Circuiti in corrente alternata (circuito RLC)

Circuiti in corrente alternata (circuito RLC)1 Impostazione generale del problemaUn circuito in corrente alternata è un circuito alimentato da un generatore la cui forza elettromotricevaria nel tempo, passando da valori positivi a valori negativi (o se si preferisce, inverte la sua polaritàal variare del tempo, cambiando nel contempo anche il valore assoluto di ε). Generatori di questotipo hanno solitamente una forza elettromotrice ε(t) che si può scrivereε(t) = ε 0 cos(ωt)Si può dimostrare che, se il circuito è composto unicamente da resistenze, condensatori o induttanze,la corrente che circola in un qualsiasi ramo del circuito si può sempre scrivere comei(t) = i 0 cos(ωt − φ)dove i 0 e φ dipendono dal circuito (ed in generale anche da ω) e, all’interno dello stesso circuito,in generale sono diverse per ogni ramo del circuito. L’analisi di un circuito in regime di correntealternata consiste nel trovare, per il circuito in esame, le relazioni che legano i 0 e φ (o, nel caso dicircuiti con più rami, le varie i 0 e φ dei singoli rami) alle caratteristiche del generatore, ovvero ε 0e ω, una volta noti i valori di tutte le resistenze, induttanze e condensatori presenti nel circuito.Consideriamo inizialmente un circuito ad una sola maglia, costtuito da un generatore, unaresistenza, una induttanza ed un condensatore (circuito RLC). La legge di Kirchhoff per il circuitodice che, per ogni istante t,ε(t) + V R (t) + V L (t) + V C (t) = ε(t) − i(t)R − L didt − 1 C∫ t0i(t ′ )dt ′ = 0 (1)Questa equzione integro-differenziale, in cui il termine noto è solitamente la forza elettromotriceε(t) e l’incognita la funzione i(t) è in linea di principio l’equazione da risolvere per lo studio delcircuito.Una prima semplificazione si può ottenere dal considerare le espressioni (generali) di ε(t) e i(t)viste in precedenza:ε 0 cos(ωt) − [i 0 cos(ωt − φ)]R − L d dt [i 0 cos(ωt − φ)] − 1 C∫ t0[i 0 cos(ωt ′ − φ)]dt ′ = 0ricordando che d dt cos(ωt − φ) = −ω sin(ωt − φ) e che ∫ t0 cos(ωt′ − φ)dt ′ = 1 ωsin(ωt − φ) si ottieneallora1

ε 0 cos(ωt) − i 0 R cos(ωt − φ) + i 0 L sin(ωt − φ) − i 0sin(ωt − φ) = 0ωCscritta in questo modo, l’equazione non è più una equazione integro-differenziale, ma una equazionelineare in cui compaiono seni e coseni, e può essere risolta utilizzando le formule di somma e sottrazionedi seni e coseni, ed imponendo che l’equazione sia rispettata per ogni valore di t.Invece di seguire questo approccio, lungo e difficilmente generalizzabile a circuiti diversi, consideriamoche un numero complesso ˜z = x + jy (x è la parte reale di ˜z, y la parte immaginaria di˜z) può essere rappresentato come un ”vettore” in un piano complesso {x, jy} (si scrive √ −1 = janzichè, come di consueto, √ −1 = i per evitare confusioni fra l’unità immaginaria e il simblo chedefinisce la corrente). Lo stesso vettore può essere descritto in coordinate polari da un modulo (|z|)ed un argomento (α) legati a x e y dalle relazioni usuali:{|z| =√x 2 + y 2α = arctan [y/x]⇔{ x = |z| cos(α)y = |z| sin(α)Inoltre, si può verificare che sussiste l’uguaglianzae jα = cos(α) + j sin(α)(per farlo, si scrivono le espansioni in serie di Taylor delle due funzioni, quella a destra e quella asinistra del segno di uguaglianza, e si scopre che le due espansioni sono coincidenti...), da cui risultache il numero complesso z può essere anche scritto come˜z = x + jy = |z| cos(α) + j|z| sin(α) = |z|e jαData l’espressione di ε(t) e di i(t), si può allora dire che ε(t) è la parte reale del numero complesso˜ε(t) = ε 0 e jωtmentre i(t) è la parte reale del numero complessoĩ(t) = i 0 e j(ωt−φ)Posso allora dire che l’equazione del circuito è l’equazione per la parte reale dell’equazione˜ε(t) − Rĩ(t) − L d dtĩ(t) − 1 C∫ t0ĩ(t ′ )dt ′ = 0 (2)Se la funzione ĩ(t) soddisfa l’equazione (2), allora la sua parte reale soddisferà l’equazione (1).L’espressione per i(t) può quindi essere ottenuta risolvendo l’equazione (2) anzichè l’equazione (1).Ma essendo d dt ej(ωt−φ) = jωe j(ωt−φ) e ∫ t0 ej(ωt′ −φ) dt ′ = 1jω ej(ωt−φ) dalla (2) si ottiene immediatamenteovveroε 0 e jωt − Ri 0 e j(ωt−φ) − jωLi 0 e j(ωt−φ) − i 0jωC ej(ωt−φ) = 0

