1 Richiami di logica matematica - Matematica e Applicazioni

2 2006-mar-05 Geometria e Topologia I(iii) ¬(¬A) ⇐⇒ A (doppia negazione);(iv) A ∧ A ⇐⇒ A, A ∨ A ⇐⇒ A;(v) A ∨ B ⇐⇒ B ∨ A, A ∧ B ⇐⇒ B ∧ A (commutatività);(vi) associatività:(A ∨ B) ∨ C ⇐⇒ A ∨ (B ∨ C);(A ∧ B) ∧ C ⇐⇒ A ∧ (B ∧ C);(vii) Leggi distributive:A ∧ (B ∨ C) ⇐⇒ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C);A ∨ (B ∧ C) ⇐⇒ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C);(viii) Leggi di de Morgan:¬(A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B;¬(A ∨ B) ⇐⇒ ¬B ∧ ¬A;Le seguenti tautologie sono uno schema del ragionamento logico formale. Sono esempi disillogismi, riscritti nei termini della logica matematica delle proposizioni.(i) (A ∧ B) =⇒ A;(ii) (A =⇒ B) ⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A) (contronominale, contrapposizione, per assurdo);(iii) (A =⇒ B) ∧ A =⇒ B (modus ponens);(iv) (A =⇒ B) ∧ ¬B =⇒ ¬A (modus tollens);(v) (A =⇒ B) ∧ (B =⇒ C) =⇒ (A =⇒ C) (modus barbara, sillogismo ipotetico);(vi) ((A ∨ B) ∧ ¬A) =⇒ B (sillogismo disgiuntivo).Predicati Quando una espressione p(x) contiene delle variabili (x) che non sono state assegnate(variabili libere) si dice predicato, proprietà, funzione proposizionale o anche enunciatoaperto.Quantificatori: I quantificatori trasformano enunciati aperti in proposizioni (vere o false).Se ci sono più variabili libere, si possono usare più quantificatori. Le variabili con un valoreassegnate oppure quantificate da un quantificatore si dicono vincolate.• Quantificatore universale: ∀ (per ogni, per tutti).Uso: ∀x, p(x).Significato: Per ogni x (nell’universo U), la proprietà p(x) è vera (cioè x gode dellaproprietà p). Anche: ∀x ∈ U, p(x).• Quantificatore esistenziale: ∃ (esiste, esiste almeno un x).Uso: ∃x : p(x).Significato: Esiste almeno un x (nell’universo U) per cui la proprietà p(x) è vera(cioè x gode della proprietà p). Anche: ∃x ∈ U : p(x).2 2006-mar-05 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 2006-mar-05 3• ¬(∀x, p(x)) ⇐⇒ ∃x : ¬p(x) (principio di negazione).• ¬(∃x : p(x)) ⇐⇒ ∀x, ¬p(x) (principio di negazione).• ∀x, ∀y, p(x, y) ⇐⇒ ∀y, ∀, xp(x, y) (principio di scambio).• ∃x : ∃y : p(x, y) ⇐⇒ ∃y : ∃ : xp(x, y) (principio di scambio).• ∃x : ∀y, p(x, y) =⇒ ∀y, ∃x : p(x, y) (principio di scambio).D.L. Ferrario 2006-mar-05 3

4 2006-mar-07 Geometria e Topologia I2 Richiami di teoria degli insiemiConcetti primitivi (non definiti):• Insieme di oggetti/elementi (anche: collezione, famiglia).• Relazione di appartenenza: x ∈ X, x ∉ X.In altri termini, in questa teoria intuitiva (naive) degli insiemi 1 si definisce un insiemecome collezione di oggetti definiti e distinguibili (cioè si deve essere in grado di stabilire sex = y oppure x ≠ y). Si assumono anche i seguenti principi:(i) Principio di estensione: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi.(ii) Principio di astrazione: Una proprietà p(x) definisce un insieme A con la convenzioneche gli elementi di A sono esattamente gli “oggetti” x per cui P (x) è vera:(iii) Assioma della . . .Estensioni di questa notazione:A = {x : p(x)}.