ a = 2 3m.R r ⎠ r = ⎟ 66 ⎠6. S kvadratis=a 2 =54 ⇒ a a 2 a 3= 3 63 3kv kv = · R = ; a = R 3 = 9 ; p=27.2327. a = 684 , 84 ⋅ 3646 42 2S 36= ⋅ = ⋅ .S3== 6 ⋅ 422a3 =233 22⇒ a = 4 ⋅ 6 ⋅ 42 ⇒ a = 84 6 .42R 3 16 ⋅ 3 ⋅ 39. R = a6S6= 6 ⋅ = 6 = 72 .4 410. = 3 2 OS R sin 60 = 3,25 3 ⇒66 2 oS = R sin 30 6,5 .12=R 2 = 13 .611. S = p ⋅ r ( pn perimetris naxevaria). 60=10r ⇒ r=6.nna 3 b 312. n=3 Semoxazuli≡b; Caxazuli≡a. r = ; r = ;36b 3n=6; r =a; a=r;2 b=32ab=1;22a13.632S6= 6 ⋅ = 150 3 ⇒ a6= 100 . 6104a = .115. vipovoT gadakveTis wertili y=x–6 da y = - x + 6 wrfeebis: (8;2)2S=1 ·6·2=12.217. (A+1)37A+4=7A+7–3=7(A+1)–3. saklebic da maklebic iyofa samze, anu sxvaobac iyofa 3-ze.18. 35–B=44–(9+B), e.i. (9+B)11, magram (A+2)11, e.i. (A+2)+(9+B)=11+(A+B) iyofa 11-ze. e.i.(A+B)11.69mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 69 02.07.2012 13:31:20

2k 3 a 3 =k 4 b 4 ⇒ 2a 3 =kb 4 . vTqvaT k=2, maSin a 3 =b 4 , aviRoT a=m 4 da b=m 3 ; x=2m 4 , y=2m 3 .m=1, maSin x=y=2.m=2, maSin x=32; y=16.2 2x1x2x1+ x2+ 2x1x229. + = -2⇒= 0 ⇒ ( x1+ x2) = 0 ⇒ x1+ x2= 0 . e.i. a–3=0 anu a=3x xx x21x ⋅ x = a + 2 5 .1 2=12x1⋅ x2= 1 ⎞-1⎟10. x1= x2⇒ m -1⎟⇒ m = 3. x1+ x2= m + 2 = 5 .x1⋅ x2=2 ⎠11. ∆AOB marTkuTxaa, ∠CAO=135° ⇒ ∠A=∠B=45°. maSasadame, BC wrfis gantolebaa y=x+b(k=1). CavsvaT C wertilis koordinatebi, 6=b+2 ⇒ b=4, e.i. y=x+4. anu wrfe y RerZs kveTsy=4 wertilSi, anu samkuTxedis kaTetebis sigrZea 4 da S=8.VI Tavis damatebiTi savarjiSoebi180 ( n - 2) 1. ara, radgan gantoleba= 145 ar ixsneba mTel ricxvebSi.n2. n=5, diagonalebis raodenobaan(n - 3)= 5 .23. P = 618 sm ⇒ a6 = R = 3 sm.4.Oa5 = 2Rsin 36 ⇒ a5=24sin 36, e.i.P = 120sin 36 .180180 180 35. a n= 2Rsin⇒ 12 = 8 3 sin ⇒ sin = .nn n 20180 0cxadia, = 60 ⇒ n = 3 .n6. a6 = R = 18 sm. wrewirSi Caxazuli kvadratis diagonali wrewiris diametris tolia,e.i. a = 36 ⇒ a 18 2 , e.i. P = 72 2 sm.424=7. l=36=2R ⇒ R=18. 60°-ian rkals Wimavs radiusis toli qorda, anu qordis sigrZea18.22a 3a 3 4 ⋅ 3r328. r = ⇒ a = 2 3r. S = = = 3 3r.64 4a 39. wesier samkuTxedSi Caxazuli wrewiris radiusia e.i. wesier eqvskuTxedze6 2Semoxazuli wrewiris radiusia4 3 2 3= ⋅ a6= R . a 3 16 ⋅3S = 6 ⋅ = 6 ⋅ = 18 .6 34 162 2 2 810. S8 = 4 ⋅ R sin 45 = 16 ⇒ R = .3 33 3 8 32S3= ⋅ R sin120 = ⋅ ⋅ = 6 .22 3 271mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 71 02.07.2012 13:31:20

