5 Un'applicazione: le matrici di rotazione - Matematica e Applicazioni

Ora, rango(A − λ 2 I) = 1 se sin ϑ ≠ 0 , ossia ϑ ≠ 0; π.Quindi per ϑ ≠ 0; π, si consideraossiai sin ϑx 2 − sin ϑy 2 = 0,y 2 = ix 2 ;mentre l’altra equazione risulterà automaticamente verificata.Quindi, posto ad esempio x 2 = 1 si ha y 2 = i e normalizzando in norma 2 (siveda sezione 6.1) (‖[1, i] T ‖ 2 = √ 2) si ottienez 2 = 1 √2[1iPertanto, per se ϑ ≠ 0; π la matrice è sicuramente diagonalizzabile , ossia valeconA = SΛS − 1]Λ = diag(λ 1 , λ 2 )S = [z 1 , z 2 ] = √ 1 [1 12 −i i].Si può verificare la seguente proprietà: le matrici normali (ossia tali che AA H =A H A) si diagonalizzano tramite matrici unitarie. Infatti, la matrice S = [z 1 , z 2 ]è unitaria, ossia SS H = S H S = I, o meglio z 1 è ortogonale, anzi ortonormale,a z 2 , come qui di seguito verificato.S H = √ 1 [ ]1 i2 1 −iS H S = 1 2[1 i1 −iSS H = 1 [1 12 −i i] [1 1−i i] [1 i1 −iQuindi si può affermare chee]= 1 2]= 1 [2A = SΛS H = √ 1 [1 12 −i i[ ]1 − i21 + i 21 + i 2 1 − i 2S −1 = S H=}{{}i 2 =−12 i − i−i + i −i 2 − i 2 ]= 1 2] [ ] [λ1 0 1 1 i √20 λ 2 1 −i[1 2 02 0 2[2 00 2]]= I]= ISi tenga presente che i vettori z 1 , z 2 formano una base ortonormale per R 2 :sono in numero di 2 e sono linearmente indipendenti, essendodet S = ( √ 1 ∣ ∣∣∣) 2 1 12 −i i ∣ = 1 (i + i) = i ≠ 0.2Casi particolari: ϑ = 0, π (sin ϑ = 0).Per ϑ = 0 si ha[ ]1 0A = A 0 =0 148