Complemento 4 (Serie doppie) - Dipartimento di Matematica

AM110 – CL Matematica, Università “Roma Tre” (AA 2010/11 – L. Chierchia) 29/12/10 1Complemento 4Serie doppieLemma 1 Siano α nk ≥ 0 tali che, per ogni n e k, α n+1k ≥ α nk e α nk+1 ≥ α nk . Allorasupn,kα nk = supnsupkα nk = supksup α nk . (1)nDimostrazione Basta dimostrare la prima uguaglianza in (1) (l’altra si ottiene applicandoquanto dimostrato a α ′ nk = α kn).Sia α = sup n,k α nk . Vi sono due casi: α = ∞ oppure α < ∞. Nel primo caso, per ogni Mesistono n 0 e k 0 tali che α n0k 0> M. Quindi se N := max{n 0 , k 0 } e n, m ≥ N, si ha α nk > M(essendo α nk crescente in k ed n). Se denotiamo con β n = sup k α nk si ha che β n > M perogni n ≥ N il che significa che sup n β n = ∞ = α, che è quanto volevamo dimostrare.Supponiamo ora che α < ∞ e fissiamo ε > 0. Allora esistono n 0 e k 0 tali che α ≥ α n0k 0> α−ε.Quindi se N := max{n 0 , k 0 } e n ≥ N si ha che α ≥ sup k α nk =: β n > α − ε, il che significache sup β n = α.Corollario 2 (Serie doppie) (i) Se a nk ≥ 0 allora 1∞∑ ( ∑∞ ) ∞∑ ( ∑∞ )a nk = a nk . (2)n=0k=0Inoltre se una dei termini di questa equazione è finito, è finito anche l’altro e, denotando αtale valore comune, si ha che per ogni ε > 0, esiste N 0 ∈ N tale che(ii) Se a nk ∈ R allora∣N∑n=0 k=0k=0n=0M∑a nk − α∣ < ε , ∀ N, M ≥ N 0 (3)∞∑ ( ∑∞ )|a nk | < ∞ ⇐⇒n=0k=0∞∑ ( ∑∞ )|a nk | < ∞ (4)k=0n=0e, se vale una delle disuguaglianze in (4), allora valgono (2) e (3).n∑ k∑Dimostrazione (i): Se prendiamo α nk := a ij , con a ij ≥ 0 si vede immediatamentei=0 j=0che α n+1k ≥ α nk e α nk+1 ≥ α nk e quindi , per il Lemma 1, si ottiene immediatamente (2).Eq. (3) deriva dal fatto che α = sup n,k α nk .(ii) Siano, ora, a nk ∈ R. La (4) deriva immediatamente da (i). Inoltre, dalla (4) segue, inparticolare, che convergono assolutamente le serie ∑ k a nk e ∑ n a nk; e, poiché, ∣ ∑ k a nk∣ ≤∞X ∞X∞X “ X ∞ 1 Normalmente scriveremo a nk al posto di a nk”.n=0 k=0n=0 k=0

AM110 – CL Matematica, Università “Roma Tre” (AA 2010/11 – L. Chierchia) 29/12/10 2∑k |a nk| e ∣ ∑ n a nk∣ ≤ ∑ n |a nk| segue (sempre dalla (4)) che convergono assolutamente anchele serie∞∑ ( ∑∞ )∞∑ ( ∑∞a nk ea nk).n=0k=0Ricordiamo che, dato un numero reale x, x + e x − denotano, rispettivamente la parte positivae la parte negativa di x;k=0x + := max{x, 0} , x − := max{−x, 0} = − min{x, 0} , (5)e che x = x + − x − e |x| = x + + x − . Allora,n=0∞∑n=0 k=0∞∑a nk =(i)==∞∑ ∞∑∞(a + nk − a− nk ) = ∑ ∞∑ ∞a + nk − ∑ ∞∑n=0 k=0k=0 n=0n=0 k=0k=0 n=0 k=0 n=0n=0 k=0a − nk∞∑ ∞∑∞ a + nk − ∑ ∞∑∞ a − nk = ∑ ∞∑(a + nk − a− nk )∞∑k=0 n=0∞∑a nk ,che dimostra la (2) nel caso generale.Sia ora α il valore comune in (2) e poniamo∞∑∞∑b n := a nk , ¯bk := |a nk | ;k=0n=0si noti che α = ∑ n b n. Dato ε > 0, sia N 0 tale che, per ogni N ≥ N 0 si abbia∣N∑b n − α∣ < ε 2 ,n=0∞ ∑k=N+1¯bk < ε 2 . (6)Allora, per ogni N, M ≥ N 0 , troviamo∣M∑n=0 k=0M∑a nk − α∣ =≤(i)==∣∣∣∣N∑ ∞∑N∑a nk − α −n=0 k=0N∑ ∞∑∞∑a nk − α∣ +n=0 k=0N∑n=0 k=0∞∑a nk − α∣ +N∑b n − α∣ +n=0∞∑k=M+1∞∑n=0 k=M+1∞∑n=0 k=M+1∞∑k=M+1 n=0a nk∣ ∣∣|a nk |∞∑|a nk |¯bk(6)< ε 2 + ε 2 = ε .

AM110 – CL Matematica, Università “Roma Tre” (AA 2010/11 – L. Chierchia) 29/12/10 3Esempio 3 Siano, per 0 ≤ k ≤ n, c nk ∈ R tali cheallora 2∞ ∑∞∑n=0 k=0n=0 k=0n∑|c nk | < ∞n∑ ∞∑ ∞∑c nk = c nk . (7)k=0 n=kTale relazione segue dal Corollario 2 ponendo{cnk , se 0 ≤ k ≤ nα nk =0, altrimenti .Esercizio Mostrare che∞∑∞∑n=1 k=1∞1(n + 7k) 3 = ∑∞∑k=1 n=11(n + 7k) 3 .Svolgimento: Dal binomio di Newton segue che (n + 7k) 6 > n 3 k 3 e quindi che (n + 7k) 3 >(nk) 3/2 e dunque∑ ∑nk1∑(n + 7k) 3 < ∑ n( ∑=e la tesi segue da (i) del Corollario 2.=n( ∑nk1(nk) = ∑ 3/2 n1)( ∑n 3/2k1n 3/2 ) 2< ∞1)k 3/2( 1 ∑ 1)(n) 3/2 k 3/2knX2 La (7) significa che, se b n := c nk , la serie X ∞Xb n converge, che le serie c k := c nk convergono perk=0 n≥0n=kogni n e che X b n = X c k .n≥0 k≥0