21. heronis formuliT miviRebT S = 21 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅8= 84 .S = pr ⇒ 84 = 21⋅r ⇒ r = 4 .abc=4 S2 22 S = pR= p = .24p4p213⋅14⋅1565 2 65 p pR= = ⇒ p R =4 ⋅8488 prR222⎛ 65 ⎞2= ⎜ ⎟⎝ 32 ⎠4225= .1024222 2 . a = 16 ⋅ 25 ⇒ a = 20 . b = 9 ⋅16⇒ b = 15 .a + b - cr = = 5. S = pr 2 = 25p. S = 25pm 2 .223. S = p ⋅ r ⇒ 24 = 12 ⋅ r ⇒ r = 2 .a + b - c a + b + c - 2cr = == p - c ⇒ 2 = 12 - c ⇒ c = 10 , R=5, pR 2 25p22= . S=25sm 2 .524. 2 p R = 5p⇒ R = .2AC≡c=2R=5a + b = 7 ⇒ aa2+ b2= c22+ b= 252+ 2ab= 49⎞⎟⇒ ab = 12 =S.⎠2225. S = p R = 65p⇒ R = 65 ; c 2 = 4R2 = 4 ⋅ 65 (ix. N24-s naxazi).aa22+ b+ b22+ 2ab= 22= c22= 4 ⋅ 65ab = 108 ⎞⇒ ⎟ ⇒ aa + b = 22⎠da b aris x 2 –22x+108=0 gantolebis amonaxsnebi.pasuxi: 8 da 14.26. ⎨ ⎧ a + b = 132⎧a= 8⇒ ⎨2 2 c 89p⇒ c = 89 . S = p R = p = .⎩ ab = 40 ⎩b= 54 427. radgan rombis gverdi mcire diagonalis tolia, e.i. rombis maxvili kuTxea 60°.22 3 2 2 2pR2pS = a = p R ⇒ a = ⇒ a = R .23328.24r8 ⎞S = ah = = ⎟sin a p ⎟ 4 3 8⇒ = ⇒3⎟ p sin a p22pr= 3 ⇒ r = ⎟p ⎠3sin a = ⇒ a =26073mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 73 02.07.2012 13:31:22

ABCD trapeciaze Semoxazuli wrewiri ABD-zec aris Semoxazuli, amitom2 ⋅ 3 7 7∆ABD ⇒ R = = .7S = pR 2 = p .3 3 334 ⋅235.SS12pR=p R2122=22RR2122.2121∆ABC ⇒ R = R + R - R R cos1202 2 2 22 1 1 2=21 1⇒ R = 3R⇒ R : R 1: 3 .o⇒36. S rg=S 1–S 2=6 2 –4 2 =20.2 2 2a 3 a 3 a38. wrewirebi koncentrulia S = rcm - rcm = r .3 6 439.2R 4∆AOK ⇒ = .2r 32 2 2 2p R : pr = R : r = 4 : 3 .41. OA=OB=R ∠O=60°.(O 1;r) wrewiri OMN samkuTxedSia Caxazuli, misiRsimaRlea R, e.i. r = .342.22 pR2 pS = S OADC- S OAC (seqt) = R - = R (1 - ) .4 443. BK||OO 1. AK=2r BK=OO 1=4r,e.i. ∠AKB=60°. e.i. ∠O=60°. ∠O 1=120°.AB = 2 3rr= 2r3 . S=S AOO1B–S o(seqt)22 11pr2 11p–S O1(seqt)= 4r 3 - = r (4 3 - ) .6675mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 75 02.07.2012 13:31:22

