5 Un'applicazione: le matrici di rotazione - Matematica e Applicazioni

Si tenga comunque presente che, nel caso esistesse più di una sottomatricequadrata 2 × 2 con determinante diverso da zero, si andrebbe a scegliere quellapiù semplice (con più zeri o con coefficienti più semplici), in quanto questosemplifica il sistema lineare da risolvere.Passo 2.b: sia λ 2 = cos ϑ − i sin ϑ, si considera il sistemaAw 2 = λ 2 w 2ossia⎡⎢⎣i sin ϑsin ϑ0− sin ϑ 0i sin ϑ 00 1 − (cos ϑ − i sin ϑ)⎤ ⎡⎥⎦ ⎣ x 2y 2z 2⎤⎦ = 0, con w 2 =[x2y 2 z 2].Ora, rango(A − λ 2 I) = 2 se sin ϑ ≠ 0 e λ 2 ≠ 1, ossia ϑ ≠ 0; π. Per affermarequesto si è considerata la sottomatrice 2 × 2 riquadrata.Quindi per ϑ ≠ 0; π, si considera{y2 = ix 2z 2 = 0Quindi, posto ad esempio x 2 = 1 si ha y 2 = i, z 2 = 0 e normalizzando in norma2 (si veda sezione 6.1) (‖[1, i, 0] T ‖ 2 = √ 2) si ottiene⎡w 2 = √ 1 ⎣ 1 ⎤i ⎦2 0Passo 2.c: sia λ 3 = 1, si considera il sistemaAw 3 = λ 3 w 3ossia⎡⎢⎣cos ϑ − 1 − sin ϑsin ϑ cos ϑ − 10 0000⎤ ⎡⎥⎦⎣ x 3y 3z 3⎤⎦ = 0, con w 3 =⎡⎣ x 3y 3z 3⎤⎦ .Ora, rango(A − λ 3 I) = 2 se ϑ ≠ 0. Per affermare questo si è considerata lasottomatrice 2 × 2 riquadrata.Quindi per ϑ ≠ 0, si ha il sistema omogeneo di due equazioni in due incognite{x3 (cos ϑ − 1) − sin ϑy 3 = 0sin ϑx 3 + (cos ϑ − 1)y 3 = 0con matrice non singolare, che ha come unica soluzione possibile la soluzionebanale x 3 = y 3 = 0. Quindi, posto ad esempio z 3 = 1 si ha⎡ ⎤w 3 =⎣ 0 01Pertanto, per se ϑ ≠ 0; π la matrice è sicuramente diagonalizzabile , ossia vale⎦A = SΛS − 151