1 Spin : l'equazione di Dirac
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1 <strong>Spin</strong> 1 2: l’equazione <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong>Storicamente <strong>Dirac</strong> trovò la corretta equazione per descrivere particelle <strong>di</strong> spin 1 2 cercandoun’equazione relativistica che potesse avere un’interpretazione probabilistica per essere consistentecon i principi della meccanica quantistica, a <strong>di</strong>fferenza dell’ equazione <strong>di</strong> Klein-Gordon che non ammette questa interpretazione. Sebbene un’interpretazione probabilisticanon sarà tenibile in presenza <strong>di</strong> interazioni, e la funzione d’onda <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> dovrà essere trattatacome un campo classico da quantizzare (seconda quantizzazione), è utile ripercorrerela deduzione che portò <strong>Dirac</strong> alla formulazione <strong>di</strong> un’equazione del primo or<strong>di</strong>ne nel tempo,l’equazione <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong>(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) = 0 (1)dove la funzione d’onda ψ(x) ha quattro componenti (spinore <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong>) e le γ µ sono matrici4 × 4. Poichè le quattro componenti del campo <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> ψ(x) non sono componenti <strong>di</strong>un quadrivettore, ma sono <strong>di</strong> natura spinoriale e si trasformano in modo <strong>di</strong>fferente pertrasformazioni <strong>di</strong> Lorentz, occorre usare in<strong>di</strong>ci <strong>di</strong>versi per in<strong>di</strong>carne le componenti senzaambiguità. In questo contesto usiamo in<strong>di</strong>ci µ,ν,.. = 0, 1, 2, 3 per in<strong>di</strong>care le componenti <strong>di</strong>un quadrivettore ed in<strong>di</strong>ci α,β,.. = 1, 2, 3, 4 per in<strong>di</strong>care le componenti <strong>di</strong> uno spinore <strong>di</strong><strong>Dirac</strong>. l’equazione (1) si scrive in modo più esplicito come()(γ µ ) β βα ∂ µ + m δ α ψ β (x) = 0 . (2)e contiene quattro equazioni <strong>di</strong>stinte (α = 1,.., 4).Equazione <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong>La relazione relativistica tra energia ed impulso <strong>di</strong> una particella liberacon le sostituzionip µ p µ = −m 2 c 2 ⇐⇒ E 2 = c 2 ⃗p 2 + m 2 c 4 (3)p 0 = E i ∂ ∂t ,∂⃗p −i∂⃗x⇐⇒ p µ −i∂ µ (4)porta all’equazione <strong>di</strong> Klein Gordon che è del secondo or<strong>di</strong>ne nelle derivate temporali: comeconseguenza la corrente conservata U(1) associata non ha una densità <strong>di</strong> carica definitapositiva che possa essere intepretata come densità <strong>di</strong> probabilità. <strong>Dirac</strong> allora propose unarelazione lineare della formaE = c⃗p · ⃗α + mc 2 β (5)assumendo che ⃗α,β siano matrici unitarie tali che questa relazione lineare sia consistente conla (3). Elevandola al quadrato si ottieneE 2 = (cp i α i + mc 2 β)(cp j α j + mc 2 β)= c 2 p i p j α i α j + m 2 c 4 β 2 + mc 3 p i (α i β + βα i )= 1 2 c2 p i p j (α i α j + α j α i ) + m 2 c 4 β 2 + mc 3 p i (α i β + βα i ) (6)1