{x ∈ A : p(x)} Esempio: {x ∈ R : x ≥ 4}Insieme vuoto: ∅. 2Relazioni tra insiemi:{f(x) : p(x)} Esempio: {x 2 : x ∈ Z}{1, 2, 3}, {1, 2}• (Inclusione) A ⊂ B (anche A ⊆ B): se x ∈ A implica x ∈ B. A è un sottoinsieme diB.• A ⊃ B: se B ⊂ A.• A = B se e solo se (A ⊂ B) e (B ⊂ A).Operazioni con gli insiemi:• Unione A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.• Intersezione A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} (due insiemi sono disgiunti quandoA ∩ B = ∅).• Prodotto cartesiano (insieme delle coppie ordinate) A×B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} ={(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}.1 G. Cantor (1845–1918). Il termine intuitiva è usato anche poiché la sola intuizione dovrebbe essere ilcriterio per stabilire cosa è un insieme e cosa no; conseguenze di questo approccio sono famosi paradossi(contraddizioni), come il paradosso di Russell (1901): sia X l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengonoa se stessi, cioè che non hanno se stessi come elementi (x ∉ x); se X appartiene a se stesso, X ∈ X, allora perdefinizione X ∉ X, cioè X non appartiene a se stesso. Viceversa. . .2 Il concetto complementare di insieme vuoto è quello di insieme universo. S’intende che questo viene scelto– e sottinteso – in dipendenza dal contesto. Per esempio: numeri naturali, numeri reali, . . .4 2006-mar-07 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 2006-mar-07 5• Complemento di A in B ⊃ A (differenza tra insiemi): A ′ (= A c = B A) = {x ∈ B :x ∉ A}.• Insieme delle parti: P(X) = 2 X = l’insieme dei sottoinsiemi di X (cioè l’insieme dellefunzioni f : X → {0, 1}).Operazioni per collezioni/famiglie di insiemi: come il simbolo di sommatoria ∑ puòessere usato per definire la somma di una serie di numeri, così i simboli di unione e intersezionepossono essere usati per famiglie di insiemi. Siano J e U due insiemi non vuoti e f : J → 2 Uuna funzione. Per ogni i ∈ J, il sottoinsieme f(i) ∈ 2 U può anche essere denotato con X i , peresempio (cf. successioni x i vs. funzioni x = f(i)).• ⋃ i∈JX i := {x ∈ U : (∃i ∈ I : x ∈ X i )}, o equivalentemente 3⋃i∈J X i := {x ∈ U : x ∈ X i per qualche i ∈ I}.• ⋂ i∈JX i := {x ∈ U : (∀i ∈ J, x ∈ X i )}, o equivalentemente⋂i∈J X i := {x ∈ U : x ∈ X i per tutti gli i ∈ J}.In ultimo, si ricordi che una funzione f : X → Y si dice iniettiva se ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, (x ≠y =⇒ f(x) ≠ f(q)), suriettiva se ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X : f(x) = y, bijettiva (biunivoca) se è siainiettiva sia suriettiva.(2.1) Definizione. Sia f : X → Y una funzione. Se B ⊂ Y è un sottoinsieme di Y , lacontroimmagine di B èf −1 (B) = {x ∈ X : f(x) ∈ B}.3 Si noti l’uso del simbolo “:=” usato per le definizioni o gli assegnamenti.D.L. Ferrario 2006-mar-07 5