Essendo poi e j(ωt−φ) = e jωt e −jφ si ottiene infine[ε 0 = R + j(ε 0 e jωt = R + jωL + 1 )i 0 e j(ωt−φ)jωC(ωL − 1ωC)]i 0 e −jφ (3)Per trovare le relazioni richieste che legano i 0 e φ a ε 0 e ω, basta a questo punto scrivere leespressioni per il modulo e per l’argomento dell’equazione appena trovata. Va ricordato che nelcaso di prodotto fra due numeri complessi i moduli si moltiplicano mentre gli argomenti si sommano.Infatti, scrivendo ˜z 1 = |z 1 |e jα 1e ˜z 2 = |z 2 |e jα 2il prodotto ˜z 1˜z 2 vale˜z 1˜z 2 = |z 1 |e jα 1|z 2 |e jα 2= |z 1 ||z 2 |e jα 1e jα 2= |z 1 ||z 2 |e j(α 1+α 2 )e quindi, scrvendo ˜z 1˜z 2 = ˜z = |z|e jα si ha |z| = |z 1 ||z 2 | e α = α 1 + α 2 .Uguagliando i due moduli dei numeri complessi che compaiono a destra e a sinistra del segnodi uguaglianza nell’equazione (3) si ottiene[ (|ε 0 | = ε 0 =∣ R + j ωL − 1 )] ∣ (∣∣∣i 0 e −jφ =ωC∣ R + j ωL − 1 )∣ ∣∣∣ ∣ (∣∣ei−jφ∣0 ∣ =ωC∣ R + j ωL − 1 )∣ ∣∣∣i 0ωC( ∣ ∣e −jφ∣ ∣ = √ cos 2 (−φ) + sin 2 (−φ) = 1) ovveroε 0i 0 = ∣∣R + j ( ωL − 1 )∣ = ∣ωCε 0√R 2 + ( ωL − 1ωC) 2(4)Uguagliando invece l’argomento dei due numeri colmplessi, e considerando che ε 0 è un numeroreale, e quindi il suo argomento è zero (arctan(y/x) = 0 se y = 0...)[ ][ ]ωL −1ωCωL −1ωC0 = arctan− φ ⇒ φ = arctan(5)RRQueste sono le due relazioni cercate, che legano i 0 e φ a ε 0 e ω.Il risultato ottenuto è facilmente generalizzabile a circuiti con resistenze, condensatori e/o induttanze,anche non necessariamente in circuiti ad una sola maglia. Di fatto, con l’utilizzo dinumeri complessi, scrivendo ĩ(t) = i 0 e jωt−φ , le cadute di potenziale ai capi di un elemento circuitalesi possono scrivere come⎧⎨⎩Ṽ R (t) = Rĩ(t)Ṽ L (t) = jωLĩ(t)Ṽ C (t) = 1jωC ĩ(t)Definendo l’impedenza di un elemento circuitale come