44.45.2 2 22 pRpRpRS = p R - - = .6 3 2a 42 2 16p16 16( p - 2)R = = . S = pR- a = - = = 8 .2 2( p - 2)2( p - 2) p - 2 2( p - 2)p ( R + r)46. didi wris farTobis naxevaria2 2 2pR prpatarebis jamia + .2 2∆ABD⎞2ganv. ⎟ ⇒ CD = AC ⋅CB= 4Rr.∠D= 90⎠2.22 2( R + r)p ( R + r ) p p pS = -= 2Rr= 4Rr= CD2 2 2 4 4p 2VI Tavis testiI varianti1. eqvskuTxedi. 2. m-kuTxedi. 3) a) n=4; b) n=3. 4. 5. a) wesieri mravalkuTxedis yvelagverdi ar aris toli (mcdaria), b) wesieri mravalkuTxedi ar aris Caxazuli, an ar arisSemoxazuli (mcdaria), g) wesier n-kuTxeds ar aqvs n simetriis RerZi (mcdaria). 6. α=120°.58. 450 ( 2 + 1). 9. . 10. 12 sm. 12. 120°-iT. 13. 15. 14. marTalia. 15. aqvs.o2sin 36II varianti1. xuTkuTxedi. 2. n-kuTxedi. 3) a) n=3; b) n=6; g) n=3. 4. a n

VII Tavi2. logikuri msjelobareziume:moswavlem unda SeZlos logikuri msjelobis eiler _ venis diagramis saxiT gamosaxva.paragrafSi mocemuli wyvilebSi gadasawyveti amocanebisaTvis mivuTiToT aagon venisdiagramebi.1. A _ a elementebis simravle, B _ b elementebissimravle, C _ c elementebissimravle, e.i. msjeloba sworia.2. e.i. C ∩ B = ∅ . SesaZlebeliaC ⊂ A ⇒ msjeloba mcdaria.3. C ∩ A = ∅ ⇒ msjeloba arasworia.amoxsnebi, miTiTebebi:1. a) b)g) d)2.77mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 77 02.07.2012 13:31:23

3. SeEsaZloa. magram araaucilebeli, e.i. ar gamomdinareobs.4. a) b)mcdaria;sworia.g) d)sworiamcdaria5. b)nini ar aris me-10 klaseli.d) ivane SesaZloa qarTveli iyos.6. a) b)e.i. mcdariae.i. mcdaria.78mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 78 02.07.2012 13:31:23

g) d)e.i. mcdariae.i. mcdaria.8. davweroT AB wrfis gantoleba y=kx+b, cxadia,b=1. miviReT y=kx+1. gadia (–2;0) wertilze 0=–2k+1 →k=0,5. y=0,5x+1. B wertilis koordinatebia (2;y 1) ⇒y 1=2. maSasadame BC=2.1⎞S ABC= ⋅ 2 ⋅ 4 = 4 = S1+ S ⎟ .2⎟ ⇒ S = 31⎟S1= ⋅ 2 ⋅1= 1 ⎟2⎠9. naturaluri ricxvis kvadratis 3-ze gayofis SesaZlo naSTebia 0 da 1, x 2 +y 2 =z 2 . tolobarom Sedges, amisaTvis x-is da y-is erTi naSTi mainc unda iyos 0. (0,1)+(0,1)=(0,1). r.d.g.10. x da y-dan erTi mainc iyofa 3-ze (ix N9), 4-ze gayofis SesaZlo naSTebia 0, 1 e.i.(0,1)+(0,1)=(0,1) toloba rom Sedges marcxena mxares erTi mainc noli unda iyos. maSasadamex da y ricxvebidan erT-erTi iyofa 4-ze. I da II daskvnidan gamomdinareobs, rom xy12.reziume:2. operaciebi gamonaTqvamebzegavaxsenoT moswavleebs ra aris gamonaTqvami, sawinaaRmdego gamonaTqvami, ra SemTxvevaSiaWeSmariti „an“ da „da“ kavSiriT SeerTebuli rTuli gamonaTqvami. unda SeZlonaseTi gamonaTqvamis sawinaaRmdego gamonaTqvamis Camoyalibeba.amoxsnebi, miTiTebebi:6. a) 2 ar aris racionaluri ricxvi; b) 8≤4; g) 9>5;d) arseboben 3-is arajeradi naturaluri ricxvebi;e) arc erTi naturaluri ricxvi ar iyofa 5-ze;10. a) an 12 ar iyofa 3-ze, an 8 ar iyofa 5-ze;g) xval an ar iwvimebs, an yinva ar iqneba;d) xval arc iwvimebs da yinvac ar iqneba.e) arc gudaurSi waval da arc bakurianSi.v) nika arc TeatrSi wava da arc fexburTze.79mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 79 02.07.2012 13:31:23