6 2006-mar-8 Geometria e Topologia I3 Spazi metrici e continuità: topologia degli spazi metriciRicordiamo alcuni fatti elementari sugli spazi metrici.(3.1) Definizione. Uno spazio metrico è un insieme X munito di una funzione d: X ×X → Rtale che per ogni x 1 , x 2 ,x 3 ∈ X:(i) ∀x 1 , ∀x 2 , d(x 1 , x 2 ) ≥ 0 e d(x 1 , x 2 ) = 0 se e solo se x 1 = x 2 .(ii) Simmetria: d(x 1 , x 2 ) = d(x 2 , x 1 ).(iii) Disuguaglianza triangolare: d(x 1 , x 3 ) ≤ d(x 1 , x 2 ) + d(x 2 , x 3 ).La funzione d viene chiamata metrica su X. Gli elementi di X vengono anche chiamati punti.(3.2) Esempio. Metrica su R: d: R × R → R, d(x, y) = |x − y|, ha le proprietà che per ognix, y ∈ R(i) |x − y| ≥ 0 e |x − y| = 0 ⇐⇒ x = y.(ii) |x − y| = |y − x|.(iii) |x − z| ≤ |x − y| + |y − z|.Importante concetto associato al concetto di metrica/distanza:(3.3) Definizione. Palla aperta (intorno circolare) di raggio r e centro in x 0 ∈ X (X spaziometrico):B r (x 0 ) = {x ∈ X : d(x, x 0 ) < r}.(Anche più esplicitamente B r (x 0 , X))(3.4) Nota. Una funzione f : A ⊂ R → R è continua nel punto x ∈ A se per ogni ɛ > 0 esisteun δ > 0 tale che |x − y| < δ =⇒ |f(x) − f(y)| < ɛ. Cioè, equivalentemente, f è continua inx ∈ R se per ogni ɛ > 0 esiste δ > 0 tale che y ∈ B δ (x) =⇒ f(y) ∈ B ɛ (f(x)), cioèf (B δ (x)) ⊂ B ɛ (f(x)).In generale, f : A → R è continua in A ⊂ R se è continua per ogni x ∈ A, cioè se per ogniɛ > 0 e per ogni x ∈ A esiste δ (dipendente da ɛ e x) tale che f (B δ (x)) ⊂ B ɛ (f(x)).Dal momento che f(A) ⊂ B ⇐⇒ A ⊂ f −1 B (esercizio (1.7) a pagina 12), la funzione f ècontinua in A se e solo se per ogni ɛ > 0 e per ogni x ∈ A esiste δ (dipendente da ɛ e x) taleche B δ (x) ⊂ f −1 (B ɛ (f(x))).(3.5) Definizione. 4 Un sottoinsieme U di uno spazio metrico X si dice intorno di un puntox ∈ U se contiene un intorno circolare di x, cioè se esiste δ > 0 tale cheB δ (x) ⊂ USe U è un intorno di x, si dice che x è interno ad U.4 U può non essere aperto. . .6 2006-mar-8 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 2006-mar-8 7(3.6) Nota. Se U è un intorno di x e U ⊂ V , allora V è un intorno di V .Con questo linguaggio, la definizione di continuità in x diventa: la controimmagine f −1 (B ɛ (f(x)))di ogni intorno circolare di f(x) è un intorno di x. Notiamo che una palla è intorno di ognisuo punto (esercizio (1.10) a pagina 12).(3.7) Se f : A ⊂ X → Y è continua in A, allora la controimmagine di ogni palla B r (y) in Y(intervallo!) è intorno di ogni suo punto.Dimostrazione. Se x ∈ f −1 B ɛ (y), cioè f(x) ∈ B ɛ (y), allora esiste r abbastanza piccolo per cuiB r (f(x)) ⊂ B ɛ (y). Dal momento che f è continua in x, f −1 (B r (f(x))) è intorno di x. MaB r (f(x)) ⊂ B ɛ (y) =⇒ f −1 (B r (f(x))) ⊂ f −1 (B ɛ (y))e quindi f −1 (B ɛ (y)) è un intorno di x.q.e.d.(3.8) Definizione. Un sottoinsieme A ⊂ X di uno spazio metrico si dice aperto se è intornodi ogni suo punto (equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno circolare tutto contenutoin A, o, equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno tutto contenuto in A).