P G >= 1 T∫ T0ε(t)i(t)dt = 1 T∫ T0ε 0 cos(ωt)i 0 cos(ωt − φ)dt = ε 0i oTRicordando che cos(α) cos(β) = [cos(α + β) + cos(α − β)]/2 si ottiene infine< P G >= ε 0i o2T∫ T0∫ T[cos(2ωt − φ) + cos(φ)]dt = ε 0i o2 cos(φ)0cos(ωt) cos(ωt − φ)dtavendo utilizzato il fatto che l’integrale su un periodo di cos(2ωt − φ) è zero (in quanto è l’integralesu un intero periodo di una funzione che assume, durante il ciclo, gli stessi valori positivi e negativi)mentre ovviamente ∫ T0cos(φ)dt = T cos(φ), dato che φ non dipende da t.Rispetto al caso dei circuiti in corrente continua (P G = εi), il considerare la media ha introdotto ilfattore 1 2, ma soprattutto la dpendenza dal coseno di φ. Per quanto riguarda il primo aspetto, siintroducono le grandezze efficaci ε eff = ε 0 / √ 2 e i eff = i 0 / √ 2, tramite le quali< P G >= ε 0√2i o√2cos(φ) = ε eff i eff cos(φ)e l’ espressione della potenza generata dal generatore, a meno del termine cos(φ), diventa del tuttoanaloga a quella dei circuiti in corrente continua.Per quanto riguarda gli altri elementi, si procede in modo analogo: per la resistenza< P R >= 1 T∫ T0i 2 (t)Rdt = Ri2 0T∫ T0cos(ωt − φ) cos(ωt − φ)dt = Ri2 02T∫ T0[cos(2ωt − 2φ) + 1]dt(cos(ωt − φ) cos(ωt − φ) = [cos(ωt − φ + ωt − φ) + cos(ωt − φ − ωt + φ)] = [cos(2ωt − 2φ) + 1]) dacui, con le stesse considerazioni fatte nel caso del generatore,Per l’induttanza,< P R > Ri2 02 = Ri2 eff< P L >= 1 T∫ T0L didt i(t)dt = L T∫ T0−ωi 0 sin(ωt − φ)i 0 cos(ωt − φ)dt = − Lωi2 02T∫ T0sin(2ωt − 2φ)dtdove nell’ultimo passaggio si è utilizzata la relazione 2 sin(α) cos(α) = sin(2α). Come nei duecasi precedenti (generatore e resistenza), l’integrale è nullo in quanto integrale su un periodo diuna funzione che assume gli stessi valori positivi e negativi. Ne risulta quindi che la potenzamedia dissipata dall’induttanza è zero. Questo è ragionevole se si pensa che l’energia accumulatadall’impedenza vale E L = Li 2 /2 ed il valore di i è per definizione lo stesso all’inizio e alla finedel ciclo. Di fatto, l’induttanza sottrae al circuito energia accumulandola al suo interno, ma larestituisce al circuito stesso, per cui mediamente la sottrazione di energia da parte dell’induttanzaè zero.In maniera del tutto analoga, per il condensatore< P C >= 1 T∫ T0V C (t)i(t)dt = 1 T∫ T0Q C (t)C i 0 cos(ωt − φ)dt = i 0ωCT∫ T0sin(ωt − φ) cos(ωt − φ)dt

dove si è usato il fatto che Q C (t) = ∫ t0 i(t′ )dt ′ = 1 ωsin(ωt − φ). Anche questo integrale è nullo,per lo stesso motivo per il quale è nullo l’integrale relativo all’induttanza, ed anche in questo caso,quindi, la potenza assorbita mediamente dal condensatore è nulla. Anche in questo caso, come nelcaso dell’induttanza, la cosa è comprensibile in termini di energia accumulata e poi rilasciata dalcondensatore. Riassumendo,< P G > = ε eff i eff cos(φ)< P R > = Ri 2 eff< P L > =< P C >= 0Notare che, apparentemente, è possibile diminuire a piacimento la potenza assorbita dal generatore(basta infatti costruire il circuito in modo che φ ≃ ±π/2 ⇒ cos(φ) ≃ 0...). Essendoperò tan(φ) = Im[ ˜Z eq ]/Re[ ˜Z eq ], per avere φ ≃ ±π/2 deve anche essere tan(φ) → ±∞, ovveroRe[ ˜Z eq ] → 0. Dato che la parte reale dell’impedenza è sempre dovuta alle resistenze presenti nelcircuito, per ottenere cos(φ) → 0 è di fatto necessario avere un circuito senza resistenze, o conresistenze trascurabili. In un circuito di questo genere (composto cioè solo di induttanze e condensatori)l’energia non viene di fatto utilizzata, in quanto la potenza media utilizzata è zero perquanto detto in precedenza. Di fatto, quindi, porre cos(φ) = 0 corrisponde sì al non assorbirealcuna energia dal generatore, ma anche a non poter disporre di alcuna energia!