11. giorgis da sabas pasuxebi sawinaaRmdego gamonaTqvamebia, amitom Tu erTi WeSmaritia,maSin meore mcdaria da piriqiT.1) vTqvaT giorgis naTqvamia WeSmariti, maSin danarCenebityuis. e.i. Tu mina sabam gatexa, maSin lukas naTqvamiswori gamodis.2) vTqvaT sabas naTqvamia swori, e.i. sworia, rom minasabam ar gatexa. maSin radgan lukas naTqvami mcdaria,amitom mina lukas gautexavs. aseve mcdari gamodisnikas naTqvamic.pasuxia: luka.12. OL=OK ⇒ K(0;4) da L(0;–4). M wertilis koordinatebia M(x 1;4) da radgan M wertili4 = 2x1- 4 ⇒ x1= 4 = KM ⎞ 1y=2x–4 funqciis grafikze mdebareobs, amitom⎟ ⇒ S=KL = 82 8·4=16.⎠13. S a=x(10–2x)=–2x 2 +10x=y.-10x0 = = 2,5- 410–2x=5 marTkuTxedis gverdebia 2,5 da 5.14. CB=2x daStrixuli nawilis farTobi tolia:p2 2 p 2S = (36 - (6 - x)- x ) = (-2x+ 12x)=222= p (-x + 6x). y = -x2 + 6x.dfunqcia udides mniSvnelobas iRebs, roca- 6x0= = 3 . maSasadame, BC=6.- 2reziume:3. implikacia. ekvivalenciamoswavleeblebma unda SeZlon, rom mocemuli ori gamonaTqvamidan Seadginon implikacia.yuradReba unda gamaxvildes imaze, rom A→B implikaciis SemTxvevaSi ar arisaucilebeli maT Soris mizez-Sedegobrivi kavSiris arseboba. magaliTad A: „everestisaqarTveloSi mdebareobs“, B: „Tbilisi saqarTvelos dedaqalaqia“. marTalia A da Bwinadadebebi erTmaneTTan aranair kavSirSi ar aris, miuxedavad amisa, A→B WeSmaritiada B→A mcdari. moswavleebs yuradReba unda gavumaxviloT imaze, rom A←B, rom A↔Biqneba WeSmariti, Tu erTdroulad WeSmaritia A→B da B→A implikaciebi.80mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 80 02.07.2012 13:31:23

a)amoxsnebi, miTiTebebi:3. b) Tu wertili kuTxis biseqtrisaze mdebareobs, maSin igi Tanabradaa daSorebulikuTxis gverdebidan.e) Tu adamiani lamazia, maSin is keTilia.5. miTiTeba: SeadgineT WeSmaritul mniSvnelobaTa cxrili.7. a) ricxvi iyofa 12-ze da ar iyofa 3-ze.g) ekam unarebSi 85 qula daagrova, magram vauCeri ver aiRo..8. a) Tu irina qera araa, maSin is evropeli ar aris.b) Tu bavSvi skolaSi dadis, maSin misi asaki 6-ze naklebi ar aris.9. vTqvaT saZiebeli manZilia O 1C=x km da sxeulis masa, romelic C wertilSia moTavsebuliiyos m. meqanikis kanonis Tanaxmad Fmm11= k , sadac k proporciulobis koeficientia,aseve mTvarisken mizidulobis Zala iqneba F2= k ,2x mm252 ≈ 3,84⋅10km, pirobiT( - x)2x m1x q5F1= F 2⇔ = ≡ q , q=81,5.2= ± q ⇒ x1 = ≈ 3,46 ⋅10(km).( x)m - x1+q- 2 q5x2 = ≈ 4,32 ⋅10km. e.i. OO1-q1wrfeze arsebobs ori iseTi C da C 1wertili, sadacsxeulze moqmedi mizidulobis Zalebi erTmaneTs utoldeba.reziume:4. logikuri gamomdinareobaes gakveTili sasurvelia Catardes integrirebul gakveTilad fizikis maswavlebelTanerTad. N8 da N9 amocanebi, romelic gankuTvnilia jgufuri mecadineobisaTvis fizikismaswavleblis daxmarebiT gadawydeba. sasurvelia Tu me-9 amocanis amoxsnis Semdeg CatardesaSesabamisi cda. moswavles unda SeeZlos ganasxvavos logikuri gamomdinareobada implikacia, ekvivalencia da eqvivalentoba.81mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 81 02.07.2012 13:31:23