e la consistenza con (3) per momenti arbitrari p i produce le relazioniα i α j + α j α i = 2δ ij , β 2 = 1 , α i β + βα i = 0 (7)dove, come <strong>di</strong> consuetu<strong>di</strong>ne, la matrice identità è sottintesa nel lato destro <strong>di</strong> queste equazioni.<strong>Dirac</strong> ottenne una soluzione minimale con matrici 4 × 4. Una soluzione esplicita in termini<strong>di</strong> blocchi 2 × 2 è data da( ) ( )0 σα i i1 0=σ i , β =(8)00 −1dove le matrici σ i sono le matrici <strong>di</strong> Pauli. Quantizzando la relazione (5) con le (4) si ottienel’equazione <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> nella forma “hamiltoniana”i∂ t ψ = (−ic ⃗α · ⃗∇ + mc 2 β} {{ }H D)ψ (9)dove l’hamiltoniana H D è una matrice 4 × 4 <strong>di</strong> operatori <strong>di</strong>fferenziali. La hermiticità dellematrici α i e β garantisce la hermiticità della hamiltoniana H D (e quin<strong>di</strong> una evoluzione temporaleunitaria). Moltiplicando questa equazione con la matrice invertibile 1 c β e definendole matrici gammaγ 0 ≡ −iβ , γ i ≡ −iβα i (10)si ottiene l’equazione <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> nella forma “covariante”(γ µ ∂ µ + µ)ψ = 0 (11)con µ = mc inverso della lunghezza d’onda Compton associata alla massa m. Le relazionifondamentali che definiscono le matrici gamma sono facilmente ottenibili dalle relazioni (7)e si possono scrivere usando gli anticommutatori ({A,B} ≡ AB + BA) nella seguente forma{γ µ ,γ ν } = 2η µν . (12)In seguito useremo unità <strong>di</strong> misura con = c = 1, per cui µ = m e l’equazione <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> èscritta come in (1). Una notazione molto in uso impega la definizione introdotta da Feynman∂/ ≡ γ µ ∂ µ per cui l’equazione <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> si scrive come(∂/ + m)ψ = 0 . (13)SoluzioniL’equazione libera ammette soluzioni <strong>di</strong> onda piana, che oltre alla fase e ipµxµ che descrivel’onda che si propaga nello spaziotempo possiedono anche una polarizzazione w(p) collegataallo spin. Infatti immettendo un’onda piana della formaψ(x) ∼ w(p)e ipµxµ , w(p) =2⎛⎜⎝w 1 (p)w 2 (p)w 3 (p)w 4 (p)⎞⎟⎠ (14)
come ansatz nell’equazione <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong>, si vede che la polarizzazione deve sod<strong>di</strong>sfare un’equazionealgebrica, (iγ µ p µ +m)w(p) = 0, e che il momento deve essere on-shell, p µ p µ = −m 2 . Ci sonoquattro soluzioni, due ad “energia positiva” (elettrone con spin su e spin giù) e due ad “energianegativa” (positrone con spin su e spin giù). Più in dettaglio, inserendo l’ansatz <strong>di</strong>onda piana nell’equazione <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> si ottiene (p/ = γ µ p µ )da cui moltiplicando per (−ip/ + m)(ip/ + m)w(p) = 0 (15)(−ip/ + m)(ip/ + m)w(p) = (p/ 2 + m 2 )w(p) = (p µ p µ + m 2 )w(p) = 0 (16)che implica che p µ p µ + m 2 = 0. Con un pò più <strong>di</strong> sforzo si possono ottenere le espressioniesplicite delle quattro polarizzazioni in<strong>di</strong>pendenti w(p).Per sviluppare un pò d’intuizione consideriamo il caso semplice <strong>di</strong> particella a riposop µ = (E, 0, 0, 0). La (15) <strong>di</strong>ventaed esplicitando la matrice β⎛0 = (iγ 0 p 0 + m)w(p) = (−iγ 0 E + m)w(p) = (−βE + m)w(p) (17)⎜⎝E 0 0 00 E 0 00 0 −E 00 0 0 −E⎞⎟⎠w(p) = m w(p) (18)Ve<strong>di</strong>amo quin<strong>di</strong> che esistono due soluzioni ad energia positiva E = m⎛ ⎞⎛ ⎞10ψ 1 (x) ∼ ⎜ 0⎟⎝ 0 ⎠ e−imt , ψ 2 (x) ∼ ⎜ 1⎟⎝ 0 ⎠ e−imt (19)00e due soluzioni ad energia negativa E = −m⎛ ⎞0ψ 3 (x) ∼ ⎜ 0⎟⎝ 1 ⎠ eimt ,0ψ 4 (x) ∼⎛⎜⎝0001⎞⎟⎠ eimt . (20)Queste ultime sono reintepretate come descriventi una antiparticella. Il caso generale conmomento arbitrario può essere derivato con calcoli simili.CovarianzaDescriviamo ora la covarianza dell’ equazione <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> sotto trasformazioni <strong>di</strong> Lorentz.Le trasformazioni <strong>di</strong> Lorentz sono definite dax µ −→ x µ′ = Λ µ νx νψ(x) −→ ψ ′ (x ′ ) = D(Λ)ψ(x) (21)3
dove le matrici D(Λ) costituiscono una rappresentazione (spinoriale) del gruppo <strong>di</strong> Lorentz.Questa rappresentazione si può costruire usando le matrici gamma. Per trasformazioni infinitesimeΛ µ ν = δ µ ν + ω µ νD(Λ) = 1 + i 2 ω µνM µν (22)dove i generatori infinitesimi sono costruiti con le matrici gammaM µν = − i 4 [γµ ,γ ν ] (23)che <strong>di</strong>fatti realizzano correttamente l’algebra del gruppo <strong>di</strong> Lorentz[M µν ,M λρ ] = −iη νλ M µρ + iη µλ M νρ + iη νρ M µλ − iη µρ M νλ . (24)Come esercizio si può verificare un caso particolare, ad esempio [M 01 ,M 12 ] = −iM 02 . Possiamoesplicitare M 01 = − i 4 [γ0 ,γ 1 ] = − i 2 γ0 γ 1 , e similmente M 12 = − i 2 γ1 γ 2 , M 02 = − i 2 γ0 γ 2 ,e calcolare([M 01 ,M 12 ] = − i ) 2[γ 0 γ 1 ,γ 1 γ 2 ] = − 1 )24(γ 0 γ 1 γ 1 γ 2 − γ 1 γ 2 γ 0 γ 1= − 1 ) (γ 0 γ 2 − γ 2 γ 0 = − 1 42 γ0 γ 2 = −iM 02 . (25)Inoltre si può mostrare che le matrici gamma sono tensori invariantiγ µ −→ γ µ′ = Λ µ νD(Λ)γ ν D −1 (Λ) = γ µ (26)proprio come la metrica η µν (è relativamente semplice vederlo per trasformazioni infinitesime).Con queste proprietà gruppali è facile mostrare l’invarianza in forma dell’equazione <strong>di</strong><strong>Dirac</strong>(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) = 0 ⇐⇒ (γ µ ∂ ′ µ + m)ψ ′ (x ′ ) = 0 . (27)Infatti, usando il fatto che le matrici gamma sono tensori invarianti, possiamo scrivere il latosinistro della seconda equazione con γ µ′ per cui(γ µ ∂ µ ′ + m)ψ ′ (x ′ ) = (γ µ′ ∂ µ ′ + m)ψ ′ (x ′ )()= Λ µ νD(Λ)γ ν D −1 (Λ)Λ λ µ ∂ λ + m D(Λ)ψ(x)= D(Λ)(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) (28)da cui segue la (27).Oltre alle trasformazioni <strong>di</strong> Lorentz connesse all’identità, si può mostare l’invarianzadell’equazione <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> libera per trasformazioni <strong>di</strong>screte quali la riflessione spaziale (o parità)P, la riflessione temporale T e la coniugazione <strong>di</strong> carica C che scambia particelle con antiparticelle.Discutiamo esplicitamente la trasformazione <strong>di</strong> parità(29)4