(3.9) Una palla aperta B r (x) è un aperto.Dimostrazione. (Esercizio (1.10) di pagina 12)q.e.d.(3.10) Una funzione f : X → Y è continua in X se e soltanto se la controimmagine in X diogni palla B r (y) di Y è un aperto.Dimostrazione. Per la proposizione precedente se una funzione è continua allora la controimmaginedi ogni palla è un aperto. Viceversa, assumiamo che la controimmagine di ogni pallaB r (y) è un aperto. Allora, per ogni x ∈ X e per ogni ɛ > 0f −1 (B ɛ (f(x)))è un aperto, ed in particolare è un intorno di x; per definizione di intorno, quindi per ogni xe ɛ esiste δ > 0 tale che B δ (x) ⊂ f −1 (B ɛ (f(x))), cioè f è continua.q.e.d.3.1 Proprietà dei sottoinsiemi apertiSe A ⊂ X è aperto, allora per ogni x ∈ A esiste r = r(x) > 0 tale che B r(x) ⊂ A, e quindi A èunione di (anche infinite) palle aperteA = ⋃ x∈AB r(x) (x).Viceversa, si può mostrare che l’unione di una famiglia di palle aperte è un aperto. Quindivale:(3.11) Un sottoinsieme A ⊂ X è aperto se e solo se è unione di intorni circolari (palle).(3.12) Corollario. L’unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto.(3.13) Nota. Osserviamo che le dimostrazioni appena viste per funzioni reali non utilizzanonull’altro che proprietà degli intorni circolari in R. Dato che queste proprietà valgono ingenerale per spazi metrici, le medesime proposizioni valgono per spazi metrici.D.L. Ferrario 2006-mar-8 7

8 2006-mar-8 Geometria e Topologia ISi possono riassumere tutti i fatti visti nel seguente teorema.(3.14) Teorema. Una funzione f : X → Y (spazi metrici) è continua se e solo se la controimmaginedi ogni aperto di Y è un aperto di X.Dimostrazione. Sia V un aperto di Y . Allora è unione di intorni circolari B j := B rj (y j )V = ⋃ j∈JB je dunque la sua controimmagine( ) ⋃f −1 V = f −1 B j = ⋃ f −1 B jj∈Jj∈Jè unione di aperti, e quindi è un aperto. Viceversa, se la controimmagine di ogni aperto in Yè un aperto di X, allora in particolare la controimmagine di ogni intorno circolare di Y è unaperto di X, e quindi f è continua.q.e.d.La continuità di una funzione quindi dipende solo dal comportamento di f sulle famigliedi aperti degli spazi in considerazione, e non dal valore della metrica.(3.15) Sia X uno spazio metrico. Allora l’insieme vuoto e X sono aperti.(3.16) Siano A e B due aperti di X spazio metrico. Allora l’intersezione A ∩ B è un aperto.Dimostrazione. Sia x ∈ A ∩ B. Dato che A e B sono aperti, esistono r A e r B > 0 tali cheB rA (x) ⊂ A e B rB (x) ⊂ B.Sia r il minimo tra r A e r B : B r ⊂ B rA , B r ⊂ B rB , e quindi B r ⊂ A∧B r ⊂ B( ⇐⇒ B r ⊂ A∩B).Quindi A ∩ B è intorno di x e la tesi segue dall’arbitrarietà di x.q.e.d.Riassumiamo le proprietà degli aperti: consideriamo il sottoinsieme dell’insieme delle partiA ⊂ 2 X che consiste di tutti i sottoinsiemi aperti di X.(3.17) L’insieme A di tutti gli aperti (secondo la definizione (3.8 ) di pagina 7) di uno spaziometrico X verifica le seguenti proprietà:(i) ∅ ∈ A, X ∈ A,(ii) B ⊂ A =⇒ ⋃ B∈B B ∈ A,(iii) B ⊂ A, B è finito, allora ⋂ B∈B B ∈ A.(3.18) Possiamo riassumere le proprietà degli intorni circolari di uno spazio metrico X:(i) Ogni elemento x ∈ X ha almeno un intorno (aperto) B ∋ x.(ii) L’intersezione di due intorni circolari B 1 ∩B 2 è un aperto, e quindi per ogni x ∈ B 1 ∩B 2esiste un terzo intorno circolare B di x per cui x ∈ B ⊂ B 1 ∩ B 2 .8 2006-mar-8 D.L. Ferrario