amoxsnebi, miTiTebebi:1. a) W; b) mcdaria, mag. Tu m=4,5; g) W; d) W; e) W.3. a) (a3), maSin a=3k da a 2 =9k 2 , e.i. a 2 9.piriqiT, Tu a 2 9, maSin a 2 =9k 2 ; e.i. a=3k da a3.g) Tu 13a5, radgan u.s.g. (13;5)=1, amitom a5,Tu a5, ⇒ a=5k ⇒ 13a=13·5k ⇒ 13a5.5. a) Tu kuTxeebi vertikaluria, maSin isini tolia. b) Tu samkuTxedi tolgverdaa, maSinmisi kuTxeebi tolia.10. samkuTxedis perimetri iyos x, maSin kvadratis iqneba a–x.22222⎛ x ⎞ 3 ⎛ a - x ⎞ x 3 a - 2ax+ x 4 3 x + 9a - 18ax + 9xS = S 2+ S = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = +=⎝ 3 ⎠ 4 ⎝ 4 ⎠ 9 ⋅ 4 169 $ 1622(9 + 4 3) x -18ax+ 9a=9 ⋅16y +2 2 222= ( 9 + 4 3) x -18ax9afunqcia umcires mniSvnelobas iRebs, roca18a99a9a+ 4 3a- 9a4 3x0= = a . a - == a .2(9 + 4 3) 9 + 4 3 9 + 4 3 9 + 4 3 9 + 4 394 3mavTuli iWreba samkuTxedisTvis a da kvadratisTvis a .9 + 4 39 + 4 311. a) x 2 +(2–a)x–a–3=0x 1+x 2=a–2x 1·x 2=–(a+3)22( x1 + x2) = ( a - 2) = x1+ x2+ 2x1x2⇒222 21 2+222⇒ x + x = ( a - 2) + 2( a + 3) = a - 4a+ 4 + 2a+ 6 = a - 2a4 .22y = a - 2a+ 4 funqcia minimalur mniSvnelobas iRebs a0= = 1 , a=1;2b) x 2 +(1+2a)x+a 2 –1=0xa2 21 2 1 2 1 2a22 2+ x = ( x + x ) - 2xx = (1 + 2a)- 2( -1)= 1+4a+4a 2 –2a 2 +2=2a 2 +4a+3.- 4= =40-1, a=–1.5. amocanebi albaTobis Teoriidan=reziume:SesaZlebelia es gakveTili Catardes, rogorc integrirebuli gakveTili fizikis maswavlebelTanerTad. Catardes Sesabamisi cdebi. amave Temaze SesaZloa me-2 gakveTilisCatarebac ukve biologiis maswavlebelTan. SesaZloa kidev sxva sakiTxebis ganxilvabiologiidan (ix. sanimuSo gakveTilis scenari). moswavleebs SevaxsenoT ZiriTadicnebebi da ganmartebebi albaTobaTa Teoriidan.82mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 82 02.07.2012 13:31:24

amocana 1.yvela SesaZlo xelSemwyobi SemTxvevebi iqneba:⎛++ ⎞ ⎛++ ⎞ ⎛++ ⎞⎜ ⎟⎝-- ,⎜ ⎟⎠ ⎝+- , ⎜ ⎟⎠ ⎝-+. aseve Tu adgilebs SevucvliT striqonebs gveqneba kidev 3⎠⎛++ ⎞⎜ ⎟SemTxveva da kidev me-7⎝++ . sul Svidi.⎠1wyvilebSi: a) ; b) paraleluri SeerTebaa, e.i. sakmarisia erTSi mainc gadiodes deni,1615amitom P ( A → B)= .16amocana 2.saxelosno gaiTiSeba, Tu moxdeba A an B 1, B 2da B 3erTdroulad. e.i. C = A + B1B2B3.C = A + B( ).1B2B3= A ⋅ B1B2B3= A ⋅ B1+ B2+ B3 amocana 3.N( A ∪ B ∪ C)= N(A)+ N(B)+ N(C)- N ( A ∩ B)- N(A ∩ C)- N( B ∩ C)+ N(A ∩ B ∩ C).amoxsnebi, miTiTebebi:3. davTvaloT im ricxvebis raodenoba, romlebic iyofa an 2-ze, an 3-ze, an 5-ze.N( A ∪ B ∪ C)= N(A)+ N(B)+ N(C)-N ( A ∩ B)- N(A ∩ C)- N( B ∩ C)+ N(A ∩ B ∩ C).5. 7·5=35.100 99 100 96 100 90 90= + + - - - + = 74 , e.i. ar iyofa 2-ze,2 3 5 6 10 15 30an 3-ze, an 5-ze 26 ricxvi.6. gadavnomroT ujrebi. 1,2, . . . 64. kentebiT Savebi, luwebiT TeTrebi. wyvilebi iqneba(1,2), (1,4) . . . (1,64) . . . (63,64) e.i. 32 2 = 1024 .32 ⋅ 31b) sul 32 TeTri ujraa. yoveli dawyvileba yovelTan e.i. = 496 . aseve Savebic e.i2·496=992.27. 4·3·2·1=24 =12.28. kv —⎡1- 8 -15- 22 - 29⎢⎢2 - 9 - - - - - -30⎢⎣3 -10- - - - - 31P(5 kv73) = .9.P =17⋅163⋅ ⋅514⋅23⋅12=1840.83mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 83 02.07.2012 13:31:24

