5 Un'applicazione: le matrici di rotazione - Matematica e Applicazioni

matrice diagonale con autovalori coincidenti λ 1 = λ 2 = 1 (autovettori e 1 , e 2 ).Per ϑ = π si ha[ ] −1 0A = A π =0 −1matrice diagonale con autovalori coincidenti λ 1,2 = −1 (autovettori e 1 , e 2 ).In entrambi i casi le matrici sono diagonalizzabili, in quanto già diagonali.5.2 Rotazioni nello spazio di un angolo ϑ intorno all’assezSi vuole considerare il caso della rotazione nello spazio intorno all’asse z di unvettore di R 3 di un angolo ϑ assegnato.Come nel caso precedente, si tratta chiaramente di un’applicazione lineare, quindisi procede analogamente.Si considera la base canonicae 1 = [1, 0, 0] T → F (e 1 ) = [cos ϑ, sin ϑ, 0] Te 2 = [0, 1, 0] T → F (e 2 ) = [− sin ϑ, cos ϑ, 0] Te 3 = [0, 0, 1] T → F (e 1 ) = [0, 0, 1] Tvettori della baseimmagini dei vettori della baseIn definitiva, tale applicazione lineare da R 3 a R 3 è rappresentata dalla matrice⎡cos ϑ − sin ϑ 0A = A ϑ = [F (e 1 ), F (e 2 ), F (e 3 )] = ⎣ sin ϑ cos ϑ 0⎤⎦0 0 1È interessante notare che la matrice A è ortogonale, ossia vale A T A = AA T = I.Infatti è⎡⎤cos ϑ sin ϑ 0A T = ⎣ − sin ϑ cos ϑ 0 ⎦0 0 1e quindie⎡A T A = ⎣⎡= ⎣⎡AA T = ⎣⎡= ⎣cos ϑ − sin ϑ 0sin ϑ cos ϑ 00 0 1⎤ ⎡⎦ ⎣cos ϑ sin ϑ 0− sin ϑ cos ϑ 00 0 1cos 2 ϑ + sin 2 ϑ cos ϑ sin ϑ − cos ϑ sin ϑ 0cos ϑ sin ϑ − cos ϑ sin ϑ sin 2 ϑ + cos 2 ϑ 00 0 1cos ϑ sin ϑ 0− sin ϑ cos ϑ 00 0 1⎤ ⎡⎦ ⎣cos ϑ − sin ϑ 0sin ϑ cos ϑ 00 0 1cos 2 ϑ + sin 2 ϑ − cos ϑ sin ϑ + cos ϑ sin ϑ 0− cos ϑ sin ϑ + cos ϑ sin ϑ sin 2 ϑ + cos 2 ϑ 00 0 1⎤⎦⎤⎦⎤⎦ = I⎤⎦ = I49