Geometria e Topologia I 2006-mar-8 9(3.19) Definizione. La topologia di uno spazio metrico X è la famiglia A di tutti i sottoinsiemiaperti definita poco sopra. Si dice anche che è A è la topologia di X generata dagliintorni circolari (definiti a partire dalla metrica).(X, d) ↦→ (X, d, A)Dal momento che per determinare la continuità di una funzione è sufficiente conoscere lefamiglie di aperti (nel dominio e codominio) e le controimmagini degli stessi, diciamo che duemetriche sono equivalenti se inducono la stessa topologia.(3.20) Definizione. Si dice che due metriche sullo stesso insieme X sono equivalenti seinducono la stessa topologia su X.(3.21) Due metriche d e d ′ su X sono equivalenti se e solo se la seguente proprietà è vera: perogni x ∈ X e per ogni palla Br d (x) (nella metrica d) esiste r ′ > 0 tale che Br d′ (x) ⊂ ′ Bd r (x) (doveBr d′ (x) è la palla nella metrica ′ d′ ) e, viceversa, per ogni r ′ e x esiste r tale che Br d (x) ⊂ Br d′ (x). ′Dimostrazione. Supponiamo che le due metriche d e d ′ siano equivalenti e siano x e r > 0 dati.Per (3.9) la palla Br d (x) è aperta nella topologia indotta da d e quindi anche nella topologiaindotta da d ′ : pertanto esiste r ′ tale che Br d′ (x) ⊂ ′ Bd r (x). Analogamente se si scambia il ruolodi d e d ′ . Viceversa, supponiamo A aperto secondo la topologia indotta da d. Per ogni x ∈ Aesiste, per definizione, r = r(x) > 0 tale cheed un corrispondente r ′ > 0 tale cheCioè, per ogni x esiste r ′ = r ′ (x) > 0 tale cheB d r (x) ⊂ A,B d′r ′ (x) ⊂ Bd r (x).Br d′′ (x) ⊂ A,e quindi A è aperto nella topologia indotta da d ′ . Analogamente, ogni aperto nella topologiaindotta da d ′ è anche aperto nella topologia indotta da d e quindi le due topologie coincidono.q.e.d.(3.22) Esempio. Esempi di metriche su R 2 :(i) d(x, y) = √ (x 1 − y 1 ) 2 − (x 2 − y 2 ) 2 = |x − y| (metrica euclidea).{0 se x = y(ii) d(x, y) =(metrica discreta).1 altrimenti(iii) d(x, y) = |x 1 − y 1 | + |x 2 − y 2 |.(iv) d(x, y) = maxi=1,2 |x i − y i |.(v) d(x, y) = mini=1,2 |x i − y i | (?).(vi) d(x, y) = (x 1 − y 1 ) 2 + (x 2 − y 2 ) 2 (?).D.L. Ferrario 2006-mar-8 9

10 2006-mar-8 Geometria e Topologia I(3.23) Esempio. Sia p ∈ N un primo ≥ 2. Sappiamo che ogni intero n ∈ Z ha una decomposizionein fattori primi, per cui esiste unico l’esponente α per cui n = p α k, dove l’intero knon contiene il fattore primo p. Si consideri in Z la funzione | · | p definita da|p α k| p = p −αogni volta che k è primo con p, e |n| p = 0 quando n = 0. Sia quindi d: Z × Z → Q ⊂ R lafunzione definita da d(x, y) = |x − y| p . Si può vedere che è una metrica su Z.10 2006-mar-8 D.L. Ferrario