SevadginoT cxrili:1110 x = = 44,425 .7. g)2 ⋅10+ 8 + 6 + 2 ⋅ 7 + 2 ⋅9+ 2 ⋅12+ 2 ⋅14≈ 9830 lari.12d) zafxulSi — 7+12+14=33, zamTarSi — 9+10+8=27.33 - 27 200⋅100= % ≈ 22% -iT.27 99. y=kx+b A(4;18)18=4k+b b=18–4k e.i. y=kx+18–4k.gavutoloT x 2 =kx+18–4kx 2 –kx+4k–18=0 D dadebiTia.2 2y 1+ y 2= x 1+ x 2= (x 1+x 2) 2 –2x 1x 2= k 2 –8k+36umciresia, roca k=4 b=2 y=4x+2.Seamowme Seni codna1. b; 2. a; 3. g; 4. a; 5. g; 6. d; 7. a; 8. a;9. a) 186100kv.km; b) ≈80,5%; g) ≈55%; d) 171000 kv.kmVII Tavis damatebiTi savarjiSoebi1. a) erTi mainc ixvi Wrelia;b) arc erTi ixvi ar aris Wreli;g) erTi mainc ixvi ar aris Wreli;d) ixvi arc Wrelia da arc dafrinavs;e) ixvi an Wreli ar aris an ar curavs.85mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 85 02.07.2012 13:31:25

2. a) Tu nika studenti ar aris, maSin is universitetSi ar swavlobs;b) Tu moswavle kargad ar swavlobs, maSin is bejiTi ar aris;g) Tu ricxvi ar iyofa 36-ze, maSin is ar iyofa an 4-ze an 9-ze.d) Tu nino arc megobrebTan ar wava da arc kinoSi, maSin xval mziani amindi ar iqneba.3.352 .4. p= 3 10 .5. aseTi nomrebia: 14, 23, 32, 18, 27, 36. e.i.6p = .3027276.2 2 2 2 1 2 2p = + ⋅ + ⋅ ⋅ = .7 7 6 7 6 5 5TS26T25wS16wT10.69700a) 186100; b) ⋅ 100 ≈ 80%;8660069700 - 45100g) ⋅100≈ 55%; d) 171000.4510086mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 86 02.07.2012 13:31:25

4. z) sin5°cos95°0, e.i. sin5°cos95°

eziume:5. ricxviTi argumentis trigonometriuli funqciebimoswavles unda SeeZlos ricxvis mdebareobis gansazRvra wrewirze meoTxedebis mixedviT.ricxviTi argumentis niSnis dadgena. unda icodes kuTxis gradusul da radianulzomas Soris kavSiri da SeeZlos erTis meoreSi gadayvana da piriqiT, unda SeeZlosyvela im kiTxvaze pasuxis gacema, rac mocemulia paragrafSi wyvilebSi samuSaod.amoxsnebi, miTiTebebi:1 2r4. a) 5 wT-Si wuTebis isari gadis 30°–s anu sruli wrewiris -s, e.i. 12 67. d) n=8180c - 6 =135°.8=r.312. b.1) n 2 –n–5=1n 2 –n–6=02) n 2 –n–5=7n 2 –n–12=03) n 2 –n–5=–11n 2 –n+6=0n=2;n=4;n=∅.13. a n=n 2 –n–12n 0= 21 , e.i. umciresia a1 =–12. udidesi ar arsebobs.14. gemis siCqare — xmdinaris siCqare — y=tivis siCqares.pirobis Tanaxmad, 3(x+y)=4(x–y). saidanac x=7y.3( x + y)xtivi A-dan B-mde 3(x+y) manZils gaivlis = 3 ` + 1 j=3·8=24 (sT).y y90mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 90 02.07.2012 13:31:28

