la parabola (2) - danielegasparri.com

La parabolaDefinizioneConica definita come il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto fuoco(F), e da una retta fissata, detta direttrice (d). La parabola è una conica simmetricarispetto ad un asse (asse di simmetria), passante per il punto di minimo (omassimo) assoluti, detto vertice (V). Noi studieremo solamente un casoparticolare, nel quale tutte le parabole del piano hanno l’asse di simmetriaparallelo all’asse Y. Sotto questa assunzione, qualsiasi parabola è definita con2un’equazione generica di secondo grado: y = ax + bx + c .I parametri e le condizioniL’equazione dipende da 3 parametri essenziali ( a , b,c ); da ciò si deduce che perricavare un’equazione di una determinata parabola occorre conoscere tutti e tre iparametri, e questo si ottiene con tre condizioni.In questo caso e nel caso generico di ogni curva, compresa la retta, il numero diparametri essenziali identifica il numero di condizioni da imporre per trovarel’equazione particolare.Torniamo per un momento al caso della retta. Ricordiamo che l’equazioneimplicita è: ax + by + c = 0 . Questa equazione ha 3 parametri ma non sono tuttiessenziali. Modificandola e ricavando y si trova infatti l’equazione esplicita:y = mx + q . Questa dipende da 2 parametri ed in effetti, per trovare una qualsiasiretta occorre imporre sempre 2 condizioni: il passaggio per due punti o ilpassaggio per un punto (fascio) ed una condizione di parallelismo operpendicolarità ad un’altra retta, e così via. Abbiamo un’ulteriore prova che ilnumero di parametri identifica il numero di condizioni da porre per trovarel’equazione particolare. Questo è un risultato molto importante quando andiamo arisolvere gli esercizi.Proprietà e forme particolariContrariamente alla retta, non possiamo scrivere un’equazione esplicita che ciindichi in modo diretto alcune proprietà della parabola che abbiamo di fronte,tuttavia possiamo vedere alcuni casi particolari.- Il parametro c rappresenta l’intercetta, ovvero l’intersezione della parabola2con l’asse Y P ( 0; c). Se c = 0 y = ax + bx , la parabola passa perl’origine.2- Equazione di una parabola con vertice nell’origine: y = ax . L’asse disimmetria coincide con l’asse Y

2- Nell’equazione y = ax + bx + c , se a > 0 la parabola ha concavità versol’alto. Se a < 0 la concavità è verso il basso.Equazioni e relazioniOgni parabola possiede un fuoco (F), esterno alla conica, un asse di simmetria conequazione del tipo x = k , un vertice (V) appartenente alla conica ed una direttrice,cioè una retta esterna alla conica, parallela all’asse x, di equazione y = h .Vediamo le coordinate e le equazioni di questi elementi caratterizzanti:2⎛ b b − 4ac⎞ ⎛ b ∆ ⎞1) Vertice. Punto di coordinate: V =⎜−; −⎟ = ⎜−; − ⎟⎝ 2a4a⎠ ⎝ 2a4a⎠2⎛ b 1 b − 4ac⎞ ⎛ b 1−∆ ⎞2) Fuoco: F =⎜−; −⎟ = ⎜−; ⎟⎝ 2a4a4a⎠ ⎝ 2a4a⎠2⎛ 1 b − 4ac⎞ ⎛ 1+∆ ⎞3) Direttrice. Retta di equazione: y =⎜−; −⎟ = ⎜−⎟⎝ 4a4a⎠ ⎝ 4a⎠b4) Asse di simmetria. Retta di equazione: x = −2aPosizioni reciproche tra retta e parabolaUna retta ed una parabola possono avere 3 posizioni reciproche. La retta puòessere secante, cioè intersecare la parabola in 2 punti, tangente, quando il punto diintersezione è unico, o esterna.In generale, quando occorre trovare i punti di intersezione tra due curve bisognaimpostare un sistema con le loro equazioni e trovare le eventuali soluzioni.Con la retta non abbiamo avuto alcun problema risolvendo un semplice sistemalineare. L’intersezione tra una retta ed una parabola da vita sempre ad un sistemadi secondo grado, la cui risoluzione è leggermente più complicata e richiedequalche spiegazione aggiuntiva.Lo studio della posizione reciproca tra retta e parabola deve essere condotto2⎧y= ax + bx + cattraverso lo studio del sistema generico: ⎨. Ogni sistema di⎩y= mx + qsecondo grado si risolve facilmente tramite il metodo della sostituzione,sostituendo l’equazione di primo grado in quella di secondo:2ax + ( b − m)x + c − q = 0 . A questo punto si applica la formula di risoluzione diun’equazione di secondo grado, e a seconda del discriminante ( ∆ ) abbiamo 3possibili casi:

1) ∆ > 0 : l’equazione ha due soluzioni reali e distinte. Ognuna di esse,sostituite nell’equazione di primo grado, risolve il sistema, che ha quindidue soluzioni, cioè due coppie di punti: P ( x 0; y0) e Q ( x ; y 1 1). La retta èsecante2) ∆ = 0 : l’equazione di secondo grado ha due soluzioni coincidenti. Lacondizione geometrica che corrisponde alla coincidenza di due punti è latangenza. Il sistema ha due soluzioni coincidenti, quindi in realtà il puntotrovato è unico: P ( x 0; y0)3) ∆ < 0 : l’equazione di secondo grado non ha soluzioni nel campo reale, edi conseguenza neanche il sistema. La retta è esterna alla parabola.Equazioni e condizioni1) tangente alla parabola. Per trovare la tangente ad una parabola, condottaper un punto non interno alla concavità (altrimenti non esiste!) sicostruisce un sistema formato dall’equazione della parabola e da quella diun fascio di rette proprio passante per un punto P qualsiasi:2⎧y= ax + bx + c⎨⎩ − = ( − ). Il sistema apparentemente non è risolvibile poichéy y1m x x1 contiene tre incognite (x, y, m), ma a noi non interessa la sua risoluzione,almeno per ora. Al momento interessa trovare solamente l’equazione dellaretta tangente. Per determinare ogni retta abbiamo bisogno di duecondizioni; una, il passaggio per un punto ce l’abbiamo, occorre trovarel’altra, quella di tangenza. La condizione di tangenza è che il discriminantedell’equazione di secondo grado nella quale è stata sostituita quella della2retta, sia nullo: ax + ( b − m)x + c − q = 0 2∆ = 0 ∆ = ( b − m)− 4a(c − q)= 0 . Da questa equazione si ricava m elo si sostituisce nell’equazione del fascio di rette.2) Se il punto P appartiene alla parabola, l’equazione della tangente pertale punto si scrive mediante la formula di sdoppiamento:y − y0x + x0= axx0+ b + c223) Condizioni. Vediamo alcune situazioni frequenti negli esercizi chepermettono di ricavare l’equazione di una parabola.a. Passaggio per tre puntib. Conoscenza delle coordinate del vertice e del fuoco. A prima vistaqueste sono solo due condizioni, ma dai un’occhiata alle coordinatee capirai che le condizioni sono 3

c. Conoscenza del vertice e passaggio per un puntod. Coordinate del vertice ed equazione della direttricee. Passaggio per due punti e tangenza ad una rettaf. Equazione dell’asse, della direttrice e passaggio per un punto.4) Fasci di parabole. Un fascio di parabole si ottiene combinandolinearmente le equazioni di due parabole, dette generatrici. Siano22p1: y = ax + bx + c e p2: y = a'x + b'x + c'due parabole. Portiamo tutto22a primo membro: y − ax − bx − c = 0 e y − a'x − b'x − c'= 0 .L’equazione del fascio da esse generato è:22y − ax − bx − c + t(y − a'x − b'x − c')= 0 . Se t ≠ −1l’equazione si puòa + a' t 2 b + tb'c + tc'ascrivere: y = x + x + . Se t ≠ − l’equazione1+t 1+t 1+ta'rappresenta una parabola. A questo insieme occorre aggiungere la parabolaa'p2 per ottenere la totalità delle rette del fascio. Se t = − l’equazione delafascio degenera in una retta, che rappresenta la parabola degenere delb + tb'c + tc'fascio: y = x + . Definiamo punti base gli eventuali punti di1+t 1+tintersezione del fascio di parabole. Essi si ottengono intersecando le due2⎪⎧y − ax − bx − c = 0parabole generatrici: ⎨ . Un fascio di parabole non è⎪⎩2y − a'x − b'x − c'= 0necessariamente individuato solamente da due parabole generatrici, maanche:a. Fascio di parabole per due punti distinti A ( x ; x A B) e B ( y ; y ) e laA Bretta passante per essi, di equazione y = mx + q . L’equazione delfascio di parabole è: y = mx + q + k( x − xA)( x − xB) .b. Fasci di parabole tutti tangenti in un punto T ad una retta diequazioney mx + qP x 0, y 0. L’equazione delT , è y = mx + q + k x − x )= , passante per ( )fascio tangente al punto ( ) x Ty T(T