5 Un'applicazione: le matrici di rotazione - Matematica e Applicazioni

Si procede ora al calcolo degli autovalori e autovettori della matrice A.Passo 1: Calcolo degli autovalori. Valeda cui⎡det(A − λI) = det ⎣cos ϑ − λ − sin ϑ 0sin ϑ cos ϑ − λ 00 0 1 − λ= (1 − λ)((cos ϑ − λ) 2 + sin 2 ϑ)= (1 − λ)(cos 2 ϑ + λ 2 − 2 cos ϑλ + sin 2 ϑ)= (1 − λ)(λ 2 − 2 cos ϑλ + 1)λ 1,2 = cos ϑ ± i sin ϑ = e ±iϑ ,λ 3 = 1.Si noti che il secondo fattore del polinomio caratteristico è il polinomio caratteristicodella matrice di rotazione nel piano di sezione 5.1.Passo 2.a: sia λ 1 = cos ϑ + i sin ϑ, si considera il sistema⎤⎦Aw 1 = λ 1 w 1ossia⎡cos ϑ − (cos ϑ + i sin ϑ) − sin ϑ 0⎣ sin ϑ cos ϑ − (cos ϑ + i sin ϑ) 0⎤⎦ w 1 = 0,0 0 1 − (cos ϑ + i sin ϑ)ossia, posto w 1 = [x 1 , y 1 , z 1 ] T ,⎡⎢⎣−i sin ϑsin ϑ0− sin ϑ 0−i sin ϑ 00 1 − (cos ϑ + i sin ϑ)⎤ ⎡⎥⎦ ⎣ x 1y 1z 1⎤⎦ = 0.Ora, rango(A − λ 1 I) = 2 se sin ϑ ≠ 0 e λ 1 ≠ 1, ossia ϑ ≠ 0; π. Per affermarequesto si è considerata la sottomatrice 2 × 2 riquadrata.Si noti tra l’altro cheogni altra sottomatrice 2 × 2 è singolare.Quindi per ϑ ≠ 0; π, si considera{y1 = −ix 1z 1 = 0Si noti che si stanno considerando solo le equazioni relative alla sottomatriceriquadrata: ogni altra equazione risulterà automaticamente verificata dalla soluzionedi tali equazioni.Quindi, posto ad esempio x 1 = 1 si ha y 1 = −i, z 1 = 0 e normalizzando innorma 2 (si veda sezione 6.1) (‖[1, −i, 0] T ‖ 2 = √ 2) si ottiene⎡w 1 = √ 1 ⎣21 −i0⎤⎦50