6. trigonometriuli gantolebareziume:davanaxoT moswavleebs sinx=a da cosx=a gantolebebis amoxsnebi wrewirze. jer gansaz-Rvron a parametris mniSvnelobebi, romelTaTvisac gantolebebs amoxsna eqnebaT,Semdeg etapze davawerinoT amonaxsnebi cal-calke. magaliTad, sin x =1; x =r+ 2rn2 6da x =5r+ 2rn, Semdeg am pasuxebis gaerTianebiT miRebuli formula. analogiurad6cosx=a-sTvis.I sinx=aamoxsnebi, miTiTebebi:5. a) 2sin 2 x–3sinx+1=0 sinx=y.2y 2 –3y+1=0 RkSx= (- r1)+ rk1y= ; 1. S 62 rSx= + 2rk2T1sin x = 07. a) sinx`sin x - j = 0 > 12sin x =28-r ;r BrSualedSi mocemuli gantolebis fesvebia 0 da .2 26II cosx=0 gantoleba36. g) cos `r - x j =-6 23cos`x-rj =-6 25x -r=r! + 2rk6 6x =r 5r! + 2rkaseT SemTxvevaSi sjobs fesvebi cal-calke daiweros.6 6x 1=+2k x 2= -2r+2k.37. a) 2cos 2 x+5cosx–3=0 cosx=y.2y 2 +5y–3=0-3y= > 12cosx≠–3.1cosx= 2x= ! r r+2k. umciresi dadebiTi .33b) 2cos 2 x– 2 cosx+2cosx– 2 =02cosx(cosx+1)– 2 (cosx+1)=0(cosx+1)(2cosx- 2 )=0cosx=–1 cosx= 22 . umciresi dadebiTia 4r .91mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 91 02.07.2012 13:31:29

10. b) cos 2 x= 21 .cosx=3r4r42! formuliT x= ! r +32rkda x= ! r + 2rk. Tu ganvixilavT244wrewirze, pasuxi SeiZleba CavweroT ase: x= ! r + rk, an ufro martivadac:x= +4r rn, n∈Z.4 2-3r4r-411. v) cosx=x 2 –2x+2x 2 –2x+2 funqciis umciresi mniSvnelobaa 1, roca x=1, magram cos1≠1, e.i. gantolebasamonaxsni ar aqvs.2x - 5x+ 612. a) 2< 0x - 11x+ 30( x - 2)( x - 3)+ – + – +< 0( x - 5)( x - 6)2 3 5 62II da IV meoTxedSi sin da cos sxvadasxvaniSnianebia.36514. x 2 –5x+3=0x 1+x 2=5x 1x 2=3x x x 2x 22212 1 x1 x2( x1 x2)2x1x2 x1 x28x1+ 1 + x2+ 1 = + + + + - + +== .x1x2 + x1 + x2+ 1 x1x2 + x1 + x2+ 1 3III. tgx=a gantoleba.tg3.ctgTu a∈(0;∞)orive erTniSnianiTu a∈(–∞;0)0sxvadasxvaniSniani.6. a) tg 3 x–3tgx=0tgx=0 tgx=± 3rx=k x=± +k. 392mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 92 02.07.2012 13:31:30