x µ −→ ˜x µ = P µ νx ν , P µ ν =⎛⎜⎝1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1ψ(x) −→ ˜ψ(˜x) = D(P)ψ(x) , D(P) = e iφ γ 0 (30)dove la rappresentazione sugli spinori della trasformazione <strong>di</strong> parità, D(P) = e iφ γ 0 , puòcontenere una fase arbitraria φ. Mostriamo che con queste trasformazioni l’equazione èinvariante in formaInfatti possiamo calcolare(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) = 0 ⇐⇒ (γ µ ˜∂µ + m) ˜ψ(˜x) = 0 . (31)(γ µ ˜∂µ + m) ˜ψ(˜x) = (γ 0 ∂ 0 − γ i ∂ i + m)e iφ γ 0 ψ(x) = e iφ γ 0 (γ 0 ∂ 0 + γ i ∂ i + m)ψ(x)= e iφ γ 0 (γ µ ∂ µ + m)ψ(x) (32)per cui un’equazione in un sistema <strong>di</strong> riferimento implica l’altra nel sistema <strong>di</strong> riferimentocon assi spaziali riflessi.Molte delle proprietà degli spinori seguono dalle proprietà algebriche delle matrici gammae per convenienza ne elenchiamo qui alcuneγ µ† = γ 0 γ µ γ 0(γ i hermitiane, γ 0 antihermitiana)γ 5 ≡ −iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 =⇒ {γ 5 ,γ µ } = 0 , (γ 5 ) 2 = 1 , γ 5 † = γ 5 . (33)⎞⎟⎠AzionePer scrivere l’azione conviene introdurre il coniugato <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> ¯ψ del campo ψ, definitocome¯ψ ≡ ψ † β = ψ † iγ 0 (34)che ha la proprietà <strong>di</strong> trasformarsi in modo tale da rendere il prodotto ¯ψψ uno scalare. Infattidalla trasformazione infinitesima <strong>di</strong> Lorentz su uno spinore ψ (trascurando la <strong>di</strong>pendenzadalle coor<strong>di</strong>nate dello spazio-tempo) si ottiene quella del suo coniugato <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong>δψ = i 2 ω µνM µν ψ −→ δ ¯ψ = − i 2 ω µν ¯ψM µν (35)da cui si deduce che ¯ψψ è uno scalare. L’azione è uno scalare ed è data da∫S[ψ, ¯ψ] = d 4 x L(ψ, ¯ψ) , L(ψ, ¯ψ) = − ¯ψ(γ µ ∂ µ + m)ψ . (36)Variando ¯ψ e ψ ed usando il principio <strong>di</strong> minima azione si ottengono l’equazione <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> ela sua coniugata(γ µ ∂ µ + m)ψ(x) = 0 , ¯ψ(x)(γµ ← ∂ µ −m) = 0 . (37)5
Come esercizio verifichiamo esplicitamente le trasformazioni <strong>di</strong> Lorentz <strong>di</strong> ¯ψ:δ ¯ψ( i †iγ ( 1) †iγ= δψ † iγ 0 =2 ω µνM ψ) µν 0 =4 ω µνγ µ γ ν ψ0 = 1 4 ω µν ψ † γ ν† γ µ† iγ 0= 1 4 ω µν ψ † γ 0 γ 0 γ ν† γ 0 γ 0 γ µ† iγ 0 = 1 4 ω µν (ψ † iγ 0 )(γ 0 γ ν† γ 0 )(γ 0 γ µ† γ 0 ) = 1 4 ω µν ¯ψγ ν γ µ= − 1 4 ω µν ¯ψγ µ γ ν = − i 2 ω µν ¯ψM µν . (38)SimmetrieLe simmetrie sotto il gruppo <strong>di</strong> Lorentz sono state già descritte sopra, mentre quellead<strong>di</strong>zionali per traslazioni spazio temporali sono imme<strong>di</strong>ate considerando il campo comeuno scalare (x → x ′ = x + a con ψ(x) → ψ ′ (x ′ ) = ψ(x)). Da questa ultima si può ottenereil tensore energia-impulso come corrente <strong>di</strong> Noether.Consideriamo in dettaglio la simmetria interna generata dalle trasformazioni <strong>di</strong> fase delgruppo U(1)ψ(x) −→ ψ ′ (x) = e iα ψ(x)¯ψ(x) −→ ¯ψ′ (x) = e −iα ¯ψ(x) . (39)È facile vedere che l’azione (36) è invariante. Per trasformazioni infinitesimeδψ(x) = iα ψ(x)δ ¯ψ(x) = −iα ¯ψ(x) (40)considerando un parametro locale α(x) si calcola∫δS[ψ, ¯ψ] = d 4 x∂ µ α(−i ¯ψγ µ ψ) (41)} {{ }−J µda cui si verifica <strong>di</strong> nuovo la simmetria U(1) (per α costante) e si ottiene la relativa corrente<strong>di</strong> NoetherJ µ = i ¯ψγ µ ψ (42)che è conservata ∂ µ J µ = 0. In particolare la densità <strong>di</strong> carica conservata è definita positivaJ 0 = i ¯ψγ 0 ψ = iψ † iγ 0 γ 0 ψ = ψ † ψ ≥ 0 (43)e fù originariamente considerata da <strong>Dirac</strong> come una densità <strong>di</strong> probabilità.Proprietà chiraliAnalizziamo infine la riducibilità dello spinore <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> sotto il gruppo <strong>di</strong> Lorentz proprioed ortocrono SO + (3, 1). Costruendo i proiettoriP L = 1 − γ 52, P R = 1 + γ 52(44)6