) tgx–tgxsinx=0tgx(1–sinx)=0tgx=0 an sinx=1rx=n x= + 2rk, magram am wertilSi tg gansazRvruli ar aris, e.i. pasuxia: x=n.27. a) arctg `1-1- 1j =rarctg( - 1)=- .2 249. y=x 2 –6x+cradgan x 2=5, e.i. x 1=1 da c=5 da M(0;5), N(3;–4).10. y=kx+b (3;10) y=x 2 .10=3k+bb=10–3kgvinda gadakveTis wertilebis ordinatebis jami, e.i. x 2 =kx+b; x 2 –kx+3k–10=0.y 1+y 2=x 12+x 22=(x 1+x 2) 2 –2x 1x 2=k 2 –6k+20.k 0=3 Sesabamisi b=1, e.i. y=3x+1.12. ax 2 +bx+c=0 x 1=4; x 2=5.e.i.x + 5 =x + 54= 5 .xxx =5x =5.34VIII Tavis damatebiTi savarjiSoebi14. a) sinc2arctg1+ arcsin3 3+ ar cos m =r r rsin`+ + j=sin=0.2 2 2 3 615. BC∠COD=2a e.i. ∠AOD=180°-2α. gadavitanoT CK||BD.∠ACK=∠AOD=180°–2α. davuSvaT CP⊥AK, maSinO∠ACP=90°–α da ∠CAP=α, e.i. AP=hctgα.1S ABCD=S ACK= AK·CP=AP·CP=h2 ctgα.2APDK16. mivadgaT ∆ACM=∆ACBMACαOKMB2a sin 22 S2S=a; a = AB =4AM;a =2sin 2aa =S2 . hsin 2a AB=asin2α=2 S $ sin 2a .CM= 21hAB =1S $ sin 2a OK= S $ sin 2a .393mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 93 02.07.2012 13:31:31

17. h= a 32S BCM= a 234B CS ABM= a 23 a 3= $ AM, saidanac AM=2a; davuSvaT BP⊥AM,2 2AmaSin PM= a 2S2S 2SPDa 33 ada AP= . ∆ABP-Si tgα=23 2 a2=1, e.i. α=30°.3r( x - 2)20. a) sin = 13r( x - 2)=r + 2rk3 23x–2= + 6k2x =7+ 6kumciresi dadebiTia 3,5.294mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 94 02.07.2012 13:31:31

sakontrolo weris nimuSebisakontrolo wera №131. ipoveT a , Tu y = funqciis grafikze mdebareobs A wertili,xa) A ( 3; a); b) A (a; 2).22. aageT y = + 1 funqciis grafiki. dawereTxa) funqciis gansazRvris are;b) mniSvnelobaTa are;g) zrdadoba-klebadobis Sualedebi;d) niSanmudmivobis Sualedebi.kveTs Tu ara funqciis grafiki 1) sakoordinato RerZebs; 2) y = 1 wrfes; y = 2 wrfes?3. mocemulia y = f (x)funqciis grafiki1) ipoveT misi gansazRvris are;2) ipoveT misi mniSvnelobaTa are;3) RerZebTan kveTis wertilebi;4) luwia Tu kenti funqcia;5) zrdadoba _ klebadobis Sualedebi;6) amoxseniT utoloba:a) f ( x)> 0 ; b) f ( x)≤ 0 ; g) f ( x)< 1; d) f ( x)< 5 ; e) f ( x)< -5.7. Rebulobs Tu ara funqcia udides an umcires mniSvnelobasda miuTiTeT argumentis Sesabamisi mniSvneloba.sakontrolo wera №21. romeli wertilia M (3;4)wertilis simetriuli a) ordinatTa RerZis mimarT,b) abscisaTa RerZis mimarT, g) koordinatTa saTavis mimarT.2. ipoveT manZili A(0;2;3) da BB(7;3;9) wertilebs Soris.3 ABC samkuTxedis BC gverdze aRebulia K wertili ise, rom BK:KC=1:3, AC gverdze _L wertili ise, rom AL:LC=2:5. ra SefardebiT yofs AK da BL monakveTebis gadakveTisO wertili AK da BL monakveTebs?4. trapecia fuZeebis paraleluri wrfiT gayofilia or msgavs trapeciad. ipoveT ammonakveTis sigrZe,Tu fuZeebis sigrZeebia 3sm. Dda27sm95mascavleblis cigni_X_kl._cor.indd 95 02.07.2012 13:31:31

sakontrolo wera №31. a parametris ra mniSvnelobisTvis aqvs gantolebas: (a 2 –7a+12)x = a–4a) erTi amonaxseni; b)uamravi amonaxseni; g)arcerTi amonaxseni.2. a parametris ra mniSvnelobisTvis aqvs gantolebas zustad ori amonaxseni: (x 2 –3x+2)(x–a)=0.3. ipoveT funqciis gansazRvris are: y =5 - x5x+ 3 - 2x2+3x - 24. k parametris ra mniSvnelobisTvis aqvs utolobas: kx 2 –9kx+5k+1