(sono proiettori poiché P L + P R = 1, P 2 L = P L, P 2 R = P R, P L P R = 0) possiamo <strong>di</strong>videre lospinore <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> nelle sue componenti sinistrorse e destrorse (spinori <strong>di</strong> Weyl)ψ = ψ L + ψ R , ψ L ≡ 1 − γ 52ψ , ψ R ≡ 1 + γ 5ψ (45)2che sono le due rappresentazioni irriducibili del gruppo <strong>di</strong> Lorentz proprio ed ortocrono (nellateoria delle rappresentazioni abbiamo anticipato la presenza delle rappresentazioni irriducibiliinequivalenti ( 1, 0) e (0, 1 ) che corrispondono agli spinori <strong>di</strong> Weyl, e descritto lo spinore <strong>di</strong>2 2<strong>Dirac</strong> come la rappresentazione riducibile data dalla somma <strong>di</strong>retta ( 1, 0) ⊕ (0, 1 )). Infatti2 2i generatori infinitesimi delle trasformazioni <strong>di</strong> Lorentz M µν commutano con i proiettoriP L ,P RP L/R M µν = 1 ∓ γ (5− i ) (2 4 [γµ ,γ ν ] = − i ) 1 ∓4 [γµ ,γ ν γ5] = M µν P L/R (46)2e questo in<strong>di</strong>ca come lo spinore <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> sia riducibile nella sue parti destrorse e sinistrorse.L’operazione <strong>di</strong> parità (riflessione degli assi spaziali) trasforma un fermione sinistrorso in unfermione destrorso e viceversa. Infattiψ LP−→ (ψ L ) ′ =( 1 − γ5) ′ψ = e iφ γ 01 − γ 522ψ = 1 + γ 52e iφ γ 0 ψ = 1 + γ 5ψ ′ = (ψ ′ ) R . (47)2È interessante scrivere l’azione in termini <strong>di</strong> queste componenti chirali irriducibili∫ (S[ψ L ,ψ R ] = d 4 x − ¯ψ L ∂/ψ L − ¯ψ R ∂/ψ R − m( ¯ψ L ψ R + ¯ψ)R ψ L )(48)che mostra come una massa <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> m non possa essere presente per fermioni chirali (i.e. fermonipuramente sinistrorsi per cui ψ R = 0 o puramente destrorsi per cui ψ L = 0). I fermioniche entrano nel modello standard sono chirali e non possono avere masse <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> (per ragionicollegate all’invarianza <strong>di</strong> gauge). Masse <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> possono emergere come conseguenza delmeccanismo <strong>di</strong> Higgs per la rottura spontanea della simmetria <strong>di</strong> gauge.PropagatoreQuantizzando il campo <strong>di</strong> <strong>Dirac</strong> libero si ottiene il propagatore. Come nel caso del campo<strong>di</strong> Klein Gordon, il propagatore è collegato alla funzione <strong>di</strong> Green S(x − y) dell’operatore<strong>di</strong>fferenziale descrivente l’equazione del moto libera ((∂/ x + m)S(x − y) = δ 4 (x − y)). Ilpropagatore ha quin<strong>di</strong> la seguente forma∫〈ψ(x) ¯ψ(y)〉d 4 p= −iS(x − y) = −i eip·(x−y) −ip/ + m(49)(2π) 4 p 2 + m 2 − iǫda cui segue, grazie alla prescrizione causale <strong>di</strong> Feynman (−iǫ), la corretta interpretazione <strong>di</strong>fluttuazioni <strong>di</strong> particelle ed antiparticelle con energie positive che si propagano dal passatoal futuro, proprio come nel caso delle particelle scalari.7